产销不平衡的运输问题
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产销不平衡的运输问题
优化运输路线：通过 合理规划运输路线， 减少重复运输和空驶， 提高运输效率。
发展多式联运：将不同 运输方式有机结合起来 ，形成一体化的运输体 系，提高运输效率。
推广智能化运输：利 用信息技术和大数据 分析，实现运输过程 的智能化和自动化， 提高运输效率。
提升运输效率
优化运输路线，减 少运输时间和成本
优化运输路线，减少迂回和重复运输 合理配置仓库，提高仓储效率 引入先进的物流信息技术，实现信息共享和实时监控 加强物流人才培养，提高物流服务水平
加强政策引导和支持
制定优惠政策，鼓励企业加大 运输投入
设立专项资金，支持企业进行 运输技术创新
优化税收政策，减轻பைடு நூலகம்业运输 成本负担
加强政策宣传，提高企业对运 输管理的重视程度
感谢您的观看
绿色物流的发展趋势和未 来展望
多元化运输方式的融合发展
多种运输方式 协同发展，形 成优势互补的
格局
智能化技术的 应用，提高运 输效率与降低
成本
绿色低碳的发 展理念，推动 环保型运输方
式的普及
多元化运输方 式融合发展， 促进产业升级 与区域经济发
展
区域物流协同发展
区域物流协同发展的必要性：解决产销不平衡的运输问题 区域物流协同发展的优势：提高物流效率，降低运输成本 区域物流协同发展的关键因素：信息共享、资源整合、政策支持 区域物流协同发展的未来展望：实现更高效、更智能的物流运输
运输需求减少，导致运输效率降低，增加运输成本 运输需求波动大，需要更多的运输工具和人力来应对，增加运输成本 运输需求不均衡，需要更多的中转和仓储，增加运输成本 运输需求不稳定，需要更多的保险和备用运输工具，增加运输成本
运输需求减少：由于产销不平衡， 运输需求量减少，导致运输效率降 低。
产销不平衡的运输问题
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B 2（12+2B）103
4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B 4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij0,此时的解为最优解。
z821 451 2441 12986 244 2462
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
B1 A1 6 A2 6 销量 150
运输问题
B2 4 5 150
B3 产量 6 300 5 300 200
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B 2（12+2B）103
4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B 4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij0,此时的解为最优解。
z821 451 2441 12986 244 2462
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
B1 A1 6 A2 6 销量 150
运输问题
B2 4 5 150
B3 产量 6 300 5 300 200
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
产销不平衡的运输问题及其求解方法
cij xij
i 1 j 1
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
j 1
m
所以这是一个产销平衡的运输问题。
产销平衡表(表3-26),单位运价表(表3-27)
需求地区 化工厂
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ
A B C D 销量(万吨)
产量 （万吨） 50 60 50 50
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’ 16 14 19 M 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
A B C D
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优 方案如表3-28所示
需求地区 化工厂
Ⅰ
’
Ⅰ
’’
Ⅱ 50 20 0 70
Ⅲ
Ⅳ
’
Ⅳ
’’
A B C D 销量(万吨)
10 30 30
30 20 50
30 30
20 20
10
产量 （万吨） 50 60 50 50 210
第4节
港口城市 A B C D E F 每天到达 0 1 2 3 0 1 每天需求 1 2 0 1 3 0 余缺数 -1 -1 2 2 -3 1
为使配备船只数最少，应做到周转的空船数为最 少。因此建立以下运输问题，其产销平衡表见 表3-37。
港 口 C D F 每天缺少船只 A B E 每天多余船只 2 2 1
4.3 产销不平衡的运输问题及其求解方法解析
Ⅰ′
A B C 30 20
Page 16
据表上作业法计算，可求得这个问题的最优方案如表所示
Ⅰ″
Ⅱ 50 20 0
Ⅲ
Ⅳ′
Ⅳ″
产量 50
10
30
60 50
D
销量 30 20 70
30
30 10
20
50
50
小结
学习要点：
Page 17
1. 掌握产销不平衡问题转化为产销平衡问题的 方法。
The end,thank you!
