河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.2反证法学案 新人教A版选修1-2
高中数学 2、2-2-2反证法 新人教A版选修1-2
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α 的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交 直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC， 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，
2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛 盾 ， 或 与定义、公理、 定理 、 事实 矛盾等．
[例1] 求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α 相交，则另一条也与平面α相交．
[证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而 要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面 两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α， 与题设矛盾．
求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°， 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°. 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小 于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一 个内角不小于60°.
1．反证法证明数学命题的四个步骤 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为 真．
常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定 义或已被证明了的结论相矛盾；
4．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指 “否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定 了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错 之处是“假设”错写成“设”．
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教学案新人教A版选修1-2
2．2.2 反证法预习课本P42～43，思考并完成下列问题(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？[新知初探]反证法的定义及证题的关键[点睛] 对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③ 答案：C3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个正数D ．两个都是负数答案：C．________，假设的内容应是” 3b ＞3a ，那么b ＞a 如果“．用反证法证明4 3b≤3a 答案：用反证法证明否定性命题[典例] 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：a ，b ，c 不成等差数列．[证明] 假设a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ， 即a ＋c ＋2ac ＝4b .∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，即b ＝ac ， ∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，∴(a －c)2＝0，即a ＝ c. 从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾， 故a ，b ，c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[活学活用]已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0＜0且x 0≠－1，且ax 0＝－x0－2x0＋1，由0＜ax 0＜1⇒0＜－x0－2x0＋1＜1，解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根.用反证法证明“至多”“至少”问题[典例] 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a ＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a)2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a2＜0，(2a)2＋4×2a＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解． [一题多变]1．[变条件，变设问]将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4(3－4a)＜0，(a －1)2－4a2＜0，4a2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a≥－1或a≤－32. 2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a)2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a2≥0，(2a)2＋4×2a≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a2＋4a －3≥0，3a2＋2a －1≤0，a2＋2a≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－32或a ≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R.3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．