重庆十一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
重庆市第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案
2017年重庆一中高2019级高一下学而去期末考试数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、圆224x y +=与圆226890x y x y +-++=的位置关系为A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2、若,a b R ∈且1ab =，则下列不等式恒成立的是A ．2a b +≥B ．222a b +>C ．2b a a b +≥D ．112a b+≥ 3、为了解重庆一中1800名高一学生的身体生长的状况，用系统抽样法抽取60名同学进行检验，将学生从11800进行编号，若已知第1组抽取的号码为10，则第3组用简单随机抽样抽取的号码为A ．60B ．70C ．80D ．904、下表是韩老师1-4月份用电量（单位：十度）的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是ˆ0.7yx a =-+，则a =A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.155、已知等比数列{}n a 的前项和为n S ，且1234,2,a a a 依次成等差数列，若11a =，则5S =A ．16B ．31C ．32D ．636、若圆的方程为2260x y x +-=，则过点(1,2)的所有弦中，最短的弦长为A ．12B ．1C ．2D ．4 7、已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos b A a B c +=，则c =A ．1B ．2C ．3D ．48、右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数学九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值，执行如图所示的程序框图，若输入01231,1,2,3,a a a a ====4504,5,1a a x ===-，则输出y 的值为A ．15B ．3C ．3-D ．15-9、若关于x 的不等式ax b <的解集为(2,)-+∞，则关于的不等式230ax bx a +->的解集为A ．(,3)(1,)-∞--+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(1,3)-10、已知实数[0,1],[0,2]m n ∈∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实根的概率是A ．14π-B ．4πC ．32π-D ．12π- 11、若平面区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A．．．4 D12、（原创），已知，在直角梯形ABCD 中，//,,,223BC AD BC CD BAD AB BC π⊥∠===,动点P 在以C 为圆心且与直线BD 相切的圆上运动，若AP AB AD αβ=+，则αβ+的取值范围是A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若6104a a +=，则15S =14、若向量(1,2),(3,),//()a b m a a b =-=+，则实数m =15、右图茎叶图表示的是甲乙两人在5次总和测评中的成绩，其中一个数字被无损，则乙的平均成绩超过甲的概率为16、（原创）已知实数,x y 满足2240x y xy ++-=，则33x y -的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知两直线1:(3)453l m x y m ++=-和2:2(5)80l x m y ++-=.（1）若12//l l ，求实数m 的值；（2）当1m =时，若31l l ⊥，且3l 过点(1,4)，求直线3l 的方程.18、（原创）（本小题满分12分）数列{}n a满足11()n a a n N ++=∈. （1）求证：数列{}2n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和. 19、（原创）（本小题满分12分）十二届全国人大常委会第十八次会议于2015年12月27日通过关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦开始实施，沙坪坝区妇联为了解该去市民不同年龄层对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了M 名二胎妈妈对其年龄进行调查，得到如下所示的频率分布表和频率分布直方图:（1）求表中p 的值和频率分布直方图中a 的值；（2）拟用分层抽样的方法从年龄在[)20,25和[)35,40的二胎妈妈中共抽取6人召开一个座谈会，现从这6人中选2人，求这两人在不同年龄组的概率.20、（本小题满分12分）在ABC ∆中，030,B AC ∠==（1）若045A ∠=，求AB 的长；（2）求ABC ∆的面积的最大值.21、(原创)（本小题满分12分）已知直线:2230()l x my m m R +--=∈.（1）判断直线l 与圆224690x y x y +--+=的位置关系，并说明理由；（2）求实数m 的取值范围，使得总能找到一个同事满足下列条件的圆与直线l 相切：①面积为π；②其某条直径的两端点分别在两个坐标轴上.22、（原创）（本小题满分12分）已知平面上的曲线l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到曲线l 的距离，记作(,)d P l .（1）求点(3,4)P 到曲线22:4l x y +=的距离(,)d P l ； （2）设曲线222221,(11):(1)1(12)(1)1(21)y x l x y x x y x ⎧=-<<⎪-+=≤≤⎨⎪++=-≤≤-⎩，求点集{|2(,)3}S P d P l =<≤所表示图形的面积；（3）设曲线1:0(11)l y x =-≤≤，曲线222:1l x y +=，求出到两条曲线12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==.。
【全国百强校】重庆市第十一中学2015-2016学年高一下学期期中考试理数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在等差数列}{n a 中，11=a ，公差2=d ，则7a 等于（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】A 【解析】试题分析：由等差数列的通项公式可得71616213a a d =+=+⨯=，故选A ． 考点：等差数列的通项公式．2.平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE =（ ）A ．b +B ．a + Ｃ． b - Ｄ．a - 【答案】C考点：向量的线性运算．3.已知向量＝(3,4)，＝(k ，2-k)，且∥，则实数k ＝（ ）A.8B.－6C.67D.－43【答案】C 【解析】试题分析：由题意得//a b ，则234k k -=，解得67k =，故选C ． 考点：共线向量的坐标运算．4.已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（ ）A ．511B ．1023C ．1533D ．3069 【答案】D考点：等比数列通项公式及前n 项和．5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知0120,2,1===C b a ，则ABC ∆的外接圆半径是 （ ）A B ． C D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理可得222222cos 12212cos1207c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，所以c =，由正弦定理得2sin c R C ===，所以R =，故选C ． 考点：正弦定理与余弦定理的应用．6.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a （ ） A ．50 B ．44 C ．55 D ．46 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，=+++1122212log log log a a a 1112102121121log log a a a a q+++=1112102121222log 11log 55log 11log 155log 245a qa q +++==+=+=，故选C ．考点：对数的运算及等比数列的通项公式．7.设i ，j 是两个夹角为120º的单位向量，若向量j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，且)()(b a b a -⊥+，则实数m 的值为（ ）A ．-2B ．2 Ｃ．54- Ｄ．不存在 【答案】C考点：向量的运算．8．等比数列}{n a 中，已知1234567820,10a a a a a a a a +++=+++=，则数列}{n a 的前16项和16S 为（ ） A ．20 B ．752 C ．1252 D ．752- 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，48420,10S S S =-=，则84412S S S -=，根据等比数列的性质可知 4841281612,,,S S S S S S S ---构成公比为12等比数列，4841281612520,10,5,2S S S S S S S =-=-=-=，且812167530,35,2S S S ===，故选B ． 考点：等比数列的性质．9.已知ABC ∆内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若41cos =B ，b=3，A C sin 2sin =，则ABC ∆的面积为（ ）【答案】D 【解析】考点：正弦定理、余弦定理与面积公式．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等基础知识的综合应用，其中牢记正弦定理和余弦定理，并灵活、合理使用定理是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础试题，本题的解答中先利用正弦定理得2c a =，再利用余弦定理，建立方程，求得a 的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积．10．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时8千米的速度向正北航行，同时乙船自B 以每小时12千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A.757分钟 B.57小时 C ．10.75分钟 D ．2.15分钟 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，假设经过x 小时两船相距最近，甲乙分别行至,C D ，如图所示，可知20108,12,120BC x BD x CBD =-=∠=，所以2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⨯⨯∠221(108)(12)2(108)122x x x x =-++-⨯⨯，当1528x =时，即757小时时，两船相距最近，故选A ．考点：解三角形的实际应用．11．△ABC 中,根据下列条件,能确定△ABC 有两解的是（ ）A.a=18, b=20, A=120°B.a=60, c=48, B=60°C.a=6, b=12, A=30°D.a=7, b=8, A=45° 【答案】D考点：解三角形；三角形个数的判定．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，其中正确掌握判断三角形的解的个数的方法，以及三角形中大边对大角，求出相应b 边或B 角是解答本题的关键，着重于考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中利用题设条件求解出相应b 边或B 角，利用三角形的角、大边对大角、三角函数值求解等知识，即可作出正确的判定． 12.