2020-2021学年上海市复旦附中2020级高一上学期1月期末考试数学试卷无答案
复旦附中高一上期末(2020.1)
综上所述， n [0, 4) ，则 m n 的取值范围是 [0, 4) ．
三、解答题 17．（1） f(x) 4x 2 2x 1 4 ， 2x 3 或 2x 1（舍）
方程的解为 x log2 3 ．
（2）令 t
2x
[1 2
, 2] ，则
t2
2at
1
0
，
2a
t2
1 t
t
1 t
，因为
t
1 t
f1(4 a) ≤ f(x) | 2x a2 | 在 x [0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． (,5)
2． y x 1, (x ≥ 2)
3．
a2 2a
4．3
5． (1, )
6．1
7． (3, 0)
8． (1, 2]
9．2
10．[1 , 2] 2
11． (6, 41 5 ) 10
元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入 Q(x) （万元）满足
Q(x)
0.5x2
224,
(x
22x, 16)
(0
≤
x
≤16)
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据
上述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数 y f(x) 的解析式（利润＝销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
在 [1 ,1] 2
上递减，
[1, 2] 上递增，所以 2a [2, 5], a [1, 5]
2
4
18．（1）
f
(x)
为奇函数，
1 ax x 1
0
的解集关于原点对称，所以
复旦附中高一上期末解析(2020.1)
复旦附中高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．函数2()1(1)f x x x =+-≤的反函数为 ． 3．已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈N 为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．函数23log ()y x x =-的递增区间为 ．6．方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x = ．7．已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围 ．9．已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．已知()1x x e tf x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是 ．11．若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个相异实根，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数2131()1log 12x x k x f x xx ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩≤，2()lg(2)()1xg x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的 {}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1||y x = B ．2y x -= C ．2|log |y x = D ．23y x =15．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R , 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)三、解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-≥，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的 取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈， 则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由． 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上 封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证： 00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥，其中a ∈R ．（1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥；（2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=．若关于x 的不等式：12(4)()|2|f a f x x a --+-≤在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,5)-∞ 2．1,(2)y x x =--≥ 3．22a a+ 4．3 5．(1,)+∞ 6．1 7．(3,0)- 8．(1,2] 9．2 10．1[,2]211．415(6,) 12．3(,]4-∞-【第9题解析】易知()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而可知1()f x -也是R 上单调递增的奇函数，1()(1)1F x f x -=-+是由1()f x -向右、向上平移1个单位，∴()F x 在[3,5]x ∈-上单调递增，且关于点(1,1)中心对称，∴122M mM m +=⇒+=．【第10题解析】即min max 2()()f x f x >，111()1111x x x x xe t e t tf x e e e +++--===++++， ①当10t ->，即1t >时，()f x 在R 上单调递减，()(1,)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得(1,2]t ∈； ②当10t -=，即1t =时，()1f x =符合题意；③当10t -<，即1t <时，()f x 在R 上单调递增，()(,1)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得1[,1)2t ∈；综上，1[,2]2t ∈．【第11题解析】记92594,,5054()45141259,509,0x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+-+-⎪⎪⎪⎪⎛⎫=+--==⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-<+<<⎪⎪⎩⎩≥≥，函数图象如图所示，研究函数单调性可得，10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减，125,3x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f x 单调递增，25,x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，125,3m f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时， 原方程在(0,)+∞内恰有三个相异实根，即4156,m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【第12题解析】121max 2min ()()()()f x g x f x g x ⇒≤≤，而lg(2)x +∈R ，∴0a =，∴2()(2)1x g x x x =>-+，()g x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 当1x >时，()f x 单调递减，1()(1)2f x f <=-，满足满足题设条件；当1x ≤，max 1113()2424f x f k k ⎛⎫==+-⇒- ⎪⎝⎭≤≤；综上，3,4k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦．二、选择题13．A 14．D 15．C 16．A 【第16题解析】 设0x A ∈，则0()0f x =，又A B =，所以0x B ∈，即0[()](0)0f f x f ==，所以0m =，2()f x x nx =+． 