用反证法证明唯一性命题[典例] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[活学活用]求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．证明：已知：直线b∥a，A∉a，A∈b，求证：直线b唯一．假设过点A还有一条直线b′∥a.根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，与b∩b′＝A矛盾，∴假设不成立，原命题成立．层级一学业水平达标1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②D．②③①C．①③②解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②. 2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选 B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选 B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )B．一定是相交直线A．一定是异面直线D．不可能是相交直线C．不可能是平行直线解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )B．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件C．充要条件解析：选B ∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a ≠1或b ≠18．和两条异面直线AB ，CD 都相交的两条直线AC ，BD 的位置关系是____________． 解析：假设AC 与BD 共面于平面α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．答案：异面不能为同一等差数列的三项．2，3，1．求证：9 ，d 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为2，3，1证明：假设 为两个正整数，n ，m ，其中d n ＋3＝2md,－3＝1则 ．)m ＋n (3＝m 2＋n ，得d 由上面两式消去 为无理数，)m ＋n (3为有理数，而m 2＋n 因为 ，矛盾，因此假设不成立，)m ＋n (3≠m 2＋n 所以 不能为同一等差数列的三项．2，3，1即 10．已知函数f (x )在R 上是增函数，a ，b ∈R.(1)求证：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．解：(1)证明：当a ＋b ≥0时，a ≥－b 且b ≥－a .∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)(1)中命题的逆命题为“如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，∴f (a )＜f (－b )．同理可得f (b )＜f (－a )．∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立，∴a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立． 层级二 应试能力达标1．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解 解析：选D “唯一”的否定是“至少两解或无解”．2．下列四个命题中错误的是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝90°，则∠B 一定是锐角不可能成等差数列11，13，17B. C ．在△ABC 中，若a ＞b ＞c ，则∠C ＞60° 是偶数n 为偶数，则2n 为整数且n ．若D 解析：选C 显然A 、B 、D 命题均真，C 项中若a ＞b ＞c ，则∠A ＞∠B ＞∠C ，若∠C ＞60°，则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°与∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°矛盾，故选C.)(1a＋c ，1c ＋b ，1b ＋a ，则0)，∞－∈(c ，b ，a ．设3 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ，但6＞－1a ＋c ＋1c ＋b ＋1b ＋a ，则2假设都大于－ C 解析：选，矛盾．6＝－2)－(＋2)－(＋2－≤⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 解析：选 B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC ＞∠BAD ，∠ADC ＞时，π2＝BAC ∠＝ADC ∠＝ADB ∠符，只有当不可能相似，与已知不ACD △与BD A △，ABD ∠才符合题意．＞a 是常数，且b ，a 1(＋bn ＝n b ，2＋an ＝n a 的通项公式分别为}n b {，}n a {．已知数列5b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．，*∈N n ，b ＞a ，由题意n b ＝n a 使得n 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在.n b ＝n a 使n 恒成立，所以不存在1＋bn ＞2＋an ，从而bn ＞an 则恒有 答案：0的一个排列，求证：7，…，,21是7a ，…，2a ，1a ．完成反证法证题的全过程．设6为偶数．7)－7a 2)…(－2a 1)(－1a (＝p 乘积 均为奇数．因奇数个奇数之和为奇7－7a ，…，2－2a ，1－1a 为奇数，则p 证明：假设数，故有奇数＝________＝________＝0. 但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，均为奇数，7－7a ，…，2－2a ，1－1a ∵ 也为奇数．7)－7a (＋…＋2)－2a (＋1)－1a ∴( 为奇数．