地区一诊理数答案(简)

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2023年甘肃省第一次高考诊断考试第一次理科数学答案

令Ｆ（ｘ）＝ｅ＋１ｘ２＋ｅｘ－２ｅｘｌｎｘ，２
则Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ＋ｅ－２ｅ（ｌｎｘ＋１）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ，由（１）知ｌｎｘ≤ｘ－１，由①知ｅｌｎｘ≤ｘ，即ｌｎｘ≤ ｅｘ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可
第一次诊断理科数学答案第５页（共６页）
得２ｌｎｘ＜ｅ＋ｅ１ｘ－１，所以Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ＞０，
ｃ＝７４
７ｅ＝ａｃ＝４９＝７９，
４
故选Ｄ．
１２．解：函数ｆ１（ｘ）＝ｘ２－１在（０，＋∞）上单调递增，且０＝ａ０＜ａ１＜ａ２＜… ＜ａ２０２３＝１，
所以Ｔ１＝ｆ１( ａ１) －ｆ１( ａ０) ＋ｆ１( ａ２) －ｆ１( ａ１) ＋… ＋ｆ１( ａ２０２３) －ｆ１( ａ２０２２)
由ＰＢ＝３，ＱＣ＝７，得Ａ( ３，０，０) ，Ｐ( ０，０，３) ，Ｑ( ０，４，７) ，所以Ａ→Ｐ＝( －３，０，３) ，Ａ→Ｑ＝
( －３，４，７) ，
{ｎ１·Ａ→Ｐ＝－３ｘ＋３ｚ＝０，
设平面ＡＰＱ的一个法向量为ｎ１＝( ｘ，ｙ，ｚ) ，则ｎ１·Ａ→Ｑ＝－３ｘ＋４ｙ＋７ｚ＝０，
１２分１９．（１２分）
解：（１）证明：在图乙中，过Ｍ作ＭＮ∥ＣＱ，交ＡＱ于Ｎ，连接ＰＮ，
则ＭＮ∥ＰＢ，所以Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｂ共面且平面ＭＮＰＢ∩平面ＡＰＱ＝ＰＮ，因为ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，所以ＡＣ＝５，又ＡＡ′Ａ′１Ａ１为正方形，所以ＱＣ＝７，ｔａｎ∠ＱＡＣ＝７５，
１８．（１２分）
解：（１）由频率分布直方图得：
第一次诊断理科数学答案第２页（共６页）
２（０．０２＋０．０３＋０．０５＋０．０５＋０．１５＋ａ＋０．０５＋０．０４＋０．０１）＝１，解得ａ＝０．１０．２分（２）由频率分布直方图得：这８００名学生中周平均阅读时间在 ( １２，１４] ，( １４，１６] ，( １６，１８] 三组内的学生人数分别为：８００×０．０５×２＝８０人，８００×０．０４×２＝６４人，８００×０．０１×２＝１６人，若采用分层抽样的方法抽取了１０人，则从周平均阅读时间在 ( １４，１６] 内的学生中抽取：８０＋６６４４＋１６×１０＝４人，现从这１０人中随机抽取３人，则Ｘ的可能取值为０，１，２，３，Ｐ（Ｘ＝０）＝ＣＣ３１３６０＝１２２００＝１６；Ｐ（Ｘ＝１）＝ＣＣ１４３１Ｃ０２６＝１６２００＝１２；Ｐ（Ｘ＝２）＝ＣＣ２４３１Ｃ０１６＝１３２６０＝１３０；Ｐ（Ｘ＝３）＝ＣＣ３１３４０＝１２４０＝３１０， ∴Ｘ的分布列为：

2024届绵阳市南山中学高三数学(理)上学期一诊考试卷附答案详析

2024届绵阳市南山中学高三数学（理）上学期一诊考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()UA B = ð（）A ．{}12x x <<B ．{}12x x ≤<C ．{}01x x <<D ．{}01x x <≤2．若复数5i43i z =-，则z =（）A ．34i 55+B ．34i55-+C ．34i 55--D ．34i 55-3．设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A ．15B ．30C ．45D ．604．已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．(),1-∞C ．[)0,1D ．(]0,15．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC6．执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A ．9B ．12C ．14D ．167．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈=⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．1515B 5C ．53D ．1539．函数π()412sin 2x x f x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．10．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数()1e x xf x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A ．40,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()0,1C ．[)1,1-D ．()1,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =．14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高200BC =m ，则山高MN =m ．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =.16．已知函数()y f x =是R 的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()1212f x f x x x ->-，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ②直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点④函数()y f x =在[7,5]--上为减函数则结论正确的有．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥．339S b ==，414b a =．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若11n n n c a b ++=⋅，求数列{}n c的前n 项和n T ．19．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20．已知函数()()e x f x a a x=+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．21．已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为24y x x =-+，曲线N 的方程为9xy =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线M ，N 的极坐标方程；(2)若射线00π:(0,0)2l θθρθ=≥<<与曲线M 交于点A （异于极点），与曲线N 交于点B ，且||||12OA OB ⋅=，求0θ．选修4—5：不等式选讲23．已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a ++≥．1．D【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<,由{|1}B x x =>得{|1}U C B x x =≤,所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2．C【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由()5i 43i 5i 34i 43i 2555z +===-+-，得34i55z =--．故选：C 3．C【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.4．B【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a ≤时，命题为真命题，当0a >时，需0∆>，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p 为真命题等价于不等式2210ax x ++<有解．当0a =时，不等式变形为210x +<，则12x <-，符合题意；当0a >时，Δ440a =->，解得01a <<；当a<0时，总存在x ∃∈R ，使得2210ax x ++<；综上可得实数a 的取值范围为(),1-∞．故选：B 5．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD=+ ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+ ，之后将其合并，得到3144BE BA AC=+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC=- ，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC=- ，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．A【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A 7．D【分析】根据题意可得1530507.5C λλ=⨯=⨯，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知1530507.5C λλ=⨯=⨯，所以50304157.5λ⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg 2lg23λ=，所以2lg220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--．故选：D ．8．A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴-，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.9．D【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为()|22|cos x x f x x -=-⋅，()22cos()()x x f x x f x --=-⋅-=，所以()f x 为偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，所以排除A ，C 选项；又1(2)4cos 204f =-<，所以排除B 选项，故选：D ．10．C【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．11．A【分析】切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001e e x x x xy x x +--=-，可得()201e x x m +=，设()()21e xx g x +=，求()g x '，利用导数求()g x 的单调性和极值，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1e x xf x +=可得()()2e e 1e e x x xx x x f x -⋅+-=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为()000e x xk f x -'==，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为：()000001e e x x x xy x x +--=-，因为切线过点()1,P m -，所以()0000011e e x x x x m x +--=--，即()201e x x m +=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，设()()21exx g x +=，则()()()2222211e e xxx x x x g x +-++'-+==由()0g x '>可得11x -<<，由()0g x '<可得：1x <-或1x >，所以()()21e xx g x +=在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，当x 趋近于正无穷，()g x 趋近于0，当x 趋近于负无穷，()g x 趋近于正无穷，()g x 的图象如下图，且()41e g =，要使y m =与()()21e xx g x +=的图象有三个交点，则40e m <<.则m 的取值范围是:40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.12．C【分析】由题意可先做出函数()f x 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()233f x x ¢=-．由()0f x ¢>，得1x <-，由()0f x '<，得10-<≤x ，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示．设()t f x =，则()m f t =，由图可知当3m >时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意．当3m =时，()m f t =的解是11t =-，23t =．1f x t =（）有2个不同的实根，2f x t =（）有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当13m ≤<时，()m f t =有3个不同的实根3t ，4t ，5t，且()321t ∈--,，(]41,0t ∈-，[)52,3t ∈．3f x t =（）有2个不同的实根，4f x t =（）有2个不同的实根，5f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有7个不同的实根，不符合题意．当11m -≤<时，()m f t =有2个不同的实根6t ，7t，且()631t ∈--,，[)71,2t ∈．6f x t =（）有2个不同的实根，7f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有5个不同的实根，符合题意．当3<1m -<-时，()m f t =有2个不同的实根8t ，9t，且()831t ∈--,，()901t ∈,，8f x t =（）有2个不同的实根，9f x t =（），有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当3m ≤-时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是[)1,1-．故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m 的讨论应有3m =，13m ≤<，11m -≤<，3<1m -<-，3m ≤-这几种情况,也是解题关键.13．103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.14．300【分析】先求,AC AMC ∠，由正弦定理得sin sin MCA AMCAM AC ∠∠=，最后由sin MN AM MAN =⋅∠可求.【详解】由题意，2002sin BCAC CAB ==∠，18045AMC MAC MCA ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理得32sin sin 2220032002MCA AMCAM AM AC AM ∠∠=⇒=⇒=m ，所以3sin 2003300MN AM MAN =⋅∠==m.