已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量()3-1m =，，()cos ,sin n A A =，若与m n夹角为3π，则cos cos sin a B b A c C +=，则角B =（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，根据m 与n 夹角为3π，得3cos 1cos32m n m nπ⋅===⋅，即sin 1A A -=sin 2cos()6A A A π-=+，即1cos()626A A ππ+=⇒=，又cos cos sin a B b A c C +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin()sin A B B A A B C +=+=，即2sin sin C C =，所以sin 12C C π=⇒=，所以263B ππππ=--=，故选B ．考点：向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、平面向量的数量积的应用、向量的夹角公式及两角和的正弦公式额额那个知识的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，属于中档试题，sin 1A A -=，求解6A π=，进而利用解三角形的正弦定理和三角恒等变换的公式，求得2C π=，即可求解B 的大小．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若===B c a ,2,3365π，则b ＝ ． 【答案】7 【解析】试题分析：由余弦定理得2222252cos 222cos 496b ac ac B π=+-=+-⨯=，所以7b =． 考点：余弦定理的应用．14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24171593=+++a a a a ，则21S ＝ ． 【答案】221考点：等差中项公式及前n 项和公式． 15.设三个非零向量,,a b c ，若=++a b c m abc，那么m 的取值范围为______．【答案】[]0,3 【解析】试题分析：由题意得，22222()()()()2()a b c ab c a b a c b c m abca b c a b a c b c=++=+++++ 32()9a b a c b c a ba cb c=+++≤，所以03m ≤≤．考点：向量的数量积的运算及向量的模．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及向量的模的求解，其中根据平面向量模的平方等于向量的平方和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力的配用，属于中档试题，本题的解答中，利用向量模的平方等于向量的平方，求出m 的平方，利用基本不等式即可求解m 的取值范围．16．在数列{}n a 中，已知)2)((2,112211≥++++==--n a a a a a a n n n ，则7a =_____．【答案】486考点：等比数列的定义及等比数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的定义及等比数列的通项公式、等比数列的前n 和与通项n a 的递推关系等知识的综合应用，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，本题的解答中，利用题设中数列的递推关系12n n a S -=(2)n ≥，可推得13(2)n na n a +=≥，得到数列{}n a 从第二项起构成公比为3的等比数列是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---,(4,1)=OD ． （1）若四边形ABCD 是平行四边形，求,x y 的值；（2）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值．【答案】（1）2,5x y =-=-；（2）03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD 为平行四边形，利用AD BC =，即可求解,x y 的值；（2）利用ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，则AB BC ⊥且AB BC =，列出方程，即可求解,x y 的值．考点：向量的运算及向量的垂直关系的应用． 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，前n 项和记为n S ． （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）若nn S b n=，求12231111n nb b b b b b -+++()2n ≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）131n n -+． 【解析】试题分析：（1）由13n n a a +-=，利用等差数列的定义即可证明数列{}n a 为等差数列；（2）利用等差数列的求和公式，得232n n n S +=，可得312n n b +=，再利用裂项法求解数列的和．试题解析：（1）证明：∵1[3(1)1](31)]n n a a n n +-=+---＝3是常数， ∴{}n a 是等差数列．……………………4分（2）21(1)(1)323222n n n n n n nS na d n --+=+=+⨯=.………………8分 ∴312n n S n b n +==∴12231111n n b b b b b b -+++4111111[()()()]3477103231n n =-+-++--+131n n -=+． …………12分 考点：等差数列的的定义；数列求和． 19.（本小题满分12分）（1）已知4a =，5b =，且a 与b 的夹角为60°，求23a b -的值； （2）在矩形ABCD 中，22==BC AB ，,点E 为BC 的中点，点F 在CD边上，若2=⋅AF AB ,求⋅的值．【答案】（1）13；（2．考点：向量的模的计算及向量数量积的运算．20.（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2sin c A =． （1）求角C 的大小；（2）若a=5，ABC S ∆=，求ABC ∆的AB 边上中线CD 的长．【答案】（1）3C π=；（2考点：正弦定理与余弦定理的应用．已知ABC ∆内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且222sin cos cos()ac A A b a c A C =--+． （1）求角A ；（2）当sin cos 12B C π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取最大值时，求b a的值．【答案】（1）4A π=；（2．考点：余弦定理的应用；三角恒等变换的应用．【方法点晴】本题主要考查了三角形中的正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角函数的最值等知识的综合应用，其中熟记三角恒等变换的公式和三角函数的性质是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，本题的解答中化简sin cos sin 123B C B ππ⎛⎫⎛⎫-+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，确定6B π=时有最大值是解答本题的一个难点．有n 个首项都是1的等差数列，第m 个数列的第k 项表示为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =≥，公差为m d ， 并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．若取121, 3d d ==．（1）求数列{}m d 的通项公式；（2）数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列),设前m组中所有数之和为m c ，求数列}m d 的前n 项和n S ． 【答案】（1）*2 1 ()m d m m =-∈N ；（2）1(23)26n n S n +=-+．考点：等差数列通项公式与性质的应用；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了学生灵活运用等差数列的通项公式及数列的性质和前n项和的公式化简求值，会利用乘公比错位相减法求解数列的和，着重考考查了利用函数思想解答与数列相关的实际问题的能力及推理与运算能力，其中正确利用数列通项公式和定义判断是解答问题的关键，同时认真、细致运算是解答的一个易错点和难点．试题有一定的难度，属于难题．。
重庆市万州区高一数学下学期期中试题 文
重庆市万州区2016-2017学年高一数学下学期期中试题 文注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1．若)1,(x a =，),4(x b =，b a //，则实数=x （ ） A. 0 B. 2 C. 2- D. 2或2-2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若23,120,30b B C ==︒=︒， 则a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2 3．数列⋅⋅⋅---,9,7,5,3,1的一个通项公式为（ ）A.12-=n a nB.)21()1(n a nn --= C. )12()1(--=n a n n D.)12()1(1--=+n a n n4．如果0<<b a ，那么下面一定成立的是( ) A ．0>-b a B ． bc ac < C ．ba 11< D ．22b a > 5．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若14321=+++a a a a ，28765=+++a a a a ，15=n S ，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．166．已知向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则向量c 等于（ ） A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123--D ．b a 2123+- 7. 在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C 的值为 （ ）A. 23-B. 14-C. 14D. 238．已知点)2,1,2(-A ，)1,5,4(-B ，)3,2,2(-C ，且21=，则P 点的坐标为（ ）A ．)0,5,5(B ．)0,21,5(C ．)0,21,1(- D ．)0,5,1(- 9．在ABC ∆中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2cos cos ,2b A a B c a b +===，则ABC ∆的周长为（ ）A ．7.5B ．7 C.6 D ．510．若032≥+++a ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)0,4(-B ．),0()4,(+∞--∞YC ．),0[+∞D ．]0,4(-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ） A ．100101 B ．99101C ．99100D ．101100 12．已知向量,OA OB u u u r u u u r满足1OA OB ==u u u r u u u r ,,(,,)OA OB OC OA OB R λμλμ⊥=+∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 若M 为AB 的中点，并且1MC =u u u u r,则λμ+的最大值是（ ）A ．13-．125．13+第II 卷（非选择题）二、填空题 13．不等式13x x+≤的解集为 . 14．若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则2z x y =+的最大值为__________.15．已知向量)3,1(=，),3(m =，且在上的投影为3-，则向量与夹角为____________. 16．若]1,(--∞∈x ，不等式0124)(2>++-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______三、解答题（17小题10分，其余每题12分，共70分） 17．