§4.3 产销不平衡问题及其解法
4.3.1 产大于销的问题
若 ai b j， 则数学模型为：
i 1 j 1 m n
Page 5
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai , i 1, 2, , m； j 1 m xij b j , j 1, 2, , n； i 1 xij 0，i 1, 2, m; j 1, 2,
431431产大于销的问题产大于销的问题43产销不平衡问题及其解法ijij由于产量大于销量必有部分产地的产量不能全部运送完必须就地库存即每个产地设一个仓库假设该仓库为一个虚拟销地bn1n1作为一个虚设销地bn1的销量即库存量
运筹学
( Operations Research )
Chapter4 运输问题
无限
§4.3 产销不平衡问题及其解法
Page 14
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为 160万吨， 四个地区的最低需求为 110 万吨，最高需求为无限。据现有 产量，第Ⅳ个地区每年最多能分配到60万吨，这样最高需求 为210万吨，大于产量。 在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万吨。 由于各地区的需要量包含两部分，如地区Ⅰ，其中30万吨是最 低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大 正数)，而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由 假想化肥厂D供给，令相应运价为0。 对凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。 这样写出这个问题的产销平衡表和单位运价表。
A B C 30 20
Page 16
据表上作业法计算，可求得这个问题的最优方案如表所示
Ⅰ″
Ⅱ 50 20 0
Ⅲ
Ⅳ′
Ⅳ″
产量 50
10
30
60 50
D
销量 30 20 70
30
30 10
20
50
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小结
学习要点：
Page 17
1. 掌握产销不平衡问题转化为产销平衡问题的 方法。
The end,thank you!
§4.3 产销不平衡问题及其解法
4.3.1 产大于销的问题
若 ai b j， 则数学模型为：
i 1 j 1 m n
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min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai , i 1, 2, , m； j 1 m xij b j , j 1, 2, , n； i 1 xij 0，i 1, 2, m; j 1, 2,
431431产大于销的问题产大于销的问题43产销不平衡问题及其解法ijij由于产量大于销量必有部分产地的产量不能全部运送完必须就地库存即每个产地设一个仓库假设该仓库为一个虚拟销地bn1n1作为一个虚设销地bn1的销量即库存量
运筹学
( Operations Research )
Chapter4 运输问题
无限
§4.3 产销不平衡问题及其解法
Page 14
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为 160万吨， 四个地区的最低需求为 110 万吨，最高需求为无限。据现有 产量，第Ⅳ个地区每年最多能分配到60万吨，这样最高需求 为210万吨，大于产量。 在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万吨。 由于各地区的需要量包含两部分，如地区Ⅰ，其中30万吨是最 低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大 正数)，而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由 假想化肥厂D供给，令相应运价为0。 对凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。 这样写出这个问题的产销平衡表和单位运价表。
3.3产销不平衡的运输问题
算检验 数如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
产销不平衡的运输问题
盐城师范学院运筹学期末论文题目: 产销不平衡的运输问题姓名: 许凯波二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 114 班学号: 11211434成绩评定:产销不平衡的运输问题在实际生产生活中，会经常碰到把某种东西从某地运到另一个地方，比如：把一批衣服从上海运到盐城，采用哪种运输方式更节约成本？这就是一个最简单运输问题。
解决运输问题，找到其最优方案有很大使用价值或者说可以带来很大的经济利益。
下面主要看一类运输问题：产销不平衡的运输问题。
所谓产销不平衡的运输问题是指：某种物品有m 个地点生产，n 个地点需要，物品从不同的产地运往不同的需要地运费也不相同，其次该物品的总产量与总的需要量也不正好相等。
如何分配才能既满足需要又使成本最少，即最优分配方案。
解决该问题主要有以下几步：1.初始方案的给定最小元素法：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价处开始确定供需关系，依次类推，一直到给出全部方案为止。
下面将以具体的例子来进一步说明此方法。
2.最优性检验与方案的调整位势法:首先将最小元素法确定的初始调运方案表有数字格的地方换上单位运价表中对应格的运价；然后在得到的新表格的右面和下面增加一行和一列，并填上一些数字，使表中各个数刚好等于他所在行和列的这些新填数字之和。
通常用iu （i =1，2，…）和iv （j =1,2，…）来代表这些新填的数字。
iu 和iv 分别称为第i 行和第j 列的位势。
任一空格的检验数为：גij =)(ijij ij v u c +-如果表中出现有负的检验数时，对方案进行调整，用闭合回路法，下面将以具体例子作详细说明。
例.已知运输问题的产销地的供需量与单位运价表如下图，求出最优解。
表1B1B2B3B4产量产地销地A18 4 1 2 7A2 6 9 4 7 25A3 5 3 4 3 26销量10 10 20 15〖解〗产地总产量为58，销地总销量为55,这是一个产大于销的运输问题。
【2019年整理】产销不平衡的运输问题
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产 量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表 1 A 16 2 13 3 22 4 17 产量 50
11
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
B
C
14
19 30
13
20 70
19
23 0
15
60
50
最低需要 量
最高需要 量10源自507030
不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
11 12
1n
21
22
2n
m1
m2
mn
Bn 1 产量 0 x1n 1 a1 0 x2 n 1 a 2 0 xmn 1 a m bn 1
