第13章电磁场与麦克斯韦方程组

第13章 电磁场与麦克斯韦方程组一、基本要求1．掌握电磁感应定律和楞次定律；2．掌握简单情况下动生电动势及感生电动势的求解； 3．了解自感和互感，并会计算自感系数和互感系数。

二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：计算动生电动势及感生电动势。

难点：法拉第电磁感应定律的理解和应用。

（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧自感与互感计算方法产生原因动生电动势计算方法产生原因感生电动势感应电动势的分类楞次定律法拉第电磁感应定律感应电动势的计算（三）容易混淆的概念： 1.动生电动势和感生电动势动生电动势由导体切割磁场线运动引起，受到洛仑兹力即非静电力的作用。

当导体做匀速直线运动洛仑兹力和静电力平衡，就得到了非静电场强公式B v E k⨯=，再由电动势定义式就可得动生电动势计算公式()l d B v l⋅⨯=⎰ε；感生电动势产生的原因是感生电场（涡旋电场），变化的磁场激发感生电场，并引起回路中磁通量发生变化，于是得到感生电动势计算公式dtd N mφε-=。

2.自感和互感自感现象是指当一个线圈中电流发生变化时，其激发的变化磁场引起线圈自身回路的磁通量发生变化，从而在线圈自身产生感应电动势；互感是指空间存在两个相邻线圈，当一个线圈中的电流发生变化时，在周围空间产生变化磁场，从而在另一线圈中产生感应电动势。

（四）主要内容： 1．法拉第电磁感应定律：dt d i φε-= 或：dtd i ψε-= （Ψ为磁通匝或磁链） 2．楞次定律：当穿过闭合回路所围面积磁通量发生变化时，回路的感应电流产生的磁通量要抵偿引起电磁感应的磁通量的变化；或回路中感应电流总是要使它建立的磁场反抗任何引起电磁感应的变化。

楞次定律可以确定感应电流方向。

3．动生电动势和感生电动势： （1）非静电场和动生电动势非静电场：B v E k⨯=动生电动势：()l d B v l⋅⨯=⎰ε，（沿从低电势到高电势的方向,B v⨯）（2）感生电场和感生电动势 变化磁场在周围空间激发感生电场 感生电动势：dtd Nmφε-=（感生电场不是保守场，是涡旋电场） 4．自感与互感：（1）自感：线圈中由于自身电流变化而产生感应电动势。

dtdI LL -=ε （其中IL ψ=为自感系数，仅与回路形状及周围介质有关，与电流无关。

）（2）互感：相邻两线圈，一线圈电流变化引起邻近线圈中产生感应电动势。

dt dI M121-=ε dtdI M212-=ε （其中212121I I M ψψ==为互感系数，取决于两回路各自形状、匝数、相对位置及周围介质，与电流无关。

）5．麦克斯韦方程组的积分形式⎰⎰==⋅S Vq dV dS D ρ⎰=⋅SdS B 0dS t Bdl E L S ⋅∂∂-=⋅⎰⎰dS t DI dl H S L ⋅∂∂+=⋅⎰⎰0 （五）思考问答：问题1 有两个尺寸完全一样的环，一个是铜环，一个是木环。

现在用两个条形磁铁的同一磁极一相同的速度分别同时插入两环中，问环内有无感生电场，有无感生电流？答 两环内均有感生电场，因为感生电场是由变化的磁场产生的，与闭合回路是否由导体构成无关；但是木环内不能形成电流。

问题2 感生电场与静电场有哪些异同？答 相同点：感生电场与静电场都具有电能，对带电粒子都有作用力。

不同点：首先静电场与感生电厂产生的原因不同，静电场是由静止电荷激发的，而感生电场是由变化的磁场激发的;其次，感生电场与静电场的场性质也不同，静电场的场性质有⎰⎰∑==⋅SVS dV q S d D ρ内（有源场），0=⋅⎰Ll d E （无旋场、保守场），感生电场的性质有⎰=⋅S S d D 0 （无源场），⎰⎰⋅∂∂-=⋅L SS d t B l d E(有旋场、非保守场)。