在等差数列}{n a 中，42=a ,1574=+a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设22-=n a n b ，求10321b b b b +⋅⋅⋅+++的值.18．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B a A b cos sin 3=. （1）求B ；（2）若3=b ,A C sin 3sin =，求c a ,.19．已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5.（1）求 ()f x 的解析式；（2）若对于任意 []1,1x ∈-，不等式()2f x t +≤恒成立， 求t 的取值范围.20．已知向量()sin ,cos m A A =r ， ()cos ,sin n B B =r ， •sin2m n C =r r，且A ， B ， C 分别为△ABC 的三边,,a b c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin A ， sin C ， sin B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=u u u r u u u r u u u r， 求边c 的值．21．已知数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*)(22N n a S n n ∈-= （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足12)1(1212121133221+-+⋅⋅⋅-+++-+=+n n n n b b bb a ，求数列}{n b 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设n nn b c λ+=2，问是否存在实数λ使得数列*)}({N n c n ∈是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1． D2．D3．C4．D5．D6．B7．B 8．B9．D10．C11．A12．B12因为向量,OA OB u u u r u u u r 满足1OA OB ==u u u r u u u r ,OA OB ⊥u u u r u u u r，所以将,A B 放入平面直角坐标系中，令(1,0),(0,1)A B ，又因为M 为AB 的中点，所以11(,)22M ．因为(,,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，所以(1,0)(0,1)(,)OC OA OB λμλμλμ=+=+=u u u r u u u r u u u r ，即点(,)C λμ．所以11(,)22MC λμ→=--，因为1MC =u u u u r ，所以2211()()122λμ-+-=，即点(,)C λμ在以11(,)22为圆心，1为半径的圆上．令t λμ=+，则t μλ=-，将其代入圆2211()()122λμ-+-=的方程消去μ得到关于λ的一元二次方程：22122()02t t t λλ-+--=，所以221(2)42()02t t t ∆=-⨯--≥，解之得2121t -+≤≤+，即λμ+的最大值是12+．故应选B ．13． 1|02x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或14．4 15． 16．32<<-m【解析】0124)(2>++-xx m m Θ恒成立∴xx m m 4122+->-设xt )21(= ]1,(--∞∈x Θ ∴2≥t ∴641)21(222-≤++-=-->-t t t m m ∴62->-m m ∴32<<-m 17． (1)设等差数列的公差为，由已知得解得，即（2)由(1)知=…+ =18．（Ⅰ）由及正弦定理，得.在中，..（Ⅱ）由及正弦定理，得，①由余弦定理得，，即，②由①②，解得.19．（1）()22f x x bx c =++,不等式()0f x <的解集是()0,5 ，220x bx c ∴++<的解集是()0,5，所以0和5是方程220x bx c ++=的两个根，由韦达定理知，()25,0,10,0,21022b cb c f x x x -==∴=-==-. （2）()2f x t +≤恒成立等价于221020x x t -+-≤恒成立，所以22102x x t -+-的最大值小于或等于0.设221020x x t -+-≤，则由二次函数的图象可知()22102g x x x t =-+-在区间[]1,1-为减函数，所以()()max 110,10g x g t t ==+∴≤-.20． (Ⅰ) ∵m r ()sin ,cos ,A A = n r ()cos ,sin B B =， m n ⋅r rsin2C =， ∴sin cos cos sin sin2A B A B C +=，即sin sin2C C =, ∴1cos 2C =,又C 为三角形的内角, ∴3C π=. (Ⅱ) ∵sin A ， sin C ， sin B B 成等比数列，∴2sin sin sin C A B =, ∴2c ab =,又()18CA AB AC ⋅-=u u u r u u u r u u u r,即 18CA CB ⋅=u u u r u u u r ,∴cos 18ab C =,∴36ab =， 故236c =，∴6c =.21． (1)()1121,121n n n n a a a a ++=-∴-=-Q ,若10n a -=，则11n n a a +==，又1212,213,10n a a a a ==-=∴-≠Q 112,1n n a a +-∴=∴-数列{}1n a -为以1为首项， 2为公比的等比数列， ()11112n n a a -∴-=-⋅， 121n n a -∴=+.(2) ()1n n b n a =-Q ,由（1）可知，1121,2n n n n a b n --=+∴=⋅，又21123...,1+22+32+...+n 2n n n n S b b b b S -=++++∴=⨯⨯⨯Q ，①23222232...2n n S n ∴=+⨯+⨯++⨯，② 由①-②，得()()2311121222 (2)22212,12112nn nnn n n n n S n n n S n -⋅--=+++++-⋅=-⋅=--⋅∴=-+-22．⑴ 由得两式相减,得所以由又得所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．⑵ 由 ⑴ 知由得故即当时,所以⑶ 因为所以当时,依据题意,有即①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．又随增大而增大,则当且仅当时,故的取值范围为②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,故的取值范围为又当时,由得综上可得,所求的取值范围是。
2016-2017年重庆市西南大学附中高一(下)期中数学试卷含解析
2016-2017学年重庆市西南大学附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）化简sin690°的值是（）A．0.5B．﹣0.5C．D．﹣2．（4分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限3．（4分）=（）A．B．2C．D．﹣24．（4分）已知，若=，=，则=（）（用，表示）A．﹣+B．﹣C．+D．+5．（4分）已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（）A．B．C．﹣D．﹣6．（4分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（4分）下列命题正确的是（）A．向量与是两平行向量B．若都是单位向量，则C．若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同8．（4分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．9．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1] 10．（4分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）=．12．（4分）已知，，且，则实数k=．13．（4分）已知＜α＜π，0＜β＜，tanα=﹣，cos（β﹣α）=，则sinβ的值为．14．（4分）设是两个非零的平面向量，则下列说法正确的是．①若，则有；②；③若存在实数λ，使得，则；④若，则存在实数λ，使得．15．（4分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）16．（10分）化简求值（1）已知，求sin2α的值；（2）化简．17．（10分）已知两向量，的夹角为120°，||=1，||=3，（Ⅰ）求|5﹣|的值（Ⅱ）求向量5﹣与夹角的余弦值．18．（10分）设函数x．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．（10分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．附加题（本大题共1小题，第1，2小题各5分，第3题10分，共20分）20．（5分）已知非零向量，满足（+）•=0，且•=，则△ABC的形状是（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形21．（5分）sin6°sin42°sin66°sin78°=．22．（10分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．2016-2017学年重庆市西南大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）化简sin690°的值是（）A．0.5B．﹣0.5C．D．﹣【解答】解：sin690°=sin（720°﹣30°）=﹣sin30°=﹣0.5，故选：B．2．（4分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【解答】解：∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k=2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k=2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．3．（4分）=（）A．B．2C．D．﹣2【解答】解：∵若tanα=﹣3，即=﹣3，得sinα=﹣3cosα，∴==2．故选：B．4．（4分）已知，若=，=，则=（）（用，表示）A．﹣+B．﹣C．+D．+【解答】解：∵==，化为==．故选：D．5．（4分）已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵﹣x+x+=，∴cos（x+）=sin（﹣x）=．故选：A．6．（4分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数=sin2（x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数y═sin2（x++）=sin（2x+）的图象，故选：C．7．（4分）下列命题正确的是（）A．向量与是两平行向量B．若都是单位向量，则C．若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同【解答】解：A．因为，所以向量与是两平行向量，正确．B．单位向量的长度相等但方向不一定相同，所以B错误．C．当A、B、C、D四点不共线时，结论成立，当四点共线时，结论不成立，所以C错误．D．两向量相等，对应向量方向相同，长度相等，与向量的起点和终点无关，所以D错误．故选：A．8．（4分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数的周期为T==，∴ω=又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴=，其中k∈Z取k=1，得φ=因此，f（x）的表达式为，故选：B．9．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1]【解答】解：（如图）以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，进而可得C（1，1），M（1，），设E（x，0）（0≤x≤1）∴=（1﹣x，1），=（1﹣x，）∴=（1﹣x）（1﹣x）+1×=x2﹣2x+∵0≤x≤1，∴当x=1时，有最小值为；当x=0时，有最大值为，由此可得的取值范围是[，]故选：C．