高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习C卷
高中数学人教A版必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
题型一
题型二
反思满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用及统 一向量起点方法的应用.
题型一
题型二
【变式训练 2】 化简:(1)������������ − ������������ + ������������; (2)������������ + ������������ − ������������ + ������������ ; (3)������������ − ������������ − ������������ . 解 :(1)������������ − ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + (−������������ ) =0. (2)������������ + ������������ − ������������ + ������������ = ������������ − ������������ + ������������ − ������������ = ������������. (3)������������ − ������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������.
题型一
题型二
【例 3】 如图,在正六边形 ABCDEF 中,与������������ − ������������ + ������������ 相等的向量有 ①������������ ; ②������������ ; ③������������ ; ⑤������������ + ������������; ⑦������������ + ������������ . 解析: ������������ − ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ ; ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ ≠ ������������ ; ������������ − ������������ = ������������ ≠ ������������ ; ������������ + ������������ = ������������ ≠ ������������ . 答案 :① . (填序号) ④������������ ; ⑥������������ − ������������;
新课标人教A版高中数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义课件 (共21张PPT)
小结:
(一)知识
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
作业: P101 3. 4(1).(3).(5).(7)
练习、如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，向量 AC=a+b,向量DB=a-b
例3：如图平行四边形ABCD,ABa,
DAb,OCc, 证明： bcaOA
D
b
c
O
A
a
C
B
证明 bc ： D AOC OC CB OB
bcaO BAB O BBA OA
2.2.2《向量减法运算及其几 何意义》
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO bb源自bba+b各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
C
O
D
b
`
120o
B a
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边AB形CD，
由于| AD|| AB|3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC a
b，DB
a
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
教材整理 2 向量的减法
阅读教材 P85 倒数第九行至 P86 例 3 以上内容，完成下列问题．
1 ． 定 义 ：a － b＝ a ＋( － b) ， 即 减 去一 个向 量 相 当 于加 上 这个向 量 的
_相__反__向__量___．
2.作法：在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则
【答案】 D
利用已知向量表示其他向量 如图 2-2-12 所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，O→E＝e，
O→F＝f，试用 a，b，c，d，e，f 表示：
图 2-2-12 (1)A→D－A→B；(2)A→B＋C→F；(3)B→F－B→D.
【精彩点拨】 运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向 量 a，b，c，d，e，f 的和与差来表示．
向量 a－b＝B→A，如图 2-2-11 所示．
3．几何意义：a－b 可以表ห้องสมุดไป่ตู้为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
图 2-2-11
在△ABC 中，D 是 BC 的中点，设A→B＝c，A→C＝b，B→D＝a，A→D＝d，则 d －a＝________.
【解析】 d－a＝d＋(－a)＝A→D＋D→B＝A→B＝c.
探究 1 若|A→B|＝8，|A→C|＝5，则|B→C|的取值范围是什么？ 【提示】 由B→C＝B→A＋A→C及三角不等式，得|B→A|－|A→C|≤|B→A＋A→C|≤|B→A| ＋|A→C|，又因为|B→A|＝|A→B|＝8，所以 3≤|B→C|＝|B→A＋A→C|≤13，即|B→C|∈[3,13]．
【自主解答】 (1)因为A→O＋O→C＝A→C，O→C－O→A＝A→C，所以选 D． (2)①A→B＋O→A－O→B＝A→B＋(O→A－O→B)＝A→B＋B→A＝0； ②A→B＋(B→D＋C→A)＋D→C＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0； ③O→B－O→A－O→C－C→O＝(O→B－O→A)－(O→C＋C→O)＝A→B. 【答案】 (1)D (2)①0 ②0 ③A→B
人教A版高中数学必修四2-2-2 向量减法运算及其几何意义
规律总结：(1)理解向量的几何意义，且能准确运用向 量的加、减运算．
(2)恰当构造相关图形，且能灵活运用的几何性质求解未 知量．
如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，
→ OA
＝a，
O→B＝b，O→C＝c，求O→D.
[分析] 将要表示的向量放在一个三角形中，利用三角形 法则求解．
[解析] B→C＝O→C－O→B＝c－b， 又A→D＝B→C，∴A→D＝c－b， ∴O→D＝O→A＋A→D＝a＋c－b.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB
于F.
∵AB＝BD＝2，
∴AE＝ED＝12AD＝12.
在△ABE中，
cos∠EAB＝AAEB＝14.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝14.
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×14＝14.
∴CF＝
15 4.
∴AF＝AB＋BF＝2＋14＝94. 在Rt△AFC中，AC＝ AF2＋CF2＝ 8116＋1156＝ 6， ∴|a＋b|＝ 6.
