山西省实验中学2019-2020学年第一学期12月调研初三数学解析
山西省太原市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(3)含解析
山西省太原市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（3）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =2．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片正面数字之和为正数的概率是（ ）A ．12B ．59C ．49D ．233．如图，半径为5的A e 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是BAC ∠，EAD ∠，若6DE =，180BAC EAD ∠+∠=︒，则弦BC 的长等于（ ）A ．8B ．10C ．11D ．124．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数5．cos60°的值等于（ ）A ．1B ．12C ．22D ．3 6．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q7．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB ；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM ；⑤23AM MF =．其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤8．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A ．认B ．真C ．复D ．习9．如图，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m x (m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为( )A ．602x x <-<<或B ．602x x -<或C ．2x >D ．6x <-10．某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（ ）A ．9分B ．8分C ．7分D ．6分11．下列事件中为必然事件的是（ ）A ．打开电视机，正在播放茂名新闻B ．早晨的太阳从东方升起C ．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D ．下雨后，天空出现彩虹12．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行淘汰赛，在相同条件下，每人射击10次，甲、乙两人的成绩如图所示，丙、丁二人的成绩如表所示．欲淘汰一名运动员，从平均数和方差两个因素分析，应淘汰（ ）丙 丁 平均数8 8 方差 1.2 1.8A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．14．因式分解：212x x--=．15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，沿着BE将△ABE折叠，点A刚好落在BF 上，若AB=2，则AD=________．16．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．17．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数kyx=经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(422-的圆内切于△ABC，则k的值为________．18．已知正方形ABCD的边长为8，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，当点B，D，G在一条直线上时，若DG=22，则CE的长为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE20．（6分）某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？21．（6分）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB．（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系；（2）①如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD2时，直接写出BC的值．22．（8分）学校决定在学生中开设：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率．23．（8分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x 的函数关系图象．（1）求y与x的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围．24．（10分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x 之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x的值．25．（10分）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．请您确定当购买A种奖品多少件时，费用W的值最少．26．（12分）2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？请把折线统计图（图1）补充完整；求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．27．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．D【解析】【分析】先找出全部两张卡片正面数字之和情况的总数，再先找出全部两张卡片正面数字之和为正数情况的总数，两者的比值即为所求概率.【详解】任取两张卡片，数字之和一共有﹣3、2、1三种情况，其中和为正数的有2、1两种情况，所以这两张卡片正面数字之和为正数的概率是23.故选D. 【点睛】本题主要考查概率的求法，熟练掌握概率的求法是解题的关键.3．A【解析】作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连结BF ，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF ，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=1，从而求解．解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=120°，而∠BAC+∠BAF=120°，∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=1．∴2222534BH AB AH-=-=，∴BC＝2BH＝2．故选A．“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．4．C【解析】【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．5．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出结果.【详解】解：cos60°=12 故选A.【点睛】识记特殊角的三角函数值是解题的关键.6．A【解析】解：∵点P 所表示的数为a ，点P 在数轴的右边，∴-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍，∴数-3a 所对应的点可能是M ，故选A ．点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍．7．D【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF ，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE ，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB ，然后求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD AD EM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABF ≌△DAE （SAS ）， ∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°， ∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确； ∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误； ∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ，∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ， 在Rt △ABF 中，== ∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°， ∴△AME ∽△ABF ，∴AM AE AB AF= ，即2AM a =解得AM=5∴=55-，∴AM=23MF ，故⑤正确； 如图，过点M 作MN ⊥AB 于N ，则MN AN AM BF AB AF== 即25525MN AN a a a== 解得MN=a 52，AN=45a ， ∴NB=AB-AN=2a-45a =65a ， 根据勾股定理，22226221055NB MN a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，则OK=a-a 52=a 53，MK=65a -a=15a ， 在Rt △MKO 中，2222131055MK OK a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据正方形的性质，BO=2a×22a =， ∵BM 2+MO 2=222210102a ⎫⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭)22222BO a a ==∴BM 2+MO 2=BO 2，∴△BMO 是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．