10．（4分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，化简可得2cos2α=cos2β，故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）=1．【解答】解：．故答案为：1．12．（4分）已知，，且，则实数k=﹣6．【解答】解：=（﹣3，3+2k），﹣=（5，9﹣k）．∵，∴﹣3（9﹣k）﹣5（3+2k）=0，解得k=﹣6．故答案为：﹣6．13．（4分）已知＜α＜π，0＜β＜，tanα=﹣，cos（β﹣α）=，则sinβ的值为．【解答】解：∵＜α＜π，tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，∵0＜β＜，可得：﹣π＜β﹣α＜0，又∵cos（β﹣α）=＞0，可得：﹣＜β﹣α＜0，∴sin（β﹣α）=﹣=﹣，∴sinβ=sin[（β﹣α）+α]=sin（β﹣α）cosα+cos（β﹣α）sinα=（﹣）×（﹣）+×=．故答案为：．14．（4分）设是两个非零的平面向量，则下列说法正确的是①④．①若，则有；②；③若存在实数λ，使得，则；④若，则存在实数λ，使得．【解答】解：对于①，当时，=，∴，①正确；对于②，|•|=|||×||×cos＜，＞|≤||||，∴②错误；对于③，当实数λ＜0时，若，则|+|=|（λ+1）|=|（λ+1）|•||＜（|λ|+1）•||=||+||，③错误；对于④，若，则+2•+=﹣2||×||+，∴•=﹣||×||，∴、共线且反向，即存在实数λ＜0，使得，④正确；综上，正确的命题序号是①④．故答案为：①④15．（4分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故答案为：三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）16．（10分）化简求值（1）已知，求sin2α的值；（2）化简．【解答】解：（1）由，两边平方得：，即sin2α=；（2）==．17．（10分）已知两向量，的夹角为120°，||=1，||=3，（Ⅰ）求|5﹣|的值（Ⅱ）求向量5﹣与夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得…（2分）=，…．（4分）∴=7 …..（5分）（Ⅱ）依题意，得（5﹣）•==5×12﹣1×3×cos120°=…..（7分）===…..10分18．（10分）设函数x．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）==，所以f（x）的最小正周期为．令，求得x=+，可得函数的图象对称中心为．（2）令，解得，所以f（x）的单调递增区间为．19．（10分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]k∈z．附加题（本大题共1小题，第1，2小题各5分，第3题10分，共20分）20．（5分）已知非零向量，满足（+）•=0，且•=，则△ABC的形状是（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形【解答】解：∵（+）•=0，，分别为单位向量，∴∠A的角平分线与BC垂直，∴AB=AC，∵cosA=•=，∴∠A=，∴∠B=∠C=∠A=，∴三角形为等边三角形．故选：D．21．（5分）sin6°sin42°sin66°sin78°=．【解答】解：sin6°sin42°sin66°sin78°=sin6°cos48°cos24°cos12°=======．故答案为：．22．（10分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）=∵x∈[0，]，∴cosx＞0，∴=2cosx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx，设t=cosx，则∵，∴t∈[0，1]即y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，由已知得，解得λ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1﹣4λ．由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾．综上λ=为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
重庆市高一数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年重庆高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．223．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．34．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．38．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有盏灯”．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．20．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上【考点】V3：中国古代数学瑰宝．【分析】利用笔记的记录方法直接求解．【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确；要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确；用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确；没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误．故选：D．2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，问题得以解决【解答】解：从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，故x=8+13=21，故选：C3．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．3【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．4．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量=即可得出．【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．故选：A．5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．可得a n+4=a n即可【解答】解：数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．可得a n+4=a n．∴a2017=2017，故选：C6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，得•=0，展开后代入数量积公式得答案．【解答】解：∵ =1，||=2，∴由⊥，得•=．即，解得cos＜＞．故选：A．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误；对于②，•（•表示与共线的向量，（•）•表示与共线的向量，显然•（•≠（•）•，故②错误；对于③，若，则（）=0，即，∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心，故③正确．故选B．8．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a2+c2﹣b2=2ac•cosB，b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，结合范围0＜C＜π，可求C 的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，因为sinB≠0，所以cosC=，因为0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，又…②，将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=或ab=﹣1（舍去），所以S△ABC=absinC=，故选：A．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a1008＞0，a1009＜0，由此能求出数列中值最小的项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∴数列中值最小的项是第1009项．故选：B．11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．【考点】93：向量的模．【分析】作出向量示意图，用三角形ABC的边表示出，，根据等比三角形的性质判断．【解答】解：取AB的中点D，BC的中点E，∵，，∴==， ==，∴||=BC=2，故A正确；==1×2×cos120°=﹣1，故B正确；||=||=||=CD=，故C错误；=2+，∵，∴（2+）⊥，∴（4+）⊥，故D正确．故选C．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性．【分析】由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=﹣p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=﹣p，∴a2=﹣2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，∴a3=﹣4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，∴a4=﹣8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，a4=﹣8p，∴a5=﹣16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=﹣31p，∴p=﹣1．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，∴===．故答案为：．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有 2 盏灯”．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【解答】解：设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，则=510，解得a1=2．故答案为：2．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为﹣2017 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】求出﹣=﹣=d=2，由此能求出S2017．【解答】解：S2009=，S2007=，∴﹣=﹣=d=2，∵a1=﹣2017，∴S2017=na1+d=﹣2017×2017+2017×2016=﹣2017．故答案为：﹣2017．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为﹣18 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用垂径定理可得在上的投影为﹣3，利用定义求出的值．【解答】解：∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，即DN⊥AC，∴CN•cos∠ACN=CD=AC=3，∴=AC•CN•cos=﹣6CNcos∠ACN=﹣6×3=﹣18．故答案为：﹣18．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）运用等差数列的性质和等比中项的定义，结合等差数列的通项公式，计算可得首项a1和公差d；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=2a2=8，即有a2=4，又因为a4为a2和a9的等比中项，可得a42=a2a9，即有4（4+7d）=（4+2d）2，解得a1=1，d=3（0舍去）；（2）由（1）可得，则．