平面向量概念
平面向量概念
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。它由两个分量表示，分别是水平方向和垂直方向的分量。
平面上的向量一般用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。向量的大小通常用模表示，用两个竖线表示，例如，向量a的模可以表示为|a|。
向量的方向有两种表示方法，一种是用与水平轴的夹角表示，另一种是用坐标轴上的分量表示，通常用点(x, y)表示。
平面向量有一些基本运算，包括加法、减法、数乘和点乘。向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。点乘是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数字。
平面向量有一些重要的性质和定理，比如平行四边形法则、向量的模长和向量的夹角等。这些性质和定理在解决几何、物理等问题时非常有用。
平面向量在数学中的应用非常广泛，包括几何、力学、电磁学等。它们可以描述物体的位移、速度、加速度等物理量，也可以用来研究几何图形的性质和变换。
平面向量的概念”的教学与反思
概念教学必须体现概念的形成过程
──“平面向量的概念”的教学与反思
人民教育出版社中数室 章建跃 南京师范大学附属中学 陶维林
当前，不重视章节起始课的教学，概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍．在章节起始时，许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．更令人担忧的是，有些老师不知如何教概念．
李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”[1]以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．
本文是我们继“函数的概念”教学案例[2]后做的又一个案例，主要指导思想是“数学概念„„首要表现在概念的形成”[1]，概念教学必须让学生经历概念的形成过程；基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律．期待我们的案例能抛砖引玉，希望广大教师积极参与“如何教好数学概念”的讨论．
一、对教学内容的基本认识
《平面向量》是“人教A版”数学4的一章，本节课包括“章引言”和“2.1平面向量的实际背景及基本概念”两部分．
在配套的《教师教学用书》中，介绍了章头图和章引言的编写意图，其中有这样的叙述：“章引言说明了向量的研究对象及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系，运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决„„”．因此，“章引言”（包括“章头图”）起“导游图”作用，是本章学习的“先行组织者”，应有充分的重视．教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解，以避免空洞说教．
许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节“概念多但不难理解”，但我们认为“其实不然”．事实上，从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．
平面向量(全部)
1 平面向量
一.基本知识点
1、在表示两向量的夹角和两条直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①两直线所成的角的取值范围依次是.2,0②向量的夹角的取值范围是[0，π],并且分同向,反向,垂直三种特殊情况.
2、你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量，（）向量的模——有向线段的长度，2||a
，）单位向量（1||30a （）零向量，4000||，（）相等的向量长度相等方向相同5ab
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。
babba∥存在唯一实数，使()0
（7）向量的加、减法：
3、平面向量基本定理（向量的分解定理）：为该平面任一向量，的非零向量，是平面内的两个不共线，aee21则存在唯一的实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。
4、向量的坐标表示设，，，axybxy1122，则，，，abxyyyxyxy11121122，
axyxy1111，，
若，，，AxyBxy1122,则，ABxxyy2121，
||ABxxyyAB212212，、两点间距离公式
5、平面向量的数量积
（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab||||cos为向量与的夹角，，ab0
数量积的几何意义：ababab·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos
（2）数量积的运算法则
2 ①··abba②··()abcacbc
③·，·，abxyxyxxyy11221212
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量
平面向量的有关概念
[典例]
(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )
A．a＝－b
B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] (1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．
(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[答案] (1)C (2)D
[易错提醒]
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
突破点(二) 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算：加法、减法、数乘
2．平面向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
平面向量的线性运算
[例1] (1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝( )
A.13b＋23c B.53c－23b C.23b－13c D.23b＋13c
平面向量的概念与平面向量基本定理
龙源期刊网
平面向量的概念与平面向量基本定理
作者：褚人统
来源：《数学金刊·高考版》2015年第10期
平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式和几何形式的“双重性”，是高中数学的重要内容.有关平面向量的概念与平面向量的基本定理的试题是高考的“常青树”，它以题目形式类型灵活多样、解法精妙在向量中有着重要地位，但是许多同学由于对这类题“不懂章法”，陷入思维混乱的状态，兜了一大圈子仍空手而归. 本文通过对平面向量的有关概念、加减法的几何意义、线性运算、平面向量基本定理的认识和理解，把相关内容进行归纳整理，希望同学们面对向量问题能做到有的放矢，化解自如.
重点难点
重点：①平面向量的概念；②平面向量的加法与减法的三角形法则、平行四边形法则，运算律及其性质；③向量数乘的定义及其运算律；④平面向量基本定理的内容及其应用.
难点：①用平面向量共线定理来解决三点共线和两直线平行的问题；②利用平面向量基本定理对一个向量的分解及其表示.
方法突破
1. 饮水思源——运算律法
向量加、减法的运算法则在形式上与实数的加、减法的运算法则相同. 因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项的变形手段在平面向量的线性运算中仍然有效.