问题3 在磁感应定律中dt d i /Φ-=ξ,负号的意义是什么?你是如何根据符号来确定感应电动势的方向的?答：负号表示感应电动势方向总是阻碍磁通变化的方向，是楞次定律的数学表达式。

先由右手法确定回路绕行正向及发现方向n e ，在由S d B d⋅=Φ判断回路中的dt d /Φ是增还是减.若0/>Φdt d (增)，则0<i ξ，与绕行正方向相反；若0/<Φdt d (减),则0>i ξ，与绕行正方向相同。

问题4 把一铜环放在均匀磁场中，并使环的平面与磁场的方向垂直。

如果使环沿着磁场的方向移动（见图a)，在铜环中是否产生感应电流？为什么？如果磁场是不均匀的(见图b ），是否产生感应电流？为什么？答：第一种情况，无感应电流。

因为环在移动过程中环内的磁通量不发生变化。

或运动方向平行于磁场线，无切割磁场线；第二种情况，产生感应电流i I ，因为环中的磁通量随环沿着磁场方向的移动而减少，或有切割磁场线，由法拉第中磁感应定律知环内有感应电流。

问题5 如果要设计一个自感较大的线圈，应该从哪些方面去考虑？答：由于自感系数L 与线圈匝数、形状、尺寸、磁介质有关，应从这几个方面考虑。

问题6 自感是由L=I /ϕ规定的，能否由此式说明，通过线圈中的电流越小，自感L 就越大？答：不能。

因为L 是由线圈自身的属性决定的，它是反映线圈阻碍电流改变的能力（即电磁惯）的物理量，与线圈中有无磁通、电流无关。

式L=Iφ只是定义式，具有“测量”价值，当电流变化时，φ也会随之变化，但两者比值不变。

问题7 试说明：（1）当线圈中电流增加时，自感电动势的方向和电流方向是相同还是相反；（2）当线圈中的电流减小时，自感电动势的方向和电流的方向是相同还是相反。

为什么？ 答：（1）相反。

L ε阻碍电流的增加，故与电流反向相反；（2）相同。

L ε阻碍电流的减小，故与电流方向相同。

问题8 有的电阻元件是用电阻丝绕成的，为了使它只有电阻而没有自感，常用双绕法（见图）。

试说明为什么要这么绕？答：由于采用双绕法，使电流的流向在双线中相反，回路中产生的磁链大小相等，符号相反，总磁链为零，电阻元件中无磁通变化，从而无自感的现象。

问题9 互感电动势与哪些因素有关？要在两个线圈间获得较大的互感，应该用什么办法？答：M ε与两线圈的相对位置、形状、匝数、磁介质的磁导率有关。

可采用完全耦合（即无漏磁）的办法来获得较大互感。

问题10 有两个线圈，长度相同，半径接近相等，试指出在下列三种情况下，哪一种情况的互感最大？哪一种的互感最小？（1）两个线圈靠的很近，轴线在同一直线上；（2）两个线圈互相垂直，也是靠的很近；（3）一个线圈在另一个线圈的外面。

答：若一个线圈中的磁场完全通过另一个线圈，反之，亦然，则称这种情况为“完全耦合”。

若一个线圈中的磁场完全不通过另一个线圈，反之，亦然，则称这种情况为“完全不耦合”。

当同样的两个线圈处于“完全耦合”时，互感M 最大；处于“完全不耦合”时，互感最小。

由此可知，（3）情况中的M 最大；（2）情况中的M 最小。

问题11什么叫位移电流？位移电流与传导电流有什么异同?答：通过电磁场中某一截面的位移电流I d 等于通过该截面电位移通量D φ对时间的变化率，即dtd I Dd φ=。

