概率论复习题
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
概率论复习题题库
第一章 随机事件与概率第一部分 作业1. 将三封信任意投到四个信筒中，求三封信都投到同一信箱和分别投到三个不同信箱的概率。
2. 设,A B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：(|)(|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
3. 甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱，求：从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
4. 三台机器独立的运转着，三台机器不发生故障的概率分别为0.9、0.8和0.7，求三台机器至少有一台发生故障的概率。
第二部分 综合练习一、填空题1. 已知()0.5,()0.25P A P B A ==，则()P AB = 。
2. 试在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在4次重复独立试验中。
事件A 至多有一次不发生的概率是 。
3. 设A 表示事件“掷一颗骰子出现偶数点”，B 表示事件“掷一颗骰子出现2点”则A 与B 的关系是 。
4. 将3个球随机地放入4个盒子中，则事件“盒中球个数最多为1”的概率为 .5. 设在三次独立试验中，事件A 发生的概率都相等。
若已知A 至少发生一次的概率为0.784，则A 在一次试验中发生的概率为 。
二、选择题1. 对于任意两事件A 和B ，( ) A. 若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 B. 若AB ≠Φ，则A 和B 可能独立 C. 若AB =Φ，则A 和B 一定独立 D. 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立2. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为( ) A. 23(1)p p - B. 26(1)p p - C. 223(1)p p - D. 226(1)p p - 3. 设事件A 与事件B 互不相容，则( ) A. ()0P A B = B. ()()()P AB P A P B = C. ()1()P A P B =- D.()1P A B ⋃= 4. 设事件A B ⊂且0()1P A <<，则必有( )A. ()(())P A P A A B ≥+B. ()(())P A P A A B ≤+C. ()()P B P B A ≥D. ()()P B P B A ≤5. 随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( )。
概率论
①
7 3 P ( B2 A1 ) = , P( B2 A2 ) = 8 4
P( A1 B1 ) = P( A1 B1 ) P( A1) P( B1 A1 ) = P ( B1 ) P( B1 )
P( A2 B1 ) P( A2 ) P( B1 A2 ) = P( B1 ) P( B1 )
1 n ∑ Xi ， n i =1
S2 =
1 n 。 ∑ ( X i − X ) 2 试求 S 2 的期望 E（ S 2 ）和方差 D（ S 2 ） n − 1 i =1
复习题三参考答案
一、1、0.3 二、1、C
2、0.2
3、
1 e
4、
1 4
5、0
6、
1 3
2、D 3、C
4、D 5、A 6、B
三、 （1） P ( B ) = P( A U B ) − P ( A) = 0.4 （2） P ( A U B ) = P( A) + P( B) − P ( A) P ( B)
(n − 1) S 2
σ
2
~ x 2 (n − 1)
E ( χ 2 (n − 1)) = n − 1
即： D
D( χ 2 (n − 1)) = 2(n − 1)
(n − 1) S 2 2 = 2(n − 1) σ
又
(n − 1) S 2 (n − 1) 2 2 D σ2 = σ 4 D( S ) = 2(n − 1)
2 , a < x < +∞ 五、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = π (1 + x 2 ) 。 0, 其它
概率论复习题