2. 借石攻玉——几何意义法
数缺形时少直观，形少数时难入微. 在求解平面向量的线性运算过程中要善于把握“向量几何意义”这一利器，注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则适用的条件：运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.
3. 中间桥梁——待定系数法
有关向量共线或三点共线的问题，常利用向量共线定理（向量b与非零向量a共线的充要条件是“有且只有一个实数λ使b=λa”）得到关于相关参数的方程组，通过待定系数这一桥梁，使得这类难题变得平凡. 注意：向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别. 直线平行不包括共线（即重合）的情况，而向量平行则包括共线（重合）的情况. 龙源期刊网
洋葱数学平面向量的概念
洋葱数学平面向量的概念
平面向量是描述平面上大小和方向的物理量的数学工具，也称作矢量。它具有大小和方向两个要素，并且可以通过几何和代数两种方法进行描述和运算。在数学上，平面向量通常用箭头或者有序对来表示，箭头的起点表示向量的作用点，箭头的长度和方向表示向量的大小和方向。
与点的区别在于，平面向量有大小和方向，而点只有位置没有大小和方向。与自由向量的区别在于，自由向量没有固定的起点和终点，而平面向量则有固定的起点和终点。此外，平面向量与位移向量的区别在于，位移向量描述的是物体从一个位置到另一个位置的位移，而平面向量则可以用来描述这种位移。
此外，平面向量的运算包括加法、数乘、数量积、向量积、混合积等，这些都是描述平面向量特点的重要内容。线性相关性和线性无关性是描述平面向量组内部关系的重要概念，它们决定了向量组的线性相关性和线性无关性，进而影响到向量组的线性表示和向量空间的维数等性质。
总的来说，平面向量是描述平面上大小和方向的物理量的数学工具，通过几何和代数两种方法来描述和运算。对于全面理解和掌握平面向量的概念，可以从与点的区别、自由向量的区别、位移向量的区别以及向量的运算、线性相关性、线性无关性等方面来探讨。
平面向量的概念及表示
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1 / 7 向量的概念及表示
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量>
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：错误!.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b；
(2>零向量与零向量相等；
(3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
2 / 7 6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：
(1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量错误!与错误!是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是错误!＝错误!；p1EanqFDPw
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量错误!、错误!在同一直线上.DXDiTa9E3d
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
平面向量概念
1 1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,共线向量定理的深解读
定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；
(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
向量概念的4点注意 (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行． (4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
平面向量的概念与平面向量基本定理 2
平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式和几何形式的“双重性”。是高中数学 的重要内容．有关平面向量的概念与平面向量的基本定理的试题是高考的“常青树”，它以题目形 式类型灵活多样、解法精妙在向量中有着重要地位，但是许多同学由于对这类题“不懂章法”，陷 入思维混乱的状态，兜了一大圈子仍空手而归．本文通过对平面向量的有关概念、加减法的几何 意义、线性运算、平面向量基本定理的认识和理解，把相关内容进行归纳整理，希望同学们面对向 量问题能做到有的放矢．化解自如． ． 平面向量的概念与平面向量基本定理 ……………………………… ………………………………。 。‘ 藉浯 学…荡 一