故答案为：30015．3【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q =，196a =，即可求得6a 的值.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，由题意1q ≠，因为前3项和为168，故()3112311681a q a a a q-++==-，又()43251111a a a q a q a q q -=-=-，所以12q =，196a =，则561196332a a q ==⨯=.故答案为：3.16．①②④【分析】根据题意，利用特殊值法求得()20f =，进而分析得到1x =时函数()f x 的一条对称轴，，函数()f x 时周期为4的周期函数，且函数()f x 在[1,1]-上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是R 的奇函数，则()00f =，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当2x =，有()()0220f f ==，即()20f =，则有(2)()f x f x -=，即1x =时函数()f x的一条对称轴，又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 时周期为4的周期函数，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()1212f x f x x x ->-，可函数()f x 在[1,1]-上单调递增，对于①中，由()()2f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2019)504[(1)(2)(3)(4)]f f f f f f f f ++++=+++ ()(1)(2)(3)20f f f f +++==，所以①正确；对于②中，由1x =时函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 时周期为4的周期函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数()y f x =在[7,7]-上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6---，所以C 错误；对于④中，函数()y f x =在[1,1]-上为增函数且周期为4，可得()y f x =在[5,3]--上为增函数，又由5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7,5]--上为减函数，所以④正确.故答案为：①②④17．(1)()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)332⎡-⎢⎣【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A ，由最小正周期求出ω，并确定ϕ.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【详解】（1）解：根据函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象可得3A =1252632ππππω=-=⋅，所以2ω=.再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，所以3πϕ=，()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后，可得323sin 2333y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()343g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦又函数()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减∴3(0)2g =-，5324g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴3()34,332g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦∴函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域332⎡-⎢⎣.18．(1)13n n b -=，21n a n =-(2)13n n T n +=⋅【分析】（1）根据对数运算得13n n b b +=，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列{}n a 为等差数列，建立方程求出公差，从而可得{}n a 的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【详解】（1）∵313log 1log n n b b +-=，∴313log log (3)n n b b +=，则13n n b b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+知{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =，∴111327339a d a d +=⎧⎨+=⎩，得11a =，2d =．∴21n a n =-.（2）因为21n a n =-，13n n b -=，所以()11213n n n n c a b n ++=⋅=+，所以()()1231335373213213n nn T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅则()()23413335373213213n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅上面两式作差得()223123232323213n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅()()111913922132313n n n n n -++⎛⎫-⎪=+-+⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，∴13n n T n +=⋅19．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b =，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R ==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R ⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +-=⋅．②由①②得2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32ca =，当22,33c c a b ac ===时，333c ca b c+=<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD =，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A =∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b =，化简得2sin sin 3C A=．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a=．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a a DE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c +-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b a c c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c=．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC⋅=，2222(2)(1)9x y x y ++⋅-+=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||,||6,32a BC c BA b ====，由余弦定理得2227cos 212a c b ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.20．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1xx ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为()()e x f x a a x=+-，定义域为R ，所以()e 1x f x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1x f x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.（2）方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1a f aa x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a -'=-=，令()0g a '<，则20a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min2212ln 202222g a g ⎛⎛==--=> ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1xx ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x+=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a -'=-=，令()0g a '<，则20a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min2212ln 202222g a g ⎛⎛==--=> ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.21．(1)2y x =(2)(,1)-∞-【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【详解】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e x x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=（2）()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x xa xa x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -≤≤,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+≥,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=,令(),1,e x x h x x =>-则1(),1,e xxh x x -'=>-所以()x xh x e =在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()1()1e h x h ≤=，又ee10a-->，e 1e 10e e a af a -⎛⎫-≥-+⋅= ⎪⎝⎭，所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x ∈-=+-设()()e 2xh x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减，当()1,0x ∈-，()()1eh x h >-=-，又e 1e 10a -<-<，()e e 1e e 0af a a -<-=而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.22．(1)π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；2sin 218ρθ=(2)π4【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M 和N 的极坐标方程；（2）将0θθ=代入曲线M 和N 的方程，求得018||sin 2OB ρθ==0||4cos OA ρθ==，结合题意求得0tan 1θ=，即可求解.【详解】（1）解：由24y x x =-+224(0)y x x y =-+≥，即224(04,0)x y x x y +=≤≤≥，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得2π4cos (0)2ρρθθ=≤≤，所以曲线M 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．由9xy =，可得2cos sin 9ρθθ=，即2sin 218ρθ=，即曲线N 的极坐标方程为2sin 218ρθ=.（2）解：将0θθ=代入2sin 218ρθ=，可得018||sin 2OB ρθ==将0θθ=代入4cos ρθ=，可得0||4cos OA ρθ==，则012||||tan OA OB θ⋅=因为||||12OA OB ⋅=，所以0tan 1θ=，又因为0π02θ<<，所以0π4θ=．23．(1)7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见详解【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m =，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1）由题意可得：()31,11213,1131,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1x ≥时，则()318f x x =-<，解得23x ≤<；当11x -<<时，则()38f x x =-<，解得11x -<<；当1x ≤-时，则()318f x x =-+<，解得713x -<≤-；综上所述：不等式()8f x <的解集为7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）∵()()1112g x f x x x x =++---≥=，当且仅当[]1,1x ∈-时等号成立，∴函数()g x 的最小值为2m =，则2a b c ++=，又∵222a a b b a b b +≥⨯=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立；222b b c c b c c +≥⨯，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立；2222c c a a c a a +≥⨯，当且仅当2c a a =，即a c =时等号成立；上式相加可得：222222a b c b c a a b cb c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立，∴2222a b c a b c b c a ++≥++=.。

