第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
2019-2020学年人教B版必修第二册 6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则12a－32b＝( )
A．(－1,2) B．(1，－2)
C．(－1，－2) D．(1,2)
答案 A
解析 12a－32b＝12(1,1)－32(1，－1)＝( 12－32，12＋32 )＝(－1,2)．
2．已知点M的坐标为(4，－1)，且AB→＝(4，－1)，下列各项中正确的是( )
A．点M与点A重合
B．点M与点B重合
C．点M在AB→上
D．OM→＝AB→(O为坐标原点)
答案 D
解析 由于M(4，－1)，所以OM→＝(4，－1)＝AB→.
3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
答案 B
解析 由已知可设c＝xa＋yb⇒ 4＝x－y，2＝x＋y⇒ x＝3，y＝－1.
所以c＝3a－b.
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 由题意得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．故选D． 5．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1,1)} B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．∅
答案 C
解析 设a∈M∩N，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．
2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算课时作业新人教A版必修第二册
6.2.3 向量的数乘运算
一、选择题
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．点C在直线AB上，且AC→＝3AB→，则BC→等于( )
A．－2AB→ B.13AB→
C．－13AB→ D．2AB→
解析：如图，AC→＝3AB→，所以BC→＝2AB→.
答案：D
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.3
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝－32－m，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
4.
如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝( )
A．a＋34b
B.34a＋14b C.14a＋14b
D.14a＋34b
解析：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.
答案：D
二、填空题
5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案：2
6．点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝________AB→，BC→＝________AB→.
解析：因为C在线段AB上，且ACCB＝32，所以AC→与AB→方向相同，BC→与AB→方向相反，且ACAB＝35，BCAB＝25，所以AC→＝35AB→，BC→＝－25AB→.
答案：35 －25
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，
新课程必修第二册《6.2 平面向量的运算》核心素养教学设计(4课时)
1 6.2.1 向量的加法运算
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；
2.教学难点：向量加法的运算律。
多媒体
课程目标 学科素养
A.理解向量加法的意义；
B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；
C.理解向量的运算律；
D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。 1.数学抽象：向量的加法；
2.逻辑推理：向量的加法法则；
3.数学运算：求向量的和；
4.直观想象：向量加法的集合意义。
2 教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、复习回顾，温故知新
1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
【答案】向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量。
2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知
思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？
【答案】 从运算的角度看， AC可以认为是AB与BC的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作bABaOA,，则向量OB叫做a和b的和，记作ba．即OBABOAba。
新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)
人教B版高中数学必修第二册全册学案
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 ................................................................................ - 2 -
4.1 指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -
4.1.1 实数指数幂及其运算 .................................................................................. - 2 -
4.1.2 指数函数的性质与图像 .............................................................................. - 7 -
第1课时 指数函数的性质与图像 .............................................................. - 7 -
第2课时 指数函数的性质与图像的应用 ................................................ - 13 -
4.2 对数与对数函数................................................................................................... - 19 -
4.2.1 对数运算 ................................................................................................... - 19 -
【新教材】高中数学必修第二册知识点
第1页共42页【新教材】高中数学必修第二册
三部分知识点
课本目录
知识点目录
章节思维导图
第2页共42页新人教版高中数学必修（第二册）课本目录
第六章平面向量及其应用
6.1平面向量的概念
6.2平面向量的运算
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.4平面向量的应用
第七章复数
7.1复数的概念
7.2复数的四则运算
7.3复数的三角表示
第八章立体几何初步
8.1基本立体图形
8.2立体图形的直观图
8.3简单几何体的表面积与体积
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.5空间直线、平面的平行
8.6空间直线、平面的垂直
第九章统计
9.1随机抽样
9.2用样本估计总体
9.3统计分析案例
第十章概率
10.1随机事件与概率
10.2事件的相互独立性
10.3频率与概率
第3页共42页新人教版高中数学必修（第二册）知识点目录
§6.1平面向量的概念.............................................................................................................................5
§6.2平面向量的运算.............................................................................................................................6
6.2.1向量的加法运算.....................................................................................................................6
6.2.2向量的减法运算.....................................................................................................................7
6.2平面向量的运算第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
第六章平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第1课时向量的加法、减法运算
【课程标准】
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算法则及运算律，
理解其几何意义
2.掌握向量加法与减法的关系，并能正确做出两个向量的差向量
【知识要点归纳】
1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法
法则三角
形法
则前提已知非零向量a，b
作法在平面内任取一点A，作AB
＝a，BC
＝b，再作向
量AC
结论向量AB
叫做a与b的和，记作a＋b，
即a＋b＝AB
＋BC
＝AC
图形
法平行前提已知不共线的两个向量a，b则四边
形法
则作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知
向量a，b为邻边作▱OACB
结论对角线OC
就是a与b的和图形
规
定对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a
注意：
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不
共线的向量求和，需要根据具体题目选择合适法则。
(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应
注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看
作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．向量的有关性质
（1）一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
（2）在ABC中，0ABBCCA
.