8．B【解析】分析：由平面图形的折叠以及正方体的展开图解题，罪域正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.详解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．故选B．点睛：本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题.9．B【解析】【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【详解】解：不等式kx+b＞mx的解集为：-6＜x＜0或x＞2，故选B．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．10．C【解析】分析: 根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最中间位置的数就是第四个，从而得出答案.详解: 将这组数据按从小到大排列为：6＜7＜7＜7＜8＜9＜9，故中位数为：7分，故答案为：C.点睛: 本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.11．B【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．【解析】【分析】求出甲、乙的平均数、方差，再结合方差的意义即可判断．【详解】x 甲=110（6+10+8+9+8+7+8+9+7+7）=8， 2S 甲=110 [（6-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（7-8）2] =110×13 =1.3；x 乙=（7+10+7+7+9+8+7+9+9+7）=8，2S 乙=110[（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（7-8）2] =110×12 =1.2；丙的平均数为8，方差为1.2，丁的平均数为8，方差为1.8，故4个人的平均数相同，方差丁最大．故应该淘汰丁．故选D ．【点睛】本题考查方差、平均数、折线图等知识，解题的关键是记住平均数、方差的公式．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π． 故答案为15π．考点：圆锥的计算．14．()()34x x +-；根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．【详解】x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．故答案为（x ﹣4）（x+3）．15．22 【解析】 如图，连接EF ，∵点E 、点F 是AD 、DC 的中点，∴AE=ED ，CF=DF=12CD=12AB=1， 由折叠的性质可得AE=A′E ，∴A′E=DE ，在Rt △EA′F 和Rt △EDF 中，EA ED EF EF ='⎧⎨=⎩， ∴Rt △EA ′F ≌Rt △EDF （HL ），∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=2+1=3，在Rt △BCF 中，BC=22223122BF CF -=-=．∴AD=BC=22 ．点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF ，证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ，得出BF 的长，再利用勾股定理解答即可．16．【解析】试题解析：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC=2BD ，∴OD=2OC ．∵CD=k ，∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32）， ∴AC=3，BD=32， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=92， ∴CD=k=22229376()22AB AF -=-=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键.17．1【解析】试题解析：设正方形对角线交点为D ，过点D 作DM ⊥AO 于点M ，DN ⊥BO 于点N ；设圆心为Q ，切点为H 、E ，连接QH 、QE ．∵在正方形AOBC 中，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC 对角线的交点， ∴AD=BD=DO=CD ，NO=DN ，HQ=QE ，HC=CE ，QH ⊥AC ，QE ⊥BC ，∠ACB=90°，∴四边形HQEC 是正方形，∵半径为（1-22）的圆内切于△ABC，∴DO=CD，∵HQ2+HC2=QC2，∴2HQ2=QC2=2×（1-22）2，∴QC2=18-322=（12-1）2，∴QC=12-1，∴CD=12-1+（1-22）=22，∴DO=22，∵NO2+DN2=DO2=（22）2=8，∴2NO2=8，∴NO2=1，∴DN×NO=1，即：xy=k=1．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及三角形内切圆的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据已知求出CD的长度，进而得出DN×NO=1是解决问题的关键．18．210或226．【解析】【分析】本题有两种情况，一种是点G在线段BD的延长线上，一种是点G在线段BD上，解题过程一样，利用正方形和三角形的有关性质，求出MD、MG的值，再由勾股定理求出AG的值，根据SAS证明≌，可得CE AG=，即可得到CE的长.V VAGD CED【详解】解：当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示.⊥于M，过点G作GM ADBD Q 是正方形ABCD 的对角线，45ADB GDM ∴∠=∠=︒,GM AD DG ⊥=Q ， 2MD MG ∴==,在Rt AMG V 中，由勾股定理，得：AG ==在AGD V 和CED V 中，GD ED =，,AD CD =90ADC GDE ∠=∠=︒Q ,ADG CDE ∴∠=∠AGD CED ∴V V ≌CE AG ∴==当点G 在线段BD 上时，如图4所示.过G 作GM AD ⊥于M ．BD Q 是正方形ABCD 的对角线，45ADG ∴∠=︒GM AD DG ⊥=Q ， 2MD MG ∴==，6AM AD MD ∴==﹣在Rt AMG V 中，由勾股定理，得：AG ==在AGD V 和CED V 中，GD ED =，,AD CD =90ADC GDE ∠=∠=︒Q ,ADG CDE ∴∠=∠AGD CED ∴V V ≌CE AG ∴==故答案为【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．证明见解析．【解析】证明：∵AC//DF ∴在和中∴△ABC≌△DEF（SAS）20．（1）A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装2套．【解析】试题分析：（1）利用两种套装的套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式.试题解析：（1）解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．根据题意得：2002.5x+=2×75x，解得：x=7.5，经检验，x=7.5为分式方程的解，∴x+2.5=1．答：A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元．（2）解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，根据题意得：（13﹣1）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，解得：a＞16，∵a为正整数，∴a取最小值2．答：最少购进A品牌工具套装2套．点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答.21．（1）相等或互补；（2）①BD+AB＝2BC；②AB﹣BD2BC；（3）BC3131. 【解析】【分析】（1）分为点C，D在直线MN同侧和点C，D在直线MN两侧,两种情况讨论即可解题,（2）①作辅助线,证明△BCD≌△FCA，得BC＝FC，∠BCD＝∠FCA,∠FCB＝90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解题, ②在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，证明△BCD≌△FCA，得△BFC是等腰直角三角形,即可解题,（3）分为当点C，D在直线MN同侧，当点C，D在直线MN两侧，两种情况解题即可,见详解.