第1章 随机事件及其概率一、填空题1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.3、把9本书随意放在书架上，指定的3本放在一起的概率为_____________.4、包括甲、乙在内的n 个人排队，他们之间恰有r 个人的概率为____________.5、设A 、B 、C 为三个事件，则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.6、设A 、B 、C 为三个事件，则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.7、设31)(=A P ，41)(=B P ，61)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、假设3.0)(=A P ， 2.0)(=B P ，∅=AB ，则)(B A P ⋃=_________________. 9、设31)(=A P ，41)(=B P ，21)(=⋃B A P ,则=⋃)(B A P ______________. 10、假设5.0)(=A P ， 4.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则)(B A P ⋃=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率为________________.12、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球中有黑球的概率为______________.14、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球都是黑球的概率为______________.15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球，现在从中不放回地任取两球，两个全是黑球的概率________________.16、甲、乙两人独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则在一次射击中目标被击中的概率为______________.17、某城市发行A,B 两种报纸，在这两种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有30%，同时订阅两种报纸的有15%，则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件，以i A 表示第i 次抽到废品，则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.19、设n 个人围成圆圈，甲、乙是其中两人。
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论期末复习
F 0 .05 ( 7 , 8 ) 3 . 5 t 0 .05 ( 17 ) 1 . 74 t 0 .025 ( 15 ) 2 . 13
F 0 .05 ( 8 , 9 ) 3 . 23 t 0 .025 ( 17 ) 2 . 11 t 0 .05 ( 15 ) 1 . 75
F 0 .025 ( 8 , 9 ) 4 . 10
7.总体的未知参数 的点估计 ˆ 1 比 ˆ 2 有效指的是_____。
8.设 ( X , X , , X ) 为总体 X 的一个样本，则总体 X 的方差的矩估计量为_____。
1 2 n
二、(12分)甲、乙、丙三人独立的向飞机各射击一次， 命中率分别为0.5，0.6，0.7， (1) 求飞机被击中的概率； (2) 已知飞机被击中一次，求甲击中飞机的概率。
关于X的边缘概率密度
fX (x)
5.设随机变量X~N(5,4)，则P{X<13/2}+P{X<7/2}=___.
6.随机变量X与Y的相关系数越接近于1，则 X,Y的 线性相关程度越 . 7.在区间(0,1)中随机的取两个数， 则事件“两数之和小于4/3”的概率为_____.
8.设总体X在区间[1,b]上服从均匀分布，b>1未知， 则对于来自总体的样本值(2.3, 1.6, 2.7, 2.2, 1.3, 1.1), b的矩估计值为____.
(B )P{ X x} f ( x )
(C ) P { X x } F ( x ) ( D ) P { X x } F ( x )
4. 设正态总体期望的置信区间长度 则其置信度为
( A)
2
L
2S n
t ( n 1)
概率论复习题(3课时)
概率论复习题一 填空1、一批产品的废品率为0.1，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取1个，共重复3次，则3次中恰有两次取到废品的概率是 ．2、袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，则取出的3个球中红球个数ξ的概率分布为 ．3、设在10只晶体管中有两个次品，从中任取两次，每次取一个，作不放回抽样，设{=A 第一次取得正品第二取得次品}，则=)(A P ．4、一批产品中，一、二、三、等品率分别为0.8、0.16、0.04，若规定一、二等品为合格品，求产品的合格率： ． 6、设)(x F 为ξ的分布函数，则对任意的b a ,)(b a <，有=-)()(a F b F ．8、若ξ)2,5(~2N ，则{}32<-ξP＝ ．10、设[][]⎩⎨⎧∉∈=c x c x xx ,00,02)(ϕ ，是一随机变量的概率密度函数，则c＝ 。
