华东师范大学2005数学分析

( x , y ) (0,0)
lim
f ( x, y ) 不存在，事实上当点 x, y 沿曲线 y kx3 x 2 （k 为非零常数）
1 ） 。 k
趋向 0,0 时，该极限等于
二．计算下列各题（每题 8 分，共 64 分） ； 1.解：
1 sin 2 x x 2 sin 2 x x 2 1 lim 2 2 lim 2 2 lim n 0 x n 0 sin x n0 x sin x x4 sin 2 x 2 x 2 cos 2 x 2 4sin 2 x 1 lim lim lim 3 2 n 0 n 0 n 0 4x 12 x 24 x 3
2

2M

1 an 1 1 lim n ln n lim 0 ，由于广义 3.错误。反例如下： an , lim n n n 1 1 n ln n ln n n n
积分 1

1 dx d ln ln x ln ln x 是发散的，故正项级数 a n 发 1 1 x ln x n 1
1.设 f x 在有限区间 a, b 上一致连续，求证： f x 在区间 a, b 上有界. 2.已知 a 2 n 1
n 1 1 1 n ， a2n dx ，求证： 1 a n 条件收敛. n n x n 1
3.设 f x 在区间 a, b 连续， f x 0 .求证： 函数列 于 1.
x x , a cos sin , a sin cos J ab sin cos ，所以有： y y b cos cos , b sin sin ,


S
zdxdy c cos ab sin cos d d d c cos ab sin cos d
2.证明：由已知条件知 a 2 n 1 ， a2 n n
n k
1 n
n 1
n 1 1 1 dx ln x ln(1 ) ，令： n x n
S n 1 ak ，则易证 S 2 n 有界数列，故 lim S2n 存在有限，注意到
k 1
n
S2 n 1 S2 n 1
0 0
2


2
abc cos sin cos d 0
0
2
8.解：设切点为 C x0 , y0 , z0 ，则通过坐标变换可以求出过点 C 的切平面的方程
xx y y zz 为： 0 0 0 1 ， 所以切平面与三个坐标面所围成的几何体是一个三棱锥， a b c
4. f x, y 在点 x0 , y0 沿任意方向导数都存在，则函数 f x, y 在点 x0 , y0 连续. 二． （每题 8 分，共 64 分）计算下列各题；
1 1 1． 求极限 lim 2 n 0 x sin 2 x
2． 求极限 lim n sin 2 n 2 cos 2 n
f x C 至多只有有限个解，求证： lim f x 存在.
x
2005 年硕士研究生入学考试数学分析试题参考解答
一、 判断下列命题的真伪，正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例（每
题 6 分，共 24 分） ：
an A, 但是不存在正整数 N ，对于 1.错误。反例如下： an , A 0, 则 nlim +
2 n 1
a2 n 1 S2 n a2 n 1 S2 n
n
1 ，则 lim S2 n1 lim S2 n n n n 1 1 ，所以级数 n
把 f 1,1 1 ， f x' 1,1 a ， f y' 1,1 b 代入上面表达式计算得 g '(1,1) a(1 b b2 ) 。
x a sin sin 7.解：作广义坐标变换 y b sin cos (0 2 , 0 ) 注意到： z c cos
令 x=1,y=1 代入解得 y ' 1，曲线 x y x 2 y 在 1,1 处的切线方程为：
y x
2 x
y' ， y
y 1 1 x 1 ,即x y 2 。
4.解：因为 f x 在 R 上连续，所以 f x 存在原函数，设 F ( x) 是 f x 的一个原函收敛

4.设 f x, y 在 a, b c, d 上连续，求证： g y max f x, y 在 c, d 上连续 .
xa , b
5.设 f x 在区间 a, 上的有界连续函数，并且对于任意实数 c ，方程
任意正数 ， 当 n N 时均有 an A ， 事实上， 对此数列 an ， 若存在正整数 N ， 对于任意正数 ，当 n N 时均有 an A ，则当 n N 时均有 an A ，即 an 是 常数列，显然与 an
1 n
1 产生矛盾。 n
2.正确。证明如下：因为 f x 在 a, 上一致连续，故 lim f ( x) A 是有限 x
2005 年攻读硕士学位研究生入学考试
考试科目：数学分析 考生注意：无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上。 试题解答员： magic9901 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 转载请注明出处，我们保留追究的权力。仅供学习交流，反对商业出售，违者必究！
一． （每题 6 分，共 24 分）判断下列命题的真伪（正确的命题请简要证明，错误 的命题请举出反例） 1． lim an A 的一个充要条件是：存在正整数 N ，对于任意正数 ，当 n N 时
n
均有 an A . 2.设 f x 在 a, 上连续， f x 在 a, 上一致连续，那么 f x 在 a, 上一
2
致连续. 3.设 an 0 ， lim
an 0 ，那么正项级数 a n 收敛. n 1 n 1 n
n
3． 求曲线 x y x 2 y ，在 1,1 处的切线方程. 4． 设 f x 在 R 上连续， g t 2 f x dx ，求 g ' t .
t et
5． 求 2
x y 2 1
3x 4 y dxdy .
6． 设 f 1,1 1 ， f x' 1,1 a ， f y' 1,1 b ， g x f x, f x, f x, y ，求 g ' 1 . 7． 设 S 是有向曲面
2.解：因为 1 n sin 2 n 2cos2 n n 1 cos2 n n 2 ，注意到 lim n 2 1 ，所以由夹
n
逼定理即得 lim n sin 2 n 2cos2 n 1 。
n
3.解： 对曲线 x y x 2 y 两边取对数求导， 得 y ln x 2ln x ln y, y 'ln x
三． （第一题至第四题每题 12 分，第五题 14 分，共 62 分）证明以下个题：
1.证明： 因为 f x 在有限区间 a, b 上一致连续， 故 lim f ( x) A 和 lim f ( x) B 是
x a x b
有限实数，则可以扩充定义使 f x 在[a,b]上连续（令 f(a)=A,f(b)=B ） ，从而 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，因此 f x 在区间 a, b 上有界.。
0
3 4 2 3 4
1
然而

2
0
3cos 4sin d (
2 0

arctg
3 4
2


3 4
arctg

3 2

3
2
2 arctg

2 arctg
) 3cos 4sin d
=7+2+1+7+2+1=20 ，因此 2
x x , cos , r sin r J r ，所以 y y sin , r cos , r

x y 1
2
2
3x 4 y dxdy = d 3r cos 4r sin rdr
0 0
2
1
2
0
3cos 4sin d r 2 dr ，
散，所以命题结论不成立。
0, ( x, y ) (0, 0); 4.错误。反例如下： f ( x, y ) x3 y 3 .则 f x, y 在点 0,0 沿任 x 2 y , ( x, y ) (0, 0),
意方向导数都存在 ( y kx, x 0) 且导数为零， 函数 f x, y 在点 0,0 不连续 . （因 为
他的体积是 V
abc ，由重要不等式可知： 6 x0 y0 z0
1 x a
2
0 2

y
b
2
0 2
z c
2
0 2
3
3
x y z
2
2
2
a b c
0 2
0 2
0 2

1 3 3 x0 y0 z0 abc
所以 V
3 3 3 3 a , b , c 时取到。 ，等号当且仅当 x0 , y0 , z0 3 2 3 3
数，则 g (t ) F (e) F (t 2 ) ，因此 g '(t ) F '(t 2 )2t f (t 2 )2t 2tf (t 2 ) 。