【详解】解：（1）相等或互补；理由：当点C，D在直线MN同侧时，如图1，∵AC⊥CD，BD⊥MN，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，在四边形ABDC中，∠BAD+∠D＝360°﹣∠ACD﹣∠BDC＝180°，∵∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝∠D；当点C，D在直线MN两侧时，如图2，∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∠AEC＝∠BED，∴∠CAB＝∠D，∵∠CAB+∠CAM＝180°，∴∠CAM+∠D＝180°，即：∠D与∠MAC之间的数量是相等或互补；（2）①猜想：BD+AB2BC如图3，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF．又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC∴△BCD≌△FCA，∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°即∠ACB+∠BCD＝90°∴∠ACB+∠FCA＝90°即∠FCB＝90°∴BF2BC∵AF+AB＝BF2BC∴BD+AB2BC；②如图2，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC∴△BCD≌△FCA，∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°即∠ACB+∠BCD＝90°∴∠ACB+∠FCA＝90°即∠FCB＝90°∴BF＝2BC∵AB﹣AF＝BF＝2BC∴AB﹣BD＝2BC；（3）①当点C，D在直线MN同侧时，如图3﹣1，由（2）①知，△ACF≌△DCB，∴CF＝BC，∠ACF＝∠ACD＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠CBD＝45°，过点D作DG⊥BC于G，在Rt△BDG中，∠CBD＝45°，BD2，∴DG＝BG＝1，在Rt △CGD 中，∠BCD ＝30°，∴CG ＝3,DG ＝3，∴BC ＝CG+BG ＝3+1，②当点C ，D 在直线MN 两侧时，如图2﹣1，过点D 作DG ⊥CB 交CB 的延长线于G ，同①的方法得，BG ＝1，CG ＝3，∴BC ＝CG ﹣BG ＝3﹣1即：BC ＝31+ 或31-，【点睛】本题考查了三角形中的边长关系,等腰直角三角形的性质,中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键. 22．（1）150；（2）详见解析；（3）35. 【解析】【分析】（1）用A 类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数分别减去A 、C 、D 得到B 类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）15÷10%=150， 所以共调查了150名学生；（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为150﹣15﹣60﹣30=45，喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为1﹣20%﹣40%﹣10%=30%，两个统计图补充为：（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为12， 所以刚好抽到不同性别学生的概率123.205== 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．23．（1）y=-2x+31，（2）20≤x≤1【解析】试题分析：（1）根据函数图象经过点（20，300）和点（30，280），利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；（2）根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，结合草莓的成本价即可得出x 的取值范围．试题解析：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，根据题意，得： 2030030280k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：2340k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数解析式为y=-2x+31，(2) ∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，且草莓的成本为每千克20元， ∴自变量x 的取值范围是20≤x≤1．24．（1）300米/分；（2）y=﹣300x+3000；（3）7811分． 【解析】【分析】（1）由图象看出所需时间．再根据路程÷时间=速度算出小张骑自行车的速度．（2）根据由小张的速度可知：B （10，0），设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可.（3）求出CD 的解析式，列出方程，求解即可.【详解】解：（1）由题意得：240012003004-=（米/分）， 答：小张骑自行车的速度是300米/分；（2）由小张的速度可知：B （10，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，把A （6，1200）和B （10，0）代入得：10061200,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：3003000,k b =-⎧⎨=⎩∴小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；3003000y x =-+；（3）小李骑摩托车所用的时间：24003,800= ∵C （6，0），D （9，2400），同理得：CD 的解析式为：y=800x ﹣4800，则80048003003000x x -=-+， 7811x = 答：小张与小李相遇时x 的值是7811分．【点睛】考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.25．（1）A 、B 两种奖品的单价各是10元、15元；（2）W （元）与m （件）之间的函数关系式是W=﹣5m+1，当购买A 种奖品75件时，费用W 的值最少．【解析】【分析】（1）设A 种奖品的单价是x 元、B 种奖品的单价是y 元，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得A 、B 两种奖品的单价各是多少元；（2）根据题意可以得到W （元）与m （件）之间的函数关系式，然后根据A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，可以求得m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设A 种奖品的单价是x 元、B 种奖品的单价是y 元，根据题意得：32605395x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 答：A 种奖品的单价是10元、B 种奖品的单价是15元．（2）由题意可得：W=10m+15（100﹣m ）=﹣5m+1．∵A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，∴m≤3（100﹣m ），解得：m≤75∴当m=75时，W 取得最小值，此时W=﹣5×75+1=2．答：W （元）与m （件）之间的函数关系式是W=﹣5m+1，当购买A 种奖品75件时，费用W 的值最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．26．（1）一共调查了300名学生．（2）（3）体育部分所对应的圆心角的度数为48°．（4）1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．【解析】【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解．（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可．（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解．（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）∵90÷30%=300（名），∴一共调查了300名学生．（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名．补全折线图如下：（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：40300×360°=48°．（4）∵1800×80300=1（名），∴1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．27．（1）证明见解析；（2）BD＝3【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CDBD AB，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴CE CD BD AB=，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD62⨯＝3【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．。