11、已知,1-=ξE 3=ξD ，则[])2(32-ξE ＝ ． 12、设有20个某种零件，其中16个一级品，4个二级品，今从中任取3个，则至少有一个一级品的概率 ．13、 C B A ,,三人入学考试合格的概率分别是52,21,32，三人中恰有两人合格的概率是 。
14、加工一件产品需要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.95，0.85，0.9。
若三道工序是否出废品是相互独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 。
15、某批产品一等品率为8.0，进行重复抽样检验，共取出4件样品。
设ξ表示4件样品中的一等品数，则ξ的概率分布为 ；4件样品中至少有2件一等品的概率为 ；4件样品中一等数ξ的最可能值是 。
16、一批产品20件，其中有8件是次品，从这批产品中随机抽取5件，设ξ表示这5件中的次品数，则ξ的分布律是 （只要求写出分布律，不用计算具体数值）。
17、随机变量ξ的概率分布如下表则 =ξE ；=ξD 。
18、已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
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5.设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数， EX k 2 ， DX k 2.25 ， k 1,
,100 ，且
X1 ,
, X100 独立，则
100 220 200 180 200 P 180 X k 220 (1.33) (1.33) 15 15 k 1
2(1.33) 1 0.816 。
y 1 （10） pY ( y ) e 8 ， 4 ， 4 。 2 2
2
二．随机事件 A 发生的可能性大小的数值称为随机事件 A 的概率，记此概率为 P( A) ，并且 还必须满足： （1）非负性： P( A) 0 ， A ； （2）规范性： P() 1 ；
（3）可列可加性：若 A1 ,
概率论复习题
一.填空题 1.设 A 和 B 为二个随机事件，已知 P( A
B) 0.5 ， P( B) 0.4 ,则
P( A B ) _____________ 。
2.掷 3 个骰子，则至少有一个出现 6 点的概率为 _____________ 。 3.一盒子中装有 10 个乒乓球，其中 8 个新球，2 个旧球。现不放回地任取 3 个球，设 X 为 所取球中的新球个数，则 X 的概率分布为 __________________ 。 4.设离散型随机变量 X 的概率分布为
=0.8275；
（3）问题出在题目的难度过大了，可以降低选择题的难度。一般来讲，难题不应该出成 选择题。 2. （1） p P( X 4) 1 P( X 4) 1
2 4 5
5
3 2 ( x 3)dx 1 5 5 ，
2 B(5, 5 )，
2 3 0 . 4 0.6 ， 0.68256
B 为 的一个分割。
2.设 X 1 的分布函数为 FX1 ( x) ， X 2 的分布函数为 FX 2 ( x) ，且 X 1 和 X 2 独立，则 X1 X 2 的 分布函数为 FX1 ( x) FX 2 ( x) 。 四.计算题 1.在回答有 a, b, c, d 四个选项的选择题时，由于题目较难，全班只有 5%的学生能解答出正 确答案。假设能解答出答案的学生回答正确的概率为 99%，不能解答出答案的学生随机猜 测答案。求（1）学生回答正确的概率； （2）在学生答题正确的情况下，他（她）是猜对答 案的概率； （3）通过以上计算，你可以提供什么好的建议。
则 A _________ ， B ________ ， X 的分布函数表 F ( x) __________________ 。 6.设连续型随机变量 X 的分布函数为
Ae x , x 0 F ( x) ， x 1 Ae , x 0
则 A ________ , P(1 X 1) ___________ , p( x) _________________ 。 7.设随机变量 X
由于在 0 x 1, x y x 中， p( x, y) pX ( x) pY ( y) ，则 X 和Y 不独立；
2
（3） P( X 2Y 1)
1 3
0
dx 2 12 xdy 1 dx 2 12 xdy
x
3
x
1 2
1 x 2
x
1 13 29 。 9 144 144
10. 设 ( X , Y ) ,则（1） Y 的密度函数 pY ( y) _______________ ， N (1,0,1, 4, 1 2)
（2） D(2 X Y 3) _______ ， （3） a ______ ，使得 Z aX Y 和 Y 不相关。 二.简答题 叙述概率的公理化定义。 三.分析判断题（判断对错，并且给予说明） 1. 设 A, B, C 为 的三个随机事件，则 A, AB 和 A