由22222[()]()()()()0f f x x nx n x nx x nx x nx n =+++=+++=． 若0n =时，则{0}A B ==，满足题意； 若0n ≠时，由方程()0f x =的根为0和n -． 而0和n -不是方程20x nx n ++=的根，所以方程20x nx n ++=无解，即240n n ∆=-<，解得(0,4)n ∈ 综上所述，[0,4)n ∈，则m n +的取值范围是[0,4)．三、解答题17．（1）()42214x x f x =-⋅+=，23x =或21x =-（舍） 方程的解为2log 3x =．（2）令12[,2]2xt =∈，则2210t at -+=，2112t a t t t +==+，因为1t t +在1[,1]2上递减，[1,2]上递增，所以552[2,],[1,]24a a ∈∈18．（1）()f x 为奇函数，101axx ->-的解集关于原点对称，所以1a =-．此时21()log ,(11)1x f x x x x +=><--或，2211()log log ()11x x f x f x x x -+--===---+成立，故1a =-．（2）[3,7)A =22()log (1)log (1)f x x x m +-=+<在[3,7)上有解， 2log (1)[2,3), 2.x m +∈∴>Q解2：2log (1),012m x m x +<<+<，(1,21)m B =-- ,213, 2.m A B m ≠∅∴->>Q I19．（1）由题意得()1210P x x =+,则20.51212,016,()()()21210,16.x x x f x Q x P x x x ⎧-+-=-=⎨->⎩≤≤（2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()212101652f x <-⨯=；当016x ≤≤时，函数2()0.5(12)60f x x =--+ 当12x =时，()f x 有最大值6052>综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．20．（1）当(0,1)x ∈时，1()21(1,1)f x x =-∈-，1()f x ∴在D 上不封闭；2()21(0,1)x f x =-∈，2()f x 在D 上封闭． （2）设存在实数a ，使得5()2x ag x x -=+在(1,2)上封闭， 即对一切(1,2)x ∈，5122x ax -<<+恒成立， 20,2524x x x a x +>∴+<-<+Q ，即3442x a x -<<-恒成立，34(1,2)2x a -∈-∴≥Q ；42(2,6)2x a -∈∴≤Q ．综上，满足条件的2a =． （3）假设00()f x x ≠，①若00()f x x >，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴>，即00()x f x >，矛盾；②若00()f x x <，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴<，即00()x f x <，矛盾．所以，假设不成立，00()f x x =．21．（1）1a =-时，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥当0x ≥时，15335()|1|,,[0,][,)44444f x x x x x =-∴∈+∞≥≥或≤U ；当0x <时，1()2,2,[2,0)4x f x x x =-∴∈-≥≥．综上，35[2,][,)44x ∈-+∞U ．（2）22110,[,2],()log ()log ()a x t t g x f a x x >∈+∴==+Q 单调递减，max min 2211()()()(2)log ()log ()12g x g x g t g t a a t t -=-+=+-++≤，112()2a a t t +++≤，1222(2)t a t t t t --=++≥ 在1[,2]2t ∈上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =，当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m =+-，86m m +-Q 在3(0,]2上递减，83165666,()(0,]2365m h m m ∴+-≥+-=∈， 综上，65a ≥．（3）若0a <，则(0)(2)||f f a a =-=；若0a =，则11(1)()22f f -==；若01a <<，则2(0)(log )f f a a ==，1a ∴<时，()f x 没有反函数． 当1a ≥时，,0()2,0x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥ 为增函数，存在反函数，且()f x 的值域为(0,1)[,)a +∞U ． 令2()()|2|,[0,)F x f x x a x =+-∈+∞，则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a a x a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩≥ ， 22min ,()22a a x F x a ==+，所以21(4)2a f a a --+≤，因为()f x 是增函数，所以1()f x -也是增函数，2224()2,680,33224(0,1)[,),(3,4)(,2]1a a a f a a a a a a a a a a ⎧-+=++--+-⎪⎪⎪-∈+∞∈-∞⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≤≥U U综上，3,2](3,4)a ∈U ．。
2020-2021上海市高中必修一数学上期末一模试题(带答案)
2020-2021上海市高中必修一数学上期末一模试题(带答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．109310．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭12．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－12二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 20．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 三、解答题21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值. 22．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 23．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅--24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题人教新课标A版
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为________.2. 已知集合，，则________.（结果用区间表示）3. 已知函数，则它的反函数________________.4. 已知函数，满足，且当时，，则________.5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是________.（结果用区间表示）6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是________.7. 函数，的最小值是________.8. 设方程的解为，的解为，则________.二、解答题若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是________.三、填空题对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围为________.四、单选题下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.与B.与C.与D.与函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)已知，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件设函数若，，则关于的方程的解的个数为()A.1B.2C.3D.4五、解答题已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由.