高等代数与线性代数-2005
线性代数高等代数知识点总结
一、知识结构框图
概念
性质
行列式 展开 计算
证|A|=0
应用
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概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号； 某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和； 消法变换。
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展开
n
D, 当i j,
aki Akj
k 1
D ij
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运算
行 列 式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊 矩阵
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转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
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证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
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应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
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二、特殊行列式的值
1.三角行列式
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本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
南京大学2005年高等代数考研试题及参考答案
123451231231231121311222321231323331424341525351121311.(,,,,),1,2,3;(,,),1,2,3,,.,,0i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α==β==αααβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一、判断题设正确！如果线形相关，则，，线形相关如果线形相关，齐次线性方程有非零解所以秩1112131222322122231323333132331424341525351112132122231233132333,30a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪=βββ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩〈，那么齐次线性方程也有非零解，所以，，线形相关1232.,.2102004211100212210010120123..101101014.A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A ，B V V V 是线性空间V 的子空间⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设都是阶正定的矩阵，则也是正定的错误！设，，，显然非对称如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似，，123112112211225..00，而且任意两个的交为0V V V V P A ，B C V A AB AC B C V P A ，B C V A A B B C C AB AC B C+==ε=εε=ε=εε=εε=ε+εε===，则+是直和。
正确！设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换如果，则错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换，；，；，得出，但！ ,65432414243441.()106_310580201115(12)2005200311202.,2340246813573.(1,2,1),(1,2,1),(1,2,1),(2,3,1)(1,2,0),f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A 相似的矩阵是：B与A 合=-+-+-==+++==-=-=--=-=二、填空则则在实数域上，，，，中，32200.21043det()?(210)3425.||111()()()(1)3333100100310033同，但不相似的矩阵是：D与A 等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C4A B A A E B A A A f ⎛⎫- ⎪==+-= ⎪ ⎪⎝⎭=λ=λ++λ+-λ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，，1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？