重点：①平面向量的概念；②平面向量的加法与减法的三角形法则、平行四边形法则，运算律及其性质；③向量数 乘的定义及其运算律；④平面向量基本定理的内容及其应用． 难点：①用平面向量共线定理来解决三点共线和两直线平行的问题；②利用平面向量基本定理对一个向量的分解 及其表示． １．饮水思源——运算律法 向量加、减法的运算法则在形 式上与实数的加、减法的运算法则 相同．因此，实数运算中的去括号、 移项、合并同类项的变形手段在平 面向量的线性运算中仍然有效． ．２．借石攻玉——几何意义法 数缺形时少直观，形少数时难 入微．在求解平面向量的线性运算 过程中要善于把握“向量几何意义” 这一利器，注意平面向量的三角形 法则和平行四边形法则适用的条 件：运用平行四边形法则时两个向 量的起点必须重合：运用三角形法 则时两个向量必须首尾相接。否则就 要把向量进行平移，使之符合条件． ３．中间桥梁——待定系数法 有关向量共线或三点共线的问 题，常利用向量共线定理（向量ｂ与 非零向量ａ共线的充要条件是“有且 只有一个实数Ａ使ｂ＝Ａａ”）得到关于 相关参数的方程组，通过待定系数 这一桥梁，使得这类难题变得平凡． 注意：向量共线也称向量平行．它与 直线平行有区别．直线平行不包括 共线（即重合）的情况．而向量平行 则包括共线（重合）的情况． ４．移花接木——平面向量基本 定理 平面向量基本定理实际上是向 量的分解定理．并且是平面向量正 交分解的理论依据。也是向量坐标 表示的基础．用平面向量基本定理 解决问题的一般思路是：先选择一 组基底，并运用平面向量的基本定 理将条件和结论表示成基底的线性 组合．再通过向量的运算来证明．在 基底未给出的情况下，合理地选取 基底会给解题带来方便． １．平面向量的有关概念 ＿－ 若非零向量口和６互为 相反向量，则下列说法中错误的是 （ ） Ａ．ａＦｂ Ｂ．ａ≠６ Ｃ． ≠『ｂＩ Ｄ．ｂ＝－ａ
平面向量的概念与平面向量基本定理 3
平面向量是高中数学的基础Ｘ－具之一，它具有代数形式和几何形式的“双重性”，是高中数学 的重要内容．有关平面向量的概念与平面向量的基本定理的试题是高考的“常青树”，它以题目形 式类型灵活多样、解法精妙在向量中有着重要地位，但是许多同学由于对这类题“不懂章法”，陷 入思维混乱的状态，兜了一大圈子仍空手而归．本文通过对平面向量的有关概念、加减法的几何 意义、线性运算、平面向量基本定理的认识和理解，把相关内容进行９－Ｊ纳整理，希望同学们面对向 量问题能做到有的放矢，化解自如． 平面向量的概念与平面向量基本定理 。浙江天台中学褚人统
重点：①平面向量的概念；②平面向量的加法与减法的三角形法则、平行四边形法则，运算律及其性质；③向量数 乘的定义及其运算律：④平面向量基本定理的内容及其应用． 难点：①用平面向量共线定理来解决三点共线和两直线平行的问题；②利用平面向量基本定理对一个向量的分解 及其表示． 惩‰ ， ． １．饮水思源——运算律法 向量加、减法的运算法则在形 式上与实数的加、减法的运算法则 相同．因此，实数运算中的去括号、 移项、合并同类项的变形手段在平 面向量的线性运算中仍然有效． ２．借石攻玉——几何意义法 数缺形时少直观，形少数时难 人微．在求解平面向量的线性运算 过程中要善于把握“向量几何意义” 这一利器，注意平面向量的三角形 法则和平行四边形法则适用的条 件：运用平行四边形法则时两个向 量的起点必须重合；运用三角形法 则时两个向量必须首尾相接，否则就 要把向量进行平移，使之符合条件． ３．中间桥梁——待定系数法 有关向量共线或三点共线的问 题，常利用向量共线定理（向量ｂ与 非零向量ａ共线的充要条件是“有且 只有一个实数Ａ使ｂ＝Ａａ”）得到关于 相关参数的方程组，通过待定系数 这一桥梁，使得这类难题变得平凡． 注意：向量共线也称向量平行，它与 直线平行有区别．直线平行不包括 共线（即重合）的情况，而向量平行 则包括共线（重合）的情况． ４．移花接木——平面向量基本 定理 平面向量基本定理实际上是向 量的分解定理，并且是平面向量正 交分解的理论依据，也是向量坐标 表示的基础．用平面向量基本定理 解决问题的一般思路是：先选择一 组基底，并运用平面向量的基本定 理将条件和结论表示成基底的线性 组合，再通过向量的运算来证明．在 基底未给出的情况下，合理地选取 基底会给解题带来方便．
平面向量概念 2
平面向量概念
1. 概念定义
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。它由两个有序实数对（x，y）表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。平面向量通常用小写字母加上一个箭头来表示，如→a。
2. 重要性
平面向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。它在几何、物理、工程等领域中起着重要作用。
2.1 几何应用
平面向量可以用于描述平面上的点、直线、曲线等几何对象的位置、方向和形状。通过向量的加法、减法、数乘等运算，可以得到平面上的向量和向量之间的关系，从而解决几何问题。
2.2 物理应用
在物理学中，平面向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。通过向量的运算，可以分析物体的运动规律，解决物理问题。
2.3 工程应用
在工程领域中，平面向量可以用于描述力、力矩、电场强度等物理量。通过向量的运算，可以分析结构的受力情况、电场的分布等问题，为工程设计和分析提供依据。
3. 平面向量的基本运算
3.1 加法
设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。向量加法满足交换律和结合律。
3.2 减法
设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a-→b=(x1-x2, y1-y2)。减法可以看作加法的逆运算。
3.3 数乘
设有向量→a=(x, y)和实数k，则k→a=(kx, ky)。数乘改变向量的大小，但不改变其方向。 3.4 数量积
设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的数量积为→a·→b=x1x2+y1y2。数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
3.5 向量积
设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的向量积为→a×→b=x1y2-y1x2。向量积的结果是一个向量，其大小表示两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。