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．2 平面向量的线性运算
第二章
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．在四边形ABCD中，A→B＝D→C，则( ) A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
建模应用引路
命题方向3 向量的加、减运算及模的综合应用
已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a ＋b|的值．
人教A版数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2.2.2向量减法运算及其几何意义一、课前预习1．O 为平行四边形ABCD 平面上的点,设OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,则（ ） A.a +b +c +d = 0 B.a －b +c －d =0 C.a +b －c －d = 0 D.a －b －c +d = 02．若a 、b 共线且|a +b |＜|a －b |成立,则a 与b 的关系为 . 3．在△ABC 中, BC = a , CA = b ,则AB 等于(A.a +bB.－a +(－b )C.a －bD.b －a4．如图2-2-2-1所示，在ABCD 中，已知AB = a ，DB = b ， 用a 、b 表示向量AD 、AC .二、经典回顾1．若a 、b 都是单位向量，则｜a －b ｜的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（0，2） C ．［1，2］ D ．［0，2］ 分析与解：当a ,b 同向，｜a －b ｜最小，最小值为0， 当a ,b 反向，｜a －b ｜最大，最大值为2. 所以选D.举一反三1.已知向量a 、b 满足：|a | =2，|b | =2，|a －b | =2，则|a +b |=（ ） A ．22B ．2C ．3D ．232.下列各式不能．．化为AD 的是（ ） A.BM AD MB -+ B.BC CD AB ++）（ C.）（）（CM BC MB AD +++D.CD OC OA ++-图2-2-2-1三、自主研练1.下列等式:①a +0＝a ②b +a ＝a +b ③－(－a )＝a ④a +(－a )＝0 ⑤a +(－b )=a －b 确的个数是A.2B.3C.4 D.5 2.下列等式中一定能成立的是 A. AB +AC =BC B. AB －AC =BCC.AB +AC =CB D. AB －AC =CB3.化简OP －QP +PS +SP 的结果等于( )A. QPB. OQC. SPD. SQ4. 在下列各题中,正确的命题个数为((1)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a +b 与a(2)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a －b 与a +b (3)若向量a 与b 方向相同,且|a |＜|b |,则a －b 与a (4)若向量a 与b 方向相同,且|a |＜|b |,则a －b 与a +bA.1B.2C.3D.4 5．如图2-2-2-2，在四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ,BC = c ，则DC 等于（ ）A ．a －b ＋cB ．b －（a ＋c ）C ．a ＋b ＋cD ． b －a ＋c6．已知OA ＝a , OB ＝b ,若|OA |＝12,|OB |＝5,且∠AOB ＝90°,则|a －b |= .7．在五边形ABCDE 中,设AB ＝a , AE ＝b , BC ＝c , ED ＝d ,用a 、b 、c 、d 表示CD ＝ .8．已知a 、b 是非零向量,则|a －b |＝|a |+|b |时,应满足条件 . 9．如图图2-2-2-3所示，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点.若，试证明： a －（b ＋c ）＝OD -四、活题与竞赛1.若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则△ABC的形图2-2-2-3图2-2-2-2状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形五、探究性学习1．平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，（1）用a，b表示向量AC、DB（2）当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（3）当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？(4) a+b与a-b可能是相等向量吗？附：参考答案2.2.2向量减法运算及其几何意义一、课前预习1．B 2.a与b的方向相反且都不为零向量 3. B=+，而BD= －b, 所以AD=a－b4.由于AD AB BD=+＝a+a－b二、高考链接由于四边形ABCD为平行四边形，所以AC AB AD举一反三1.D2. A三、自主研练1. C.2. D.3. B4.D5.A6．137.b+d－a－c8. a与b9．证明：四、活题与竞赛1. B五、探究性学习AB-= a-b1．解：(1)由平行四边形法则得：AC= a + b,DB= AD(2) |a| = |b| (3) a, b互相垂直(4) 不可能，因为平行四边形对角线方向不同。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1、 了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，CB+BA+BC= .解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作= a ， AB = b则= a - b A B D CO a b B a ba -b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、 例题：例1、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、.O AaB’b-b b Ba + (-b )a b A BD CA B C b a dcD O a -b A ABBB’ O a -b a a b b O A O B a -ba -bB A O -b解：由平行四边形法则得：= a + b，= = a-b变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a，b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵练习：Ｐ98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、５题六、板书设计（略）。
高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义学案(含解析)新人教A版必修4
第2课时 向量减法运算及其几何意义1.相反向量与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a . (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝0. (3)如果a ，b 是互为相反的向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)几何意义：已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．状元随笔 1.准确理解向量减法的几何意义(1)向量减法是向量加法的逆运算． 设x →＋b →＝a →，则x →＝a →－b →， 如图，设OA → ＝a →，OB → ＝b →. 由向量加法的三角形法则可知 OA → ＝OB → ＋BA →，∴BA → ＝OA → －OB → ＝a →－b →.(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．(3)以向量AB →＝a →，AD →＝b →为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a →＋b →，BD → ＝b →－a →，DB → ＝a →－b →.2．若a →，b →是不共线向量，|a →＋b →|与|a →－b →|的几何意义比较，如图所示，设OA →＝a →，OB →＝b →.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC →＝a →＋b →，BA →＝a →－b →.因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a →＋b →|＝|OC →|，|a →－b →|＝|BA →|分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( ) (2)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√2．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n | D ．方向相反解析：零向量m 与n 是相反向量，则有m ＝－n ，|m |＝|n |. 答案：A3．在三角形ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋b D ．－a －b解析：AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b . 答案：D4.PA →－PB →＝________. 解析：PA →－PB →＝BA →. 答案：BA →类型一 已知向量作差向量例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .方法三 如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .方法归纳求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练1 如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .解析：如图所示，以A 为起点分别作向量AB →和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b .连接CB ，得向量CB →＝a －b ，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ，连接DB ，得向量DB →＝(a －b )－c .则向量DB →即为所求作的向量a －b －c .先作a →－b →，再作a →－b →－c →. 类型二 向量的减法运算 例2 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．【解析】 方法一(统一成加法) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二(利用OA →－OB →＝BA →) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0.