322212312312132323(,,)255448222254245det()(1)(10)()10(1,2,2)'()1(2,1,0)',(2,0,1)'f x x x x x x x x x x x x E A i ii =+++--⎛⎫- ⎪- ⎪⎪--⎝⎭λ-=λ-λ-λ=α=-λ=α=-α=12三、用正交线性变换将二次型化为标准型，并写出正交线性变换该二次型对应的矩阵A=当，对应的特征向量当，对应的特征向量然后用施23(1,2,2)';(2,1,0)';(2,4,5)'β=-β=-β=1密特法正交化12311111111111(,,),000000n n n C X CY四、设A ，B 都是数域上的n 阶方阵，A 有n 个不同的特征值，AB =BA 证明B 相似于对角阵A n A T T AT AB =BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT -------=βββ=⎛⎫λ ⎪=λλ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭=⎛⎫λλ ⎪= ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭ 令变换由于有个不同的特征值，所以可以对角化也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同由于，所以即1111111111111111111111000000n n n n nn n n nn n n nn n n m mn n a a a a T BT a a a a a a a a a a a T BT a a a --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫λ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫λ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设，所以化简得出为对角阵，即n ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即证((),())1()((),())1,(),(),()()()()1,()()()()()0,()(),|()||()|||1()!0,f f(A)m f i m f m f A m A A f A E m A A f A E A f A E f A f(A)λλ⇔λλ=λλ=μλνλμλλ+νλλ=μ+ν==ν=ν===五、设m()是数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式，()是数域P 上的任意多项式证明：可逆若所以存在多项式使得所以又因为所以所以从而可逆(((),())()()|(),()|()()0()0)|()|()()|0,1若f(A)可逆m f d d m d f d m A d d A d(A)=0d f f A f(A)d λλ=λ∴λλλλλλ=λλ=λλλλ=λ0000ii)，设如果是的一个解，那么是的一个解也就意味着是的一个特征值，且()是(的一个特征值所以|,由于，所以|这与可逆矛盾()=。
高等代数
《线性代数》序言我们开设的《线性代数》这门课程属于近代数学范畴。
“线性”一词源于平面解析几何中一次方程是直线方程，在这里意指数学变量之间的关系是以一次形式来表达的。
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，虽形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述。
在18~19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展。
线性代数是讨论有限维空间的线性理论的课程，由于线性问题广泛存在于自然科学和技术科学的各个领域，且某些非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理，因此线性代数知识应用广泛，这也使得线性代数这门课程越来越受到重视，因此也成为考研的热门课程。
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
线代以矩阵、n维向量和线性方程组为其三条知识主线，虽然它们抽象源自不同的对象，但对同一事物经常可以用这三种语言从不同的角度给于诠释，三条知识主线关系密切，它们交错前行，相互解释与解决问题，让初学者有错综复杂的感受，初学时常感到混乱从而困惑，随着知识的积累和消化，最后常常豁然开朗，感觉线条清晰简单。
常听到对线代学习截然不同的评价：难学——还在山中；简单——攀至顶峰。
四、如何学好线性代数线性代数的特点是以离散变量为研究对象，具有较强的抽象性、逻辑性和应用性，其抽象度之高使得其学习理解的难度远在微积分之上，性质与结论相当琐碎，常有建立一个概念，立即可得一串结论，且有些结论书上也不逐一点明，需要我们积极思维探索。
授课仍以课堂讲解为主，为减轻学习难度我们十分注重讲解知识的背景、结构与应用，学习的过程中应注意从知识系统的纵向联系和数学思想方法系统的横向联系这两个维度上更好地把握学科的基本结构。
要想学好线性代数，应将强烈的自我学习、自主学习的意念和能力与学习过程紧密配合，这起码要求同学们在学习过程中应做到：（1）提升上课的学习效率；科学研究表明仅自学一般可达15%的效果，听讲可达25%的效果，两者结合起来则可获得60%的效果。
高等代数和线性代数
《高等代数》
课程教学大纲
（课程代码：）
本课程教学大纲由数学与统计学院高等数学教学部讨论制订，数学与统计学院教学工作委员会审定，教务处审核批准。
一、课程基本信息
课程名称：高等代数课程代码：
课程类别：专业核心课程
适用专业：小学教育（数学）
课程修读性质：必修先修课程：中数学
学分：6学分学时：90学时
2
线性方程组和向量
1.消元法
课程目标2
重点：
1.线性相关性
2.矩阵的秩
3.线性方程组的解的判定
4.线性方程组解的结构
难点：
5.线性相关性
讲授法
24
2.向量空间
课程目标2
3.线性相关性
课程目标2
4.矩阵的秩
课程目标2
5.线性方程组的解的判定
课程目标2
6.线性方程组解的结构
课程目标2
3
矩阵
1.矩阵的运算
学时
1
行列式
1.排列
课程目标1
重点：
1.行列式的基本概念和性质
2.行列式的计算
3.行列式按一行（列）展开
难点：
5.行列式的计算
6.行列式按一行（列）展开
讲授法
18
2.低阶行列式
课程目标1