2019-2020学年山西省太原市实验中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年山西省太原市实验中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．命题“在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð都是锐角”的否命题为（ ） A ．在ABC V 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B Ð都不是锐角 B ．在ABC V 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B Ð不都是锐角 C ．在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð都不是锐角 D ．在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð不都是锐角 【答案】B【解析】根据否命题的定义判断即可. 【详解】命题“在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð都是锐角”的否命题为“在ABC V 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B Ð不都是锐角” 故选：B 【点睛】本题主要考查了写出命题的否命题，属于基础题.2．已知命题1,20x p x R -∀∈>：，则命题p ⌝为（ ） A ．1,20x x R -∀∈≤ B ．1,20x x R -∃∈≤ C ．1,20x x R -∃∈≠ D ．1,20x x R -∀∈<【答案】B【解析】由全称命题的否定的定义即可判断. 【详解】因为命题1,20x p x R -∀∈>： 所以命题:p ⌝1,20x x R -∃∈≤故选：B 【点睛】本题主要考查了写出全称命题的否定，属于基础题.3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为150︒，则直线l 与平面α所成角为（ ）A ．30°B ．120︒C ．150︒D ．60︒【答案】D【解析】根据直线与平面所成角的正弦值等于150︒的余弦值的绝对值，即可得出答案. 【详解】设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos150θ=︒=因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以60θ=︒ 故选：D 【点睛】本题主要考查了求线面角，属于基础题.4．平面内有两定点,A B ，且AB 4=，动点P 满足4PA PB +=u u u r u u u r，则点P 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．半圆C ．圆D ．椭圆【答案】C【解析】设(,)P x y ，(2,0)A -，(2,0)B ，由向量的加法以及模长公式得出点P 的轨迹是圆. 【详解】设(,)P x y ，(2,0)A -，(2,0)B(2,2)PA PB x y +=--u u u r u u u rQ()()222224x y ∴-+-=，即224x y +=则点P 的轨迹是圆 故选：C 【点睛】本题主要考查了求有关圆的轨迹问题，涉及了向量的模长公式，属于基础题. 5．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++u u u u v u u u v u u u v u u u vB ．2OM OA OB OC =--u u u u v u u u v u u u v u u u vC ．1123OM OA OB OC =++u u u u v u u u v u u u v u u u vD ．111236OM OA OB OC =++u u u u v u u u v u u u v u u u v【答案】D【解析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++u u u u v u u u v u u u v u u u v，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且OM xOA yOB zOC =++u u u u v u u u v u u u v u u u v,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30o ，则C 的离心率为（ ） A．B ．13C ．12D【答案】D【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|m ， 故离心率e＝12122223F F c a PF PF m m ===++选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．已知向量,a b r r 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c r在直线l 上，则“0c a ⋅=r r ，且0c b ⋅=r r”是“l α⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量的性质以及线面垂直的性质即可作出判断.【详解】0,0c c a b ⋅⋅==r r rr Q,c c b a ∴⊥⊥r r r r若直线l 在平面α内时，此时也能找到向量,a b r r与c r 垂直，不能得到l α⊥反过来，l α⊥，则直线l 垂直于平面α内所有直线，则0c a ⋅=r r ，且0c b ⋅=r r故“0c a ⋅=r r ，且0c b ⋅=r r”是“l α⊥”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，涉及向量的性质以及线面垂直的性质，属于基础题.8．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F ∆的面积是（ ） A． B ．2 C． D【答案】A【解析】由椭圆的定义得出124PF PF +=，结合122PF PF -=，可求出1PF 和2PF ，利用勾股定理可得出2222121PF F F PF +=，可得出212PF F F ⊥，然后利用三角形的面积公式可计算出12PF F ∆的面积. 【详解】由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1231PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，12F F ==Q 2212212PF F F PF ∴+=，212PF F F ∴⊥.因此，12PF F ∆的面积为1212211122PF F S F F PF ∆=⋅=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.9．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．(],3-∞【答案】A【解析】由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围. 【详解】由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤， 由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴1a ≥， 故选：A . 【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.10．已知空间四个点(1,1,1)A ，(4,0,2)B -，(3,1,0)C --，(1,0,4)D -，则直线AD 与平面ABC 所成的角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A【解析】根据向量法求出线面角即可. 【详解】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r，直线AD 与平面ABC 所成的角为θ(2,1,3),(5,1,1),(4,2,1)AD AB AC =--=--=---u u u r u u u r u u u r0504200n AB x y z x y z n AC ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨---=⋅=⎩⎪⎩u u u r r u u ur r 令1x =，则(1,3,2)n =-r1sin 2AD n AD nθ⋅∴===⋅u u u r ru u u r r 则30θ=︒ 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.二、填空题11．若2a x a <<+是3x >的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为_________ 【答案】[)3,+∞【解析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出a 的范围． 