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产 量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表 1 A 16 2 13 3 22 4 17 产量 50
11
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
B
C
14
19 30
13
20 70
19
23 0
15
60
50
最低需要 量
最高需要 量10源自507030
不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
11 12
1n
21
22
2n
m1
m2
mn
Bn 1 产量 0 x1n 1 a1 0 x2 n 1 a 2 0 xmn 1 a m bn 1
第7章05-产销不平衡的运输问题
第7章05产销不平衡的运输问题同学们，大家好，今天我们来学习产销不平衡的运输问题。
如果一个运输问题，总产量和总销量不相等，这时候就是产销不平衡的运输问题。
下面我们通过例7-3，给大家介绍产销不平衡的运输问题如何解决。
例7-3，有两个产地，三个销地的运输问题，各产地的产量，各销地的销量，以及各产地到各销地的单位产品运费已知，问如何调运，使得总运费最小？这个问题中，总产量是600，总销量是500，产销不平衡。
这个问题很显然可以通过建立线性规划模型进行求解，如下所示，111213212223111213212223112112221323min 646655300300150st.1502000,1,2;1,2,3ij z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++++≤⎧⎪++≤⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩在这个模型中，因为总产量大于总销量，产地的产品可能会有剩余，剩余对于产地的约束条件为“≤”而非“=”。
其它的地方都与产销平衡时一样。
但是，如果要用表上作业法求解这个问题，需要先把它转化为产生平衡的运输问题，写出产销平衡表。
如何写出产销平衡表呢？因为总产量比总销量大100，所以，我们引入一个虚拟销地B 4，销量为100。
我们可以把这个虚拟销地看成是一个虚拟仓库，多生产的产品都运到虚拟仓库中，因此不需要运费，即单位运价为0。
这时，就化为了下面的产销平衡表，从而可以运用表上作业法进行求解。
为什么这样引入虚拟仓库的做法是对的呢？我们可以简要证明一下。
实际上这个产销平衡表对应着下面的线性规划模型。
这个模型也可以在前面的线性规划模型的基础上通过引入松弛变量x 14和x 24得到。
所以这两个线性规划模型的最优解是一致的，从而，引入虚拟仓库后的运输问题与原运输问题也是一致的。
11121321222314241112131421222324112112221323min 646655+0+0+=300+=300150st.1502000,1,2;1,2,34ij z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++++⎧⎪++⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩，而如果总销量大于总产量，这时我们需要引入一个虚拟的产地进行解决。
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j 1,2 , n
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表上作业法是单纯形法在求解运输问题 的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解 表上给出m+n-1个数字格
（2）求各非基变量的检验数 计算表中空格检验数
（3）判断是否最优解 检验是否所有检验数非负
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？是
最优解
停止
否
换基：
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
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几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
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产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调 运可使总运输费用最小？
B1
A1
6
A2
6
销量 250
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B2
4 5 200
B3 产量
6 200 5 300 200
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
B1
B2
B3 产量
A1
6
4
6 200
A2
6
5
5 300
A3
0
0
0 150
销量 250 200 200
B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 4 6 0 300 A2 6 5 5 0 300
销量 150 150 200 100
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一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai bj
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1 bj ai
j1
i1
仿照上述类似处理。
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举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
1
2
3
4 产量
A
16
13
22
17
50
B
14
13
19
Hale Waihona Puke 1560C19
20
23
50
最低需要
量
30
70
0
10
最高需要
量
50
70
30 不限
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根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
Bj Ai
B1
B2
B3
ai
A1
10
425
A2
15
638
A3 04 03 07
4
bj
8 7 14
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运输问题 讨论
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一、概念题（判断）
1、运输问题是一种LP问题，其求解结果 有四种情况。
2、在运输问题中，只要给出一组含
（m+n-1）个非零的 x ij ，且满足
n
m
xij ai , xij bj
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第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔
法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
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最小元素法举例