已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】[加加){1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域．【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为{1,3,4}故答案为：{1,3,4}2.【答案】I≤加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出．【解答】∵A={x||x−1|<3}={x|−2<x<4}B={x|x−1x−5<0}={x|1<x<5}A∩B={x|1<x≤4}=(1,4)故答案为:(1,4)3.【答案】[加加]√x+13【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x3−1求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域．【解答】由y=x3−1知y∈Rx3=y+1，所以x=√y+13所以f−1(x)=√x+13x∈R故答案为：√x+134.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解．【解答】由函数y=f(x)，满足f(x)=f(x+2)即f(x)=f(x−2)得f(92)=f(52)=f(12)=4×12=2故答案为：2.5.【答案】[加加](−1,0)∪(0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f(−1)=0，在(−∞,0)上函数也是递增的，从而可求得不等式的解．【解答】由题意f(−1)=0，且f(x)在(−∞,0)上函数是递增的，f(x)x<0⇒{f(x)<0x>0或{f(x)>0x<0，所以0<x<1或−1<x<0故答案为：(−1,0)∪(0,1)6.【答案】−5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可．【解答】由已知y=|x−n|+2是定义在[4m,m2−5)上的偶函数，故4m+m2−5=0，即m=1，或m=−5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m2−5，故m=−5因为y=|x−n|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=−5故答案为：−57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t(1+t)=(t+12)2−14，即可求出最小值．【解答】∵y=log3x⋅log33x=log3x⋅(1+log3x)令t=log3x．x∈[3,9]，t∈[1,2]则y=t(1+t)=(t+12)2−14当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解．【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=−x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=−x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=−x+2与y=x互相垂直，且交点为(1,1)则函数y=log2x与函数y=−x+2的交点A(x1,y1)，函数y=2x与函数y=−x+2的交点B(x2,y2)，关于直线y=x对称，即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称，即x1+x2=2故答案为：2．二、解答题【答案】(3,4]【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程(x−2)(x2−4x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x2−4x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−4x+m=0的两个根设是x x和x3，一定是两个正数，且一定有|x1−x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围．【解答】解：：方程(x−2)(x2−4x+m)=0有三根，x1=2x2−4x+m=0有根，方程x2−4x+m=0的Δ=16−4m>0，得m≤4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长．有x2+x3>x1=2|x2−x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2−x3|<2时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<4即：16−4m<4．解得m>33≤m≤4故答案为：(3,4]三、填空题【答案】【3加加(5−√34,1)【考点】根的存在性及根的个数判断 函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y =f (x )的解析式，不妨设x 1<x 2<x 3，作出函数y =f (x )的图象，可知当0<m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由对称性可求得x 2+x 3的值，由f (x 1)=(0,14)可解得x 1的取值范围，进而可求得 x 1+x 2+x 3的取值范围． 【解答】当2x −1≤x −1时，即当x ≤0时，f (x )=(2x −1)2−(2x −1)(x −1)=2x 2−x 当2x −1>x −1时，即当x >0时，f (x )=(x −1)2−(2x −1)(x −1)=x −x 2 f (x )={2x 2−x,x ≤0x −x 2,,,,,，作出函数y =f (x )的图象如下图所示：设x 1<x 2<x 3，可知点(x 2,m )与点(x 3,m )关于直线x =12对称，则x 1+x 3=1当x >0时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14由图象可知，当0∴m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由f (x 1)=2x 12−x 1∈(0,14)，可得0<2x 12−x 1∴14∵x 1<0，解得1−√34<x 1<0，所以，5−√34<x 1+x 2+x 3<1因此，x 1+x 2+x 3的取值范围为(5−√34,1)故答案为：(5−√34,1)四、单选题 【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数． 【解答】A ．两函数定义域都是R ，但对应法则不相同，一个是y =x ，一个是y =|x|，不是同一函数；B ．前一函数定义域是[1,+∞), 后一函数定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数；C ．前一函数定义域是R ，后一函数定义域是(0,+∞)，不是同一函数；D ．两函数定义域相同，后一函数，计算x =1时，y =1x =2时，y =1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数． 故选：D ． 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】试题分析：因为函数f (x )=223x 在其定义域内是递增的，那么根据f (−1)=12−3=−52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(−1,0)，选B ． 【解答】此题暂无解答 【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件 运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以． 【解答】4a >43⇔a >b充分性：取a =0,b =−1，但是04≤(−1)4，即不能推出a 4>b 4，所以充分性不满足； 必要性：取a =−1,b =0，符合a 4>b 4，但是4−1<4∘，即不能推出4a >4”，必要性不满足．综上：“4a >4y ”是a 4>b 4”的既非充分又非必要条件 故选：D 【答案】 C【考点】 函数的求值 求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b 、c 的值，可得函数f (x )的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于》的方程f (x )=x 的解的个数． 