四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)解析版

高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，则∁U A=（）A. {5，6}B. {1，2，3，4}C. {2，5，6}D. {2，3，4，5，6}2.已知i是虚数单位，复数m+1+（2-m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A. （-∞，-1）B. （-1，2）C. （2，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）3.已知向量，且，则实数m=（）A. -4B. 4C. ±2D. ±44.展开式中的常数项是（）A. 189B. 63C. 42D. 215.已知，则（）A. b＜c＜aB. c＜b＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c6.函数f（x）=的图象大致是（）A. B.C. D.7.设曲线在处的切线与直线y=ax+1平行，则实数a等于（）A. -1B.C. -2D. 28.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，x2012y若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是，则可预测2019年捐赠的现金大约是（）A. 5.95万元B. 5.25万元C. 5.2万元D. 5万元9.执行如图所示的程序框图，如果输入n=2019，则输出的S=（）A.B.C.D.10.若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是（）A. B. C. D.11.已知，函数f（x）=sin（2ωx+）在区间内没有最值，则ω的取值范围（）A. B. C. D.12.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足，，则点集所表示的区域的面积是．（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，若a1=2，a2+a3=10，则a7=______．14.若函数f（x）=e x-x2-ax在区间（0，+∞）单调递增，则a的取值范围是______．15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为4，，则a=______．16.若函数在区间（0，2）上为减函数，则满足条件的a的集合是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．（1）若，a+c=10，求c；（2）若a=4，，求△ABC的面积S．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（2n-1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19.已知函数．（1）若b=1，当x＞0时，f（x）的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：a≥；（2）若f（x）在x=-2时取得极值0，求a+b．20.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值的百分数，若ε∈（0，10]，职工获得一次抽奖机会；若ε∈（10，20]，职工获得二次抽奖机会；若ε∈（20，30]，职工获得三次抽奖机会；若ε∈（30，40]，职工获得四次抽奖机会；若ε超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？21.已知函数f（x）=ln x-ax．（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；（2）若a=1，且f（x1）=f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．23.已知函数f（x）=|x-2|-t，t∈R，g（x）=|x+3|．（1）x∈R，有f（x）≥g（x），求实数t的取值范围；（2）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，正数a、b满足ab-2a-b=2t-2，求a+2b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了补集及其运算，是基础题.根据全集U，以及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，∴∁U A={2，5，6}．故选C.2.【答案】A【解析】解：∵复数m+1+（2-m）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得m＜-1．∴实数m的取值范围是（-∞，-1）．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵，∴=4+m2-16-4=0，解得m=±4．故选：D．根据即可得出，进行数量积和数量积的坐标运算即可求出m．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：展开式的通项公式为：T r+1=•（3x3）7-r•=•37-r•，令21-=0，解得r=6；所以展开式中的常数项是T7=•3=21．故选：D．利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中的常数项．本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：，，；∵3＜9＜16，在（0，+∞）上单调递增；∴；∴b＜c＜a．故选：A．容易得出，然后根据函数在（0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．考查分数指数幂和对数的运算，以及幂函数的单调性，增函数的定义．6.【答案】A【解析】解：x=1时，f（x）=0，又x=时，f（x）=，故选：A．利用特殊点代入确定．本题考查了函数图象变换，是基础题7.【答案】C【解析】解：∵切线与直线y=ax+1平行，斜率为a，又y'==，所以切线斜率k=f′（）=-2，所以y=ax+1的斜率为-2，即a=-2．故选：C．利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由表格中的数据求得，．∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.5=4.5m+0.35，解得m=0.7．∴线性回归方程为，取x=8，得．故选：A．由已知求得样本点的中心的坐标，代入求得m，则线性回归方程可求，取x=8求得y值即可．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=×（1-）+×（-）+…+（-）=×（1-）=．故选：B．由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，利用裂项法可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】A【解析】解：九个人排成三行三列的方阵，从中任选三人，共有取法=84三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列的取法有3!=6 种．所以，至少有两个数位于同行或同列的概率是P=1-=，故选：A．先求“三行三列的方阵中取三个数至少有两人位于同行或同列”的对立事件“三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列”包含的基本事件个数和基本事件总数，即可得到所求．本题考查了古典概型的概率，对立事件的概率性质，主要考查分析和解决问题的能力，以及推理转化能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：当f（x）取得最值时，2ωx+=+kπ，解得x=+，k∈Z；依题意得x=+∉（，），k∈Z；令+≤，k∈Z，解得ω≥+k，k∈Z；由题意知k=0时，ω≥；令+≥，k∈Z，解得ω≤+，k∈Z；当k=1时，ω≤；所以ω的取值范围是[，]．故选：C．f（x）取最值时2ωx+=+kπ，求出x的值，则x∉（，），由此列出不等式组求得ω的取值范围．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．12.【答案】D【解析】解：∵=cos∠AOB=1，∴cos∠AOB=，即∠AOB=60°．（1）若λ＞0，μ＞0，设=2，=2，则=+，∵|λ|+|μ|=λ+μ≤2，故当λ+μ=2时，E，F，P三点共线，故点P表示的区域为△OEF，此时S△OEF==2．（2）若λ＜0，μ＞0，设=-2，=2，则=-+，∵|λ|+|μ|=-λ+μ≤2，故当-λ+μ=2时，P，E，F三点共线，故点P表示的区域为△OEF，此时S△OEF=sin120°=2．同理可得：当λ＞0，μ＜0时，P点表示的区域面积为2，当λ＜0，μ＜0时，P点表示的区域面积为2，综上，P点表示的区域面积为24=8．故选：D．讨论λ，μ的符号，根据三点共线原理分别求出4种情况下，P点表示的区域面积即可得出答案．本题考查了平面向量的基本定理，考查分类讨论思想，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：依题意，a2+a3=10=2a1+3d=2×2+3d，∴d=2，∴a7=a1+6d=2+12=14，故答案为：14．根据题意，计算出公差d，即可得到所求．本题考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的基本量的运算，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】（-∞，2-2ln2]【解析】解：函数f（x）=e x-x2-ax在区间（0，+∞）单调递增，∴f′（x）=e x-2x-a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤e x-2x在区间（0，+∞）上恒成立，令y=e x-2x其在（0，+∞）上单调递增，∴y′=e x-2，当y′=0时x=ln2，∴0＜x＜lm2时，y′＜0函数递减，x＞ln2时，y′＞0；函数递增∴y min=e ln2-2ln2=2-2ln2，∴a≤2-2ln2；故答案为：（-∞，2-2ln2]．等价于f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，分离参数a后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值．该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．15.【答案】2【解析】解：由=8可得bc•cos（π-A）=8，即c•cos A=-2，①又S△ABC==4，即c•sin A=2，②由①②可得tan A=-1，故A=，c=2，∴a===2．故答案为：2．根据条件列方程组，求出c和A的值，再根据余弦定理求出a．本题考查了平面向量的运算，余弦定理，属于基础题．16.【答案】{4}【解析】解：①a＜0时，在（0，2）上是增函数，x趋向0时，g（x）趋向-∞；x趋向2时，g（x）趋向，∴f（x）在（0，2）上没有单调性，不合题意；②a=0时，f（x）=|x|在（0，2）上为增函数，不合题意；③a＞0时，在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴时，g（x）取得最小值，解得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a=4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，∴满足条件的a的集合是{4}．故答案为：{4}．容易判断出a＜0和a=0时，都不满足题意，a＞0时，在（0，）上是减函数，在（，+∞）时是增函数，g（x）在（0，+∞）上的最小值为，解即可得出a≥4，从而可判断a=4时满足题意，从而得出满足条件的a的集合．本题考查了对函数的单调性的讨论，函数单调性的定义，函数在（0，+∞）上的单调性和最小值，分类讨论的思想，考查了计算和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵，∴sin A cos C=（）cos A，化简得，因为sin B≠0，所以cos A=，sin A=，由正弦定理sin A：sin C=4：1=a：c，所以a=4c，又a+c=10，所以c=2；（2）由（1）知cos A=，sin A=，由余弦定理可得，cos A=，，得，得b=，则S=．【解析】（1）利用正弦定理，边化角，求出sin A，再求出c；（2）利用余弦定理求得b的一元二次方程，求出b，代入面积公式即可．考查了正弦定理和余弦定理的应用，解三角形，中档题．18.【答案】解：（1）∵S n=2a n-2，当n=1时，S1=2a1-2，∴a1=2当n≥2时，S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2两式相减得a n=2a n-2a n-1（n≥2），a n=2a n-1，n≥2．∵a1=2≠0，∴，n≥2．∴{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，∴．（2）由（1）知，，两式相减得，，∴．【解析】（1）S n=2a n-2，当n=1时，S1=2a1-2，可得a1．当n≥2时S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2，两式相减得a n=2a n-2a n-1（n≥2），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：由题可得：．（1）因为b=1，当x＞0时，f（x）的图象上任意一点的切线的斜率都非负；所以；即转化为∵∴∴．（2）因为f（x）在x=-2时取得极值0；所以：f'（-2）=3-6a+b=0且f（-2）=-2+6a-2b+2a2=0解得当a=1，b=3时，函数无极值；∴a=2，b=9，a+b=11．【解析】（1）根据已知条件把所求问题转化为导函数f'（x）的值恒大于等于0，再分离参数结合基本不等式即可得到结论；（2）根据f'（2）=0以及f（2）=0即可求出a，b；注意一定要检验．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了恒成立问题和转化的数学思想，是一道综合题，有一定的难度．20.【答案】解：（1）由题意得：，解得a=0.012，b=0.010，∴=60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20=125.6．（2）某职工日行步数ω=157（百步），≈25，∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，E（X）==1，在方案乙下E（X）==1.8，∴更喜欢方案乙．【解析】（1）利用频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，由此能估计该单位职工一天行走步数的平均值．（2）某职工日行步数ω=157（百步），≈25，从而职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，求出E（X）=1，在方案乙下，Xr可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E（X）=1.8，因而更喜欢方案乙．本题考查频率、平均数的求法，考查最佳方案的判断，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）①当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②；，（2）由（1）得：当a=1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴0＜x1＜1＜x2，将要证的不等式转化为，考虑到此时，x2＞1，，又当x∈（1，+∞）时，-f（x）递增，故只需证明-f（x2）＞-f（），即证-，设Q（x）=，则，=，==．当x∈（0，1）时，Q'（x）＜0，Q（x）递减．所以，当x∈（0，1）时，Q（x）＞Q（1）=0．所以，从而命题得证．【解析】（1）先对函数求导，然后对a进行分类讨论，结合导数与函数单调性关系即可求解，（2）结合（1）所得单调性及0＜x1＜1＜x2，将要证的不等式转化为，由x2＞1，，从而结合-f（x）在1，+∞）时的单调性，构造函数即可证．本题主要考查了利用导数判定函数单调性及证明不等式，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档试题．22.【答案】解：（1）⊙C1：ρ=2sinθ；⊙C2：ρ=-4sinθ；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），则=-sinθ（sin-cosθsin）=+3sinθcosθ==．∴当sin（）=1时，△OAB面积最大值为．【解析】（1）直接由图可得⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），代入三角形面积公式，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角形面积公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】解：（1）由x∈R，有f（x）≥g（x），得|x-2|-t≥|x+3|恒成立，所以t≤|x-2|-|x+3|，由||x-2|-|x+3||≤|x-2-x-3|=5，所以-5≤|x-2|-|x+3|≤5，所以t≤-5；（2）由不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，得|x-2|≤t，解得2-t≤x≤2+t，∴解得t=1，将t=1带入ab-2a-b=2t-2，整理得ab-2a-b=0，∴，所以a+2b=（a+2b）（）≥（1+2）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，故a+2b的最小值为9．【解析】（1）参数分离，利用绝对值不等式的性质求出即可；（2）先求出t=1，代入ab-2a-b=2t-2，得到关于a，b的方程，再用柯西不等式求出即可．考查绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，中档题．。

