概率复习题

概率复习题一、选择题：1．对于任意事件A 和B 有，()P A B -=（ C ）()A ()()P A P B -；()B ()()()P A P B P AB -+； ()C ()()P A P AB -；()D ()()()P A P B P AB --；2．设事件A 和B 互不相容，则（ D ）()A ()0P AB =；()B ()()()P AB P A P B =； ()C ()1()P A P B =-；()D ()1P A B = ；3．设A 和B 为两个随机事件，且B A ⊂，则下列结论正确的是（）()A ()()P A B P A +=；()B ()()P AB P A =； ()C ()()P B A P B =；()D ()()()P B A P B P A -=-；4．设A 和B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则（C ）()A ()()P A B P A > ；()B ()()P A B P B > ； ()C ()()P A B P A = ；()D ()()P A B P B = ；5．设A 和B 为随机事件，且A B ⊂，()0P B >，则下列结论正确的是（ B ）()A ()()P A P A B <；()B ()()P A P A B ≤； ()C ()()P A P A B >；()D ()()P A P A B ≥；6．假设事件A 和B 满足()1P B A =，则（ D ）()A A 是必然事件；()B ()0P B A =； ()C A B ⊃；()D A B ⊂；7．设0()1P A <<，0()1P B <<，且()()1P A B P A B +=，则（ D ）()A 事件A 和B 互不相容；()B 事件A 和B 相互对立； ()C 事件A 和B 互不独立；()D 事件A 和B 相互独立；8．设,,A B C 是三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充要条件是（A ）()A A 与BC 独立；()B AB 与A C 独立； ()C AB 与AC 独立；()D A B 与A C 独立；9．将一枚硬币独立地投掷两次，设{}1A =第一次出现正面，{}2A =第二次出现正面，{}3A =正反面各出现一次，{}4A =正面出现两次，则事件（） ()A 123,,A A A 相互独立；()B 234,,A A A 相互独立； ()C 123,,A A A 两两独立；()D 234,,A A A 两两独立；10．设随机事件A 和B 相互独立，且()0.5p B =，()0.3P A B -=，则()______P B A -=()A 0.1()B 0.2 ()C 0.3()D 0.411．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则下列函数不是分布函数的是___________B()A (1)F x +()B (1)F x -()C (2)F x ()D ()2xF12．设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ，分布函数为1()F x 和与2()F x ，则（D ）()A 12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度； ()B 12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数； ()C 12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数； ()D 12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度；13．设1()F x 与2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是（）()A 12()()f x f x ()B 212()()f x F x()C 12()()f x F x ()D 1221()()()()f x F x f x F x +14．设随机变量X 的分布函数0,0,1(),01,21,1xx F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎩则{}1P X ==（ C ）()A 0()B 12()C 112e --()D 11e --15．设X 与Y 相互独立，且(0,1)X N ，011122Y ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，()Z F z 为Z XY =的分布函数，则()Z F z 的间断点个数为（）()A 0()B 1()C 2()D 316．设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为 A()A 2()F x ()B ()()F x F y()C 21[1()]F x --()D [1()][1()]F x F y --17．设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足（A ）()A 234a b +=()B 324a b +=()C 1a b +=()D 2a b +=18．设1X ，2X ，3X 为随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22i i P P X =-≤≤，则 ()A 123P P P >>()B 213P P P >> ()C 312P P P >>()D 132P P P >>19．设随机变量X 和Y 相互独立，且(0,1)X N ，(1,1)Y N ，则（）()A {}102P X Y +≤=()B {}112P X Y +≤= ()C {}102P X Y -≤=()D {}112P X Y -≤=20．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y<=（A ）()A 15()B13()C23()D4521．设随机变量X 与Y 相互独立，且服从区间(0,1)上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=（）()A 14()B 12()C 8π()D 4π22．23．设随机变量X 与Y 独立同分布，且{}{}1112P X P Y =-==-=，{}{}1112P X P Y ====， 则下列式子正确的是（）()A {}12P X Y ==()B {}1P X Y == ()C {}104P X Y +==()D {}114P XY ==24．设X 与Y 相互独立，且111122X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，111122Y -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，Z XY =，则()A ,,X Y Z 两两独立，,,X Y Z 也相互独立 ()B ,,X Y Z 两两独立，但,,X Y Z 不相互独立 ()C X 与Z 不独立，Y 与Z 也不独立 ()D ,,X Y Z 两两独立，但不相互独立25．