【解答】解：由f (−4)=f (0)得16−4b +c =c ，① 由f (−2)=−2得4−2b +c =−2，③ 由①②得b =4c =2所以f (x )={x 2+4x +2(x ≤0),2(x >0),当x ≤0时，由f (x )=x 得方程x 2+4x +2=x ，解得x 1=−1x 2=−2 当x >0时，由f (x )=x 得x =2 故方程共有3个解． 故选：C 五、解答题【答案】【答a =1时，f (x )为奇函数；a ≠1时，f (x )为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a =1和a ≠1时利用定义判断． 【解答】由题可得24−a ≠0当a =1时，x ≠0，即f (x )的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f (−x )=2−x +12−x −1=1+2x1−2x =−f (x )f (x )为奇函数，当a ≠1时，f (x )的定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数． 【答案】加加加)0,1]][4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用 奇偶性与单调性的综合 复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出α的范围，然后通过当？真4假时，当Р假♀真时即可求解 【解答】若？为真命题，则a −1>0，解得a >1 若♀为真命题，则{a >0√a <2，解得0<a <4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a ∈(0,1]∪[4,+∞) 【答案】（1）增函数，证明见解析； （2）(2,+∞)）． 【考点】函数单调性的判断与证明 奇偶性与单调性的综合 函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x 2∈(0,+x )且x 1>x 2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数f (x )在(0,+x )上的单调性；（2）由已知条件可得出f (x )>f (2)，结合（1）中的结论可解原不等式． 【解答】（1）任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1>x 2，即x 1>x 2>0f (x 1)−f (x 2)=(x 12−2x 1−3)−(x 22−2x 1−3)=(x 12−x 22)+(2x 2−2x 1) =(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2+2x 1x 2)因为x 1>x 2>0，则x 1−x 2>0,x 1+x 2+2x 1x 2>0f (x 1)−f (x 2)>0所以函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数；（2）由（1）可知函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f (2)=0因此由f (x )>0=f (2)可得x >2因此，不等式f (x )>0的解集为(2,+∞) 【答案】（1）y =16−4x+1−x (0≤x ≥a )；（2）当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元 ；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元． 【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型 概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【解答】（1）由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p )将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x (0≤x ≥a ) （2）y ′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2(i)当a ≥1时，①当x ∈(0,1)时，y >0，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，②当x ∈(1,a )时，y <0，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a )上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增， 所以在[0,a ]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值，即促销费用投入ａ万元时，厂家的利润最大综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元； 当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【答案】（1）是，理由见解析； （2）(1,+∞)； （3）(4,2)【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法 函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到f (x 0)=0，求出x 0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x 0<1，使m ⋅(2x −1)=4x 3，利用换元法，结合指数函数的性质 ，即可求出结果；（3）先由题意，得到f (1)=k (t −2)+1，推出t =3−4k ，结合题中条件，即可得出结果．【解答】（1）由“平均值函数”的定义， 存在0∈(−1,1)，满足f (0)=0=f (1)−f (−1)1−(−1)因此f (x )=x 4是区间[−1,1]上的“平均值函数”．（2）若函数g (x )=m ⋅2x −1是区间[0,1]上的“平均值函数”， 则存在x ∈(0,1)，满足m ⋅2x −1=g (1)−g (0)1−0=m即关于》的方程m ⋅24−1=m 在区间(0,1)内有解．参变分离，将方程转化为m =12x −1,x ∈(0,1)函数y =12x −1,x ∈(0,1)的值域为(1,+∞) 因此m ∈(1,+∞)（3）若函数ℎ(x )=kx 2+x −4(k ≥1,k ∈N )是区间[−2,1],t ∈Nt ∈N)上的“平均 值函数”，且1是函数ℎ(x )的一个均值点， 则ℎ(1)=ℎ(t )−ℎ(−2)t−(−2) 即k −3=k+t 2+t−4−(4k−6)t+2=k (t −2)+1得到k =43−t ，其中k ≥1,k ∈N,t,t ∈N 满足条件的解为{k =4t =2即所有满足条件的有序数对(k,t )为(4,2)。
上海市上海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 (1)
上海市上海中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()()ln 1f x x -的定义域为______．2．设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______． 3．已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．4．方程21193x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．5．对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f =______． 6．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______． 7．已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 8．函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______． 9．若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122a x x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______． 