4《学习指南 试题精解》 第四章 功 和 能

第4章 功 和 能4.1 基本要求1、掌握：保守力、功、场、势能物理量的概念和动能定理；2、能借助于形象思维和联想，建立质点动力学方程求功和能；3、能熟练地应用能量守恒和微积分求解功、保守力场的势能等问题。

4.2 内容提要1、功功是度量能量转换和传递的物理量。

功的大小等于质点所受到的力和它位置的标积，即dr F r d F dA αcos =∙=，式中α为F 与r d 的夹角。

若质点在变力作用下，从a 点沿曲线路径运动到b 点，则变力在这过程中所作的功为⎰⎰∙==babar d F dA A 。

功是标量，其单位时是J （焦耳）。

（1）、重力的功质点在地面上方不高的范围内，从高度1h 经任一路径到达高度2h 的过程中，重力所作的功为：P E mgh mgh mgh mgh A ∆-=--=-=)(1221；（2）、弹力的功径动系数为k 的弹簧，在弹性限度内，使质量为m 的质点从平衡位置1x 处到达位置2x 处，弹力所作的功为：22212121kx kx A -=；（3）、万有引力的功一质点1m 受到另一质点2m 的引力的作用，从离2m 的距离1r 经任一路径到达2r 处，引力对1m 所作的功为：)(221121r m m Gr m m GA --=；（4）、保守力的功重力、弹力和万有引力所作的功都与运动的路径无关，只与始末位置有关，这种力称为保守力。

保守力的特点可表示为0=∙⎰r d F ，即质点所受的保守力，经任一路径回到原处时，作功为零。

摩擦力和阻力等则是非保守力。

2、功率力在单位时间内所作的功，称为功率，即 vF dtdA P ∙==。

功的单位是W （瓦），常用的单位还有HP （马力），并规定 W HP 7351=。

有时把功率和时间的单位相结合作为功的单位，例如：h kW ∙（千瓦小时），)(106.314J kWh ⨯=。

3、动能质点由于运动而具有的能量，称为动能。

质量为m ，速度为v 的质点的动能为 221mvE k =。

当质点的运动速度接近真空中的光速C 时，质点的质量将随速度而变化。

此时，它的动能由相对论给出，为202cm mcE k -=，式中0m 为质点的静止质量，m 为运动质量。

4、势能物体系统中，各物体之间或物体内部各部分之间存在保守力的相互作用，与相对位置有关的能量，称为势能。

势能是属于系统的，不是单个物体所具有。

（1）、重力势能地球与地面附近物体之间因引力作用为具有势能，称为重力势能。

若以地球表面的重力势能为零，则质量为m 的物体离地面高为h 处的重力势能为mghE p =。

（2）、弹性势能物体形变时，由于各部分之间存在弹力的相互作用二具有的势能，称为弹性势能。

在弹性限度内，如以弹簧的自然长度为零势能点，则弹簧的弹性势能为221kxE p =，式中k 为弹簧的劲度常数，x 是其拉伸或压缩的距离。

（3）、引力势能物体系统中各物体之间，由于万有引力作用而具有的势能，称为引力势能。

若以无限远处为引力势能的零点，则引力势能为：rmM GE p -=，式中m 和M 分别为两物体的质量，r 为它们间的距离。

5、动能定理作用于质点的合力在某一路程中对质点所做的功，等于质点在该路程的始末状态动能的增量。

即k ka kbbaE E Er d F A ∆=-=∙=⎰。

6、质点系的动能定理对于系统来说,质点除受外力外,还要受到质点间相互作用的内力。

因此，一个质点系的总动能的增量等于质点系的外力和内力做功的总和。

即k ka kb E E E A A ∆=-=+内外。

7、功能原理一个质点系的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的和，称为系统的功能原理；数学表达式： E E E A A ∆=-=+0内外8、机械能守恒定律在一个孤立系统内非保守力不做功，则该系统的机械能保持不变；数学表达式：0=外A 和 0=非保内A ；E E +卡 = 恒量 。

或者说，如果一个系统只有保守力作功，其他内力和一切内力都不作功，或者它们的总功为零，则系统内的各物体的动能和势能可以相互转换，但是机械能的总能量保持不变。

这个结论叫做机械能守恒定律。

9、能量守恒定律能量是物质运动的一种度量。

自然界的一切物质都具有能量，对应于物质的各种运动形式，能量具有不同的形式，能量既不能消灭，也不能产生；它只能从一种形式转换为另一种形式，其总和保持不变。

能量守恒定律是自然界中具有最大普适性的定律之一。

4.3 解题思路1、要明确功是一个质点运动过程有关的量，即“过程量”。

计算功时要清楚质点移动的路径，然后沿着路径进行力的线积分。

只有保守力的功才与路径无关，而用势能差来求相应的保守力从初始位置到终了位置的过程中所做的功。

功是两矢量的标积，是标量，但是有正负；2、动能定理说明功和能的关系。

这一关系显示了功的正负的意义。

外力对质点做正功，质点的动能增加；而负功意味着质点的动能将减小。

利用关于质点系的动能定理计算质点系的动能变化时，不可忘记系统内力做功的影响；3、利用机械能守恒定律解题和利用动量守恒定律解题的思路相同。

在分析系统的运动状态时，要着重分清初态和终态系统内各质点动能和势能，从而计算出初态和终态系统的总机械能。

如果系统内无非保守力作用，机械能的改变就只由系统所受的外力的功决定。

关于势能的计算，一定要明确势能零点的选举择；4、关于质点和质点系的问题，有三条守恒定律（动量、角动量和机械能）可利用。

因此，在解力学问题时，除直接利用牛顿定律外，要自觉地想到用守恒定律进行分析。

当然，要注意这些守恒定律的条件是各不相同的。

4.4 思考题解答1、同一过程中的某一个力做的功，比如，你在匀速运动的卡车上把木箱拉动一段距离时，你的拉力做的功，其大小与参考系的选择有关吗？答：同一个力做的功在不同的参考系中计算是不同的，即功与参考系有关。