（3）向量加法的运算律
交换律a＋b＝b＋a
结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
3．相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
(2)结论
①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
注意：
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向
6.2.1向量基本定理 教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册
一、教材内容分析
6.2.1平面向量基本定理
本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 2 第六章第 2 节向量
基本定理与向量的坐标的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。
平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平
面推广的结果。定理实际上又是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向
量的基本关系和基本结构，为学生后续学习向量坐标表示及空间向量基本定理打
下基础。定理的学习也提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标
1、知识和能力：1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式
3、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2、过程和方法：通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3、情感态度价值观目标：经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中 形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
三、学习者特征分析
（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，
积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运
算有了初步的认知。同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量
和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。
（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组
向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.
（4）让学生通过对课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定
理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高，所以这部分
高中数学人教A版必修第二册教师用书19-20 第6章 6.2.3 向量的数乘运算
6.2.3 向量的数乘运算
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(
重点)
2.理解并掌握向量数乘的运算律,会进行向量的数乘运算．( 重点)
3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．( 难点)
4.理解实数相乘与向量数乘的区别．( 易混点) 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知,再过渡到数乘运算及数乘运算律,养成数学抽象和数学运算的核心素养.
2.通过判断向量共线的学习,培养逻辑推理和数据分析的核心素养.
1．向量的数乘运算
( 1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度与方向规定如下:
①|λa|＝|λ||a|;
②当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反．
( 2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有:
①λ( μ a)＝( λμ)a;
②( λ＋μ)a＝λa＋μ a;
③λ( a＋b)＝λa＋λb;
特别地,有( －λ)a＝λ( －a)＝－( λa);
λ( a－b)＝λa－λb.
( 3)线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ( μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
2．共线向量定理
向量a( a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b＝λa.
思考:定理中把“a≠0”去掉可以吗?
[提示] 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0,则实数λ可以是任意实数;若a＝0,b≠0,则不存在实数λ,使得b＝λa.
1．若|a|＝1,|b|＝2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
A [因a,b方向相同,故b＝2a.]
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点,下列正确的是( )
高中数学人教B版教材目录
高中数学人教B版目录
（2019版高中数学B版新教材一共有7本，分别是必修4本，选择性必修3本。）
人教B版 （2019）必修一
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.2 常用逻辑用语
第二章 等式与不等式
2.1等式
2.2 不等式
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
3.3 函数的应用 (一)
人教B版 （2019）必修二
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.2 对数与对数函数
4.3 指数函数与对数函数的关系
4.4 幂函数
4.5 增长速度的比较
4.6 函数的应用 (二)
第五章 统计与概率
5.1 统计
5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
5.3 概率
5.4 统计与概率的应用
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.3 平面向量线性运算的应用
人教B版 （2019）必修三
第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.2 任意角的三角函数
7.3 三角函数的性质与图像
7.4 数学建模活动：周期现象的描述
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.2 三角恒等变换
人教B版 （2019）必修四
第九章 解三角形
9.1 正弦定理与余弦定理
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
9.3 数学探究活动：得到不可达两点
第十章 复数
10.1 复数及其几何意义
10.2 复数的运算
10.3 复数的三角形式及其运算
第十一章 立体几何初步
11.1 空间几何体
11.2 平面的基本事实与推论
11.3 空间中的平行关系
11.4 空间中的垂直关系
选择性必修第一册
第一章空间向量与立体几何
第二章平面解析几何
选择性必修第二册
第三章排列、组合与二项式定理
第四章概率与统计
选择性必修第三册
第五章数列
第六章导数及其应用
高中数学 第六章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.掌握共线向量基本定理．
2．掌握平面向量基本定理．
1.通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养．
2．借助平面向量基本定理，培养学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养．
必备知识·探新知
知识点
共线向量定理
如果__a≠0__，且b∥a，则存在__唯一__的实数λ，使得b＝λA．
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB→＝λAC→．
思考：(1)定理中的条件“a≠0”能否省略，为什么？
(2)这里的“唯一”的含义是什么？
提示：(1)不能．如果a＝0，b≠0，不存在实数λ，使得b＝λA．如果a＝0，b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λA．
(2)如果还有b＝μa，则有λ＝μ．
知识点
平面向量基本定理
(1)定理：如果平面内的两个向量a，b__不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c，__存在唯一__的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yB．
(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a，b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的__一组基底__．
思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？
(2)平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？
提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底．
(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．
关键能力·攻重难
题型探究 题型
共线向量定理的应用
┃┃典例剖析__■
典例1 已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn．
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值．
[解析] (1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴ 6＝3λ，－4＝2λ，∴ λ＝2，λ＝－2，∴λ不存在．∴a与b不平行．