【详解】∵“a ＜x ＜a+2”是“x ＞3”的充分不必要条件 ∴{x|a ＜x ＜a+2}⊊{x|x ＞3} ∴a≥3，故答案为[3，+∞） 【点睛】本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A ⊆B 时，A 是B 的充分条件；当A ⊊B 时，A 是B 的充分不必要条件；当A=B 时，A 是B 的充要条件．12．如图，已知三棱锥A BCD -中，AD ，BD ，CD 两两垂直，1AD BD ==，3CD =，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，则点C 到平面DEF 的距离为_________．【答案】217【解析】利用体积桥C DEF E CDF V V --=的方式，求解出三棱锥C DEF -的体积；根据题目中的长度和垂直关系，求解出DEF S ∆，然后再求解出所求的距离. 【详解】 原题如图所示：,,AD BD CD Q 两两互相垂直 AD ∴⊥平面BCD又E 为AC 中点 E ⇒到底面BCD 距离为1122AD = 1AD =，3CD =AD CD ⊥ 2AC ⇒= 112DE AC ⇒== ,E F 为,AC BC 中点 22112222EF AB AD DB ⇒==+=1BD =，3CD =BD CD ⊥ 2BC ⇒= 112DF BC ⇒== 在DEF ∆中，根据余弦定理可知：11132cos 2114EDF +-∠==⨯⨯ 7sin EDF ⇒∠=17sin 2DEF S DE DF EDF ∆∴=⨯⨯⨯∠=设C 到平面DEF 距离为h 则111111333232212224C DEF E CDF CDF BCD V V S S --∆∆==⨯=⨯⨯=⨯=即117333824DEF S h h ∆⋅=⨯=217h ⇒= 本题正确结果：217【点睛】本题考查空间几何体中的距离问题，对于三棱锥中的点到面的距离，通常采用体积桥的方式，将所求距离变为几何体的高，从而通过体积求解出结果.13．曲线C 的方程为x 2＋23y＝1，其上一点P(x ，y)，则3x ＋y 的最大值为_________.【答案】23【解析】令3x＋y＝n，与椭圆联立得12x2－6nx＋n2－3＝0，，由Δ≥0即可得最值. 【详解】令3x＋y＝n，代入x2＋23y＝1，消去y化简整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－23≤n≤23.答案：23.【点睛】本题主要考查了由联立处理直线与椭圆的位置关系，属于基础题.14．在图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，若(02)CM BN a a==<<，则MN长度的最小值是__________．【答案】2 2【解析】利用面面垂直和线面垂直的性质定理证明AD AF⊥，建立空间直角坐标系，写出,M N坐标，利用空间中两点的距离公式结合二次函数的性质得出最小值.【详解】Q平面ABCD⊥平面ABEFAD⊂平面ABCD，平面ABCD与平面ABEF相交于AB，AD AB⊥AD∴⊥平面ABEFAF⊂Q平面ABEF，AD AF∴⊥则以A为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系(02)CM BN a a ==<<Q22220,1,1,,1,02222M a N a a ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222211212222MN a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则22a =时，MN 取最小值22故答案为：22【点睛】本题主要考查了空间中两点间距离公式的应用，关键是采用坐标法进行求解，属于中档题.三、解答题15．命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立； 命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。
初三数学实中期中考试--解析(1)
．B 80 × 70 − 4x2 = 3000 ．D 80 × 70 − 4x2 − (70 + 80)x = 3000
-2-
-2-2- -
6. 在 ∆ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B ，C 两点不重合），过点 D 作 DE / /AC ，DF / /AB ，分别交 AB ， AC 于 E ， F 两点，下列说法正确的是( )
8. 若一个 4 米高的旗杆在太阳光下的影子长是 6 米，与此同时，同它临近的一个建筑物的影子长是 24 米， 则这个建筑物的高度是( )
．A 12 米
．B 16 米
．C 26 米
．D 32 米
【考点】相似三角形的应用；平行投影 【难度星级】★ 【答案】B 【解析】设建筑物的高为 h 米，由题意可得：
山西省实验中学
2019—2020 学年第一学期期中考试（卷）
九年级 数学—解析
时间：120 分钟 分值：120 分 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
不等式组 的整数解有 1.
2−x12−x1<≤11
．A 1 个
．B 2 个
．C 3 个
．D 4 个
【考点】不等式组的整数解
∴m >1
3. 已知： 3 = 2 ，那么下列式子成立的是( xy
．A 3x = 2y
．B xy = 6
)
．C x = 2 y3
【考点】比例的性质 【难度星级】★ 【答案】D
【解析】见答案
．D y = 2 x3
2019-2020学年山西省实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)
2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是()A. x2−5x=0B. x+1=0C. y−2x=0D. 2x3−2=02.一元二次方程3x−2=x(2x−1)的一般形式是()A. 2x2−3x−2=0B. 2x2+3x−2=0C. 2x2−4x−2=0D. 2x2−4x+2=03.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为()A. 4B. 6C. 8D. 124.一元二次方程x2+2=0的根的情况为()A. 没有实根B. 有两个相等的实根C. 有两个不等的实根D. 有两个实根5.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为()A. x(20+x)=64B. x(20−x)=64C. x(40−x)=64D.x(40+x)=646.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE//CA，DF//BA，下列四个判断中，不正确的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠EAF，AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形7.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.则线段EF的最小值为()A. 45B. 35C. 52D. 1258.如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是()A. 45°B. 50°C. 60°D. 不确定9.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛(即每两个队比赛一场)共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为()A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知某等腰三角形三边长分别为5，a，11，则a的值为()A. 5B. 5.5C. 11D. 5或11二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.如果−1是方程x2+mx−1=0的一个根，那么m的值为____________．12.分解因式：xy4−6xy3+9xy2= ______．13.把方程x2+6x+3=0变形为(x+ℎ)2=k的形式，其中h，k为常数，则k=______．14.若关于x的一元二次方程a2x2+(2a−1)x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是______．15.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有______对全等三角形．三、解答题（本大题共7小题，共65.0分）16.解下列方程：(1)(2x+3)2−81=0；(2)x2+2x−399=0；(配方法)(3)3x(x−1)=2x−2；(4)x2−2x−1=0．17. 先化简，再求值：(a +2a+1a )÷2a 2−2a 2−a ，其中a =2√3−1．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 为BC 边上的中线，AE//BC ，且AE =12BC ，连接CE ． (1)求证：四边形ADCE 为菱形；(2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，AE =2，求BE 的长．19. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？AC，连接AE、CE．20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，DE=12(1)求证四边形ODEC为矩形；(2)若AB=2，∠ABC=60°，求AE的长．21.汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？22.25.