7)＋…＋2＋(1－)7a ＋…＋2a ＋1a (即 的一个排列，7，…，1,2是7a ，…，2a ，1a ∵又 ，0，故上式为7＋…＋2＋1＝7a ＋…＋2a ＋1a ∴ 7)－7a (＋…＋2)－2a (＋1)－1a (所以奇数＝ 0.＝7)＋…＋2＋(1－)7a ＋…＋2a ＋1a (＝ 7)－7a (＋…＋2)－2a (＋1)－1a (：答案 7)＋…＋2＋(1－)7a ＋…＋2a ＋1a ( .14不能都大于a )c －(1，c )b －(1，b )a －(1：求证，∈(0,1)c ，b ，a 已知．7 .14都大于a )c －(1，c )b －(1，b )a －(1证明：假设 因为0＜a ＜1,0＜b ＜1,0＜c ＜1，所以1－a ＞0.由基本不等式， .12＝14＞(1－a)b ≥(1－a)＋b2得.12＞(1－c)＋a 2，12＞(1－b)＋c 2同理， 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2，12＋12＋12＞(1－c)＋a 2＋(1－b)＋c 2＋，这是不成立的，32＞32即 .14不能都大于a )c －(1，c )b －(1，b )a －(1故}n b {；数列≥1)n 0(＜1＋n a n a ，2(1＋an)1－an ＋1＝3(1＋an ＋1)1－an ，12＝1a 满足：}n a {．已知数列8．≥1)n (2n a －2n ＋1a ＝n b 满足： 的通项公式；}n b {，}n a {求数列(1) 中的任意三项不可能成等差数列．}n b {证明：数列(2)．)2n a －(123＝2n ＋1a －1由题意可知，(1)解： .n c 23＝1＋n c ，则2n a －1＝n c 令 －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34＝n c 的等比数列，即23，公比为34＝1c 是首项为}n c {，则数列34＝21a －1＝1c 又，1.1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34－1＝2n a ⇒1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34＝2n a －1故 ，0＜1＋n a n a ，0＞12＝1a 又 .1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －11－n 1)－(＝n a 故 .1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14＝1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2n a －2n ＋1a ＝n b (2)用反证法证明．是}n b {按某种顺序成等差数列，由于数列)t ＜s ＜r (t b ，s b ，r b 存在三项}n b {假设数列成立．t b ＋r b ＝s b 2，则只可能有t b ＞s b ＞r b 的等比数列，于是有23，公比为14首项为 ，1－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14＋1－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14＝1－s ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14∴2· .s－t 3r －s 2·2＝r－t 2＋r－t 3，化简得r－121－t 3两边同乘以 由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故中任意三项不可能成等差数列．}n b {数列(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的))(的推理过程是”上是偶函数R 在2x ＝)x (f 函数“根据偶函数定义可推得．1 A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案 解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是( )y a log ＋x a log ＝)y ＋x (a log 则有，类比)y ＋x (a log 与)c ＋b (a 把．A B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yya＋x a ＝y＋x a则有，类比y＋x a与)c ＋b (a 把．C D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 解析：选D (xy )z ＝x (yz )是乘法的结合律，正确．5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3,9)B ．(4,8)C ．(3,10)D ．(4,9) 解析：选D 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D..5>3＋2求证：．6 ，都是正数5和3＋2证明：因为 ，5>3＋2所以为了证明 ，>562＋5展开得，2)5>(2)3＋2(只需证明 成立．5>3＋2所以不等式，此式显然成立，0>62即 上述证明过程应用了( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法 解析：选 B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．}n a {则，2＝5a ，为等差数列}n a {若.92＝9b …3b 2b 1b 则，2＝5b ，为等比数列}n b {已知．7的类似结论为( )92＝9a …3a 2a 1a ．A92＝9a ＋…＋2a ＋1a ．B2×9＝9a …2a 1a ．C 2×9＝9a ＋…＋2a ＋1a ．D ．成立D 易知.5a 2＝…＝8a ＋2a ＝9a ＋1a 有，由等差数列性质 D 选：解析 )}(1＋n a ＋n a {则数列，是等比数列}n a {若数列．8 A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列na {，时1－≠q 当∴．)q ＋(1n a ＝1＋n a ＋n a 则，q 的公比为}n a {设等比数列 C 解析：选一定是等比数列；}1＋n a ＋ 此时为等差数列．