南充市高2023届高考适应性考试(一诊)理科数学试题【含答案】

南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}1,3,5,7,9,29M N x x ==>，则M N ⋂=（）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,92．若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．253．如图，在ABC ∆中，4BD DC =，则AD =（）A ．1455AB AC + B ．4155AB AC+uuur uuu r C ．1566AB AC + D ．5166AB AC+4．函数()21(21x x f x x -=+在33[,]22ππ-上的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．5．某建筑物如图所示，底部为A ，顶部为B ，点C ，D 与点A 在同一水平线上，且CD l =，用高为h 的测角工具在C ，D 位置测得建筑物顶部B 在1C 和1D 处的仰角分别为α，β.其中1C ，1D 和1A 在同一条水平线上，1A 在AB 上，则该建筑物的高AB =（）A ．()sin cos sin l h αββα+-B ．()cos cos sin l h αββα+-C ．()cos sin sin l hαββα+-D ．()sin sin sin l hαββα+-6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为258，则判断框内可填入的条件为（）A ．4?n ³B ．5?n ³C ．6?n ³D ．7?n ³7．在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种8．已知直线20kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围（）A.(]4,9 B.[)4,+∞ C.[)()4,99,+∞ D.()9,+∞9．已知数列满足212323n a a a na n ++++= ，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为（）A ．20224045B ．40464047C ．40444045D ．2023404710．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出下列五个命题：（1）该函数的值域是[1,1]-；（2）当且仅当222x k x k πππ=+=或(Z k ∈)时，该函数取得最大值1；（3）该函数的最小正周期为2π；（4）当且仅当222k x k ππππ-<<+(Z k ∈)时，()0f x >；（5）当且仅当[,]42x k k ππππ∈++(Z k ∈)时，函数()f x 单调递增；其中所有正确命题个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数3211()32f x x bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=的不同实根个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知13sin 3a =，1cos 3b =，1718c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =_________.14．若4()(1)x t x -+的展开式中3x 的系数为10，则t =.15．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为2，2,30AB BC ABC ==∠=︒，则此球的表面积等于_________.16．已知向量a 与b夹角为锐角，且2a b == ，任意R λ∈，a b λ-⋅ 的最小值为c满足()()0c a c b -⋅-= ，则c r 的取值范围为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本题满分12分）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量)sin m A A =，，()11n =- ，，且//m n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =，sin sin 0a B c A -=，求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格.赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”.某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷.该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m 的值，并计算这200人得分的平均值x （同一组数据用该区间中点值作为代表）；（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为23，未抽中奖的概率为13，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y 为他获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望.19．（本题满分12分）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =，90ABC ∠=︒，ADE △是等边三角形．现将ADE △沿AD 折起，连接EB ，当3EC =时得（如图2）的几何体．（1）求证：EAD ABCD ⊥平面平面；（2）在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．20．（本题满分12分）已知函数()()2ln 12ax f x x x x a =--+∈R ．（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．求证：1221x x a <．21．（本题满分12分）已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上一点.（1）求抛物线C 方程；（2）设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN ∆的内切圆方程为221x y +=，求PMN ∆面积的最小值.（二）在选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为=2cos =2sin x y αα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0m ρθρθ+-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2OA OB ⋅=，求实数m 的值．23．（本题满分10分）已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式()2f x x <的解集；（2）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足143a b c M ++=，求证：11116a b c++≥.南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112BCAADCACDCBA二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.3514.1-15.52π16.⎤⎦三.解答题17..解：（1）因为)sin m A A =，，()11n =- ，，//m n.所以sin A A =，..........................................................................................................2分可得tan A =(0,)A π∈．..........................................................................................4分所以23A π=..............................................................................................................................6分（2）sin sin 0a B c A -=由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得ab ca =...................................................................................................................................8分则b c =，又a =23A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得b c ==分所以211sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯=.........................................................12分18.解：（1）由频率分布直方图表，10(0.00250.00500.01000.01500.0200.0250)1m ++++++=得0.0225m =.......................................................................................................................2分53040504520103545556575859565200200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以这200人得分的平均值65x =....................................................................................5分(2)Y 的所有取值为0，100，200，300，............................................................................6分003311232233303211(0)()()3327216(100)()()33272112(200)()()3327218(300)()()3327P Y C P Y C P Y C P Y C ==⨯===⨯===⨯===⨯=....................................................................10分Y 0100200300P1272949827...............................................................................................................................................11分1241()0100200300200279932E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=............................................12分19.（1）取AD 中点O ,连接,OC OE ,易得OE AD ⊥,OC AD⊥.在COE ∆中，由已知3,2CE OC AB OE ====.222.OC OE CE OE OC +=∴⊥ 又OE AD ⊥，OC AD O ⋂=.................................................................................................................3分则OE ABCD ⊥平面........................................................................................................4分又OE ADE⊂平面故EAD ABCD ⊥平面平面得证 (6)分（2）以O为原点，分别以射线,,OC OAOE 为,,x y z 轴正半轴.建立如图所示空间直角坐标系.则(0,(0,0,A B DE则(0,(0,2EB AE AD ===-在棱EB 上的点F满足13EF EB=则13EF = ，(,)333AF AE EF =+=- .设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 令1z =，得平面ADF的一个法向量(m =-..............................................10分又平面EAD 的一个法向量(1,0,0)n =整理得cos ,=3m n 故二面角E AD F --的余弦值为3.....................................................................12分20.(1)解：()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 当1a =时，()()2ln 102x f x x x x x =--+>因为()()ln 0f x x x x '=->，()112f =-，()11f '=-..................................................2分所以()f x 在()(1,1)f 处的切线方程为：1(1)2y x +=--.即2210x y +-=......................................................................................................4分（2）由()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 得()()ln 0f x x ax x '=->........................................................................................5分因为函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．所以()ln 0f x x ax '=-=在(0,)+∞有两个不同的变号零点1x ，2x .不妨设120x x <<.由于1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得2211ln ()x a x x x =-，则2121()10ln x x x a x -=>...............................7分要证：1221x x a <只需证：2211221()ln x x x x x x -<2121ln x x x x -<只需证：21lnx x <=...............................................................................9分t =，则1t >，只需证：12ln t t t<-..................................................................10分构造函数1()2ln h t t t t=-+，(1)t >.因为22221(1)()10t h t t t t-'=--=-<，...........................................................................11分所以()h t 在(1,)+∞单调递减因为1t >，所以()(1)0h t h <=.故原不等式成立........................................................................................................12分21.解：（1）因为点()1,2Q 在焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上所以2221p =⨯.............................................................................................................................2分得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.....................................................................................................4分（2）设()00,P x y ，()1,M m -，()1,N n -，则直线PM 的方程为00(1)1y m y m x x --=++，即0000()(1)0y m x x y mx y --+++=........................................................................................5分因为直线PM 与圆221x y +=相切1=所以2220000(1)2(1)(1)0x m y x m x --+++=.............................................................................6分同理直线PN 与圆221x y +=相切得：2220000(1)2(1)(1)0x n y x n x --+++=.构造方程:2220000(1)2(1)(1)0x t y x t x --+++=，则1t m =，2t n =.02000020020020(1)002(1)211(1)1011x y x y m n x x x x m n x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+⎪+==⎨--⎪⎪++⋅==<⎪--⎪⎩.......................................................................................8分显然01x>0000 11122PMNS m n x x x x∆=-+=+=+=+ ....................................................................................................................................................10分令1xμ=-，则1xμ=+，0μ>PMNS∆==≥=.........................11分当且仅当42μμ==时，即03x=，取最小值.所以PMNS∆的最小值为分22.解：（1）因为曲线C满足参数方程为=2cos=2sinxyαα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）所以曲线C的直角坐标方程为：224x y+=(0)y≤...........................................................3分因为直线l的极坐标方程为cos sin0mρθρθ+-=．由cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l直角坐标方程为0x y m+-=......................................................................................5分(2)方法一：因为直线l与曲线C交于A，B两点，且2OA OB⋅=所以1cos2OA OBAOBOA OB⋅∠==⋅................................................................................................7分记O到l的距离为d.则2sin3dπ==.......................................................................................................................8分又0m<.所以m=分方法二：已知(0,0)O，设11(,)A x y，22(,)B x y.则2121212121212()()2()2OA OB x x y y x x m x m x x x m x x m⋅=+=+-⋅-=-++=....................6分2240x y x y m ⎧+=⎨+-=⎩得222240mx m x -+-=........................................................................................................7分122120042x x m m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=<⎨⎪-⎪⋅=⎪⎩所以222(4)2OA OB m m m ⋅=--+= ......................................................................................8分所以m =m =..........................................................................................9分综上：m =分23.解：（1）()122f x x x x=--+<12123212232x x x x x x x ≥-<<≤-⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-<--<<⎩⎩⎩或或................................................................................3分1(,)4x ⇔∈-+∞......................................................................................................................5分（2）()3112122132x f x x x x x x ⎧-≥⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩............................................................6分所以函数()f x 的最大值为3M =.已知正实数a ，b ，c 满足1413a b c M ++==....................................................................8分由柯西不等式得2222222111(16a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++≥=⎢⎥⎣⎦⎣⎦...................................................................................................................................................9分==时，即2a b c ==时，又41a b c ++=.所以当且仅当14a =，14b =，18c =时，等号成立..............................................................10分。

