第七章 静定结构的内力计算
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结构力学：第七章《力法》
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
X1 1 M1图
M 2图
M3图 P Pab L
作基本结构各 和MP图
1 X2 1 由于 3=0,故
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
Pab2
L2 M图
MAC= a
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
超静定结构内力计算.pptx
μ
MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm
传递弯矩：
c MCB= 0
c
MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩：
MCB= 0
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm
MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm
MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f AB
1 8
ql 2
M
f BA
1 8
ql 2
第17页/共24页
1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5 MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
由于A、B、C为固定端支座，所以 其位移均已知为零，不需作为未知量； 而同一刚结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个独立的结 点转角未知量。故上图刚架只有一个 结点转角未知量。
第5页/共24页
2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
A
SAB = 3 i
B
A
SAB = i
θ =1
= B
A
B
当θ ≠ 1时: MAB = SAB θ
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
结构力学静定结构的内力计算图文
dM
q(x)
（1）微分关系 dx FQ
dx
dFQ q dx
q
FQ
M+d M
M d x FQ+d FQ
MA FQA
d 2M
q
Fy
dx2
FQ
m0 M
dx
M+ M
（2）增量关系
FQ+F Q
FQ Fy M m0
（3）积分关系 由dFQ = – q·d x
qy
FQB FQA
xB xA
q
y
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱMB
静定结构内力计算过程中需注意的几点问题： （1）弯矩图习惯画在杆件受拉边、不用标注正负号，轴力图和剪力图可画 在杆件任一边，需要标注正负号。 （2）内力图要写清名称、单位、控制截面处纵坐标的大小，各纵坐标的长 度应成比例。 （3）截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系 统，不可混淆。
四、 分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
P
M
MA
M
MA
M
+
M
M M M
A
MA
MB
FNA
FyA MA
MB
Fy0A
MA
q q q
M M
B MB
FNB FyB
MB
Fy0B
MB
例：4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
§3-2 静定梁
❖ 静定梁分为静定单跨梁和静定多跨梁。单跨梁的结构形式有水平梁、斜
结构力学：第七章 力法
A
B
两铰拱，一次超静定结构。
A
B
一次超静定桁架
A
B
曲梁，静定结构。
A
B
静定桁架
§7-2 超静定次数的确定
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X1 X2 X3 X1 X2 X3
X1 X2 X3
去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束
§7-2 超静定次数的确定
（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。
以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这 种分析方法称为位移法（displacement method）。
3. 混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量
如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未 知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力 的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。
思考：多余约束是多余的吗？
从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。
q
q
A
B
A
B
C
l
A
B
q l2 8
超静定结构的优点为:
0.5l
A
ql 2 64
0.5l
q l2
32
B
C ql 2
64
1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强
§7-1 超静定结构概述
二、超静定结构的类型
超静定梁 超静定刚架 超静定拱
A
C
D
B
A
CD
B
F E
以五个支座链杆为多余约束
其它形式的静定刚架：
AA
CC KK DD
《工程力学》课题十二：静定结构的内力计算
只需求出与杆轴线垂直的反力。
1.悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接 求作内力图。
L
q ½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
L
qL² qL²
2.简支刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往往
只须求出一个与杆件垂直的支座
反力，然后由支座作起。
q
l
D
qa2/2
C
l/2
l/2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
qL2/2
（3）绘制内力图(弯矩图 剪力图 轴力图）
由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。
弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆
件的弯矩图。
连接两个杆端的刚结点,若 结点上无外力偶作用,则两 个杆端的弯矩值相等,方向 相反.
M图（KN·m）
拆成单个杆,求出杆两端的所 有内力,按与单跨梁相同的方法 画内力图.