10．已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．11．已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______． 12．已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，0,2m ；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．二、单选题13．下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是（ ）．A ．()1f x x x=- B ．()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．()3f x x =- D ．()21log 1x f x x +=-- 14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),02,-∞+∞C ．（0，2）D ．()2,+∞ 15．如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg21x a f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．(]3,+∞16．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+- 当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+ 若函数()()12g x f x mx m =--- 在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．19[,)416C ．11[,)42 D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()21x f x =-的反函数是()1y f x -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像； （2）解方程()()1f xg x -=．18．已知定义在R 上的奇函数()x x f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ； （2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．21．定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229x xg x g x e e +-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．参考答案1．(]1,2【解析】【分析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
上海复旦附中2022年高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析
（2）若函数 y 2sin(2x ) 1 的最小正周期为
3
2
（3）函数
y
1 sin2
x
4 cos2
x
的最小值为
9
（4）已知函数 f (x) 2sin(x )( 0) ，在[ , ] 上单调递增，则 (0, 2]
6
63
16．已知集合
A
{x
||
x
1 |
3}，
B
x
|
x 1 x5
0
综上可得所求直线方程为 x 2 y 0或 x y 3 0
故答案为 x 2 y 0或 x y 3 0
【点睛】在求直线方程时，应先选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的方程所适用的条件，由于截距式不能表 示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，分为直线过原 点和不过原点两种情况求解．本题考查直线方程的求法和分类讨论思想方法的运用
3a
b)
解之得
a b
6 8
则 f x x2 2x x2 6x 8 ，满足 f x f 2 x
故 f 3 32 2332 638 15
故答案 ： 15
12、 2，2
为 【解析】根据幂函数所过的点求出 f x 解析式，利用奇偶性和单调性去掉 f 转化为关于 a 的不等式即可求解.
【详解】（1）当直线过原点时，可设直线方程为 y kx ，
∵点 2,1 在直线上，
∴k
1， 2
∴直线方程为 y 1 x ，即 x 2 y 0 2
（2）当直线不过原点时，设直线方程
∵点 2,1 在直线上，
x y 1， aa
为 ∴ 2 1 1， aa
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2020-2021学年上海市某校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1. 已知f(x −2)＝2x −5，且f(a)＝5，则a 的值为________．2. 若m ，n ∈R ，则“m +n ≥0”是“m ≥0且n ≥0”的________条件．3. 设集合，则A ∩B ＝________．4. 设lg 2＝a ，lg 7＝b ，则log 714＝________（用含a ，b 的式子表示）．5. 已知集合A ＝{x ∈N|y ＝lg (4−x)}，则A 的子集个数为________．6. 已知全集为R ，A ＝{x|x 2+px −6＝0}，B ＝{x|x 2+qx +2＝0}，且，则p +q ＝________．7. 幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则函数g(x)=af(x −3)+1(a ∈R, a ≠0)的图象经过定点________．8. 已知函数f(x)＝2log 2(x +1)，，则y ＝f(x)的反函数为y ＝________．9. 方程在x ∈(0, +∞)上有解，则实数a 的取值范围是________．10. 已知函数f(x)={log 2(−x +5),x ≤12x −m,x >1 在R 上存在最小值，则m 的取值范围是________．11. 已知x 1是函数f(x)＝x log 2x −3的一个零点，x 2是函数f(x)＝x ⋅2x −3的一个零点，则x 1⋅x 2＝________．12. 设二次函数f(x)＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）．若不等式f(x)≥2ax +b 的解集为R ，则的最大值为________．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）如果x +y <0，且y >0，那么下列不等式成立的是（ ） A.y 2>x 2>xy B.x 2>y 2>−xy C.x 2<−xy <y 2 D.x 2>−xy >y 2已知函数g(x)=3x +t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ）A.t ≤−1B.t <−1C.t ≤−3D.t ≥−3对于函数①，②f(x)＝(x −2)2，③f(x)＝2|x−2|，判断下列三个命题的真假：命题甲：f(x +2)是偶函数；命题乙：f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数；命题丙：f(x +2)−f(x)在(−∞, +∞)上是严格增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A.①②B.②③C.②D.①③已知函数f(x)满足f(x +1)＝1+√2f(x)−f 2(x)(x ∈R)，则f(1)+f(2020)的最大值是（ ） A.2−√2B.2C.2+√2D.4三、解答题（本大题共5题，满分76分）已知函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ．（1）若关于x 的不等式f(x)<0的解集为(1, 2)，求a ，b 的值；（2）当b ＝1时，解关于x 的不等式f(x)>0．已知函数f(x)＝log 21+ax x−1（a 为常数）是奇函数．(Ⅰ)求a 的值与函数 f(x)的定义域；(Ⅱ)若当x ∈(1, +∞) 时，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立．求实数m 的取值范围．