四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)解析版

高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x-1＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0}2.若，则cos2α（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7=28，则a4=（）A. 4B. 7C. 8D. 144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分必要条件5.函数f（x）=sin（ωx-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知函数f（x）=x3+（a-5）x2+（b+4）x，若函数f（x）是奇函数，且曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线与直线y=x+3垂直，则a+b=（）A. -32B. -20C. 25D. 427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y-1的最小值为（）A. -13B. -15C. -17D. -198.已知定义在R上的函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29.已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.10.设函数f (x)＝ae x－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.11.定义在[0，+∞)上的函数f(x)满足：当0≤x＜2时，f(x)＝2x-x2；当x≥2时，f(x)＝3f(x-2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，…，则a1b1+a2b2+…+a20b20的值为（）A. 19×320+1B. 19×319+1C. 20×319+1D. 20×320+112.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A. （0，12）B. （0，16）C. （9，21）D. （15，25）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若（+2）∥（2-），则实数λ=______．14.函数f（x）=A sin（ωx+φ），其中ω＞0，的图象如图所示，为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移______个单位．15.在△ABC中，AB=4，O为三角形的外接圆的圆心，若=x+y（x，y∈R），且x+2y=1，则△ABC的面积的最大值为______．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y=e x-2和x2=2py都相切，则实数p的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．18.函数f（x）=A sin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求φ；（2）计算f（1）+f（2）+…f（2019）．19.设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=-2（n∈N*）．20.已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若不等式f（x）≤kx对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.已知函数f（x）=a ln x（a≠0），g（x）=x-．（1）当a=2时，比较f（x）与g（x）的大小，并证明；（2）令函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2，若x=1是函数F（x）的极大值点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|2x-1|-|x-a|，a≤0．（1）当a=0时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．24.设函数f（x）=|x+3|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M，（1）求M；（2）当x∈M时，f（x）≥a|x-1|恒成立，求正数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题得N={x|x＜1}，所以M∩N={-1，0}．故选：D．先化简集合N，再求M∩N得解．本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2.【答案】D【解析】解：∵，∴cos2α=．故选：D．由已知直接利用二倍角的余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的余弦，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，S7=28===7a4，所以a4=4．故选：A．根据等差中项的性质，将S7转化为a4的算式，解方程即可．本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin（ωx-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，ωx-,根据题意得，，解得，所以正整数ω的最小值是3.故选：B．直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以a=5．由题得f′（x）=3x2+（b+4），∴k=f′（3）=b+31，因为切线与直线y=x+3垂直，所以b+31=-6，所以b=-37．所以a+b=-32．故选：A．先根据函数是奇函数求出a的值，再根据切线与直线垂直得到b的值，即得a+b的值．本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7.【答案】B【解析】解：先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A（0，3），B（2，0），C（0，-3），D（-2，0），当直线z=7x+3y-1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y-1最小是：-15，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=7x+3y-1表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解，方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点，设h（x）=2x-2+22-x+|x-2|，由h（x）=h（4-x），可得函数h（x）关于直线x=2对称，若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，则a=h（2）=2，故选：D．由函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化得：函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解，方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点，由函数图象的性质得：设h（x）=2x-2+22-x+|x-2|，由h（x）=h（4-x），可得函数h（x）关于直线x=2对称，若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，则a=h（2）=2，得解．本题考查了函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化及函数图象的性质，属中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的通项公式的求法，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n=2n．求得m+n=6，=（m+n）（）=（10++），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．【解答】解：S n=2a n-2，可得a1=S1=2a1-2，即a1=2，n≥2时，S n-1=2a n-1-2，又S n=2a n-2，相减可得a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n=2n．a m a n=64，即2m•2n=64，得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=，当且仅当=时取等号，即为m=，n=．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则＞，验证可得，当m=2，n=4时，取得最小值为．故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题.函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点．【解答】解：函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g（x）=，x∈[0，π]，则g′（x）=，当0≤x时，g′（x）＞0，当＜x≤π时，g′（x）＜0，即g（x）在[0，）为增函数，在（，π]为减函数，又g（0）=0，g（π）=0，g（）=，则可得实数a的值为，故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的极值的求法，以及数列的错位相减法求和，考查等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．由二次函数的最值求法，可得f（x）的最小极大值点和极大值，再讨论x的范围，可得其余的极大值点和极大值，再由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=2x-x2=1-（x-1）2，可得f（x）的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x＜4，即有0≤x-2＜2，可得f（x）=3f（x-2）=3[1-（x-3）2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x＜6，即有0≤x-4＜2，可得f（x）=9f（x-4）=9[1-（x-5）2]，可得a3=5，b3=9，…即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+…+a20b20=1•1+3•3+5•9+…+39•319，3S20=1•3+3•9+5•27+…+39•320，相减可得-2S20=1+2（3+9+27+…+319）-39•320=1+2•-39•320，化简可得S20=1+19•320，故选：A．12.【答案】A【解析】【分析】作出函数f（x）的图象，由图象及对称性可得，x1x2=1，x3+x4=12，即为x4=12-x3，2＜x3＜4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围．本题考查分段函数的运用：求取值范围，考查正弦函数的对称性和应用，以及二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），可得-log2x1=log2x2，即有x1x2=1，且x3+x4=2×6=12，即为x4=12-x3，2＜x3＜4，则=（x3-2）（x4-2）=（x3-2）（10-x3）=-（x3-6）2+36，可得在（2，4）递增，即所求范围为（0，12）．故选A．13.【答案】【解析】解：向量，，则+2=（0，2λ-1），2-=（-5，-λ-1），又（+2）∥（2-），所以0×（-λ-1）-（-5）×（2λ-1）=0，解得实数λ=．故答案为：．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据函数的图象：A=1，由于，整理得，所以ω=，当时，φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ-（k∈Z），由于，当k=1时φ=．所以f（x）=sin（3x+），所以为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位即可．故答案为：．首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】8【解析】解：取AC的中点D，因为=x+y（x，y∈R），所以=，又因为x+2y=1，所以B，O，D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD=DC=m，则BD=，所以S△ABC===8，当且仅当m=2时取等号．故答案为：8．先取AC的中点D，根据已知得到B，O，D三点共线，且BD⊥AC，设AD=DC=m，求出△ABC面积的表达式，再利用基本不等式求其最大值即可得解．本题主要考查平面向量的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．16.【答案】0＜p＜2【解析】解：恰有两条不同的直线与曲线y=e x-2和x2=2py都相切，可得y=e x-2和x2=2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=，设f（x）=，f′（x）=，可得0＜x＜2时，f（x）递减；x＞2或x＜0时，f（x）递增，即有f（x）的极小值为f（0）=0，极大值为f（2）=4，则0＜2p＜4，可得0＜p＜2．故答案为：0＜p＜2．由题意可得y=e x-2和x2=2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=，设f（x）=，求得导数和单调性、极值，即可得到p的范围．本题考查导数的运用：求切线和单调性、极值，考查曲线的交点的判断，化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）a sin=b sin A，即为a sin=a cos=b sin A，可得sin A cos=sin B sin A=2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos=2sin cos，若cos=0，可得B=（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin=，由0＜B＜π，可得B=；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，由余弦定理可得b==，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面积S=ac•sin=a∈（，）．【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．18.【答案】解：（1）函数f（x）=A sin2（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ），由y=f（x）的最大值为2，则A＞0，且+=2，解得A=2；又f（x）图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω＞0，所以•=2，解得；所以f（x）=1-cos（x+2φ），又y=f（x）过（1，2）点，所以1-cos（+2φ）=2，求得cos（+2φ）=-1，所以sin2φ=1，解得2φ=2kπ+，k∈Z；所以，k∈Z，又，所以；（2）由，所以y=f（x）=1-cos（x+）=1+sin x；所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，又y=f（x）的周期为4，且2019÷4=504…3，所以f（1）+f（2）+…+f（2019）=504×4+3=2019．【解析】（1）化函数f（x）为余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出A、ω和φ的值；（2）由（1）写出y=f（x）的解析式，再根据函数f（x）的周期性计算f（1）+f（2）+…+f （2019）的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数值的计算问题，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2-q-2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==-2．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{a n}的通项公式可求；等差数列{b n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（Ⅱ）（i）由等比数列的前n项和公式求得S n，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{S n}的前n项和为T n；（ii）化简整理，再由裂项相消法证明结论．20.【答案】解：（1）定义域为（0，+∞）.，令，得x=e．f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．f（x）的极大值为，无极小值．（2）∵x＞0，，∴，令，又，令h'（x）=0，解得，h（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．当时函数h（x）有最大值，且最大值为，所以．【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性以及函数的极值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值然后推出k即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：（1）a=2时，设F（x）=2x lnx-x2+1，F（1）=0．则x＞0，F′（x）=2（1+ln x-x），令u（x）=1+ln x-x，u′（x）=-1=，可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．∴F′（x）=2（1+ln x-x）≤0，∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，∴0＜x＜1，F（x）＜0，即2x lnx＜x2-1，∴2ln x＜x-．x=1时，可得2ln x=x-．x＞1时，2ln x＞x-．（2）函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2=-=a2ln2x-x-+2．F′（x）=-1+．∵x=1是函数F（x）的极大值点，∴x＞1时，F′（x）=-1+＞0.0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．①x＞1时，F′（x）=-1+＞0．化为：a2＜，令h（x）=，x＞1．h′（x）=，令u（x）=x2ln x+ln x-x2+1，u′（x）=2x lnx-x+=v（x），v′（x）=2ln x+1-＞0．∴u′（x）＞v（1）=0．∴u（x）＞u（1）=0．∴h′（x）＞0．∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增．∴x→1时，→=2，∴a2≤2，可得a2≤4．②0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．同理可得：4≤a2．综上可得：a2=4，解得a=±2．∴a的取值范围是{-2，2}．【解析】（1）a=2时，设F（x）=2x lnx-x2+1，F（1）=0．x＞0，F′（x）=2（1+ln x-x），令u（x）=1+ln x-x，利用导数研究函数F（x）在（0，+∞）上单调性，即得出大小关系．（2）函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2=-=a2ln2x-x-+2．F′（x）=-1+．根据x=1是函数F（x）的极大值点，可得x＞1时，F′（x）=-1+＞0.0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）＜1化为|2x-1|-|x|-1＜0．．当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；当时，不等式化为x＞0，解得；当时，不等式化为x＜2，解得；综上，f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由题设可得所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为（，0），（1-a，0），，该三角形的面积为×[（1-a）-（）]×|a-|=．由题设，且a＜0，解得a＜-1．所以a的取值范围是（-∞，-1）．【解析】（1）将a=0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围再合并；（2）由a≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于，解出a的范围即可．本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，属于中档题．24.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+3|+|x-1|，当x≤-3时，f（x）=（3-x）-（x+1）=-2-2x，不等式f（x）≤6化为-2-2x≤6，解得x≥-4，此时，-4≤x≤-3；当-3＜x＜1时，f（x）=3-x+x+1=4＜6，恒成立；当x≥1时，f（x）=x-3+x+1=2x+2，不等式f（x）≤6化为2x+2≤6，解得x≤2．综上所述，不等式f（x）≤6的解集为[-4，2]，即M=[-4，2]；（2）当-4≤x≤-3时，f（x）=-2x-2，不等式f（x）≥a|x-1|化为-2x-2≥-a（x-1），即a≤，∴a≤2+，求得a≤1；当-3＜x＜1时，f（x）=4，不等式f（x）≥a|x-1|化为4≥-a（x-1），即a≤，求得0＜a≤1；当x=1时，f（x）=4，不等式f（x）≥a|x-1|化为4≥0，恒成立，此时a＞0；当1＜x≤2时，f（x）=2x+2，不等式f（x）≥a|x-1|化为2x+2≥a（x-1），即a≤，∴a≤2+，求得0＜a≤6．综上所述，a的取值范围是（0，1]．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f（x）≤6的解集即可；（2）分别讨论x的取值，从而求出不等式f（x）≥a|x-1|恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．。