3.行列式的基本概念和性质
课程目标1
4.行列式的计算
课程目标1
5.行列式按一行（列）展开
课程目标1
6.克拉默法则
课程目标1
课程目标5
教学方法
本课程主要采用讲授法，结合多媒体课件提高讲课效率。
四、课程考核
（一）考核内容与考核方式
课程目标
高等代数1
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
高等代数知识体系 数值分析与线性代数
高等代数知识体系数值分析与线性代数高等代数是数学的一个重要分支，它涉及一系列抽象的数学概念和理论，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
在高等代数的学习和应用过程中，数值分析和线性代数是不可或缺的两个方面。
一、数值分析数值分析是研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它通过数值计算来近似求解无法用解析方法得到精确解的问题，包括求解非线性方程、数值积分、差分方程等。
数值分析的基本原理和方法是在给定的数学模型基础上，通过离散化、近似计算等手段，得到问题的数值解。
数值分析的核心内容包括插值与逼近、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等。
插值与逼近用于通过已知数据估计函数的值，数值积分研究如何用数值方法近似计算函数的积分，常微分方程的数值解法是为了解决微分方程的数值解问题，线性方程组的数值解法是为了求解线性方程组的数值解。
二、线性代数线性代数是研究线性方程组、向量空间和线性变换等代数结构的学科。
它是数学中的一个基础学科，也是许多应用学科的重要工具和方法。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间、线性方程组、矩阵等。
线性代数的核心内容包括线性方程组的解法、矩阵理论、特征值与特征向量、向量空间与线性映射等。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法等，矩阵理论研究矩阵的性质和运算规律，特征值与特征向量揭示了矩阵的重要性质，向量空间与线性映射研究向量的线性组合和线性映射的性质。
三、高等代数知识体系与应用高等代数知识体系是数值分析和线性代数的有机结合，通过运用高等代数的基本概念、原理和方法，解决实际问题。
数值分析和线性代数在科学与工程计算、数据处理与统计学、优化与控制等领域有广泛的应用。
在科学与工程计算中，数值分析和线性代数被广泛应用于模拟计算、数值模拟和优化计算等领域。
例如，通过数值计算方法求解微分方程、求解大规模线性方程组、优化问题等，可以得到实际问题的数值解。
在数据处理与统计学中，数值分析和线性代数被广泛应用于数据分析、数据挖掘和机器学习等领域。
高等代数基础知识
高等代数基础知识代数是数学的一个分支，涵盖了一系列基本的代数操作以及它们的扩展。
其中最基础的分支就是高等代数，也是所有数学学科中最重要且基础的一门学科之一。
高等代数包含了如线性代数、群论、环论和域论等多个分支，本篇文章将重点讲述高等代数基础知识。
一、线性代数线性代数是高等代数中最基础的部分。
它是对于向量空间这样一个对象进行研究的，而向量空间是指在加法和数乘下满足一定条件的一组向量所组成的集合。
在线性代数中，我们可以对向量进行加法和数乘等操作，同时还可以定义矩阵和行列式的概念，通过它们来求解线性方程组等问题。
在线性代数的学习过程中，我们需要掌握向量的代数性质（如加法和数乘运算的结合律、分配率和交换律等）、向量空间的基本性质（如线性组合、线性相关/无关和基和维数等）、矩阵的基本性质（如矩阵的加法和数乘运算、矩阵的秩和逆矩阵等）以及行列式的基本性质（如行列式的加法和数乘运算、行列式的性质和行列式的应用等）。
二、群论群论是对称性的一种数学描述。
它研究的是一种由一组抽象的对象及其上的一种代数运算所构成的系统，这个运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元等基本条件。
在群论中，我们可以根据群的定义来讨论如群的分类、子群的定义和性质、同态映射和陪集的概念等问题。
在群论的学习中，我们需要掌握群和子群的定义和性质，群的同态和同构的概念和相关性质，化简群和群的商的概念和相关性质，以及Sylow定理和有限群的分类等内容。
三、环论环论是环的代数性质的研究。
在环论中，我们研究的对象是一个非空集合，该集合上定义了两个二元运算，同时满足一些特殊的性质。
这些性质包括封闭性、结合律、分配律、幺元元素等。
在环论中，我们可以研究环、整环、域、多项式环以及模。
通过环论的学习，可以更好的理解线性代数中矩阵行列式的概念和相关性质。
在环论的学习中，我们需要掌握环和整环的概念和性质、域和多项式环的定义和性质、模和自由模的概念以及欧几里得算法等内容。
华中科技大学2005高等代数解答
华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题以下各题每题15分,共150分博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！1．解线性方程组 231232312323123,,,x ax a x a x bx b x b x cx c x c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相等的数．2．证明: 任一n 阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE 形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.3．设A 为m n ⨯实矩阵,E 为n 阶单位阵,TB E A A λ=+, 证明: 当0λ>时,B 为正定矩阵.4. 设A 为n 阶不可逆方阵,证明:A 的伴随矩阵*A 的特征值至少有1n -个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于1122nn A A A +++ .5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.6. 