铰拱的合理拱轴线的纵
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线。
MC0=ql2/8 H=ql2/8f M0(x)=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩 图相似。
三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上， 合理拱轴是一条直线，并在集中荷载作用点出现转折； 在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。
（２）计算杆端力 取AB杆B截面以下部分， 计算该杆Ｂ端杆端力：
MBA = 160kN·m (右侧受拉) 同理：取BD杆B截面以右部 分，计算该杆B端杆端力： MBD = 160kN·m (下侧受拉)
静定结构的内力计算(桁架)PPT课件
在截面法中，需要将截断部分视为一个独立的体系，并分析其受力情况，然后根据 力的平衡条件列出方程，求解出内力。
截面法适用于各种类型的静定结构，包括梁、刚架、拱等，是一种通用的内力计算 方法。
节点法
节点法是通过分析节点处的受力情况， 然后根据力的平衡条件计算出节点内 力的方法。
节点法适用于计算静定刚架的内力， 特别是当刚架的跨度较大或杆件较粗 时，使用节点法可以简化计算过程。
02
梁和柱的连接方式会影响到内力的传递和分布，需要特别注意节点处 的内力计算。
03
内力计算中需要考虑梁和柱的材料特性，如弹性模量、泊松比等，这 些特性会影响到杆件的承载能力和变形。
04
内力计算的结果可以为后续的位移计算、强度校核等提供基础数据， 同时也可以为结构优化提供指导。
05
静定结构内力计算的应 用
梁的剪力和弯矩。
简支梁的弯矩图是一条直线，剪 力图是一个三角形。
悬臂梁
悬臂梁是一种一端固定、另一端自由的 静定结构，常用于支撑房屋的阳台、雨
篷等。
悬臂梁的内力计算需要考虑梁的弯曲变 形和剪切变形，根据弯矩和剪力的分布
情况，可以求出梁的剪力和弯矩。
悬臂梁的弯矩图是一个三角形，剪力图 是一条直线。
连续梁
连续梁是一种多跨度的静定结构，其两端通过连续座支撑，中间不受其 他约束。
连续梁的内力计算需要考虑梁的弯曲变形和剪切变形，根据弯矩和剪力 的分布情况，可以求出梁的剪力和弯矩。
连续梁的弯矩图是一个抛物线，剪力图是一个梯形。
04
静定结构的内力计算(以 桁架为例)
平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算通常采用截 面法，即通过截取一个或多个节点作 为隔离体，根据力的平衡条件计算各 杆件的内力。
静定结构的内力—结点法求静定平面桁架内力(建筑力学)
20kN
FyDC FNDC
C
30 5
D A
FNDF
2m
F
FxDF
4m
FyDF
FNDF
51
2
Fy 0，
FyDC 30 20 FyDF 0
(FyDF 10kN )
FyDC 30 20 10 20kN
FNDC FyDC (l / l y ) 20( 5 / 1) 44.72kN (压)
FAy= FBy= 30kN (↑) FAx= 0KN
2）判断零杆： 见图中标注。 3）求各杆轴力：
20kN
D 0
0
AE
20kN
C
20kN
G
1m
0
1m
F
H
B
30kN 2m 2m 2m 2m 30kN
取结点隔离体的顺序为：A、E、D、C。
由于结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。
结点A： Fy 0，
4) 运用比例关系：
FN Fx 。Fy l lx ly
结点受力的特殊情况：
1）
FN1
0。
90
0
FN2
s
结点上无荷载，则FN1＝FN2＝0。
由∑FS＝0，可得FN2＝0，故FN1＝0。
2）
FN1
FN2
Fy 0， FN 3 0；
0
FN3
Fx 0，
FN 1
FN
。
2
3） FN1
FN4 FN3
结点C：
Fy 0，
FNCF 20 40 0， FNCF 20kN(拉)。
20 5
20k N
C
20 5
FNCF
20kN
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系列简支梁 的弯矩图
多跨静定 梁的弯矩 图
7.2 静定平面刚架
7.2.1 概述 1. 刚架的特点
刚架是由直杆组成的具有刚性结点的结构。
在刚架中的刚结点处，刚结在一起的各杆不 能发生相对移动和转动，变形前后各杆的夹角保 持不变，故刚结点可以承受和传递弯矩。
由于存在刚结点，使刚架中的杆件较少，内 部空间较大，比较容易制作，所以在工程中得到 广泛应用。
第七章 静定结构的内力计算
内容提要
本章介绍静定结构的内力分析和计算。静定 结构内力分析的基本方法是截面法，利用截面法 求出控制截面上的内力值，再利用内力变化规律， 最后绘出结构的内力图。静定结构的内力计算是 静定结构位移计算和超静定结构内力计算的基础。
本章内容
7.1 多跨静定梁 7.2 静定平面刚架 7.3 静定平面桁架 7.4 静定平面组合结构 7.5 三铰拱
6
6.75
A
BC
DE
F
8
5.06