B1 B 2 B3 B 4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 1020
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
1’ 1”
2
3 4’ 4”
产量
16
16
13 22 17 17
50
14
14
13 19 15 15
60
19
19
20
23 M
M
50
M
0
M
0
M
0
50
30
20
70
30 10 50
210
210
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➢ 最低要求必须满足，因此把相应的虚设产 地运费取M ，而最高要求与最低要求的差 允许按需要安排，因此把相应的虚设产地 运费取为 0 。对应 4”的销量50 是考虑问题 本身适当取的数据，根据产销平衡要求确 定 D的产量为 50。
销量
80
140
1210
0
1460
48
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例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2
82
10
3 2 9 10
A3
8 14 5
11 用8最小6 元2素2法
求出的目标函
销量 8 14 12 数z1=4246 48
目标函一数般值说来z，1伏2 格4 尔4法1 得1 出8的2 初始解 的2质9量最1好4 5 ，常8 用6来作2为44
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调整后的解为：
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B 4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij0,此时的解为最优解。
z821 451 2441 12986 244 2462
B1 B2
A x x c11
c12
1 11 12
A x x c21
c 22
2 21 22
A x x c m 1
cm2
m m1 m 2
b 销量 1 b2
B B n
n 1 产量
x x a c 1 n
0
1n 1n1 1
x x a c2n
0
2n 2n1 2
x x a cmn
0
mn mn 1 m
bn bn1
第四章 运输问题
4.1 运输问题 4.2 运输问题的表上作业法 4.3 运输问题的进一步讨论
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产销平衡问题的数学模型
m
n
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij a i , i 1 , 2 ,
,m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij 0 , i 1 , 2 , , m
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原产大于销平衡问题的数学模型
m
n
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij a i , i 1 , 2 ,
,m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij 0 , i 1 , 2 , , m
j 1,2 , n
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修改后产大于销平衡问题的数学模型
j1
i1
就可以作为一个初始基可行解。
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3、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初 始基可行解，从每一空格出发可以找出 而且仅能找出唯一的闭回路。
4、当所有产地产量和销地销量均为整数值， 运输问题的最优解也为整数值。
5、如果运输问题单位运价表的某一行（或 某一列）元素分别加上一个常数k，最优 调运方案将不会发生变化。
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例:某公司从两个产地A1、A2将物品运 往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、
各销地的销量和各产地运往各销地每件
物品的运费如下表所示，问：应如何调
运可使总运输费用最小？
B1 A1 6 A2 6 销量 150
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B2 4 5 150
B3 产量 6 300 5 300 200
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
6、如果…...分别乘上一个常k,…...不会发 生变化。
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这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为 从产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量， 由于实际并不运送，它们的运费为 c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，这个 运输问题就转化成了一个产销平衡 的问题。
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例:某公司从两个产地A1、A2将物品运 往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、
运输问题最优解的近似解。
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第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
B1 B 2（+B2 3 B（4-2）产量
A1
4 12） 10 4 6 11 16
A2 A3
8 2 10 2 3 -1 9 10 8 1（4 -25） 11 8（）6+222
销量 8 14 12 14 48
m n 1
min z
c ij x ij
i1 j1
n 1
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j 1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n,n 1
i1
x ij 0 , i 1 , 2 , , m j 1,2 , n , n 1
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注决最意策后：变一用量列最x的小ij 零表元运示素价由法最求A 后i初到考始B虑调i 。运的方物案品时数，量。
表上调整（闭回路调整）
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
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举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：