设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则（）()A X 和Y 一定独立； ()B (,)X Y 服从二维正态分布； ()C X 和Y 未必独立； ()D X Y +服从一维正态分布26．设随机变量X 和Y 独立同分布，记U X Y =-，V X Y =+则随机变量U 和V 必然（）()A 不独立；()B 独立；()C 相关系数不为零；()D 相关系数为零；27．已知(,)X b n p ，且() 2.4E X =，() 1.44D X =，则（）()A 4,0.6n p ==；()B 6,0.4n p ==；()C 8,0.3n p ==；()D 24,0.1n p ==28．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，，则随机变量32X Y -的方差为（）()A 8；()B 16；()C 28；()D 4429．设随机变量12,(1)n X X X n > 独立同分布，且方差为20σ>，令11ni i Y X n ==∑，则（ A ）()A 21(,)COV X Y nσ=；()B 21(,)COV X Y σ=()C 212()n COV X Y n σ++=；()D 211()n COV X Y nσ+-=30．设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y ξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件是（ B ）()A ()()E X E Y =；()B 2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=- ()C 22()()E X E Y =；()D 2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+31．将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ D ）()A 1()B 12()C 12-()D 1-32．设连续型随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，12,X X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，1Y 的概率密度为1121()[()()]2Y f y f y f y =+，记2121()2Y X X =+，则 ()A 1212,EY EY DY DY >>()B 1212,EY EY DY DY == ()C 1212,EY EY DY DY =<()D 1212,EY EY DY DY =>33．设随机变量,X Y 都服从标准正态分布，则()A X Y +服从正态分布()B 22X Y +服从2χ分布()C 2X 和2Y 都服从2χ分布()D 22X Y服从F 分布34．35．设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本，则统计量12342X X X X -+-的分布为()A (0,1)N ()B (1)t ()C 2(1)χ()D (1,1)F二、填空题：1．已知()0.4P A =，()0.3P B =，()0.6P A B = ，则()_____P AB =2．已知()()P AB P AB =，()P A p =，则()______P B =3．设两个相互独立的事件都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()_____P A =4．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，在从1,2,X 中任取一个数记为Y ， 则{}2______P Y ==5．设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =，1()3P C =， 则()______P AB C =6．已知随机变量X 的概率密度函数1()2xf x e -=，x -∞<<+∞， 则X 的分布函数()______F x = 解答：当x=0时, f(x)=1/2*e^(-x) 故分布函数 F(x)=F(0)+ ∫(上限x,下限0) 1/2 *e^(-x) dx =F(0) - 1/2 *e^(-x) [代入上限x,下限0] =F(0) - 1/2 *e^(-x) +1/2 而F(0)=1/2故F(x)=1 -1/2 *e^(-x) 所以F(x)= 1 -1/2 *e^(-x) x>=07．设随机变量(,)X Y 的分布函数为22(,)(arctan )(arctan )23x xF X Y a b π=++， 则_______a =，______b =8．设X 和Y 为两个随机变量，且{}30,07P X y ≥≥=，{}{}4007P X P y ≥=≥=， 则{}max(,)0______P X Y ≥= 解答：9．设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布， 则{}max(,)1______P X Y ≤=10．设1(,)(,)20X Y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，其中{}(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤，则X 与Y 中至少有一个小于12的概率为______ 11．设(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，其中D 由2y x =与2x y =所围成， 则{}______P Y X ≥= 12．设区域D 由曲线1y x=及20,1,y x x e ===所围成，(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为______13．设随机变量,X Y 独立同分布，且1(1,)2X b ， 则{}max ,Z X Y =的分布律为______ 14．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则{}1______P X Y +≤=，15．设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立的观察，则至少有两次观察值大于3 的概率为_________16．设X 与Y 独立，且同服从参数为1的指数分布，YZ X=，则Z 的分布函数在1z =的值(1)______z F =17．设,X Y 独立，且(0,)X U π ,(0,1)Y U ，则对随机点(,)X Y 进行n 次独立的观察中，至少有一次落在sin (0)y x x π=≤≤与x 轴所围成的区域内的概率为________ 18．设X 服从参数为2的泊松分布，则32Z X =-的数学期望()______E Z =19．