高三数学一诊考试试题理含解析试题

2021届高三数学一诊考试试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

{1,0,1,2,3}M =-，{}2|20=-N x x x ，那么MN =〔〕A. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】C 【解析】【分析】求出N 中不等式的解集确定出N ，找出M 与N 的交集即可．【详解】由N 中不等式变形得：x 〔x ﹣2〕≤0，解得：0≤x ≤2，即N ＝[0，2]， ∵M ＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴M ∩N ＝{0，1，2}，应选C ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．212ii+=-〔〕 A. i B. -iC.4i 5+ D.4i 5- 【答案】A 【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵()()()()21222241212125i i i i ii i i i +++-++===--+．应选A ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．()()121a b m =-=-，，，，假设a b λ=〔λ∈R 〕，那么m ＝〔〕A. -2B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标运算计算即可．【详解】∵向量()()121a b m =-=-，，，，a b λ=〔λ∈R 〕，∴()12-，＝λ()1m -，， ∴12mλλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，应选C ．【点睛】此题考察了一共线向量的坐标运算，属于根底题．{}n a 的前n 项和为n S ，假设2466++=a a a ，那么7S=〔〕A .7B. 14C. 21D. 42【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：a 4＝2，而由求和公式可得S 7＝7a 4，代入可得答案．【详解】由等差数列的性质可得：2a 4＝a 2+a 6，又2466++=a a a ，解得a 4＝2，而S 7()17477222a a a +⨯===7a 4＝14 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的性质和求和公式，属根底题． 5.,a b ∈R ，那么“0a b <<〞是“11a b>〞的〔〕 A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【详解】假设11a b >，即b a ab->0， ∴00b a ab ->⎧⎨⎩＞或者00b a ab -<⎧⎨⎩＜，即a ，b 同号时：a <b ，a ，b 异号时：a >b ，∴当a <b<0时，11a b >成立，但11a b>成立，不一定有a <b<0，所以“0a b <<〞是“11a b>〞的充分不必要条件应选A ．【点睛】此题考察了充分必要条件，考察不等式问题，是一道根底题． 6.执行右图所示的程序框图，那么输出的n =〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】第一次执行循环体后，n＝1，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件，故输出的n值为5，应选C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．7. 1.22a =，0.43b =，8ln 3=c ，那么〔〕 A. b a c >>B. a b c >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】B 【解析】【分析】容易得出 1.20.4822132013ln ><<<，，＜，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】 1.210.50.40822223331013a b c ln lne =>=>>==<==，＞，＜； ∴a ＞b ＞c ．应选B ．【点睛】此题考察指数函数、对数函数的单调性，考察了比拟大小的方法：中间量法．3()e 1=+xx f x 的图象大致是〔〕 A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进展排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f 〔x 〕<0．排除AC ，f ′〔x 〕()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′〔x 〕()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈〔0，2〕，g ′〔x 〕＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈〔2，+∞〕，g ′〔x 〕＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0，存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈〔0，0x 〕，g (x )>0，即f ′〔x 〕＞0，函数f 〔x 〕是增函数，当x ∈〔0x ，+∞〕，g (x )<0，即f ′〔x 〕＜0，函数f 〔x 〕是减函数， ∴B 不正确，应选D ．【点睛】此题考察函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点〔3，4〕，那么sin 2α=〔〕 A. 1225-B. 725-C.725D.2425【答案】B 【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转4π后经过点〔3，4〕，∴345cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴27212?2242542cos cos cos sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴7225sin α=-，应选B ．【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考察了逻辑思维才能，属于根底题．()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，那么ϕ的最小值为〔〕A.12πB.6π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】【分析】由正弦函数图象的性质可得φ＝23k ππ-，〔k ∈z 〕再求解即可．【详解】由f (x )＝sin 〔2x +φ〕，令23π⨯+φ＝kπ，〔k ∈z 〕得：φ23k ππ=-，〔k ∈z 〕又φ＞0，所以k =1时那么φmin 3π=，应选C ．【点睛】此题考察了正弦函数图象的性质，属简单题．a =22b a b =⋅=-，，.假设1c a b --=，那么c 的取值范围是〔〕A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,3]D. [1,3]【答案】D 【解析】【分析】由题意得到a ，b 是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =，OB b =， O C c =，利用向量加减法的几何意义求出C 的轨迹，那么可求得c 的取值范围. 【详解】因为向量a =22b a b a b cos θ=⋅==-，，可得12cos θ=-，所以a ，b 是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =，OB b =， O C c =，那么A ，B 在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图，不妨令A 〔2，0〕，那么B 〔-13，那么13OA OB OD +==，，那么1c a b OC OA OB OC OD DC --=--=-==，所以C 在以D 为圆心，1为半径的圆上，c OC =，即求以D 为圆心，1为半径的圆上的动点C 到〔0，0〕的间隔的最值问题，又|OD |2=．所以OC ∈[21-，21+]= [1，3]，应选D ．【点睛】此题考察了向量加减法的几何意义的应用，考察了动点的轨迹问题，考察了转化思想，解题时我们要根据题目中的条件，选择转化的方向，属于中档题.R 上的可导函数()f x 满足(2)()22-=-+f x f x x ，记()f x 的导函数为()f x '，当1x 时恒有()1f x '<.假设()(12)31---f m f m m ，那么m 的取值范围是〔〕A. (],1-∞-B. 1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C. [)1,-+∞D.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】令g 〔x 〕＝f 〔x 〕-x ，求得g 〔x 〕＝g 〔2﹣x 〕，那么g 〔x 〕关于x =1对称，再由导数可知g 〔x 〕在1x 时为减函数，化f 〔m 〕﹣f 〔1﹣2m 〕≥3m ﹣1为g 〔m 〕≥g 〔1﹣2m 〕，利用单调性及对称性求解．【详解】令g 〔x 〕＝f 〔x 〕-x ，g ′〔x 〕＝f ′〔x 〕﹣1，当x ≤1时，恒有f '〔x 〕＜1．∴当x ≤1时，g 〔x 〕为减函数，而g 〔2﹣x 〕＝f 〔2﹣x 〕-〔2﹣x 〕， ∴由(2)()22-=-+f x f x x 得到f 〔2﹣x 〕-〔2﹣x 〕=f 〔x 〕-x∴g 〔x 〕＝g 〔2﹣x 〕．那么g 〔x 〕关于x =1对称，由f 〔m 〕﹣f 〔1﹣2m 〕≥3m ﹣1，得f 〔m 〕-m ≥f 〔1﹣2m 〕-〔1﹣2m 〕，即g 〔m 〕≥g 〔1﹣2m 〕，∴1121m m -≥--，即-113m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是[﹣1，13]．应选D ．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

2023届达州一诊理科数学参考答案

达州市普通高中2023届第一次诊断性测试理科数学参考答案一、选择题：1.A 2.C3.D4.C5.D6.A7.B8.C9.D10.D 11.B12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．7014．12415．416．1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)由表知x 的平均数为1234535x ++++==．522221((13)(23)(53)10i i x x =∴-=-+-++-=∑．5()0.98iix x y y r --=∑．75.098.0> ,∴y 与x 具有较高的线性相关程度．(2)设增长率为p ，则1.8(1)p +≥1.98,解得p ≥0.1．∴min 0.110%p ==．该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为10%．18．解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，∵0n a >，∴0q >，∴由342a a =得3131)(q a q a =．∴11=a ．∵12n n S S m -=+，∴212S S m =+，322S S m =+，32212()S S S S -=-，即322a a =，∴223==a aq ．所以1112()n n n a a q n --*==∈N ．(2)∵212S S m =+，∴1212a a a m +=+，∴112=-=a a m ．∴1(12)21()12n n n S n *⋅-==-∈-N ．∴1112211(21)(21)2121n n n n n n n n m m S S +++⋅⋅==-⋅----．∴12231111111()()()212121212121n n n T +=-+-++------ 12111--=+n ．19．(1)证明：∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PE AB ⊥．∵AB BC ⊥，AD BC ∥，∴AB AD ⊥．又E AD PE = ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PA ⊂平面PAD ，∴PA AB ⊥．取P A的中点M，连接EM，FM，∵F为PB的中点，∴FM AB∥．∴FM PA⊥．∵tan2PDA∠=-，∴tan2PDE∠=，∴2=DEPE，∴ADDEPE22==，∴D为AE的中点，∴PE AE=，∴EM PA⊥．又MFMEM=，∴PA⊥平面EFM．∵EF⊂平面EFM，∴EF PA⊥.(2)解：∵222BC AD DE===，∴2PE=.∴BC AE∥，且BC AE=，∵AB BC⊥，∴四边形ABCE为矩形，∴CE⊥平面PAE.1111123323E PDC P DEC DECV V S PE CE--==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴1=CE.以E为原点，分别以EA，EC，EP方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Exyz．则D(1 0 0)，，，C(0 1 0)，，，1(1 1)2F，，，∴(1 0 0)ED=，，,1(1 1)2EF=，，易知1(0 0 1)=，，n是平面DEC的一个法向量．设平面FDE的一个法向量为2(z)x y=，，n，∴22EDEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，nn，即102xx y z=⎧⎪⎨++=⎪⎩，．不妨取2y=-，得2(021)=-，　，　n．∴1212125cos||||5⋅<>===⋅，n nn nn n．由图知二面角CDEF--的平面角为锐角，∴二面角CDEF--的余弦值为5. 20．解：(1)由题知1(1 0)F-，，2(1 0)F，.设1F关于直线l的对称点坐标为()x y''，，则11122yx ky xk'⎧=-⎪⎪'+⎨''-⎪=⋅⎪⎩，解得2221121kxkkyk⎧-'=⎪⎪+⎨⎪'=-⎪+⎩．根据条件得2222222(1)412(1)(1)k kk k-+=++，解得21k=，即1k=．(2)设1122(),()M x y N x y，，.把y x=带入椭圆C方程得A,B的坐标为66)33，()33--.由已知得直线MN的方程为1(1)y k x=-①交线段AB于D,16633k，即2-12k≤≤．设()D DD x y，，在①中令y x=，得111Dkxk=-，∴121||)1kF Dk=--1=．AB CMEFPDxyz把①代入2212x y +=并化简得2222111(12)4220k x k x k +-+-=．0∆>，221112122211422,1212k k x x x x k k -+=⋅=++.∴211221)|||12k MN x x k +=-=+．∴222||||F D MN =．令11t k =-，则22121121223()(1)33k k t +=-+-，当，32t =即112k =-时，212112(1)k k +-取得最小值23．所以22||||F D MN的最小值为6．21．解：(1)由()e ln mx f x x x -=-得0x >，且1()e e mx mx f x mx x --'=--．∵1x =是函数()f x 的极值点，∴(1)e e 10m m f m --'=--=，即110em m--=．设11()1e x x f x -=-，则12()ex x f x -'=．当2x <时，1()0f x '<，1()f x 单调递减，当2x >时1()0f x '>，1()f x 单调递增．又当2x >时，1()0f x <，且1(0)0f =，∴0m =．当0m =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-．若01x <<，()0f x '<，()f x 单调递减；若1x >，()0f x '>，()f x 单调递增，∵(1)0f '=，∴1x =是()f x 的极小值点．所以()f x 的单调减区间为(0 1]，，增区间为[1 )+∞，．(2)证明：∵12m <-，0x >，∴12mx x ->，∴12e e x mx->．∴12()eln e ln x mxf x x x x x -=->-．构造函数12e()x g x x=，则122(2)e ()2x x g x x -'=，当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．由于(2)0g '=，∴min e ()(2)2g x g ==．设2ln ()1x h x x =+，则312ln ()xh x x-'=，当0x <<时，()0h x '>，()h x单调递增，当x >时，()0h x '<，()h x单调递减．由于0h '=，∴max ()h x h ==112e+．∵2e 1e 2e 1(1)022e 2e---+=>，∴min max ()()g x h x >，∴()()g x h x >，∴12e x x >2ln 1x x +，即122e ln x x x x ->．∴2()f x x >．所以曲线()y f x =上所有的点都在抛物线2x y =内．22．解：(1)将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入C 的极坐标方程22cos ρρθ-2sin 20ρθ--=得曲线C 为222220x y x y +---=，即4)1()1(22=-+-y x ．…4分(2)易知点P 在直线l 上，将直线l 的参数方程2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数代入曲线C 方程得4)sin 1()cos 1(22=+++θθt t ，整理得02)cos (sin 22=-++t t θθ．设点A ，B 对应该的参数分别为1t ，2t ，则)cos (sin 221θθ+-=+t t ，0221<-=t t ，由参数t 的几何意义不妨令||||1P A t =,||||2PB t =．∴||||||||||2121t t t t PB P A -=+=+122sin 44)(21221+=-+=θt t t t ．当12sin -=θ，即ππ()4k k θ=-∈Z 时，22|)||(|min =+PB P A ．23．(1)解：不等式可化为|1|||22-+>m x x ，∴|1||1|-+>-m x x ，两边同时平方可得222m m mx -<．原不等式解集为{|0}x x <，∴0>m ，即21m x -<．∴021=-m，2=m ．(2)解： )()(b f a f =，∴|1||1|22--=b a ，|1||1|-=-b a ．)1(2)1(||x f x f x -==+，∴)(x f y =关于直线1=x 对称，∴b a <<<10，∴11-=-b a ，即2=+b a ．所以1)1(45)1114(-+-+=-+-+b a a b b a b a ≥9425=+，当且仅当1)1(4-=-b aa b ，即34,32==b a 时取“=”，∴114-+b a 的最小值为9．。