，0＝1＋n a ＋n a ，时1＝－q 当 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0 cb ＋ac ＋ab ∴，0＝bc 2＋ac 2＋ab 2＋2c ＋2b ＋2a ∴，0＝c ＋b ＋a ∵法一： D 解析：选≤0.a2＋b2＋c22＝－ 法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.，都成立*N ∈n 对一切c ＋)b －na (n 3＝1－n ×3n ＋…＋34×3＋23×3＋2×3＋1已知．10那么a ，b ，c 的值为( )14＝c ＝b ，12＝a ．A14＝c ＝b ＝a ．B14＝c ＝b ，0＝a ．Cc ，b ，a ．不存在这样的D 解析：选A 令n ＝1,2,3， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＋c ＝1，92a －b ＋c ＝7，273a －b ＋c ＝34.得 .14＝c ＝b ，12＝a 所以 的表达n S 可归纳猜想出，)*N ∈n (n a 2n ＝n S ，1＝1a 且，n S 项和n 的前}n a {已知数列．11式为( )2nn ＋1＝n S ．A3n －1n ＋1＝n S ．B2n ＋1n ＋2＝n S ．C2nn ＋2＝n S ．D＝3a ∴，3a 23＝3a ＋13＋1；又43＝2S ，13＝2a ∴，2a 22＝2a ＋1a 得，1＝1a 由 A 解析：选；64＝32＝3S ，16 .85＝4S ，110＝4a 得，4a 16＝4a ＋16＋13＋1又 .2nn ＋1＝n S 可以猜想85＝4S ，64＝3S ，43＝2S ，22＝1S 由 ＝1＋n x 且对任意的自然数均有，5＝0x 满足}n x {数列，定义如下表)x (f 设函数．12)(＝2 016x 则，)n x (fx 1 2 3 4 5 f (x )4 1 35 2A.1 C ．4D ．5 ＝5x ，5＝(4)f ＝4x ，4＝(1)f ＝3x ，1＝(2)f ＝2x ，2＝(5)f ＝)0x (f ＝1x D 解析：选 D.故应选，5＝4x ＝2 016x 所以，的数列4是周期为}n x {数列，…，2＝(5)f 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”． 答案：x ，y 都大于1．________的大小关系是n ，m 则，a ＋b 2lg ＝n ，a ＋b 2lg＝m ，>0b ，>0a 已知．14 ⇒b ＋a >ab 2＋b ＋a ⇒>0ab ⇒>0ab 解析： ⇒a ＋b >b ＋a ⇒2)a ＋b >(2)b ＋a ( a＋b 2.a ＋b 2>lg a ＋b 2lg ⇒a ＋b 2>答案：m >n＝4＋415，383＝3＋38，232＝2＋23已知．15 ，的值b ，a 由以上规律可推测出，均为正实数b ，a ，ab6＝6＋a b，…，4154则a ＋b ＝________.1－26＝b ，a b6＝6＋a b解析：由题意归纳推理得 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41.答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠其中一个的某，的正方体a 有两个棱长为，类比到空间.a24部分的面积恒为顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． .a38易得两个正方体重叠部分的体积为，)特殊化(解析：解法的类比 a38答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：；lg a ＋lg b2≥a ＋b 2lg 则，>0b ，a 如果(1) 2.＋3>210＋(2)6 ，ab ≥a ＋b2有，时>0b ，a 当(1)证明： ，ab ≥lg a ＋b 2lg ∴ .lg a ＋lg b 2＝ab lg 12≥a ＋b 2lg ∴ ，2＋3>210＋6 要证(2) ，22)＋3>(22)10＋6(只要证 ，这是显然成立的，48>2602即 所以，原不等式成立．．…)，1,2＝n (2an1＋an＝1＋n a ，≠11a ，>01a 若)分12本小题满分(．18 ；n a ≠1＋n a 求证：(1) 不要求(n a 观察并归纳出这个数列的通项公式，的值5a ，4a ，3a ，2a 写出，12＝1a 令(2)证明)．，n a ＝2an1＋an即，n a ＝1＋n a 证明：若(1)解： 1.或0＝n a 解得，1或0＝1a ＝2a ＝…＝1－n a ＝n a 从而 ，相矛盾≠11a ，>01a 这与题设 不成立．n a ＝1＋n a 所以 成立．n a ≠1＋n a 故 .2n －12n －1＋1＝n a 由此猜想：，1617＝5a ，89＝4a ，45＝3a ，23＝2a ，12＝1a 由题意得(2) 19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°. 也是无理数．3＋2试证：，都是无理数 3 和 2 已知(2) 必3＋2所以，而无理数与无理数之和是无理数，都是无理数3和2证明：依题设是无理数．5＋x 2＋2x 的方程x 用反证法证明：关于，2)<0＋m 1)(＋m (2满足不等式m 已知实数(3)无实根．0＝2m － ＜2)＋m 1)(＋m (2满足不等式m 有实根．由已知实数0＝2m －5＋x 2＋2x 证明：假设方程－∵，4)－2m 4(＝Δ的判别式0＝2m －5＋x 2＋2x 的方程x 而关于，12－＜m ＜2解得－，0无实根．0＝2m －5＋x 2＋2x 的方程x 即关于，<0Δ∴，4＜2m ＜14∴，12－<m 2< 解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．.23＋9＝3S ，2＋1＝1a ，n S 项和为n 的前}n a {等差数列)分12本小题满分(．20 ；n S 项和n 与前n a 的通项}n a {求数列(1) ，)*N ∈n (Sn n＝n b 设(2) 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．}n b {求证：数列 ⎩⎨⎧a1＝2＋1，3a1＋3d ＝9＋32，由已知得(1)解： ∴d ＝2.．)2＋n (n ＝n S ，2＋1－n 2＝n a 故.2＋n ＝Snn＝n b 得(1)由(2) ，r b p b ＝2q b 则，成等比数列)互不相等r ，q ，p (r b ，q b ，p b 中存在三项}n b {假设数列 ，)2＋r )(2＋p (＝2)2＋q (即 ，0＝2)r －p －q (2＋)pr －2q (∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴，*N ∈r ，q ，p ∵ 0.