设A 为m n ⨯矩阵,b 为m 维列向量,证明AX b =有解的充分必要条件是对满足0T A z =的m 维列向量z 也一定满足0T b z =.7. 证明: 任一n 阶实可逆矩阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积, 即A QS =.8. 设n nM P⨯∈,(),()[]f x g x P x ∈, 且((),())1f x g x =. 令()A f M =,()B g M =,12,,W W W 分别为线性方程组0ABX =,0AX =,0BX =的解空间.证明12W W W =⊕.9. 设Ω是一些n 阶方阵组成的集合, 其中元素满足,A B ∀∈Ω, 都有AB ∈Ω,且3()AB BA =, 证明:(1) 交换律在Ω中成立.(2) 当E ∈Ω时,Ω中矩阵的行列式的值只可能为0,1±. 10. 证明: 不存在n 阶正交阵,A B , 使得22A AB B =+.华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式222111a a D b b cc =()()()b a c a c b =---因为,,a b c 互不相等,故0D ≠.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取3232132a a a Db b bc c c ==()()()abc b a c a c b --- 3232232111a a D bb c c =()()()(a b a c b c b a c a c b =++---3333111a a D b b cc =()()()()a b c b a c a c b =++---那么方程组的唯一解为11D x abc D ==, 12D x ab ac bc D ==++, 13Dx a b c D==++. ■2. 设A 是任一个n 阶方阵,()ij n n A a ⨯=.假设A 可以写成A kEB =+的形式,其中k 为数域P 中的一个数,()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵.那么11220,1,2,,,,,1,2,,.nn ii ii ij ij b b b a k b i n a b i j i j n +++==+==≠=于是111(),nnniiiiiii i i a k b nk bnk ====+=+=∑∑∑即11.nii i k a n ==∑从ii ii a k b =+得11.nii ii ii jj j b a k a a n ==-=-∑取11,nii i k a n ==∑1,1,,,n ii jj j ij ij a a i j n b a i j =⎧-=⎪=⎨⎪≠⎩∑若若那么()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵,且A kE B =+. ■3. 对于任一个非零实n 维列向量1n c C c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,有12211(,,)0T n n n c C C c c c c c ⎛⎫ ⎪==++> ⎪ ⎪⎝⎭.令1n d AC d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么12211()()()(,,)0T T T n n n d C A A C AC AC d d d d d ⎛⎫ ⎪===++≥ ⎪ ⎪⎝⎭.由于0λ>,故222211221()()()()()0T T T T T T n n n C BCC E A A C C C C A A C c c d d c c λλλλ=+=+=+++++≥++>由正定矩阵的定义知,B 是正定矩阵. ■4. 设A 是数域P 上的n 阶不可逆方阵, 则rank A n <, ||0A =.若rank 1A n <-,则A 的所有1n -阶子式都为0,从而A *的元素0ij A =.这时0A *=. 显然,A *的n 个特征值都是0,结论成立.若rank 1A n =-,则A 至少有一个1n -阶子式不为0,故0A *≠,rank 1A *≥. (1)由||00AA A E E *===知,A *的每个列向量都是齐次线性方程组0AX =的解向量.设{|0}n V X P AX =∈=,12(,,,)n A ααα*= .由线性空间的理论和线性方程组的理论知rank A *=dim 12(,,,)n L ααα≤ dim V n =-rank (1)1A n n =--=. (2)由(1),(2)知rank 1A *=.因为rank 1A *=,故存在可逆矩阵n nT P⨯∈,使得12000,000n c c c TA *⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,n c c c P ∈ ,且不全为零.这时121000,000n d d d TA T *-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11212(,,)(,,)n n d d d c c c T-= ,而12,,n d d d 不全为零.注意A *的特征多项式为1211100||||()0nn d d d E A E TA T d λλλλλλλ**------=-==-.因此,当10d =时,A *的n 个特征值都为0；当10d ≠时,A *的特征值为0(1n -重),1d (一重).注意,对于一般的n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=来说,若A 的特征值为12,,,n λλλ ,则121122n nn a a a λλλ+++=+++ .因此,对于本题来说,当A *有1n -个特征值为0,而另一个特征值10d ≠时,有11122nn d A A A =+++ . ■5．