四川省南充市高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)答案

2024届南充一诊理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDCABABDBDCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．1 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项21131 3246262q a q a q a a a a +=+=∴即0622=--q q 整理得：解得：2=q 或23-=q .2211n n n q a a q =⋅==-时，当.)23(2231-11n n n q a a q -⋅=⋅=-=-时，当*).( 23(221-N n a a n n n n ∈-⋅==∴或（2）:由(1)得，若0>q ，nn a 2=111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=分4 分6 分8 分12 分4故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.再从6人中随机抽出4人，则抽出的4人中可能有以下3种组合：①有慢性疾病4人；此时8=ξ万元②有慢性疾病3人，无有慢性疾病1人；此时7=ξ万元③有慢性疾病2人，无有慢性疾病2人；此时6=ξ万元所以ξ的可能取值为6 7 8，，故151)8(4644===C C P ξ；158)7(461234===C C C P ξ；156)6(462224===C C C P ξ故ξ的分布列为：ξ876P15115852则ξ的数学期望32052615871518)(=⨯+⨯+⨯=ξE (万元)19(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 分5 分6 分8 分11 分12 分6 分2 分4方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2)取BC 的中点M ，连结FM AM ,.90=∠BCD 2==∴FB CF ，BCD DE DE AF 平面，⊥// BCD AF 平面⊥∴CFAF ⊥∴222==AF CF ，又3222=+=∴CF AF AC AB AC =∴的平面角为二面角的中点为D BC A AMF AMBC MF BC BC M --∠∴⊥⊥∴, 22tan ==∠∆∴MFAFAMF AFM Rt 中，3221==∴=∴BC CD FM ，分2 分5 分6 分4 分8方法一：以轴，为轴，为为坐标原点，y CB x CD C 建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，()() 0,0,2 0,0,0，，D C ∴ )22,3,1( )22,0,2(，，A E ).0,32,0(B )0,32,0( )22,3,1( )22,0,2(===∴CB CA CE ，，设平面ABC 的法向量),,( z y x n =, 0 0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅CB n CA n 由 0320223⎩⎨⎧==++y z y x 得1-=z 取得：)1,0,22( -=n 设直线CE 与平面ABC 所成角为θ,9633222222 , cos sin =⨯-⨯=⋅⋅=><=CEn CE n CE n θ则∴直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96.方法二：过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C 32===CA BC AB 又ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.222==∆CD DE CDE Rt ，中，又分12 分10 分10 分11分12 分2 分6 分1 分4 32=∴CE 所以直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96=CE h 注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20题：(1).由2sin )( 2)(≥≥x x mf x h 得：恒成立时xexm x sin 2 ),0(≥∈∴π)0( sin 2)(πϕ<<=x exx x令xe x x x )sin (cos 2)(-='∴ϕππϕπϕ<<<'<<>'x x x x 4:0)(40:0)(得；由得由上单调递减，上单调递增；在，在)4()4 0()(πππϕx 4 max )4()(ππϕϕ-==∴e x 所以),[ 4+∞-πem 的取值范围为(2).由已知)(x f 与)(x g 的图像关于直线x y =对称x x g ln )(=∴设公切线与),()(s x e s e x f 相切于点=，)ln ,(ln )(t t x x g 相切于点与=：知公切线可分别表示为，由xx g e x f x 1)()(='=')1()(s e x e y s x e e y ssss-+=-=-，即或1ln 1)(1ln -+=-=-t x ty t x t t y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴②①1ln )1( 1t s e te s s 1)1(s s e t s --=-得：由①②消去01)1( =---s s e s 即则令 ,1)1()(---=x e x x F x1)(，-='x xe x F 显然0)(0<'≤x F x 时，时，当0>x ，令1)()(-='=x xe x F x μ上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ分5 (*)8 分分11 分10 分5 分12 分1 分6 又01)1(01)0(>-='<-='e F F ，01)( )1 0(0000=-='∈∃∴x e x x F x 使得，单调递减，时，当)(0)(0x F x F x x <'<∴；单调递增，时，当)(0)(0x F x F x x >'>02)1(013)2(2<-=->+-=-eF e F ，又；03)2(02)1(2>-=<-=e F F ，所以)(x F 有且仅有两个零点 ,21x x ，且).2,1( ),1,2(21∈--∈x x 知：由01)1()(1111=---=x e x x F x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x F 111)1,2(x x x -≠--∈知由02121=+=-∴x x x x 即)(x f ∴与)(x g 有且仅有两条公切线，且)(x f 图像上两切点横坐标互为相反数.处理的解法，评分标准酌情题过程可参照文科再构造函数证明，具体或得：或由①②消去或得：处由①②消去注：)2(20 011ln 01ln )1( 11011 (*) =-+-=----+==-+-t t t t t t s s s e s s e t s s 21解：(1).显然四边形ABCD 为菱形,故其内切圆以O 为圆心，半径为r 的距离到直线AD O )1,0()05(D A ，又由-055=+-y x AD 的方程为：得直线r d AD ==+=65515的距离故原点到直线6522=+y x ABCD 内切圆的标准方程为：故四边形(2).方法一：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分4 分3分7 分8 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②① 分9 分12 分11分9 分10 分11 分12 分5 分7 分8 分9 分10 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分3 分1分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。

2019年遂宁一诊理数答案(简)

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四川省绵阳市2023-2024学年高三上学期一诊模拟理科数学试卷(一)含解析