＝2)r －p (，pr ＝2⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 2∴ ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．中任意不同的三项都不可能成等比数列．}n b {数列∴ ＋5° 2sin ，32＝150° 2sin ＋90° 2sin ＋30° 2sin 已知：)分12本小题满分(．21都成立α请你写出对任意角度，述两等式的规律通过观察上，32＝125° 2sin ＋65° 2sin 的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：.32＝120°)＋α(2sin ＋60°)＋α(2sin ＋α2sin ＋1－cos 2α＋120°2＋1－cos 2α2证明：左边＝ 1－cos 2α＋240°2]240°)＋αcos(2＋120°)＋αcos(2＋αcos 2[12－32＝ sin －cos 240°αcos 2＋sin 120°αsin 2－cos 120°αcos 2＋α(cos 212－32＝2αsin 240°)＝右边．32＝αsin 232＋αcos 212－αsin 232－αcos 212－αcos 212－32＝ 也正确32＝60°)＋α(2sin ＋α2sin ＋60°)－α(2sin 将一般形式写成 22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：；2≤|a|＋|b||a ＋b|求证：，b ⊥a 且，b ，a 用分析法证明：已知非零向量(1) 不可能是一个等差数列中的三项．3，2，1用反证法证明：(2).2≤|a|＋|b||a ＋b|要证，0＝b ·a ⇔b ⊥a (1)证明： ，|b ＋a |2|≤ b |＋|a |只需证 ，)2b ＋b ·a 2＋2a ≤2(2|b |＋|b ||a 2|＋2|a |只需证 ，2b 2＋2a ≤22|b |＋|b ||a 2|＋2|a |只需证 ，≥02|)b |－|a (|即，|≥0b ||a 2|－2|b |＋2|a |只需证 上式显然成立，故原不等式得证．∈k ，n ，m (项k ，n ，m 且分别是第，是某一个等差数列中的三项3，2，1假设(2)，)*N ，2n －mk －m＝1－2即，3－1k －m ＝2－1n －m ＝d 则数列的公差 ，为有理数2n －mk －m所以，Z ∈)m －k (，Z ∈)m －n (所以，*N ∈k ，n ，m 因为 是无理数相矛盾．1－2这与，是有理数1－2所以 不可能是一个等差数列的三项．3，2，1所以，故假设不成立。
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.1 合情推理(2)学案 新人教A版选修2-2
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1.1 合情推理（2）学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【学习内容】一、课前预习（预习教材71-74页，找出疑惑之处）1. 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .二、课堂互动探究:典例精析 变式训练鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.典型例题： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.练 1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练 2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.三．课堂练习及课后作业1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B. “若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ） 3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==， '21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N，则2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .6.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？。
高中数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修1-2
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2 .反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条 件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
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探究二用反证法证明“至多”“至少”型命题
“至多 ”“至少”型问题,直接证明比较复杂,可用反证法证明,体现了“正 难则反”的思想方法.
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高中数学课件
2.2.2
反证法
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学习目标 1.了解反证法是 间接证明的一种 基本方法. 2.理解反证法的 思考过程,并会进 行一些简单的应 用.
思维脉络
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规律小结
反证法的具体步骤是: (1)提出假设:作出与求证的结论反的假设,否定结论; (2)推出矛盾:由假设出发,推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾 的结果; (3)肯定结论:出现矛盾是因为“否定结论”所致,由此得出原命题成立.
