2011年中考数学试题考点分类16 二次函数的应用题(含答案)

二次函数2（二次函数的应用题）考点1：二次函数的数学应用题1. （2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。

若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m·n的最大值为。

【答案】362.（2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，①试求出当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系式.∴1421112 1.42a b a b =++⎧⎪⎨=++⎪⎩， 解得4,38.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线解析式为248133y x x =-++；……4分（3）①当n =3时，OC=1，BC =3， 设所求抛物线解析式为2y ax bx =+，过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △CBD ， ∴13O DO C C DB C==,设OD =t ，则CD =3t ， ∵222OD CD OC +=， ∴222(3)1t t +=，∴10t ==,∴C（10，, 又 B0），∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得0101.1010a a ⎧=+⎪=+， 解得:a =3-； ……2分②a n=-. ……2分3. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =xk 相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．【答案】（1）把点B （－2，－2）的坐标，代入y =xk ，得：－2=2-k ，∴k =4．即双曲线的解析式为：y =x4 ．设A 点的坐标为（m ，n ）。

∵A 点在双曲线上，∴mn =4．…① 又∵tan ∠AOx =4，∴nm =4， 即m =4n ．…②又①，②，得：n 2=1,∴n =±1.∵A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4）把A 、B 点的坐标代入y=ax 2+b x ，得：⎩⎨⎧-=-+=b a b a 242,4解得a =1，b =3；∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y =4， 代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x －4=0，解得x 1=－4，x 2=1（舍去）． ∴C 点的坐标为（－4，4），且AC =5， 又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=21×5×6=15 ；（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积. 过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ．因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（－4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.解方程组⎩⎨⎧+=+=,122,32x y x x y 得⎩⎨⎧==,18,3y x 所以点D 的坐标是（3，18）4. （2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ．(1)求△OAB 的面积；(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．【答案】 解：(1) ∵点A 的坐标是（－2，4），AB ⊥y 轴， ∴AB =2，OB ＝4， ∴1124422O AB S AB O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=(2)①把点A 的坐标（－2，4）代入22y x x c =--+， 得2(2)2(2)4c ---⨯-+=，∴c ＝4 ②∵2224(1)4y x x x =--+=-++，∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2）， ∴m 的取值范围为l<m <3．5．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA 与CB 的比值；（2）若P 点坐标为（0，m ）时（m 为任意正实数），线段CA 与CB 的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为21(0)y ax a =+≠ ，抛物线经过()1,0A ，01,1a a ∴=+=- ， 21y x ∴=-+.(),0,1P P x P ' 、关于轴对称且,()01P '∴点的坐标为，－P B ' ∥x 轴,1B ∴-点的纵坐标为,由21x x -=-=+1 解得)1B∴-,P B '∴=OA P B '// ，C P B '∴∆∽C O A ∆，2C A O A C BP B∴==='．⑵ 设抛物线的解析式为2(0)y ax m a =+≠()01A 抛物线经过，，0,a m a m ∴+=-＝2y mx m ∴=-+．P B' ∥x 轴B m ∴-点的纵坐标为， 2y m mx m m =--+=-当时，()220m x ∴-=，0m > ，220x ∴-=，x ∴=，)Bm∴-，P B '∴=同⑴得2C A O A C BP B==='2C A m C B ∴=为任意正实数时，．6. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.(1)求a 的值； (2)求A ,B 两点的坐标;(3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.【答案】解：(1)∵二抛物线212y x x a =-+的顶点坐标为24(,)24b ac b aa--，∴x=1,∵顶点在直线y=－2x 上，所以y=－2,即顶点坐标为（1，－2），∴－2=12－1+a,即a =－324;(2)二次函数的关系式为21322y x x =--，当y=0时，213022x x --=，解之得：121,3x x =-=，即A （－1，0），B （3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,因为A(－1.0),C(0,32-),所以直线AB 的解析式为3322y x =--,所以设BD 的解析式为32y x b =-+,因为B(3,0),所以b=92,直线BD 的解析式为:3922y x =-+,同理可得:直线AD 的解析式为:1122y x =+,因此直线BD 与CD 的交点坐标为:(2,32),则点D 关于x 轴的对称点D´是(2,－32),当x=2时代入21322y x x =--得,y=32-,所以D´在二次函数21322y x x =--的图象上.7．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点．⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【答案】解：⑴把A （2-，1-），B （0,7）两点的坐标代入c bx x y ++-=2，得⎩⎨⎧=-=+--7124c c b 解得⎩⎨⎧==72c b 所以，该抛物线的解析式为722++-=x x y ，又因为8)1(7222+--=++-=x x x y ，所以对称轴为直线1=x ．⑵当函数值0=y 时，0722=++-x x 的解为221±=x ，结合图象，容易知道221221+<<-x 时，0>y ． ⑶当矩形CDEF 为正方形时，设C 点的坐标为（m ，n ），则722++-=m m n ，即722++-=m m CF（第24题）因为C ，D 两点的纵坐标相等，所以C ，D 两点关于对称轴1=x 对称，设点D 的横坐标为p ，则11-=-p m ，所以m p -=2，所以CD=m m m 22)2(-=--因为CD=CF ，所以72222++-=-m m m ，整理，得0542=--m m ，解得1-=m 或5． 因为点C 在对称轴的左侧，所以m 只能取1-． 当1-=m 时，722++-=m m n =7)1(2)1(2+-⨯+--=4 于是，得点C 的坐标为（1-，4）．8. （2011山东东营，23，10分）(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0,2），点C （1,0），如图所示；抛物线22y ax ax =--经过点B 。

（1） 求点B 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ΔACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°； ∴∠BCD=∠CAO ； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC ，∴ △BDC ≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B 的坐标为(3,1)（2）抛物线22y ax ax =--经过点B(3,1)，则得1932a a =-- 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =--（3）假设存在点P ，似的△ACP 是直角三角形:①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长BC 至点P 1 使得P 1C=BC,得到等腰直角三角形ACP 1，过点P 1作P 1M ⊥x 轴，如图（1）。