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0, 14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14, 40]时，曲线是函数y ＝log a (t −5)+83(a >0，且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p ＝f(t)的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．设f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数，且对任意的a ，b ∈[−1, 1]，当a +b ≠0时，都有f(a)+f(b)a+b>0．（1）若a >b ，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）解不等式f(x −12)<f(x −14)；（3）如果g(x)=f(x −c)和ℎ(x)=f(x −c 2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．已知x ∈R ，定义：f(x)表示不小于x 的最小整数，例如：f （）＝2，f(−0.6)＝0（1）若f(x)＝2018，求实数x 的取值范围；（2）若x >0，且f （3x +f(x)）＝f(6+），求实数x 的取值范围；（3）设g(x)＝x +a •−2，ℎ(x)＝，若对于任意的x 1、x 2、x 3∈(2, 4]，都有g(x 1)>|ℎ(x 2)−ℎ(x 3)|，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.【答案】3【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意，令t＝x−2，利用换元法可得f(x)的解析式，则有f(a)＝2a−1＝5，求出a的值，即可得答案．【解答】根据题意，令t＝x−2，则x＝t+2，则有f(t)＝2t−1，则f(a)＝2a−1＝5，解可得a＝3，2.【答案】必要不充分【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当m＝−1，n＝2时，满足m+n≥0但“m≥0且n≥0”不成立，当“m≥0且n≥0”时，m+n≥0一定成立，即m+n≥0是m≥0且n≥0成立的必要不充分条件，3.【答案】＝{x|−1<x<2}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合，∴A＝{x|x>−1}，B＝{x|−1≤x<2}，∴A∩B＝{x|−1<x<2}．4.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】进行对数的运算，得出，代入lg2＝a，lg7＝b即可．【解答】∵lg2＝a，lg7＝b，∴．5.【答案】16【考点】子集与真子集【解析】可以求出集合A，根据集合A的元素个数即可得出A的子集个数．【解答】∵A＝{x∈N|x<4}＝{0, 1, 2, 3}，∴A的子集个数为24＝16．6.【答案】【考点】交集及其运算【解析】由，知2∈A，求出p＝1，从而集合A＝{x|x2+x−6＝0}＝{2, −3}，进而得−3∈B，求出q＝，由此能求出结果．【解答】由，知2∈A，代入得：4+2p−6＝0，解得p＝1，所以集合A＝{x|x2+x−6＝0}＝{2, −3}，从而得−3∈B，代入得，所以．7.【答案】(3, 1)【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意求出幂函数f(x)的解析式，再化简函数g(x)，求出g(x)的图象经过的定点．【解答】设幂函数y=f(x)=xα，图象过点(2,√2)，则2α=√2，α=12；∴f(x)=x12，x≥0；∴函数g(x)=af(x−3)+1=a(x−3)12+1=a√x−3+1，其中a∈R，且a≠0；令x−3=0，得x=3，此时y=1；∴函数g(x)的图象经过定点(3, 1)．8.【答案】【考点】反函数【解析】由y＝f(x)反解出x，然后求出原函数的值域，得到反函数的定义域，从而得到y＝f(x)的反函数．【解答】因为y＝2log2(x+1)，所以，即，又因f(x)在上单调递增，所以f(x)∈[−2, 2]，所以y＝f(x)的反函数为y＝−1，x∈[−2, 2]．9.【答案】[4, +∞)【考点】函数与方程的综合运用函数的零点【解析】设f(x)＝4x+x，原问题等价于当x>0时，函数f(x)＝4x+x与直线y＝a有交点，求出f(x)的值域，即可得答案．【解答】根据题意，设f(x)＝4x+x，方程即a＝4x+x∈(0, +∞)上有解，则当x>0时，函数f(x)＝4x+x与直线y＝a有交点，当x>0时，f(x)＝4x+≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，即f(x)的值域为[4, +∞)，则必有a≥4，即a的取值范围为[4, +∞)，10.【答案】(−∞, 0]．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】利用函数的单调性，分别求出两段的值域即可．【解答】函数y＝log2(−x+5)在(−∞, 1]单调递减，即可得x≤1时，f(x)≥f(1)＝2．当x>1时，f(x)>2−n．要使函数f(x)={log2(−x+5),x≤12x−m,x>1在R上存在最小值，只需2−m≥2，即m≤0．11.【答案】3【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】利用函数的对称性，设出A、B坐标，转化求解即可．【解答】由题意得，又y＝log2x和y＝2x图象关于y＝x对称，且图象也关于y＝x对称，不妨设，所以A，B也关于y＝x对称，所以log2x1＝x2，又log2x1＝，所以x1x2＝3．12.【答案】【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由已知结合二次函数的性质b2≤4ac−4a2，然后对已知不等式进行赋值可得c≥a>0，然后进行换元，结合基本不等式即可求解．【解答】由f(x)≥2ax+b的解集为R，可得ax2+(b−2a)x+c−b≥0恒成立，∴a>0且△＝(b−2a)2−4a(c−b)≤0，即b2≤4ac−4a2，令x＝1可得a+b−2a+c−b≥0，即c≥a>0，∴＝，令t＝−1，则t≥0，∴＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝2时取等号，二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】由x+y<0，且y>0，可得x<−y<0．再利用不等式的基本性质即可得出x2>−xy，xy<−y2．【解答】解：∵x+y<0，且y>0，∴x<−y<0．∴x2>−xy，xy<−y2，因此x2>−xy>y2．故选：D．【答案】A【考点】指数函数的图象与性质【解析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t的取值范围．【解答】由指数函数的性质，可得函数g(x)=3x+t恒过点坐标为(0, 1+t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得：t≤−1．【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】求复合函数判断命题甲，用复合函数法判断命题乙丙．【解答】对命题甲，分别求出f(x+2)，①，②f(x+2)＝(x)2，③f(x+2)＝2|x|，则命题甲均真；对命题乙，由复合函数单调性知，①f(x)在(−∞, 2)上是严格增函数，在(2, +∞)上是严格减函数，②f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数，③f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数，所以①命题乙为假，②和③命题乙为真；此时排除AD，由于B②③，C②，所以只需判断③命题丙是否为真；对命题丙，③f(x+2)＝2|x|−2|x−2|＝＝，用复合函数单调性判断法知，f(x+2)在每个区间断都严格增加，且在端点处不间断，所以在R上严格增加，则命题丙为真；【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g(x)=2f(x)−f 2(x)，然后利用基本不等式的性质，转化为关于f(1)+f(2020)的一元二次不等式，进行求解即可． 【解答】由f(x +1)＝1+√2f(x)−f 2(x)(x ∈R)， 得2f(x)−f 2(x)≥0，得0≤f(x)≤2，平方得f 2(x +1)=1+2√2f(x)−f 2(x)+2f(x)−f 2(x)，① ∴ 2f(x +1)=2+2√2f(x)−f 2(x) ②②-①得2f(x +1)−f 2(x +1)=2+2√2f(x)−f 2(x)−[1+2√2f(x)−f 2(x)+2f(x)−f 2(x)] =1−[2f(x)−f 2(x)]，即2f(x +1)−f 2(x +1)+2f(x)−f 2(x)=1，③ 设g(x)=2f(x)−f 2(x)，则③等价为g(x +1)+g(x)=1，即g(x +2)+g(x +1)=g(x +1)+g(x)=1， ∴ g(x +2)=g(x)，则g(0)=g(2)=g(4)=...