如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN．(1)若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长；(2)求证：GN=FN；(3)如图2，移动点E，使得FN⊥CD于点Q时，请探究CM与DE的数量关系并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：[分析]根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．[详解]A、是一元二次方程，故A正确；B、是一元一次方程，故B错误；C、是二元一次方程，故C错误；D、是一元三次方程，故D错误；故选：A．[点睛]本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.答案：D解析：【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先去括号，然后移项，把等号右边化为0即可．【解答】解：将原方程整理得2x2−4x+2=0，故选D．3.答案：C解析：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．故选：C．在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证AD=DC，又四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长即可．本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出AD=DC．4.答案：A解析：解：一元二次方程x2+2=0中，△=0−4×1×2=−8<0，故原方程没有实数根．故选A．先求出△的值，再进行判断即可得出答案．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．5.答案：B解析：【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设长方形的长为xcm，则这个长方形的宽为(20−x)cm，根据长方形的面积公式可列方程x(20−x)=64，故选B．6.答案：D解析：【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，对四个选项逐一判断即可．【解答】解：A、因为DE//CA，DF//BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD=EF，且四边形AEDF是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD=∠FAD，∵∠FAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选D．7.答案：D解析：【分析】连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF=CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，进而解答即可．本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键．【解答】解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，∵AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5，∵四边形CEDF是矩形，∴CD=EF=AC⋅BCAB =125，故选：D．8.答案：A解析：【分析】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．过E作HI//BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．【解答】解：如图所示，过E作HI//BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，{BE=EFBH=EI,∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL)，∴∠HBE=∠IEF，∵∠HBE+∠HEB=90°，∴∠IEF+∠HEB=90°，∴∠BEF=90°，∵BE=EF，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选A．9.答案：C解析：解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x−1)场，2=45，根据题意列出方程得：x(x−1)2整理，得：x2−x−90=0，解得：x1=10，x2=−9(不合题意舍去)，所以，这次有10队参加比赛．故选：C．设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，则此次比赛的总场数为：x(x−1)场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．2此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，能够进行分类讨论是解题关键.分a=5或a=11进行讨论即可．【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为5，a，11，∴当a=5时，5+5<11，不能构成三角形；当a=11时，5+11>11，可以构成三角形，故选C．11.答案：0解析：【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，解题关键是掌握一元二次方程的解的概念.解题时，把方程的根代入方程，得出关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵−1是方程x2+mx−1=0的一个根，∴(−1)2−m−1=0，解得：m=0．故答案为0．12.答案：xy2(y−3)2解析：解：原式=xy2(y2−6y+9)=xy2(y−3)2，故答案为：xy2(y−3)2．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.答案：6解析：解：移项，得x2+6x=−3，配方，得x2+6x+9=−3+9，所以，(x+3)2=6．故答案是：6．把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再通过比较得到k的值．本题考查了解一元二次方程--配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14.答案：a≤1且a≠04解析：解：根据题意得a2≠0且△=(2a−1)2−4a2≥0，解得a≤1且a≠0．4且a≠0．故答案为a≤14根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a2≠0且△=(2a−1)2−4a2≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15.答案：3解析：解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，{OA=OB ∠1=∠2 OP=OP，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，{∠1=∠2∠OEP=∠OFP=90°OP=OP，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，{PA=PBPE=PF，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP≌R t△BOP．本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．16.答案：解：(1)(2x+3)2−81=0，(2x+3)2=81，∴2x+3=9或2x+3=−9，解得：x1=3x2=−6；(2)x2+2x−399=0，x2+2x=399，x2+2x+1=399+1，即(x+1)2=400，∴x+1=20或x+1=−20，解得：x1=19x2=−21；(3)3x(x−1)=2x−2；整理，得：3x(x−1)−2(x−1)=0，因式分解，得(x−1)(3x−2)=0，∴x−1=0或3x−2=0，解得：x1=1，x2=23；(4)x2−2x−1=0．x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，即(x,−1)2=2，∴x−1=√2或x−1=−√2，解得：x1=1+√2,x2=1−√2．解析：(1)直接开平方法求解可得；(2)配方法求解可得；(3)因式分解法求解可得；(4)配方法求解可得．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17.答案：解：原式=(a2a +2a+1a)÷2(a+1)(a−1)a(a−1)=(a+1)2a⋅a2(a+1)=a+12，当a=2√3−1时，原式=2√32=√3．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18.