方法三(利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.方法归纳1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 跟踪训练2 在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________. 解析：AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 答案：AD →结合图形利用减法运算法则求．类型三 利用已知向量表示未知向量例3 如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【解析】 因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .由平行四边形的性质可知CD → ＝AE → ＝c →，由向量的减法可知：BC → ＝AC → －AB →，由向量的加法可知BD → ＝BC → ＋CD →.方法归纳利用已知向量表示其他向量的思路解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即AM →＝AB →＋BM →以及AB →＝NB →－NA →(M ，N 均是同一平面内的任意点)．跟踪训练3 本例中的条件“点B 是该平行四边形外一点”若换为“点B 是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解析：如图，因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .第一步：观察各向量的位置．第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形． 第三步：运用法则找关系． 第四步：化简结果．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0解析：根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.答案：C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)C.QC →－QP →＋CQ →D.PA →＋AB →－BQ →解析：D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 答案：D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →解析：在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 答案：C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 答案：A5．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分) 6.EF →＋DE →－DB →＝________. 解析：EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 答案：BF →7．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2.答案：0 28．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.解析：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .解析：在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .10．化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.解析：(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.[能力提升](20分钟，40分)11．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形解析：如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |， 所以|AC →|＝|DB →|. 所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 答案：C12．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④ 13.如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解析：由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c .(3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e .(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .14．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 所在直线的夹角．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则a －b ＝BA →，∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，∴△OAB 是等边三角形，∴∠BOA ＝60°.∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA .∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.2.2向量减法运算及其几何意义》教案(2)
2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
会求作两个向量相减的图。
教学重点：向量减法运算的几何意义，求作两个向量相减的向量图。
教学难点：向量加法与减法的关系与画法。
教学过程一、复习提问向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++ 解：CD AD CA AD BA CB =+=++ 二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a +0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a , = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
A BOa bBaba -b注意：1︒表示a - b 。
强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )，显然，此法作图较繁，但 最后作图可统一。
4．a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b例一、（P96 例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
解：在平面上取一点O ，作= a , = b , = c , = d , 作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得：= a + b, = - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b|？（a , b 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 练习：P96 作业：P101 4、7OABaB’b -bbBa + (-b )aba -bA B B’a -b a a b bO AOBa -bBA O-b ABCbad cDO。
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高中数学人教新课标A版必修4 第二章平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
同步练习C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2016高一下·安徽期末) 在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记
、分别为、，则 =（）
A . ﹣
B . +
C . ﹣ +
D . ﹣﹣
2. （2分） (2018高一下·商丘期末) 已知是单位向量，且，若向量满足，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高一下·芜湖期末) 如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则 + ﹣
=（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知分别是的边上的中线，且，则
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 如图所示，是边的中点，若，，则（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）已知为等边三角形，AB=2，设P,Q满足，若，则等于（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2016·连江模拟) 如图，在，设， AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR 的中点为P，若，则m+n=（）
A . 1
B .
C .
D .
8. （2分）在中，若，则是（）
A . 直角三角形
B . 锐角三角形
C . 钝角三角形
D . 等边三角形
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 设点O是面积为6的△ABC内部一点，且有 + +2 = ，则△AOC的面积为________
10. （1分）在边长为1的正方形ABCD中，设=，=,=则|--|=________
11. （1分）(2017·南通模拟) 如图，在平面四边形中，为的中点，且OA=3，OC=5．若
，则的值是________
三、解答题 (共3题；共25分)
12. （10分） (2018高一下·宁夏期末) 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点都在坐标原点，始边都与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点.
（1）若，两点的纵坐标分别为，，求的值；
（2）已知点是单位圆上的一点，且，求和的夹角的值.
13. （10分） (2018高一下·长春期末) 已知三点,其中 .
（1）若三点在同一条直线上,求的值；
（2）当时,求 .
14. （5分）如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，证明：
．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共25分)
12-1、
12-2、13-1、13-2、14-1、。