=g(2020)，g(1)=g(3)=g(5)=...=g(2021)， 则g(1)+g(2020)=g(1)+g(0)=1，∴ 2f(1)−f 2(1)+2f(2020)−f 2(2020)=1， 即2[f(1)+f(2020)]−[f 2(1)+f 2(2020)]=1即2[f(1)+f(2020)]−{[f(1)+f(2020)]2−2f(1)f(2020)]}=1 2f(1)f(2020)=1+[f(1)+f(2020)]2−2[f(1)+f(2020)]≤2×[f(1)+f(2020)2]2=12[f(1)+f(2020)]2，设t =f(1)+f(2020)， 则不等式等价为1+t 2−2t ≤12t 2， 整理得t 2−4t +2≤0，得2−√2≤t ≤2+√2，即2−√2≤f(1)+f(2020)≤2+√2， 则f(1)+f(2020)的最大值为2+√2， 故选：C ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）【答案】由函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ，不等式f(x)<0化为x 2−(a +b)x +a <0， 由不等式的解集为(1, 2)，所以方程x 2−(a +b)x +a ＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a ＝2，b ＝1；b ＝1时不等式f(x)>0可化为x 2−(a +1)x +a >0， 即(x −a)(x −1)>0；当a >1时，解不等式得x <1或x >a ； 当a ＝1时，解不等式得x ≠1；当a <1时，解不等式得x <a 或x >1．所以a >1时，不等式的解集为{x|x <1或x >a}； a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠1}；a <1时，不等式的解集为{x|x <a 或x >1}．【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由不等式f(x)<0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a 、b 的值； （2）b ＝1时不等式可化为(x −a)(x −1)>0，讨论a 与1的大小，从而求出不等式的解集． 【解答】由函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ，不等式f(x)<0化为x 2−(a +b)x +a <0， 由不等式的解集为(1, 2)，所以方程x 2−(a +b)x +a ＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a ＝2，b ＝1；b ＝1时不等式f(x)>0可化为x 2−(a +1)x +a >0， 即(x −a)(x −1)>0；当a >1时，解不等式得x <1或x >a ； 当a ＝1时，解不等式得x ≠1；当a <1时，解不等式得x <a 或x >1．所以a >1时，不等式的解集为{x|x <1或x >a}； a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠1}； a <1时，不等式的解集为{x|x <a 或x >1}． 【答案】（1）∵ 知函数f(x)＝log 21+ax x−1是奇函数，∴ f(−x)＝−f(x)， ∴ log 21−ax−x−1=−log 21+ax x−1，即log 2ax−1x+1=log 2x−11+ax ，∴ a ＝1．令1+xx−1>0，解得：x <−1或x >1．∴ 函数的定义域为：{x|x <−1或x >1}； （2）f(x)+log 2(x −1)＝log 2(1+x)， 当x >1时，x +1>2， ∴ log 2(1+x)>log 22＝1，∵ x ∈(1, +∞)，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立， ∴ m ≤1，m 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】函数的定义域及其求法 函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a 的值，然后由对数式的真数大于0求解x 的取值集合得答案； (Ⅱ)化简f(x)+log (x −1)为log 2(1+x)，由x 的范围求其值域得答案．【解答】（1）∵知函数f(x)＝log21+axx−1是奇函数，∴f(−x)＝−f(x)，∴log21−ax−x−1=−log21+axx−1，即log2ax−1x+1=log2x−11+ax，∴a＝1．令1+xx−1>0，解得：x<−1或x>1．∴函数的定义域为：{x|x<−1或x>1}；（2）f(x)+log2(x−1)＝log2(1+x)，当x>1时，x+1>2，∴log2(1+x)>log22＝1，∵x∈(1, +∞)，f(x)+log2(x−1)>m恒成立，∴m≤1，m的取值范围是(−∞, 1]．【答案】当t∈(0, 14]时，设p＝f(t)＝c(t−12)2+82(c<0)，将点(14, 81)代入得c=−14，∴当t∈(0, 14]时，p＝f(t)=−14(t−12)2+82；当t∈(14, 40]时，将点(14, 81)代入y＝loga (t−5)+83，得a=13，所以p＝f(t)={−14(t−12)2+82,t∈(0,14] log13(t−5)+83,t∈(14,40]；当t∈(0, 14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2√2≤t≤12+2√2，所以t∈[12−2√2, 14]，当t∈(14, 40]时，log_13(t−5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14, 32]，综上t∈[12−2√2, 32]时学生听课效果最佳，此时△t=32−(12−2√2)=20+2√2>22，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；（2）分段求出效果最佳的t的范围，验证即可．【解答】当t∈(0, 14]时，设p＝f(t)＝c(t−12)2+82(c<0)，将点(14, 81)代入得c=−14，∴当t∈(0, 14]时，p＝f(t)=−14(t−12)2+82；当t∈(14, 40]时，将点(14, 81)代入y＝loga(t−5)+83，得a=13，所以p＝f(t)={−14(t−12)2+82,t∈(0,14]log13(t−5)+83,t∈(14,40]；当t∈(0, 14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2√2≤t≤12+2√2，所以t∈[12−2√2, 14]，当t∈(14, 40]时，log_13(t−5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14, 32]，综上t∈[12−2√2, 32]时学生听课效果最佳，此时△t=32−(12−2√2)=20+2√2>22，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．【答案】解：（1）设−1≤x1<x2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2)+f(−x1)x2+(−x1)(x2−x1)>0，∴f(x)在[−1, 1]上是增函数．∵a，b∈[−1, 1]，且a>b，∴f(a)>f(b)．（2）∵f(x)是[−1, 1]上的增函数，∴不等式f(x−12)<f(x−14)等价于{−1≤x−12≤1−1≤x−14≤1x−12<x−14⇔{−12≤x≤32−34≤x≤54解得−12≤x≤54∴原不等式的解集是{x|−12≤x≤54}．（3）设函数g(x)，ℎ(x)的定义域分别是P和Q，则P={x|−1≤x−c≤1}=x|c−1≤x≤c+1}，Q={x|−1≤x−c2≤1}={x|c2−1≤x≤c2+1}．由P∩Q=⌀可得c+1<c2−1或c2+1<c−1．