(d)M 图 (kN·m)
27
9
9
4
4
4.5 4.5
A
BC
DE
F
6
6
4.5
11
11 (e)FS 图 (kN)
7.1.3 多跨静定梁的受力特征
上图是多跨相互独立的系列简支梁及其在均 布荷载q的作用下的弯矩图，下图是一相同跨度、 相同荷载作用下的多跨静定梁及其弯矩图。比较 两个弯矩图可以看出，系列简支梁的最大弯矩大 于多跨静定梁的最大弯矩。因而，系列简支梁虽 然结构较简单，但多跨静定梁的承载能力大于系 列简支梁，在同荷载的情况下可节省材料。
（3）三铰刚架 三铰刚架一般由两个构
件用铰连接，底部用两个固 定铰支座与基础连接而成。
屋架
（4）组合刚架 组合刚架通常是由上述三种刚架中的某一种
作为基本部分，再按几何不变体系的组成规则连 接相应的附属部分组合而成。
组合刚架
7.2.2 静定平面刚架的内力计算
在一般情况下，刚架中各杆的内力有弯矩、 剪力和轴力。
2. 刚架的分类
静定平面刚架主要有以下四种类型： （1）悬臂刚架
悬臂刚架一般由一个 构件用固定端支座与基础 连接而成。
站台雨篷
（2）简支刚架 简支刚架一般由一个构件用固
定铰支座和活动铰支座与基础连接，
或用三根既不全平行、又不全交于
一点的链杆与基础连接而成。
简支刚架常见的有门式的和T
形的两种。
渡槽的槽身
FCy FCy
FEy
FEy
FFy
FDy
FAy
FBy
取EF为隔离体，由平衡方程求得EF梁的约束反 力为
FFy=4.5kN ， FEy=4.5kN
FEy
FFy
将FFy的反作用力作为荷载加在CDE 梁的E处， 由平衡方程求得CDE 梁的约束反力为
FDy=10.5kN ， FCy=4kN
FEy
FCy
FDy
静定平面刚架内力计算的一般步骤是:先由整 体或部分的平衡条件，求出支座反力和铰结点处 的约束力，然后可面对杆件，即使杆件在面前横 放，按单跨静定梁的内力计算法则和内力图的绘 制方法，逐杆绘制内力图，最后将各杆的内力图 连在一起，即得整个刚架的内力图。
在刚架的内力计算中，弯矩可自行规定正负， 但须注明受拉的一侧，弯矩图绘在杆的受拉一侧。 剪力和轴力的正负号规定同前，即剪力以使隔离 体产生顺时针转动趋势时为正，反之为负；轴力 以拉力为正，压力为负。剪力图和轴力图可绘在 杆的任一侧，但须标明正负号。
在檩条梁中，AB梁是基本部分，而BC梁、CD 梁则是附属部分。
为清晰起见，可将它们的支承关系分别用图表 示，这样的图形称为层次图。
7.1.2 多跨静定梁的内力计算
通过层次图可以看出力的传递过程。因为基本 部分直接与基础相联结，所以当荷载作用于基本部 分时，仅基本部分受力，附属部分不受力；当荷载 作用于附属部分时，由于附属部分与基本部分相联 结，故基本部分也受力。
因此，多跨静定梁的约束反力计算顺序应该是 先计算附属部分，再计算基本部分。即从附属程度 最高的部分算起，求出附属部分的约束反力后，将 其反向加于基本部分即为基本部分的荷载，再计算 基本部分的约束反力。
当求出每一段梁的约束反力后，其内力计算和 内力图的绘制就与单跨静定梁一样，最后将各段梁 的内力图连在一起即为多跨静定梁的内力图。
桥梁 檩条梁
桥梁的计算简图 檩条梁的计算简图
就几何组成而言，多跨静定梁的各个部分可 分为基本部分和附属部分。
在桥梁中，AB梁由三根支座链杆与基础相联结， 是几何不变体系，能独立承受荷载，称为基本部分。 CD梁在竖向荷载作用下能独立维持平衡，故在竖向 荷载作用下CD梁也可看作基本部分。而BC梁则必 须依靠AB梁和CD梁的支承才能承受荷载并维持平 衡，称为附属部分。
再将FCy的反作用力作为荷载加在ABC 梁上， 由平衡方程求得ABC 梁的约束反力为
FBy=15kN ， FAy=9kN
FCy
FAy
FBy
3) 绘制内力图。 各段梁的约束反力求出后，可以根据图(c)计 算各控制截面上的内力，并逐段绘制内力图(此 处将计算过程略去)。最后将各段梁的内力图连 接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图［图(d， e)］。
小结
7.1 多跨静定梁
多跨静定梁是由单跨静定梁通过铰加以适当联 结而成的结构。
多跨静定梁一般要跨越几个相连的跨度，它是 工程中广泛使用的一种结构形式，最常见的有公路 桥梁和房屋中的檩条梁等。
桥梁 檩条梁
7.1.1 多跨静定梁的几何组成
多跨静定梁有两种基本组成形式： 第一种是无铰跨和双铰跨交替出现； 第二种是第一跨无中间铰，其余各跨各有一个 中间铰。
【例7.1】绘制图（a）所示多跨静定梁的内力图。
【解】 1) 绘制层次图。
梁ABC固定在基础上，是基本部分；梁CDE固 定在梁ABC上，是第一级附属部分；梁EF固定在梁 CDE上，是第二级附属部分。
根据上述分析，多跨静定梁由三个层次构成。
2) 求约束反力。 在计算时，先计算EF梁，再计算CDE梁，最 后计算ABC梁。
为了使杆件内力表达得清晰，在内力符号的 右下方以两个下标注明内力所属的截面。第一个 下标表示该内力所属杆端的截面；第二个下标表 示杆段的另一端截面。例如，杆段AB的A端的弯 矩和剪力分别用MAB、FSAB表示；而B端的的弯矩 和剪力分别用MBA、FSBA表示。
【例7.2】绘制图（a）所示悬臂刚架的内力图。