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1），可得﹣5+2t=1，解得t=2．k与垂直，可得（k）•（）=0，联立解得k．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．可得16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得k．【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，联立解得．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA ⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=即可（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．【解答】解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=∵0＜A＜π∴A=（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=b2+4﹣2b→b2﹣2b⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，s△ABC==220．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，．当n≥2时，，故所求；（2）由，T n=b1+b2+b3+…+b n==．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围【解答】解：（1）向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，∴，即：﹣cosB=，∴cosB=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（2）由正弦定理，可得： == [sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA﹣sinA）=sin（A+）∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴1＜≤，故的取值范围为（1，]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证；（2）求得a n=2n﹣1，b n==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n （A、q为非零常数），即可求得λ的值．【解答】解：（1）证明：由题知S n=（a n+1）2，当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0．即当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2．则数列{a n}是等差数列．（2）由（1）知数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，∵b n==．则T n=+++…++，①∴T n=+++…++，②由①﹣②得T n=+2（++…+）﹣=+2•﹣，∴T n=3﹣；（3）∵=（3﹣+λ）•=﹣，∴数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列．。
2016-2017年重庆市巫溪中学高一(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年重庆市巫溪中学高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．（5分）向量=（5，2），=（﹣4，﹣3），=（x，y），若3﹣2+=，则=（）A．（23，12）B．（7，0）C．（﹣7，0）D．（﹣23，﹣12）3．（5分）已知向量，不共线，=k+，（k∈R），=﹣如果∥那么（）A．k=﹣1且与反向B．k=1且与反向C．k=﹣1且与同向D．k=1且与同向4．（5分）在等差数列{a n}中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（）A．﹣2B．C．2D．﹣5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．9B．3C．﹣3D．﹣97．（5分）在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．（5分）若点M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）A．B．C．D．210．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}有相同的首项，同时满足a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，则q2=（）A．B．C．D．11．（5分）设S n表示等差数列{a n}的前n项和，已知，那么等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}的通项a n=10n+5，n∈N *，其前n项和为S n，令，若对一切正整数n，总有T n≤m成立，则实数m的最小值是（）A．4B．3C．2D．不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=度．14．（5分）三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这个三个数．15．（5分）若，则=．16．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n，且a11=﹣26，a51=54，求a n和S20的值．19．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），若⊥，边长c=2，角C=，则△ABC的面积是．20．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=4a n+3，求数列{a n}的通项公式．21．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．22．（12分）在等差数列{a n}中，a10=30，a20=50．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）令b n=2，证明数列{b n}为等比数列；（3）求数列{（2n﹣1）b n}的前n项和T n．2016-2017学年重庆市巫溪中学高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【解答】解：0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是a n=．故选：A．2．（5分）向量=（5，2），=（﹣4，﹣3），=（x，y），若3﹣2+=，则=（）A．（23，12）B．（7，0）C．（﹣7，0）D．（﹣23，﹣12）【解答】解：3﹣2+=0，则（15，6）﹣（﹣8，﹣6）+（x+y）=，∴，解得：，则=（x，y）=（﹣23，﹣12），故选：D．3．（5分）已知向量，不共线，=k+，（k∈R），=﹣如果∥那么（）A．k=﹣1且与反向B．k=1且与反向C．k=﹣1且与同向D．k=1且与同向【解答】解：∵，∴，即k=，得，解得k=λ=﹣1，∴=﹣=﹣，故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（）A．﹣2B．C．2D．﹣【解答】解：∵a3=0，a7﹣2a4=﹣1，∴a1+2d=0，a1+6d﹣2（a1+3d）=﹣1，∴a1=1，d=﹣，故选：D．5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选：B．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【解答】解；∵等差数列{a n}的公差为3，∴a3=a1+6，a4=a1+9又∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，即（a1+6）2=a1（a1+9）解得，a1=﹣12，∴a2=a1+3=﹣12+3=﹣9故选：D．7．（5分）在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形，故选：C．8．（5分）若点M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点M是△ABC的重心，设D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，∴=，同理，，∴=，∵零向量与任意的向量共线，故选：C．9．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵S=bcsinA=×1×c×=△ABC∴c=4根据余弦定理有：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×=13所以，a=根据正弦定理==，则：==故选：A．10．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}有相同的首项，同时满足a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，则q2=（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a1=b1，由a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，得①，②，又a1=b1，解得：．故选：C．11．（5分）设S n表示等差数列{a n}的前n项和，已知，那么等于（）A．B．C．D．【解答】解：根据等差数列的前n项和公式得到=∴a1=3d==故选：B．12．（5分）已知数列{a n}的通项a n=10n+5，n∈N *，其前n项和为S n，令，若对一切正整数n，总有T n≤m成立，则实数m的最小值是（）A．4B．3C．2D．不存在【解答】解：数列{a n}的通项a n=10n+5，n∈N *，其前n项和为S n==5n2+10n．=，T n+1﹣T n=﹣=，可得：T1＜T2＞T3＞T4＞…．可得T n的最大值为T2．∵对一切正整数n，总有T n≤m成立，则实数m≥T2=2．∴m的最小值是2．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=120度．【解答】解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c，∴a：b：c=7：8：13，令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0），利用余弦定理有cosC===，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故答案为120．14．（5分）三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这个三个数．【解答】解：设这三个数为：a﹣d，a，a+d，则，解之得或（舍去）故所求的三个数为3，5，7．15．（5分）若，则=4037．【解答】解：∵，∴f（）+f（x）=+==2，∴=2018×2+f（1）=4036+=4037．故答案为：4037．16．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．【解答】解：（1）=m+n，∴（1，3）=m（﹣1，2）+n（2，1）．∴，解得m=n=1．（2）+k=（1+2k，3+k），2﹣=（﹣3，1），∵（+k）∥（2﹣），∴﹣3（3+k）=1+2k，解得k=﹣2．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n，且a11=﹣26，a51=54，求a n和S20的值．【解答】解：∵a11=﹣26，a51=54，∴，解得a1=﹣46，d=2．∴a n=﹣46+2（n﹣1）=2n﹣48．S20==﹣540．19．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），若⊥，边长c=2，角C=，则△ABC的面积是．