水总开支，试求其最佳初始供水量。 5.炮火轰击敌方的防御工事 100 次，每次轰击命中的炮弹数服从同一分布，此分布的数学期 望为 2，方差为 2.25。若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的，求 100 次轰击至少命中 180 发但不超过 220 发的概率。 （注： (1.33) 0.908 ）
EY Ef ( X )
1 y 5a ( 70 70 4
1 dx 70 70 1 140 3a y a ( x a 4 x) dx 2 y ) dx 70 y 2
140
f ( x)
140 3x a y 5y x y dx dx 70 y 70 4 4 2 2
参考答案： 一． （1） （2）
1 ； 6
91 ； 216 2 3 1 ； （3） 1 15 7 15 7 15
（4）0.5， 4 ；
9
0, x 2 1 ( x 2), 2 x 1 1 1 6 （5） , ， F ( x) 1 2 ； ( x 2),1 x 2 6 3 6 1, x 2
a 5y 1 2 3 y 2 2 2 ( y 70) ( y 70 ) (140 y ) (140 y) 70 4 8 4 2 a 7 2 315 30625 ，有最小值， EY y 0 ， y 90 ， y y 70 8 2 2
2
5
EX 2
DX EX 2 ( EX )2 15.767 3.82 1.327 。
7 11 1 EX 2 x 2 xdx x 2 (2 x)dx 1 4 12 6 ， DX 6 。
1
2
0
13.（1） 1 Nhomakorabea
A p( x, y)dxdy dx 2 Axdy Ax( x x 2 )dx 12 ， A 12 ； 0 x 0
2 ( x 1) , 1 x 2 5 2 2．设随机变量 X 的密度函数为 p( x) 5 ( x 3),3 x 5 ， 0 , 其他
求（1） P( X 4); （2）对随机变量 X 独立地进行 5 次观察，最多有 2 次观察结果 X 小于 4 的概率； （3）方差 DX 。 3.设二维随机向量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
1
x
1
x x2 12 xdy, 0 x 1 （2） p X ( x) ， 0, 其他
12 x( x x 2 ), 0 x 1 ， 0, 其他
y 12 xdx, 0 y 1 pY ( y ) y 0, 其他
6( y y 2 ), 0 y 1 ， 0, 其他
P( A) 0.95 ， P( B A) 0.25 ， P( B A) 0.99 。
（1）全概率公式
P( B) P( A) P( B A )
（2）贝叶斯公式
P ( A ) P ( =0.287 B A ) ；
P( A B)
P( A )P B ( A ) P( A) P( B A) P( A) P( B A)
（2） Y 表示 5 次观察中 X 小于 4 的次数， Y
0 0 5 1 P( Y 2 ) C 6C 5 0 . 4 0 . 5
1 0 . 4 4 0 .C 62 5
（3） EX
2 2 xp( x)dx x 5 ( x 1)dx x 5 ( x 3)dx 3.8 ， 1 3 2 2 x 2 p( x)dx x 2 5 ( x 1)dx x 2 5 ( x 3)dx 15.767 ， 1 3 2 5
, An ,
两两互不相容，则有
P( A1
三．
An
) P( A1 )
P( An )
。
1.对，证明： （1）两两互不相容显然， （2） A AB AB A A 。 2.错， FX1 ( x) FX 2 ( x) 不是分布函数， FX1 () FX 2 () 2 。 四． 1. A 表示一个学生猜对答案， A, A 是一个分割， B 表示学生回答正确，则
4. 设某船的初始供给量 y ， 70 y 140 ，且用 Y 表示费用，则
ay a 54 y a 4X , X y 4 ( y X ), X y Y f (X ) 3a 3a a ay 2 ( X y ), X y 2 X 2 y, X y
X p
-3 0.2
，
0 a
3
0.2
4 0.1
7 0.2
则 P(3 X 3) __________ ， P( X 2 X 4) __________ 。 5.设随机变量 X 的密度函数为
A, 2 x 1 p( x) Bx,1 x 2 ，且 P(2 x 1) P(1 X 2) ， 0 , 其他
Ax, 0 x 1, x 2 y x p( x, y ) ， 其他 0,
（1）求常数 A ； （2）求关于 X , Y 的边际密度函数，并且讨论 X 和 Y 的独立性； （3）计算 P( X 2Y 1) 。
4.某海港对停泊船只供给净水，初始价是每吨 a 元，以后再供则要加 50%的附加费；若用不 完造成浪费则每吨加收资源费 a 4 元。设某轮船的净水用量 X 服从 U [70,140] ，为节约其用
Z X 2 Y 2 的概率分布为 _______________________________ 。
9.设 X
B(100,0.04) ， Y