2021级高三上期一诊模拟试题（一）数学（答案在最后）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|B x y ==，则A.A B ⊆B.A B A ⋃= C.A B ⋂=∅D.()I A B ⋂≠∅ð【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A = ，I A B ⋂=∅ð，故选A ．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于A ，1y x ===-，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B ，函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-，函数1y x =-的定义域为R ，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C ，两函数的定义域都是R ，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D ，1y x ==--，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.3.如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB的中点，则DE =（）A.1136BA BC --B.1163BA BC --C.5163BA BC --D.5163BA BC -+【答案】B 【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BC =+=+=+-=--.故选：B4.已知函数()22x f x a-=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A.23-B.23C.32D.32-【答案】A 【解析】【分析】先化简所要求的式子，又由于()220222123f aa -=+=+=+=，所以()22x f x a -=+过定点()2,3P ，进一步结合题意可以求出与α有关的三角函数值，最终代入求值即可.【详解】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A .5.函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A.13π,π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ B.132π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈C.13,44k k ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Zk ∈ D.132,244k k ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Zk ∈【答案】D 【解析】【分析】根据图象可得()f x 的最小正周期和最小值点，根据余弦型函数的性质分析判断.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，可知511244T =-=，即2T =，且当5134424x +==时，()f x 取到最小值，由周期性可知：与34x =最近的最大值点为31144x =-=-，如图所示，所以()f x 的单调递减区间为132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.故选：D.6.下列5个命题：①“0R x ∃∈，2010x +<”的否定；②sin sin αβ=是αβ=的必要条件；③“若a ，b都是偶数，则a b +是偶数”的逆命题；④“若2320x x -+=，则1x =”的否命题；⑤{|x x x ∀∈是无理数}，3x 是无理数.其中假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B 【解析】【分析】写出命题的否定即可判断①，根据必要条件的定义判断②，写出逆命题判断③，写出否命题判断④，利用特殊值判断⑤.【详解】对于①“0R x ∃∈，2010x +<”的否定为“R x ∀∈，210x +≥”，显然为真命题；对于②：由αβ=能推得出sin sin αβ=，故αβ=是sin sin αβ=的充分条件，sin sin αβ=是αβ=的必要条件，故②为真命题，对于③：“若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数”的逆命题为：若a b +是偶数，则a ，b 都是偶数，当1a =，3b =时满足a b +是偶数，但是a ，b 都是奇数，故③是假命题；对于④：“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”，由2320x x -+≠则1x ≠且2x ≠，故④为真命题；对于⑤：{|x x x ∀∈是无理数}，3x 是无理数，为假命题，如3x 2=33322x ==为有理数，故⑤为假命题.故选：B7.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，若经过5年，二氧化碳的排放量为45a（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为4a（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：lg 20.3≈）（）A.28 B.29C.30D.31【答案】C 【解析】【分析】根据题设条件可得545a S ab ==，令4ta ab =，代入b =，等式两边取lg ，结合lg 20.3≈估算即可.【详解】由题意，545a S ab ==，即545b b =⇒=，令4ta ab =，即14t b =，故14t=，即1lg 4t =，可得1(3lg 21)2lg 25t -=-，即10lg 233013lg 20.1t =≈=-.故选：C8.若log (1),2()112,222a x x f x a x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.(1,)+∞B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.∅【答案】C 【解析】【分析】依题意()f x 在R 上单调递减，则函数在各段单调递减，且断点左侧的函数值不小于右侧函数值.【详解】因为log (1),2()112,222a x x f x a x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，所以()f x 在R 上单调递减，则()0112021122log 2122a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1184a ≤<，即a 的取值范围是11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C9.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示.若输出的S 的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.3?i <B.4?i <C.5?i <D.6?i <【答案】D 【解析】【分析】根据循环结构及执行逻辑写出执行步骤，结合输出结果确定条件即可.【详解】第一次循环：011,011a S =+==+=，不满足输出条件，2i =；第二次循环：123,134a S =+==+=，不满足输出条件，3i =；第三次循环：336,4610a S =+==+=，不满足输出条件，4i =；第四次循环：6410,101020a S =+==+=，不满足输出条件，5i =；第五次循环：10515,201535a S =+==+=，不满足输出条件，6i =；第六次循环：15621,352156a S =+==+=，满足输出条件，退出循环．所以判断框中的条件可填入“6?i <”．故选：D10.数列{}n a 中，12a =，对任意,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则k =（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=--- ，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()3x f x k a =⋅+.若()()034f f +=，则()3log 2f =（）A.2B.0C.3- D.6-【答案】A 【解析】【分析】由函数性质判断函数的周期性，根据特殊值求,k a 的值，再根据函数的解析式，代入求值.【详解】()1f x +Q为奇函数，()()11f x f x ∴-+=-+，又()f x 为偶函数，()()11f x f x ∴-+=-，()()11f x f x ∴-=-+，即()()()()()2,42f x f x f x f x f x =-+∴+=-+=，所以函数()f x 的周期为4，由()()11f x f x -+=-+，令0x =，易得()()()()10,3110,f f f f ==-==，()04,f ∴=()()04130f k a f k a ⎧=+=⎪∴⎨=+=⎪⎩，解得2,6k a =-=，∴当[]0,1x ∈时，()()3log 23236,log 22362262x f x f =-⋅+=-⨯+=-⨯+=.故选：A12.设函数()()224,4log 4,4x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234122x x x x +++的最小值为（）A.312B.16C.332D.17【答案】B 【解析】【分析】作出函数()f x 的大致图象，可知124x x +=，由()y f x =与y t =的图象有四个交点可得()024t f <<=，计算2log (4)4t x =-=求得x 的值即可得4x 的范围，根据()()4232log 4log 40x x -+-=可得3x 与4x 的关系，再根据基本不等式计算34122x x +的最小值即可求解.【详解】作出函数()f x的大致图象，如图所示：当4x ≤时，()24f x x x =-+对称轴为2x =，所以124x x +=，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则()024t f <<=，由2log (4)(2)4t x f =-==，得6516x =或20x =，则4520x <<，又2423log (4)log (4)x x -=--，所以()()4232log 4log 40x x -+-=，所以()()43441x x -⋅-=，所以43144x x =+-，且44(1,16)x -∈，所以()4434441121224241412204x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝+-⎭+=++-2101210≥++==，当且仅当()4412424x x -=-，即46x =时，等号成立，故123414x x x x +++的最小值为16.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卡的横线上.13.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k=__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若x ，y 满足约束条件240200x y x y y --≤⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值为______．【答案】8【解析】【分析】作出可行域，通过平行232z y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭确定z 的最大值.【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域，联立方程2400x y y --=⎧⎨=⎩，解得4x y =⎧⎨=⎩，即()4,0C ，由23z x y =-，即232z y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭表示斜率23k =，横截距为2z的直线l ，通过平移可得当直线l 过点C 时，横截距最大，即z 最大，故max 24308z =⨯-⨯=.故答案为：8.15.函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】利用sin cos t x x =+通过换元将原函数转化为含未知量t 的函数()f t ，再解出函数()f t 的值域即为函数()f x 的值域.【详解】令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[1)(t ∈-- ，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[1)(t ∈-- ，所以()11,11,22f t ⎡⎫⎛⎤∈--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为11,11,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ ．故答案为：2121,11,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.16.已知()f x 为偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+<，其中()f x '为()f x 的导数，则不等式()()()11220x f x xf x --+>的解集为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等式作答.【详解】令函数()()g x xf x =，当[)0,x ∈+∞时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，由()f x 为偶函数，得()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，即函数()g x 是奇函数，于是()g x 在R 上单调递减，不等式()()()()()1122022(1)1(2)(1)x f x xf x xf x x f x g x g x --+>⇔>--⇔>-，因此21x x <-，解得1x <-，所以原不等式的解集是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-【点睛】关键点睛：根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：每小题12分，共60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)由2n n a S n =+得()11212n n a S n n --=+-≥,作差得121n n a a -=+,进而得1121n n a a -+=+,故数列{}1n a +是等比数列；（2）由（1）得21nn a =-，故()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，再根据裂项求和证明即可.【详解】解：（1）因为2n n a S n =+①，所以()11212n n a S n n --=+-≥②由①-②得，121n n a a -=+.两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+，所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列.（2）令1n =，1121a S =+，则11a =.由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-.因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+<⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k⎛⎫=-⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．18.已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- ．（1）求()f x 的最小正周期以及单调递增区间．（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【答案】（1）πT =，π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）⎡-⎣【解析】【分析】（1）先通过向量的坐标运算及三角公式得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质得周期和递增区间；（2）利用正弦函数的图像和性质可得()f x 的值域.【小问1详解】由已知()31sin ,1cos ,sin cos ,22a b x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()122sin ,1sin cos ,2f x a a b x x x ⎛⎫∴=⋅-=⋅+- ⎪⎝⎭ ()π2sin sin cos 1sin 2cos 224x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，2ππ2T ==∴，再令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤-≤+∈，解得π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】当π02x ≤≤时，ππ3π2444≤≤--x ，2πsin 2124x ⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭，π124x ⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭，()f x \的值域为⎡-⎣.19.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33,82.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=．[方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】由解法1得sin sin 2A CB +=，两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A C B -+=．又180A B C ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=，进一步整理得22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =，因此3B π=．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262AC ππππ<<<<，则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 2sin sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅===22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=．因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而82ABC S ⎛ ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．[方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△．因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A b b a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩，又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ．由题设及（1）知ABC 的面积34ABC S a=△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<，即1cos3cos3a ππ<<，即122a <<，所以3382ABC S << ，故ABC面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.20.已知函数()2e xf x ax =-．（1）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，求曲线()y f x =过点()0,1的切线方程．【答案】（1）e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）1y x =+或()e 21y x =-+【解析】【分析】（1）根据题意可得()0f x '≥在()0,∞+恒成立，利用参变分离可得e2x a x≥在()0,∞+上恒成立，利用导数求maxe x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）设切点()0200,e x x x -，根据导数的几何意义可得斜率为00e 2xk x =-，利用点斜式得()()()00200e e 2xxy x x x x --=--，代入点()0,1求解．【小问1详解】()e 2x f x ax '=-，因为()f x 在()0,∞+上单调递增所以()0f x '≥在()0,∞+恒成立，即e2x a x≥在()0,∞+上恒成立令()e x g x x =，则()()21exx g x x -'=所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以()()min 1e g x g ==，则2a e ≤，故实数a 的取值范围是e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【小问2详解】当1a =时，()2e xf x x =-，()e 2xf x x '=-．设切线与曲线()y f x =的切点坐标为()0200,e xx x -，切线斜率00e 2xk x =-则切线方程为()()()00200e e 2x xy x x x x --=--将点()0,1代入，得()()()0020001e e 2x xx x x --=--整理得()()00011ex x x -+-=构建()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-令()0g x '>，则0x >∴()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增则()()00g x g ≥=因为1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时，等号成立所以方程()()00011e0x x x -+-=的根为00x=或01x =当00x =时，所求切线方程为1y x =+当01x =时，所求切线方程为()e 21y x =-+21.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()'∴g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤=()f x \在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '=()00f x '∴>()f x \在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x \在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x \在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减又02f π⎛⎫>⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C πsin 104θ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且两曲线1C 与2C 交于M ，N 两点．（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）设()2,1P -，求PM PN -．【答案】（1）24y x =，10x y +-=（2）【解析】【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线1C 的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线2C 的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义去求PM PN -的值简单快捷.【小问1详解】由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得24y x =，即曲线1C 的直角坐标方程为24y x =．由曲线2C 的极坐标方程，得sin cos 10ρθρθ+-=，则10x y +-=即2C 的直角坐标方程为10x y +-=．【小问2详解】因为()2,1P -在曲线2C 上，所以曲线2C的参数方程为2,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入1C的直角坐标方程，得21702t +-=．设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，1214t t =-，所以12PM PN t t -=+=．[选修4-5：不等式选讲]23.选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．。

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数学理工类参考答案
评分说明 !"本解答给出了一种或几种解法供参考如果考生的解法与本解答不同可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制定相应的评分细则 #"对计算题当考生的解答在某一步出现错误时如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度可视影响的程度决定后继部分的给分但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误就不再给分
数学!理工类"试题答案第! 页!共页"
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