木箱受到的力F 的作用点在地面参考系和卡车参考系中的位移是不同的，所以力F 的功也就不同了。

2、一个物体的机械能和参考系有关吗？答：由于不同的参考系中，同一个物体在同一时刻的速度是不同的，所以它的动能不同。

一个系统的机械能是系统中物体动能和势能之和。

势能是和参考系无关的，而动能又与参考系相关，所以机械能与参考系有关。

动能定理是由牛顿第二定律导出，牛顿第二定律与参考系有关，所以动能定理也与参考系有关，且适用于任何惯性参考系。

4.5 习题精解4.1、有一劲度系数为k 的轻弹簧，原长为l 0，将它吊在天花板上．当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为l 1．然后在托盘中放一重物，弹簧长度变为l 2，则由l 1伸长至l 2的过程中，弹性力所做的功为(A) ⎰-21d l l x kx ．(B)⎰21d l l xkx ．(C) ⎰---0201d l l l l x kx ．(D)⎰--0201d l l l l x kx ． ［ ］解答：外力做功，使弹簧伸长，弹性力所做的负功⎰=21l l FdxA ，kx F -=弹性力所做的功为⎰---0201d l l l l x kx ，故（C ）为正确答案。

4.2、一个质点同时在几个力作用下的位移为：k j i r654+-=∆ (SI)其中一个力为恒力kj i F953+--= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为(A) -67 J ． (B) 17 J ， (C) 67 J ．(D) 91 J ． [ ] 解：功的定义为：r F A ∆∙=，则)654()953(k j i k j i A +-∙+--= 由矢量代数知识可知：0;1,1,1=∙=∙=∙=∙=∙=∙k j k i j i k k j j i iJA 6769)5()5(4)3(=⨯+-⨯-+⨯-=，故（C ）为正确答案。

4.3、在由两个物体组成的系统不受外力作用而发生非弹性碰撞的过程中，系统的(A) 动能和动量都守恒(B) 动能和动量都不守恒； (C) 动能不守恒，动量守恒；(D) 动能守恒，动量不守恒.。

［ ］解：两个物体组成的系统不受外力作用，动量守恒；而发生非弹性碰撞的过程中有形变发生伴随着能量的损失，所以动能不守恒，故（C ）为正确答案。

4.4、质点的质量为m ，置于光滑球面的顶点A 处(球面固定不动)，如图所示．当它由静止开始下滑到球面上B 点时，它的加速度的大小为 (A) )cos 1(2θ-=g a ．(B) θsin g a =．(C) g a =． 图4.1 (D)θθ2222sin )cos 1(4g g a +-=/sin θ． [ ]解：分析：第一、将质点、光滑球面和地球组成一个系统，在质点运动的整个过程中，无外力做功，机械能守恒。

第二、质点沿光滑球面做圆周运动，加速度为向心加速度与重力加速度之合成。

1、机械能守恒221)cos (mVR R mg =-θ，)cos 1(22θ-=gR V（1）2、质点沿光滑球面做圆周运动θsin 2R Va n =，θθsin )cos 1(2-=g a n （2）3、加速度合成θθθ2222sin )cos 1(4sin +-=+=g ga a n ，故（D ）为正确答案。

4.5、质量m ＝2 kg 的质点在力i t F12=(SI)的作用下，从静止出发沿x 轴正向作直线运动，求前三秒内该力所作的功．解题思路：应用变量变换积分法求解dtdr v =，⎰⎰=⋅=ttv r F A d 12d而质点的速度与时间的关系为203d 212d 0d tt t t mF t a ttt==+=+=⎰⎰⎰v v所以力F所作的功为⎰⎰==3332d 36d )3(12t t t tt A =729 J4.6、关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是 (A) 不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒； [ ] (B) 所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒；(C) 不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒； (D) 外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒。

解： 系统的机械能和动量同时守恒的条件是：合外力为零且不作功，而内力都是保守力的情况下，系统的机械能和动量才能同时守恒，故C ）为正确答案。

4.7、如图4.2所示，质量分别为1m 和2m 的物体A 和B ，置于光滑桌面上，A 和B 之间连有一轻弹簧．另有质量为3m 和4m 的物体C 和D 分别置于物体A 与B 之上，且物体A 和C 、B 和D 之间的摩擦系数均不为零。

首先 图4.2 用外力沿水平方向相向推压A 和B ，使弹簧被压缩．然后撤掉外力，则在A 和B 弹开的过程中，对A 、B 、C 、D 弹簧组成的系统(A) 动量守恒，机械能守恒． (B) 动量不守恒，机械能守恒． (C) 动量不守恒，机械能不守恒．(D) 动量守恒，机械能不一定守恒． [ ] 解答：动量守恒的条件是：孤立系统所受合外力为零，该系统初态时受外力作用，所以动量不守恒；机械能守恒的条件是：能量没有损耗，A 与C 和B 与D 之间摩擦力做功，机械能不守恒。