设,A B 都是数域P 上的n n ⨯矩阵,且A 与B 相似.那么存在P 上n n ⨯可逆矩阵T 使得1T AT B -=.设A 的最小多项式为()f x ,B 的最小多项式为()g x ,则()0f A =,()0g B =.由多项式带余除法知,存在(),()[]q x r x P x ∈使得()()()()g x f x q x r x =+, (1)其中()0r x =,或(())(())r x f x ∂<∂.将x A =代入上式,得()()()()0()()()g A f A q A r A q A r A r A =+=+=,即()()g A r A =.于是1111()()()()()()g B g T AT T g A T T r A T r T AT r B ----=====,但()0g B =,故()0r B =,即有 11()()()0T r A T r T AT r B --===.于是有()0r A =.由于()f x 是满足()0f A =的次数最低的多项式,故()0r x =.由(1)知()()()g x f x q x =,即()|()f x g x .同理可证()|()g x f x .注意(),()f x g x 都是最高次项系数为1的非零多项式,故()()f x g x =. ■6. 必要性.设AX b =有解,即存在0n X P ∈使得0AX b =.记10n a X a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.设10n c z c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为0TA z =的任一解,即00T A z =,则12(,,,)0n c c c A = .于是112(,,,)0n n a c c c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即12(,,,)0n c c c b = .因此10T n c b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即00T b Z =,这说明0Z 是0Tb Z =的解. ■7. 因为A 是n 阶实可逆矩阵,则TA A 是正定矩阵.于是存在n n ⨯正交矩阵U 使得1(),0,1,2,,T T i n U A A U R i n λλλ⎛⎫ ⎪=<∈= ⎪ ⎪⎝⎭.于是T T U A AU E ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝. (1)令1Q AU ⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎝,从(1)式知,1Q 是正交矩阵.令1,TT Q QU AU U ⎫⎪⎪⎪== ⎪⎝,T S U U ⎫⎪= ⎪ ⎝那么Q 是正交矩阵,S 是正定矩阵,且1Q AS -=,即A QS =. ■8. 因为((),())1f x g x =,由多项式互素的充要条件知,存在(),()[]u x v x P x ∈使得()()()()1u x f x v x g x +=.将x M =代入上式,得()()()()u M f M v M g M E +=,即()()u M A v M B E +=.任取W α∈,则0AB α=,()()u M A v M B ααα+=.取1()v M B αα=,2()u M A αα=.由于,A B 都是M 的多项式,故AB BA =,进而有()(),()().Av M v M A Bu M u M B ==于是12()()()()00,()()()()()()00A Av MB v M AB v M B Bu M A u M BA u M AB u M ααααααα=========即11W α∈,22W α∈.因此12ααα=+,11W α∈,22W α∈,从而有12W W W ⊆+.注意到AB BA =,容易看出,1W W ⊆,2W W ⊆,从而12W W W +⊆.因此12W W W =+. (1)任取12W W β∈⋂,则0A β=,0B β=.于是(()())()()000E u M A v M B u M A v M B βββββ==+=+=+=,故12{0}W W ⋂=. (2)由(1),(2)式可得12W W W =⊕. ■9. (1) 任取,A B ∈Ω,由所给条件知AB ∈Ω,BA ∈Ω.令X AB =,2()Y AB =,则,X Y ∈Ω.于是32323333()()()()(()())(())()BAAB AB AB XY YX AB AB AB BA AB========即交换律在Ω中成立.(2) 任取A ∈Ω, 若E ∈Ω, 则33()A EA AE A ===.对上式两边取行列式, 得3||||A A =, 即2||(||1)0A A -=. 于是||0A =或2||10A -=,即||0A =或||1A =±. ■10. 反证法.假设存在正交矩阵,A B ,使22A AB B =+,则22TTTA A A AB A B =+. 由于正交矩阵A 满足1TA A -=,故2T A B A B =+注意2TA B 是正交矩阵,且2TA B A B =-,故A B -是正交矩阵.于是()()()()2T T T T T T T T T E A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =--=--=+--=--即T T E AB BA =+. (1)从22A AB B =+得22TTTA B ABB B B A B =+=+.由于2TA B 也是正交矩阵,故A B +是正交矩阵,且()()()()2T T T T T T T T TE A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =++=++=+++=++即T T E AB BA =--. (2)将(1),(2)左右两端分别相加,得20E =, 这显然是不可能的. ■。