解得c的取值范围是(−∞, −1)∪(2, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合集合关系中的参数取值问题【解析】（1）由题意，可先证明函数的单调性，由奇定义和题设条件易得函数是增函数，由单调性比较两个函数值的大小即可；（2）（1）由（1）函数f(x)是[−1, 1]上的增函数上的增函数，可将不等式f(x −12)<f(x −14)转化为{−1≤x −12≤1−1≤x −14≤1x −12<x −14，解出它的解集即可得到不等式的解集； （3）由题意，要先解出两个函数的定义域，得P ={x|−1≤x −c ≤1}=x|c −1≤x ≤c +1}，Q ={x|−1≤x −c 2≤1}={x|c 2−1≤x ≤c 2+1}． 由于此两个集合的解集是空集，比较两个集合的端点，得到关于参数c 的不等式，解出c 的取值范围．【解答】 解：（1）设−1≤x 1<x 2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得 f(x 2)−f(x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2)+f(−x 1)x 2+(−x 1)(x 2−x 1)>0，∴ f(x)在[−1, 1]上是增函数． ∵ a ，b ∈[−1, 1]，且a >b ， ∴ f(a)>f(b)．（2）∵ f(x)是[−1, 1]上的增函数， ∴ 不等式f(x −12)<f(x −14)等价于{−1≤x −12≤1−1≤x −14≤1x −12<x −14⇔{−12≤x ≤32−34≤x ≤54解得−12≤x ≤54 ∴ 原不等式的解集是{x|−12≤x ≤54}．（3）设函数g(x)，ℎ(x)的定义域分别是P 和Q ，则P ={x|−1≤x −c ≤1}=x|c −1≤x ≤c +1}， Q ={x|−1≤x −c 2≤1}={x|c 2−1≤x ≤c 2+1}． 由P ∩Q =⌀可得c +1<c 2−1或c 2+1<c −1． 解得c 的取值范围是(−∞, −1)∪(2, +∞)． 【答案】f(x)表示不小于x 的最小整数，可得f(x)＝2018的x 的范围是(2017, 2018]；若x >0，可得0<<，又f （3x +f(x)）＝f(6+），则f(6+）＝7，即有6<3x +f(x)≤7，即6−3x <f(x)≤7−3x ，x ＝1时，f(x)＝4；x ＝2时，f(x)＝8， 显然不成立；由1<x <2，可得f(x)＝2， 则6−3x <2≤7−3x ，解得<x ≤；ℎ(x)＝＝＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(4)＝−4+2＝−2； 最大值为ℎ(2.5)＝4，则|ℎ(x 2)−ℎ(x 3)|≤4+2＝6，由题意可得g(x 1)>6在(2, 4]恒成立， 即有a ⋅f(x)>x(8−x)在(2, 4]恒成立，当x ∈(2, 3]时，3a >−(x −4)2+16恒成立， 可得x(8−x)的最大值为3×5＝15， 即有a >5；当x ∈(3, 4]时，4a >−(x −4)2+16恒成立， 可得x(8−x)的最大值为4×4＝16， 即有a >4，综上可得，a 的范围是(5, +∞)．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）由f(x)表示不小于x 的最小整数，可得x 的范围是(2017, 2018]；（2）由指数函数的单调性，可得0<<，则f(6+）＝7，即有6<3x +f(x)≤7，考虑1<x <2，解不等式即可得到所求范围；（3）化简ℎ(x)＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，求得ℎ(x)的最值，可得g(x 1)>6在(2, 4]恒成立，讨论当x ∈(2, 3]时，当x ∈(3, 4]时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求a 的范围．【解答】f(x)表示不小于x 的最小整数，可得f(x)＝2018的x 的范围是(2017, 2018]；若x >0，可得0<<，又f（3x+f(x)）＝f(6+），则f(6+）＝7，即有6<3x+f(x)≤7，即6−3x<f(x)≤7−3x，x＝1时，f(x)＝4；x＝2时，f(x)＝8，显然不成立；由1<x<2，可得f(x)＝2，则6−3x<2≤7−3x，解得<x≤；ℎ(x)＝＝＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(4)＝−4+2＝−2；最大值为ℎ(2.5)＝4，则|ℎ(x2)−ℎ(x3)|≤4+2＝6，由题意可得g(x1)>6在(2, 4]恒成立，即有a⋅f(x)>x(8−x)在(2, 4]恒成立，当x∈(2, 3]时，3a>−(x−4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为3×5＝15，即有a>5；当x∈(3, 4]时，4a>−(x−4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为4×4＝16，即有a>4，综上可得，a的范围是(5, +∞)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年上海市复旦附中2020级高一上学期1月期末考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一､填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1.函数(
)()22f x log x =
+-的定义域为____. 2.不等式()()2
233131x x ->+的解集为____.
3.函数()()231f x log x =+,[]0,5x ∈的反函数是____.
4.对于实数a,b,c,d,定义a b ad bc c d -=
.设函数()()22111log x f x x log --=,则方程()1f x =的解为____.
5.若函数()1
ax f x x =+在区间()0,+∞是严格增函数,则实数a 的取值范围是____. 6.已知函数()241,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭
,若函数()()g x f x k =-恰有两个零点,则k 的取值范围为____.
7.已知函数()()15||02
f x x x x =+->,则()f x 的递减区间是____. 8.若函数()232x x f x -=+⋅的图像关于直线x m =成轴对称图形,则m =____.
9.若关于x 的不等式1|2|02
x x m --<在[]0,1x ∈]时恒成立,则实数m 的取值范围为____. 10.已知函数()()()22815f x x x ax bx c =++++是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解,则实数a 的取值范围是____.
11.若函数()()2201
x x a f x x x ++=+的值域为[),a +∞,则实数a 的取值范围是____.
12.已知集合[][],14,9A t t t t =+⋃++,0A ∉,若存在正数,使得对任意a A ∈,都有
A a λ∈,则t
的值是____. 二､选择题(本大题共4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑
13.已知()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x <时,()3x f x =,则函数()f x 的值域为()
A.()1,1-
B.[)0,1
C.R
D.[]0,1
14.中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:21S C Wlog N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中S N
叫做信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比
S N 从1000提升至5000,则C 大约增加了() A.20% B.23% C.28% D.50%
15.若函数()1f x lnx a x
=-+在区间()1,e (其中 2.71828e =上存在零点,则常数a 的取值范围()
.01A d << B.11a e << C.111a e -<< D.111a e
+<< 16.设函数()f x 的定义域是R,已知以下三个陈述句:
p:存在α∈R 且0a ≠,对任意的x ∈R ,均有()()()22x a x f f f a -<+恒成立;
()1:q f x 严格递减,且()0f x >恒成立;
()2:q f x 严格递增,存在00x <,使得()00f x =
用这三个陈述句组成了两个命题,命题S:“若1q ,则P”;命题T:“若2q ,则P”,则关于S,T,以下说法正确的是()
A.两个命题S,T 都是真命题
B.只有命题S 是真命题。