设X 服从参数为1的指数分布，则数学期望2()______X E X e -+=20．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则数学期望2()______E X =21．设X 服从参数为λ的泊松分布()πλ，且[(1)(2)]1E X X --=，则______λ=22．设X 和Y 的相关系数为0.5，又()()0E X E Y ==，22()()2E X E Y ==， 则2[()]______E X Y +=23．设X 的概率密度为1,10;()1,01;0x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他则方差()______D X =24．设X 的密度函数为221()xx f x-+-=，则()___E X =，()___D X =25．设X 和Y 的相关系数0.9ρ=，0.4Z X =-，则Y 与Z 的相关系数为___26．设X 服从参数为λ的指数分布，则{___P X >=27．设2(2,)X N σ ，且{}240.3P X <<=，则{}0___P X <=28．10个人随机地进入15个房间，则有人的房间数X 的数学期望()______E X =29．袋中装有n 只球，X 表示其中的白色球的数量，若()E X m =，则从袋中随机地摸一球为白球的概率是______30．设12,,,n X X X 相互独立，且2(,)i X N μσ ，1,2,,i n = ，11nk k X X n ==∑则1()______nkk E XX =-=∑31．设随机变量X 的概率分{}!CP X k k ==，0,1,2k = ，则2()____E X =32．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布22(,;,;0)N μμσσ，则2()___E XY =33．设1234,,,X X X X 是来自总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则当_____a =，_____b =时，统计量X 服从2χ分布，自由度为______34．设总体X 的概率密度为1()(),2xf x e x -=-∞<<∞且1,,n X X 为来自总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2()______E S =35．设12,,m X X X 来自二项分布总体(,)B n p ，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，若统计量2T X S =-，则()______E T =三、解答题：1．有三个盒子，第一个盒子装4个红球1个黑球，，第二个盒子装3个红球2个黑球，第三个盒子装2个红球3个黑球，今任取一个盒子，从中任取3个球，若X 表示红球个数，求X的分布列2．若(2)X Ex ，求随机变量21XY e -=-的分布函数3．设随机变量X 的概率密度为1,1021(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他且2Y X =，(,)F x y 为(,)X Y 的分布函数， 求（1）Y 的概率密度()Y f y ；（2）1(,4)2F -4．设随机变量U 在{2,2]-上服从均匀分布，1,111U X U -≤-⎧=⎨>-⎩，1,111U Y U -≤⎧=⎨>⎩， 求（1）X 与Y 的联合概率分布；（2）()D X Y +5．设随机变量X 的概率密度为1cos ,0;()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2()E Y6．设12,,n X X X (2)n >为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，记i i Y X X =-，1,2,i n = ，求（1）()i D Y ，（2）1(,)n COV Y Y7．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现在从中随机地抽取一件，记1,0i X ⎧=⎨⎩若抽到i 等品，其他1,2,3i = (1) 求随机变量1X 与2X 的联合分布；（2）求随机变量1X 与2X 的相关系数ρ；（1）（2）8．设,A B 为两个随机事件，且1()4P A =，1()2P A B =，1()3P B A =， 令1,0A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生1,0B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生（1）求二维随机变量(,)X Y 的相关系数XY ρ； （2）求22Z X Y =+的概率分布（04数3）9．设(,)X Y 在{}(,)02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，记0,1X Y U X Y ≤⎧=⎨>⎩，0,212X YV X Y ≤⎧=⎨>⎩， （1）求U 和V 的联合分布； （2）求U 和V 的相关系数UV ρ；10．设随机变量X和Y的联合概率分布为（1） 求22(,)COV X Y ，（2）求X 和Y 的相关系数ρ（2）11．箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个，现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数， （1）求随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求(,)COV X Y 12．设随机变量,X Y 同分布，X 的分布列为{}103P X ==，{}213P X == X 与Y 的相关系数12XY ρ=， 求（1）(,)X Y 的概率分布；（2）{}1P X Y +≤13．设随机变量X 的分布列为{}112P X ==，{}122P X == 且在X i =的条件下，随机变量Y 在(0,)i 上服从均匀分布；(1,2)i = （1） 求Y 的分布函数()Y F y ；（2）()E Y（2）14．设12,,n X X X 来自总体2(,)N μσ，11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑ 221()T X S n=-求（1）()E T ；（2）若0,1,μσ==求()D T 15．总体X 的概率密度为20()0x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他其中0λ>未知，1,,n X X 为来自总体X 的简单随机样本， （1）求参数λ的矩估计量； （2）求参数λ的最大似然估计量 （2）求参数θ的最大似然估计16．总体X 的概率密度为11(;)10x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ是未知参数，1,,n X X 为来自总体X 的简单随机样本， （1）求参数θ的矩估计；（2）求参数θ的最大似然估计。