2.2.反证法-人教A版选修1-2教案
2.2 反证法-人教A版选修1-2教案知识概述反证法是指通过假设所要证明的命题不成立，从而推导出一个自相矛盾的结论，从而说明原来假设的命题是正确的一种证明方法。
在数学中，反证法常常被用来证明命题的唯一性和存在性。
教学目标1.了解反证法的概念和方法；2.学会使用反证法证明命题的唯一性和存在性；3.深入理解反证法的应用。
教学重点和难点1.理解反证法的概念和方法；2.掌握使用反证法证明命题的唯一性和存在性的技巧。
教学过程导入老师可以通过设计引入反证法的常见情境，如小学数学中的奇数加偶数等于奇数而偶数加偶数等于偶数，引导学生思考在无法直接验证一个命题正确性的情况下，如何使用反证法证明。
讲解1.反证法的概念和方法反证法是通过假设所要证明的命题不成立，推导出一个自相矛盾的结论，从而说明原来假设的命题是正确的一种证明方法。
具体步骤如下：•假设所要证明的命题不成立；•推导出一个自相矛盾的结论；•得出原来假设的命题是正确的。
2.使用反证法证明命题的唯一性和存在性反证法常被用来证明命题的唯一性和存在性。
在使用反证法证明命题的唯一性时，需要假设所要证明的命题不唯一，即存在至少两种不同的情况，然后通过推导得到自相矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是唯一的。
在使用反证法证明命题的存在性时，需要假设所要证明的命题不存在，然后通过推导得到自相矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是存在的。
案例演示演示使用反证法证明命题唯一性和存在性的具体案例，可以选取一些小学数学中的常见题目，如两点之间的最短距离、平面内不过同一点的平行线唯一等等。
实战演练让学生在小组中分别选取一些题目进行讨论和分析，设计不同情境，然后分别使用反证法证明命题唯一性和存在性。
总结回顾本节课所学的内容，让学生分享自己的体会和对反证法的理解。
课后作业1.自主查找相关资料，进一步了解反证法的应用；2.在课后对本节课所学的内容进行总结。
教学反思反证法是一种逻辑思维的训练和培养，对于提高学生的数学思维和逻辑思维能力十分重要。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1.2综合法和分析法（二）学案 (1)
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 .2综合法和分析法（二）学案 新人教A 版选修1-2【学习目标】1. 会用分析法证明问题；了解分析法的试探进程.2. 依照问题的特点，结合分析法的试探进程、特点，选择适当的证明方式.【学习内容】一、课前预习（预习教材第86-89页，找出疑惑的地方）温习1：综合法是由 导 ;温习2：大体不等式:二、课堂互动探讨:典例精析 变式训练学习探讨探讨任务一：分析法问题：如何证明大体不等式(0,0)2a b ab a b +≥>> 新知：从要证明的结论动身，慢慢寻觅使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、概念、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因典型例题例1求证3526+>+变式：求证:3725+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,因此咱们经常使用分析法探讨证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作S B 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大. 练2. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥ 三、总结提升学习小结分析法由要证明的结论Q 试探，一步步探求取得Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立. ※ 知识拓展证明进程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每一个推理都必需是正确的,每一个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必需是确信的.分析法中,第一结论成立,依据假定寻觅结论成立的条件，如此从结论一直到已知条件.三．课堂练习及课后作业1. 要证明3725+<可选择的方式有以下几种,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.假设,,a b c R ∈,那么222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,那么其浓度为 ;假设再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,依照这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .6.已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b ab a b-+-<<. 7. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。
(教师用书)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修1-2
(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条 件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命 题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．
●教学流程
演示结束
课标 解读
1.了解反证法是间接证明的一种 基本方法．(重点) 2.理解反证法的思考过程，会用 反证法证明数学问题．(难点)
1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明， 从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转 化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后 的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的． 2．常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语 否定词语的否定形式 没有 有 不大于 不等于 不存在 大于 等于 存在
反证法
【问题导思】 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友 在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘 了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李 子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话， 早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子 一定是苦的．” 王戎的论述运用了什么推理思想？
1 1 1 已知非零实数 a、b、c 成等差数列 a≠c，求证： ， ， a b c 不可能成等差数列． 1 1 1 【证明】 假设 ， ， 成等差数列， a b c
2 1 1 a＋c 则 ＝ ＋ ＝ ， b a c ac 又 a、b、c 成等差数列， ∴2b＝a＋c， a＋c ∴b＝ ， 2
a＋c 4 ∴ ＝ ， ac a＋c ∴(a－c)2＝0，即 a＝c. 这与 a≠c 矛盾． 故假设错误，原命题正确.