【解答】解：∵=（a，b），=（b﹣2，a﹣2），⊥，∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴ab2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）=absinC=×4×sin=∴S△ABC故答案为：20．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=4a n+3，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：由题意a n=4a n+3可以得到a n+1+1=4a n+3+1=4（a n+1）+1所以数列{a n+1}是以a1+1=3为首项，以4为公比的等比数列．则有a n+1=3×4n﹣1，所以a n=3×4n﹣1﹣1．21．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n ﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===22．（12分）在等差数列{a n}中，a10=30，a20=50．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）令b n=2，证明数列{b n}为等比数列；（3）求数列{（2n﹣1）b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得，解得．∴a n=12+2（n﹣1）=2n+10；数列{a n}的通项a n=2n+10；（2）证明：∵a n=2n+10，∴b n==22n=4n，∴∴==4，∴数列{b n}是以首项b1=4，公比为4的等比数列．（3）∵（2n﹣1）b n=（2n﹣1）4n，∴T n=1•4+3•42+…+（2n﹣1）4n，①4T n=1•42+3•43+…+（2n﹣3）4n+（2n﹣1）4n+1，②①﹣②，得﹣3T n=4+2×42+…+2×4n﹣（2n﹣1）4n+1，=﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，=（4n+1﹣4）﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，=×4n+1﹣，T n=×4n+1+，数列{（2n﹣1）b n}的前n项和T n，T n=×4n+1+．。
重庆一中2016-2017学年高一下学期期中考试试卷数学含答案
19．(本小题满分12分)已知点 A, B 分别在射线 CM , CN (不含端点 C )上运动，
MCN
2 ，在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c . 3
（1）若 b 是 a 和 c 的等差中项，且 c a 4 ，求 c 的值； （2）若 c
3 ，求 ABC 周长的最大值.
-2-
a11 a12 a13 15.已知数阵 a21 a22 a23 中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也 a a 31 32 a33
依次成等差数列，若 a22 6 ，则所有九CB ， E 为边 AC 上 16.（原创）在非直角 ABC 中， D 为 BC 上的中点，且 4 S CAB AB AD 一点， 2 BE BA BC ， BE 2 ，则 ABC 的面积的最大值为 (其中 S ABC 表示 ABC 的面积).
x2 x2 1， b 2 ( x 0) ； 2 bx b x 1
故b
g ( x)
x2 t 1 1 5 1 2 2 ； x 1 (t 2) 1 t 5 4 2 5 4 2 t
5 1. 2
19.【解答】（1）因为 a, b, c 成等差数列，且公差为2，故 a c 4 ， b c 2 ，
-1-
执行框中的②处应填的语句分别是（ ） A. i 100 ? n n 1 B. i 100? n n 2 C. i 50 ? n n 2
7.已知平面上一条直线 l 上有三个不同的点 A, B, C ， O 是直线 l 外一点，满足
a b 2 1 OA OB OC (a , b R ) ， 则 的最小值为（ ） 4 4 a b
2016-2017年重庆市彭水一中高一(下)期中数学试卷(文科)和答案
）
9． （5 分）已知△ABC 的面积为 （ A． ） B． C．
，则△ABC 的周长等于
D．
10． （5 分）已知﹣9，a1，a2，﹣1 四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1 五个实数成等比数列，则 b2（a2﹣a1）的值等于（
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）
A．﹣8
B．8
C．
D．
11． （5 分）直线 l 过点 M（﹣1，2） ，且与以 P（﹣2，﹣3） ，Q（3，0）为端点 的线段 PQ 相交，则 l 的斜率的取值范围（ A． C． 12． （5 分）已知平面向量 角为 150°，则|t（ A． + B． ， ）﹣ 满足|2 B． D． ﹣ |= ，且 + 与 ） ﹣2 的夹 ）
21． （12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， =（cosA， cosC） ， =（ c﹣2b， a） ，且 ⊥ ．
（1）求角 A 的大小； （2）若 a=b，且 BC 边上的中线 AM 的长为 ，求边 a 的值．
22． （10 分）在数列{an}中，已知 a1=2，点（an，an+1）在函数 f（x）=x2+2x 的图 象上，其中 n∈N*． （Ⅰ）求证：数列{1g（1+an）}是等比数列； （Ⅱ）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
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2016-2017 学年重庆市彭水一中高一（下）期中数学试卷 （文科）
参考答案与试题解析
一．选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）已知等差数列{an}满足 a2+a6=8，则 a4=（ A．3 B．6 C．8 ） D．4
2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年高一下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．不等式的解集是（ ） A ．{x|x ＞1}B ．{x|x ＜1}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|x ＞1或x ＜﹣1}2．设a ＞1＞b ＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b3．在△ABC 中，A ：B ：C=3：1：2，则a ：b ：c=（ ）A ．1：2：3B ．3：2：1C ．1：：2 D ．2：1：4．若x+y=1（x ，y ＞0），则+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．45．已知△ABC 三边a=3，b=4，c=5，则cosA 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{a n }是等比数列，a 3=1，a 5=4，则公比q 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．±27．一个长方体的各个顶点均在同一个球的球面上，且长方体同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是（ ）A ．π B ．3π C ．4π D ．14π8．在△ABC 中，a=2，b=，A=，则B=（ ）A ．B ．C ．D ．9．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．B ．C ．2+D ．1+11．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是（ ） A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π12．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理（够用，且浪费最少）的是（）A．3.5m B．4.8m C．5m D．5.2m二.填空题（每小题5分，满分20分）13．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，则球心与截面圆周的圆心的距离是．14．已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范围是．15．﹣2是10与x的等差中项，则x= ．16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分）17．已知长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．则长方体的体积是多少．18．解不等式：x2＞（k+1）x﹣k．19．如图已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB⊥AD，DC∥AB，且边 AB、AD、DC 的长分别为 7cm，4cm，4cm，分别以 AB、AD、DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几何体体积．20．设f（x）=ax2+bx，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．21．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．22．已知数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．2016-2017学年高一下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分）1．不等式的解集是（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】判断x的范围，然后最后求解表达式即可．【解答】解：不等式可知x＞0，不等式化为x＜1，所以不等式的解集为：{x|0＜x＜1}．故选：C．2．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】71：不等关系与不等式．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C3．在△ABC中，A：B：C=3：1：2，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：1：【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三内角之比，利用内角和定理求出A，B，C的度数，确定出sinA，sinB，sinC的值，利用正弦定理即可求出a，b，c三边之比．【解答】解：在△ABC中，A：B：C=3：1：2，设A=3k，B=k，C=2k，可得A+B+C=3k+k+2k=π，即k=，∴A=，B=，C=，∴由正弦定理==，得： ==，则a：b：c=2：1：．故选D4．若x+y=1（x，y＞0），则+的最小值是（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x+y=1（x，y＞0），∴+=（x+y）=2+=4，当且仅当x=y=．故选：D．5．已知△ABC三边a=3，b=4，c=5，则cosA等于（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：△ABC三边a=3，b=4，c=5，则cosA===．故选：B．6．已知数列{an }是等比数列，a3=1，a5=4，则公比q等于（）A．2 B．﹣2 C．D．±2【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3=1，a5=4，∴q2==4，∴q=±2，故选：D7．一个长方体的各个顶点均在同一个球的球面上，且长方体同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是（）A．πB．3π C．4πD．14π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积．【解答】解：长方体的体对角线的长是： =球的半径是：这个球的表面积：4π（）2=14π．故选：D．8．