答案：解：(1)∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD=12BC，∵AE=12BC，∴AE=CD；∵AE//BC，∴四边形ADCE为平行四边形，∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，∴AD=12BC=CD，∴四边形ADCE为菱形；(2)连接BE与AD相交于点O，∵若BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AE//BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，BC=AE，∵BD=12∴AB=BD，∴∠BOD=90°；∵四边形ADCE为菱形，AE=2，∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4，∵AD//CE，∴∠BEC=∠BOD=90°，∴BE=√BC2−CE2=2√3．解析：本题考查平行四边形的综合问题，涉及平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等性质，需要学生灵活运用所学知识．BC=CD，从(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质易证四边形ADCE为平行四边形，易证AD=12而可证四边形ADCE为菱形；BC=AE，所以AB=BD，所以∠BOD=90°，易求得AD=DC=CE= (2)易证AB=AE，由于BD=12AE=2，BC=4，由勾股定理即可求出BE的长度．19.答案：解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意舍去)．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；(2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=13.31(万件)．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，≈2(人)．∴需要增加业务员(13.31−12.6)÷0.6=11160答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．解析：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思并根据题目给出的条件找出合适的等量关系列出方程，再求解．(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；(2)首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．AC．20.答案：解：(1)证明：在菱形ABCD中，OC=12∴DE=OC．∵DE//AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；(2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=√AD2−AO2=√22−12=√3．在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√7．解析：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形即可；(2)根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．21.答案：解：(1)售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+15−13.5×2=14(辆)所以平均每周利润为：(13.5−10)×14=49(万元)，答：平均每周的销售利润是49万元；(2)设每辆汽车的售价是x万元，(x−10)(8+15−x0.5×2)=40．化简，得(x−10)(17−x)=10，x2−27x+180=0解得：x1=12，x2=15，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．解析：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=40万元是解决问题的关键．(1)根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算；(2)设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．22.答案：解：(1)∵AB=4，AE：DE=3：1，∴AE=3，DE=1，∴BE=√AB2+AE2=5，∵∠BEF=90°，∠BEF=90°，∠BEF=90°，∴△ABE∽△DEM，∴ABDE =BEEM，即41=5EM，解得，EM=54；(2)连接EN，∵∠BEF=90°，N为BM的中点，∴EN=1BM=BN=NM，∴∠NBE=∠NEB，∴∠NBG=∠NEF，在△NBG和△NEF中，{BG=EF∠NBG=∠NEF NB=NE，∴△NBG≌△NEF，∴GN=FN；(3)如图2，延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，∵∠BCD=90°，N为BM的中点，∴CN=12BM=BN=NM，∵FN⊥CD，∴CR=MR=12CM，∵∠A=∠H=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠ABE=∠FEH，在△ABE和△HEF中，{∠A=∠H∠ABE=∠FEH BE=FE，∴△ABE≌△HEF，∴AE=HF，∵∠H=∠RDH=∠DRF=90°，∴四边形DRFH是矩形，∴AE=HF=DR，∴AD−AE=CD=DR，即DE=CR，∴DE=1CM．解析：本题考查的是正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．(1)根据题意分别求出AE、DE，证明△ABE∽△DEM，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；BM，证明△NBG≌△NEF即可；(2)连接EN，根据直角三角形的性质得到EN=12(3)延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，证明△ABE≌△HEF，得到AE=HF，根据矩形的性质得到DR=FH，等量代换即可．。
2019-2020学年山西省实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷试题及答案
2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2019春•秀洲区期中）下列方程是一元二次方程的是()A ．221x y +=B ．323x x -=C ．2215x x +=D ．20x =2．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）把一元二次方程(1)32x x x +=+化为一般形式，正确的是()A ．2220x x --=B ．2220x x -+=C ．2310x x --=D ．2430x x ++=3．（2分）（2019•大庆）下列说法中不正确的是()A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等4．（2分）（2018秋•湛江校级期末）一元二次方程2230x x +-=的根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．（2分）（2018秋•临海市期末）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为()A ．(58)200x x -=B ．(29)200x x -=C ．(292)200x x -=D ．(582)200x x -=6．（2分）（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有()个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A ．1B ．2C ．3D ．47．（2分）（2019春•庆云县期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF的最小值为()A ．24B ．3.6C ．4.8D ．58．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ，请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：四边形DFBE 是正方形；小何：OE OF =；小夏：AFED FBCE S S =四边形四边形；小雨：ACE CAF ∠=∠这四位同学写出的结论中不正确的是()A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨9．（2分）（2018秋•磴口县校级期中）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛()A ．10个B ．6个C ．5个D ．4个10．（2分）（2019•苏州模拟）若a 、b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -++=的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为()A ．8B ．7C ．8或7D ．9或8二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）（2019•惠来县模拟）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k =．12．（3分）（2019春•开江县期末）分解因式：3223363a b a b ab -+=．13．（3分）（2019春•海曙区期末）把方程2410x x -+=化成2()x m n -=的形式，m ，n 均为常数，则mn 的值为．14．（3分）（2019•郫都区模拟）如果关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为．