d I 与c I （传导电流）产生的原因不一样，d I 为变化的电磁场引起的，c I 为带电体定向移动引起的；d I 不产生焦耳热，c I 可以产生焦耳热。

d I 与c I 在产生磁场方面是等同的节两者都遵循环路定律()⎰+=⋅d c LI I l d H 0μ 。

问题12 试从以下三个方面来比较静电场与有旋电场：（1）产生的原因；（2）电场线的分布；（3）对导体中电荷的作用。

问题13 变化电场所产生的磁场，是否也一定随时间发生变化？变化磁场所产生的电场，是否也一定随时间发生变化？ 答：（1）不一定，这要看电位移矢量D 的时间变化率情况。

若=∂∂tD 不含时变量，因为t DB ∂∂=⨯∇μ，所以B 的解含时，则),(t r B B =，即B 随时间变化。

（1） 也不一定，这要看磁感应强调B 的实际变化率情况。

若=∂∂t B不含时变量，因为tBE ∂∂-=⨯∇ ，所以E 的解不含时，则E=E( r),即E 不随时间变化。

若=∂∂t B含时变量，因为tBE ∂∂-=⨯∇ ，所以E 的解含时，则E=E(r,t),即E 随时间变化。

三、解题方法1.利用法拉第电磁感应定律求感应电动势解题的关键是求出通过回路的磁通量。

对于均匀磁场来说比较简单，对于非均匀磁场，必须采用积分的方法计算，要根据磁场分布的规律选择适当的面积元，使面积元上的磁场处处相等。

求出磁通量（时间的函数）后，再对其求对之间的一阶导数，即可得到结果。

对于其方向的判断，可以根据磁通量及电动势的符号系统确定，也可以用楞次定律来判断。

2．计算动生电动势对于导体回路，可应用公式dtd m φε-=或()⎰⋅⨯=L l d B vε计算；对于不构成回路的导体，可应用公式()⎰⋅⨯=b al d B vε计算，也可以设计一个合适的假想回路以便于应用法拉第电磁感应定律公式。

3.求自感计算自感的方法一般来说有3种。

第一种利用公式IL ψ=求，此方法可类比于求电容的方法；第二种方法是利用dtdILL -=ε，这种方法主要可用于实验测定；第三种方法是利用磁场能量公式BHdV W m ⎰⎰⎰=21和电感元件储能公式221LI W m =，先求出磁场在全空间的总磁能m W ，再求出L 。

四、解题指导1．一无限长载流直导线通有电流I ，今有一矩形线圈与其共面，高度为l 初始位置左侧距长直导线为a ，右侧距长直导线为b 。

求：（1）若线圈以v 在纸平面内向右运动，任意时刻线圈中的感应电动势)(t δ；（2）若线圈不动，I 随时间变化2kt I =，其中k 为常量，任意时刻线圈中的感应电动势；（3）若0=t 以后，电流I 随时间变化2kt I =（k 仍为常量）同时线圈以v 向右运动，任意时刻线圈内感应电动势。

[分析]: 先由积分法求磁通量，再根据法拉第电磁感应定律求感应电动势。

解：（1）某一时刻线圈位置如图所示，取顺时针方向为绕行正方向，将线圈包围的平面分割成许多窄条，其中位于dx x x +→窄条的磁通量为ldx xId πμφ20=，穿过整个面的磁通量： vt a vt b Ilx l xIΦvtb vta ++==⎰++lnπ2d π200μμ据电磁感应定律：0))((π2d d 0>++-=-=vt a vt b ab Ilv t Φi μE沿顺时针方向。

（2）在图中取顺时针方向为绕行正方向，穿过线圈磁通量：IO⎰⎰===a b Ilx l xIΦΦbalnπ2d π2d 00μμ据电磁感应定律：a b lkt t I a b l t Φln πd d )ln π2(d d 00μμ-=-=-=E若0,0<>E k 沿逆时针方向；0,0><E k ，沿顺时针方向。