在△ABC中，a=2，b=，A=，则B=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，从而求得B的值．【解答】解：在△ABC中，由于a=2，b=，A=，则根据正弦定理可得，即=，求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，∴B=，故选B．9．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2，解得r=3故选C10．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C11．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是（）A．24πB．18πC．12πD．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为2，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：，∴外接球的表面积的值为4π•（）2=24π．故选：A．12．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理（够用，且浪费最少）的是（）A．3.5m B．4.8m C．5m D．5.2m【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意设一条直角边为x，则另一条直角边是，建立起周长的函数关系，根据其形式和特点用基本不等式即可求出周长的最小值．【解答】解：设一条直角边为x，则另一条直角边是，斜边长为，故周长l=x++≥2+2≈4.82，当且仅当x=时等号成立，故最合理（够用，且浪费最少）是l=5m，故选C．二.填空题（每小题5分，满分20分）13．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，则球心与截面圆周的圆心的距离是8cm ．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求解球心与截面圆周的圆心的距离即可．【解答】解：球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，可得截面圆的半径为：6cm，则球心与截面圆周的圆心的距离是： =8cm．故答案为：8cm．14．已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范围是k≥4或k≤2且k ≠0 ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把x=1代入不等式即可求出k的范围．【解答】解：因为x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，所以k2﹣6k+8≥0，解得k≥4或k≤2且k≠0．故答案为：k≥4或k≤2且k≠0．15．﹣2是10与x的等差中项，则x= ﹣14 ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项定义直接求解．【解答】解：∵﹣2是10与x的等差中项，∴，解得x=﹣14．故答案为：﹣14．16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+=，故答案为：．三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分）17．已知长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．则长方体的体积是多少．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知的长方体相交于一个顶点的三个面的面积即可求出相邻三边长度，从而根据长方体的体积公式求出该长方体的体积．【解答】解：长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．设长方体相邻三边长分别为：x，y，z；则xy=，xz=，yz=．解得x=1，y=，z=．∴该长方体的体积为1××=．故答案为：．18．解不等式：x2＞（k+1）x﹣k．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】首先对不等式变形，然后分解因式，讨论对应根k与1的大小，得到不等式的解集．【解答】解：x2＞（k+1）x﹣k变形为（x﹣k）（x﹣1）＞0，所以当k＞1时，不等式的解集是{x|x＜1或x＞k}；当k=1时，不等式的解集是{x|x≠1}当k＜1时，不等式的解集是{x|x＜k或x＞1}．19．如图已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB⊥AD，DC∥AB，且边 AB、AD、DC 的长分别为 7cm，4cm，4cm，分别以 AB、AD、DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几何体体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】以AB为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为4cm的圆柱和底面半径为4cm，高为3cm 的圆锥的组合体，由此能求出其体积；以AD为轴的旋转体是上下底面半径分别为4cm和7cm，高为4cm的圆台，由此能求出其体积；以DC为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为7cm的圆柱去掉一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥的组合体，由此能求出其体积．【解答】解：以AB为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为4cm的圆柱和底面半径为4cm，高为3cm的圆锥的组合体，==80π（cm3）；其体积是V1以AD为轴的旋转体是上下底面半径分别为4cm和7cm，高为4cm的圆台，==124π（cm3）；其体积是V2以DC为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为7cm的圆柱去掉一个底面半径为4cm，高为3cm 的圆锥的组合体，==96π（cm3）．其体积是V320．设f（x）=ax2+bx，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】设f（﹣2）=mf（﹣1）+nf（1），由二次函数的解析式，可得a，b的恒等式，解方程可得m=3，n=1，再由不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=ax2+bx，可得f（﹣1）=a﹣b，f（1）=a+b，f（﹣2）=4a﹣2b，设f（﹣2）=mf（﹣1）+nf（1），则4a﹣2b=m（a﹣b）+n（a+b）=（m+n）a+（﹣m+n）b，可得，解得，即f（﹣2）=3f（﹣1）+f（1），由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣3+2≤3f（﹣1）+f（1）≤6+4，即﹣1≤f（﹣2）≤10．则f（﹣2）的范围是[﹣1，10]．21．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB 的长．【考点】HR ：余弦定理；7H ：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B ）]进而根据题设条件求得cosC ，则C 可求．（2）根据韦达定理可知a+b 和ab 的值，进而利用余弦定理求得AB ．【解答】解：（1）∴C=120°（2）由题设： ∴AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC•BCcosC=a 2+b 2﹣2abcos120°=∴22．已知数列{a n }的前n 项和为． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）通过与S n ﹣1=2n ﹣2（n ≥2）作差可知a n =2n ，进而验证当n=1时是否成立即可；（2）通过（1）可知b n =n•2n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）因为， 所以S n ﹣1=2n ﹣2（n ≥2），两式相减得：a n =2n ，又因为a 1=S 1=2满足上式， 所以； （2）由（1）可知b n =a n •log 2a n =n•2n ，所以T n =1•2+2•22+3•23+…+n•2n ，2T n =1•22+2•23+…+（n ﹣1）•2n +n•2n+1，两式相减得：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，所以Tn =（n+1）•2n+1﹣2．。
重庆市第十一中学2016-2017学年高一下学期期中考试(理
重庆十一中高2019级高一下期半期数学试题卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分今天努力学习的你,是为将来要想读懂“自然界这本用数学语言写成的伟大的书” 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（ ）A.写下对定理或公式的验证方法 B .把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C .用自己的语言来表述，不能照抄书上的D .把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上 2.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量)3,4(=，则向量BC =（ ） A. (7,4)-- B .(7,4) C .(1,4)- D .(1,4)3. 已知向量a ，b 满足||a =1，|b |=2，(3)a b -⊥(+)a b ，则向量a 与向量b 的夹角的余弦值为（ ） A.14 B .12 C .21- D .41- 4. 已知等比数列{}n a 中，3a ，7a 是方程2890x x -+=的两个根，则5a 等于（ ）A.3 B .3- C . 3或3-5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，若该匹马继续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总路程为（ ）A ．350里B ．1050里C ．32175里 D ． 32575里 6.已知等差数列{}n a , 公差0>d ，前n 项和为n S ，若()a a 941++=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），n S 取最小值时=n （ ） A ．6 B ．7 C ．12 D ．13 7. 在△ABC 中，若22222222a c b b c a b a -+-+=，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 8.已知数列{}n a 的前n 项和()*∈+=N n p a S n n2,若315=S,则实数p 的值为( )A ．1B ．0C ．-1D ．-29.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论不正确的是（ ）A 2=B ．1-=∙C 7=+ D ．()⊥+410.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则2S = ( )A ．34 B ．1 C ．43 D ．1211. 错误！未找到引用源。