●重点难点 重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾． 在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题 的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的 其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的 地方； (3)否定所做的否命题， 也就是肯定原命题的正确性． 让 学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决 方法，突出重点、化解难点．
人教A版高中数学选修1-2 2.2.2 反证法
2.若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数， 求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个 实根.
类型三 用反证法证明唯一性命题 例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.
用反证法证明唯一性命题的类型：以 “有且只有”，“只有一个”，“唯一 存在”等形式出现的命题。
宜用反证法证明的题型
5.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
那么__l_3∥_l_2____.
推因理为已知___l_1_∥_l2___,
4.已知 f(x)axx2(a1)，
x1
求证：方程 f (x)0没有负数根
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题
例 2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x ＋π6.求证 a，b，c 中至少有一个是大于 0 的.
1.已知a，b，c是互不相等的实数，求证： 由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和 y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点.
下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个
小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个
对所有x, 存在某x， 对任何x， 存在某x,
反证法 学案——高二上学期数学人教A版选修1-2
2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法课前准备：1、选修1-2、学案、练习本；2、清醒的头脑和干净整洁的桌面与必胜的决心；趣味导学妈妈常常因为家里谁做错了事情而大发雷霆，有一次，我和爸爸在客厅看电视，妈妈在厨房洗碗，突然，有盘子打碎了，当时一片寂静，我说一定是妈妈打破的，为什么呢？二、学习目标：（30s确认学习目标）1.能够用自己的话说出什么是反证法；2.能够利用反证法准确解答简单练习题；3.根据例题的讲解归纳反证法的证明步骤；二、自学指导：（30s阅读自学指导，明确学习任务及要求）4min认真阅读教材P42-P43，并完成下列任务：1.仔细阅读教材42页例7上方，理解反证法的定义，达到能够用自己的话表述：思考：什么情况下考虑用“反证法”？2.阅读教材42页到43页，认真研究例7、例8归纳出反证法证明过程的特点，有疑问的地方用红色笔圈画出：思考：分析法的推导过程是什么？三、例题检测题组一（用反证法证明否定性命题）：1.已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证：c,ba,不成等差数列.2.设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上的一点，求证：AC与平面SOB不垂直.能力提升：3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，239,2131+=+=S a .（1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S .（2）设()*N n nS b n n ∈=，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.题组二 （用反证法证明“至多”“至少”等命题）：1.已知a,b,c 是互不相等的非零实数，求证：由b ax cx y a cx bx y c bx ax y ++=++=++=2,2,2222确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.2.已知x,y,z 均为实数，且6232,22222π，ππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：a,b,c 中至少有一个大于0.能力提升：3.已知x,y,z 均大于0，求证：xz z y y x 4,4,4+++这三个数中至少有一个不小于4.题组三（用反证法证明唯一性命题）：1.已知函数()x fy=在区间[]b a,上的图像连续不间断，且()x f在[]b a,上单调，()()0af，求证：函数()x fy=在区间[]b a,上有且只有一f,0<>b个零点.2.求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.能力提升：3.求证：两条相交直线有且只有一个交点。
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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.2反证法学案 新人教A 版
选修1-2
【学习目标】
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
【学习内容】
一、课前预习
（预习教材89-91页，找出疑惑之处）
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、课堂互动探究:典例精析 变式训练
探究任务：反证法
问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题
例1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.
变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角. 小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
动手试试
练1. 如果12
x >,那么2210x x +-≠.
练2. ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.
三、总结提升
学习小结
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
知识拓展
空城计与反证法
空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.
诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.
三．课堂练习及课后作业
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）.
A ．假设三内角都不大于60︒
B ．假设三内角都大于60︒
C ．假设三内角至多有一个大于60︒
D ．假设三内角至多有两个大于60︒
2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）.
A ．,,a b c 均不为0
B ．,,a b c 中至多有一个为0
C ．,,a b c 中至少有一个为0
D ．,,a b c 中至少有一个不为0
3.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a
+++（ ）.
A ．都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2 4. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .
5. “4x >”是“240x x ->”的 条件.
6. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x y
y x ++中至少有一个小于2.。