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2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．223．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．34．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．38．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有盏灯”．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA ﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．20．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上【考点】V3：中国古代数学瑰宝．【分析】利用笔记的记录方法直接求解．【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确；要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确；用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确；没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误．故选：D．2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，问题得以解决【解答】解：从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，故x=8+13=21，故选：C3．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．3【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．4．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量=即可得出．【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．故选：A．5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．=a n即可可得a n+4【解答】解：数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．=a n．∴a2017=2017，可得a n+4故选：C6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，得•=0，展开后代入数量积公式得答案．【解答】解：∵=1，||=2，∴由⊥，得•=．即，解得cos＜＞．故选：A．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误；对于②，•（•表示与共线的向量，（•）•表示与共线的向量，显然•（•≠（•）•，故②错误；对于③，若，则（）=0，即，∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心，故③正确．故选B．8．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【考点】GZ ：三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理表示出cosB 及cosA ，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B ，由A 和B 都为三角形的内角，可得2A 与2B 相等或2A 与2B 互补，进而得到A 等于B 或A 与B 互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a 2+c 2﹣b 2=2ac•cosB ，b 2+c 2﹣a 2=2bc•cosA ，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A=2B 或2A +2B=180°，即A=B 或A +B=90°， 则△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 故选D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且（2b ﹣a ）cosC=ccosA ，c=3，，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB ﹣sinA ）cosC=sinCcosA ，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB ，由sinB ≠0，解得cosC=，结合范围0＜C ＜π，可求C 的值．由余弦定理得（a +b ）﹣3ab ﹣9=0，联立解得ab 的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】由于（2b ﹣a ）cosC=ccosA ，由正弦定理得（2sinB ﹣sinA ）cosC=sinCcosA ， 即2sinBcosC=sinAcosC +sinCcosA ，即2sinBcosC=sin （A +C ），可得：2sinBcosC=sinB ，因为sinB ≠0，所以cosC=，因为0＜C ＜π，所以C=．由余弦定理得，a 2+b 2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，又…②，将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得ab=或ab=﹣1（舍去），=absinC=，所以S△ABC故选：A．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a1008＞0，a1009＜0，由此能求出数列中值最小的项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∴数列中值最小的项是第1009项．故选：B．11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．【考点】93：向量的模．【分析】作出向量示意图，用三角形ABC的边表示出，，根据等比三角形的性质判断．【解答】解：取AB的中点D，BC的中点E，∵，，∴==，==，∴||=BC=2，故A正确；==1×2×cos120°=﹣1，故B正确；||=||=||=CD=，故C错误；=2+，∵，∴（2+）⊥，∴（4+）⊥，故D正确．故选C．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性．【分析】由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=﹣p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=﹣p，∴a2=﹣2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，∴a3=﹣4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，∴a4=﹣8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，a4=﹣8p，∴a5=﹣16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=﹣31p，∴p=﹣1．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，∴===．故答案为：．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有 2 盏灯”．【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】设顶层灯数为a 1，由题意得：q=2，利用等比数列前n 项和公式列出方程，能求出结果．【解答】解：设顶层灯数为a 1，由题意得：q=2，则=510，解得a 1=2． 故答案为：2．15．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1=﹣2017，﹣=2，则S 2017的值为 ﹣2017 ．【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】求出﹣=﹣=d=2，由此能求出S 2017．【解答】解：S 2009=，S 2007=，∴﹣=﹣=d=2，∵a 1=﹣2017，∴S 2017=na 1+d=﹣2017×2017+2017×2016=﹣2017．故答案为：﹣2017．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为﹣18．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用垂径定理可得在上的投影为﹣3，利用定义求出的值．【解答】解：∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，即DN⊥AC，∴CN•cos∠ACN=CD=AC=3，∴=AC•CN•cos=﹣6CNcos∠ACN=﹣6×3=﹣18．故答案为：﹣18．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）运用等差数列的性质和等比中项的定义，结合等差数列的通项公式，计算可得首项a1和公差d；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=2a2=8，即有a2=4，又因为a4为a2和a9的等比中项，可得a42=a2a9，即有4（4+7d）=（4+2d）2，解得a1=1，d=3（0舍去）；（2）由（1）可得，则．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1），可得﹣5+2t=1，解得t=2．k与垂直，可得（k）•（）=0，联立解得k．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．可得16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得k．【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，联立解得．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA ﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=即可（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．【解答】解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=∵0＜A＜π∴A=（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=b2+4﹣2b→b2﹣2b ⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，s△ABC==220．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，．当n≥2时，，故所求；（2）由，T n=b1+b2+b3+…+b n==．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围【解答】解：（1）向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，∴，即：﹣cosB=，∴cosB=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（2）由正弦定理，可得：== [sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA﹣sinA）=sin（A+）∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴1＜≤，故的取值范围为（1，]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证；（2）求得a n=2n﹣1，b n==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），即可求得λ的值．【解答】解：（1）证明：由题知S n=（a n+1）2，当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0．即当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2．则数列{a n}是等差数列．（2）由（1）知数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，∵b n==．则T n=+++…++，①∴T n=+++…++，②由①﹣②得T n=+2（++…+）﹣=+2•﹣，∴T n=3﹣；（3）∵=（3﹣+λ）•=﹣，∴数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列．2017年7月1日。