15．（3分）（2019春•岳麓区校级期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是BAD ∆和ACD ∆的高，得到下列四个结论：①OA OD =；②AD EF ⊥；③当90A ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④AE DF AF DE +=+．其中正确的是（填序号）．三、解答题（共7小题，满分65分）16．（24分）（2019秋•杏花岭区校级月考）解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）（1）2(2)9x -=（直接开方法）（2）2660x x -+=（配方法）（3）23125x x -=+（公式法）（4）3(2)2(2)x x x -=-（因式分解法）（5）2(1)5(1)40x x ---+=（6）22122x x x-=--．17．（5分）（2019春•个旧市校级期中）先化简，后求值221(1)121a a a a a --÷+++，其中1a =．18．（6分）（2019春•静安区期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，90BAC ∠=︒，点E 为BC 的中点（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）联结BD ，如果BD 平分ABC ∠，2AD =，求BD 的长．19．（6分）（2019秋•长春期中）阳光小区附近有一块长100m ，宽80m 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为()a m ，求步道的宽．20．（6分）（2019秋•杏花岭区校级月考）已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//AE BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若2AB =，1DE =，求四边形AODE 的面积．21．（6分）（2019秋•鼓楼区校级月考）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．（12分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为(4,4)，动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F 沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2019春•秀洲区期中）下列方程是一元二次方程的是()A ．221x y +=B ．323x x -=C ．2215x x +=D ．20x =【解答】解：A 、221x y +=是二元二次方程，故A 错误；B 、323x x -=是一元三次方程，故B 错误；C 、2215x x +=是分式方程，故C 错误；D 、20x =是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．2．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）把一元二次方程(1)32x x x +=+化为一般形式，正确的是()A ．2220x x --=B ．2220x x -+=C ．2310x x --=D ．2430x x ++=【解答】解：将一元二次方程(1)32x x x +=+化为一般形式之后，变为2220x x --=，故选：A ．3．（2分）（2019•大庆）下列说法中不正确的是()A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等【解答】解：A ．四边相等的四边形是菱形；正确；B ．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C ．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D ．菱形的邻边相等；正确；故选：C ．4．（2分）（2018秋•湛江校级期末）一元二次方程2230x x +-=的根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【解答】解：在方程2230x x +-=中，△2142(3)250=-⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B ．5．（2分）（2018秋•临海市期末）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为()A ．(58)200x x -=B ．(29)200x x -=C ．(292)200x x -=D ．(582)200x x -=【解答】解： 垂直于墙的边长为xm ，∴平行于墙的一边为(582)x m -．根据题意得：(582)200x x -=，故选：D ．6．（2分）（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有()个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，正确，故选：B ．7．（2分）（2019春•庆云县期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF的最小值为()A ．24B ．3.6C ．4.8D ．5【解答】解：连接PC ，PE AC ⊥ ，PF BC ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFP 是矩形，EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小，即当CP AB ⊥时，PC 最小，8AC = ，6BC =，10AB ∴=，PC ∴的最小值为：4.8AC BCAB= ．∴线段EF 长的最小值为4.8．故选：C ．8．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ，请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：四边形DFBE 是正方形；小何：OE OF =；小夏：AFED FBCE S S =四边形四边形；小雨：ACE CAF ∠=∠这四位同学写出的结论中不正确的是()A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，//CD AB ，ECO FAO ∴∠=∠，（故小雨的结论正确），在EOC ∆和FOA ∆中，EOC AOF ECO OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EOC FOA ∴∆≅∆，OE OF ∴=（故小何的结论正确），EOC AOF S S ∆∆∴=，12ADC AFED ABCDS S S∆∴==四边形平行四边形，AFED FBCE S S ∴=四边形四边形故小夏的结论正确，EOC FOA ∆≅∆ ，EC AF ∴=，CD AB = ，DE FB ∴=，//DE FB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，OD OB = ，EO DB ⊥，ED EB ∴=，∴四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，故小青的结论错误，故选：A．9．（2分）（2018秋•磴口县校级期中）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛()A ．10个B ．6个C ．5个D ．4个【解答】解：设有x 个足球队参加，依题意，(1)20x x -=，整理，得2200x x --=，(5)(4)0x x -+=，解得：15x =，24x =-（舍去）；即：共有5个足球队参加比赛．故选：C ．10．（2分）（2019•苏州模拟）若a 、b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -++=的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为()A ．8B ．7C ．8或7D ．9或8【解答】解： 等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，a b ∴=，或a 、b 中有一个数为4．当a b =时，有224(6)4(1)0b ac n -=--+=，解得：8n =；当a 、b 中有一个数为4时，有246410n -⨯++=，解得：7n =，故选：C ．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）（2019•惠来县模拟）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k =12．【解答】解：根据题意，得1x =满足关于x 的方程2220x x k -+=，则1220k -+=，解得，12k =；故答案是：12．12．（3分）（2019春•开江县期末）分解因式：3223363a b a b ab -+=23()ab a b -．【解答】解：原式2223(2)3()ab a ab b ab a b =-+=-，故答案为：23()ab a b -13．（3分）（2019春•海曙区期末）把方程2410x x -+=化成2()x m n -=的形式，m ，n 均为常数，则mn 的值为6．【解答】解：方程2410x x -+=，变形得：241x x -=-，配方得：2443x x -+=，即2(2)3x -=，2m ∴=，3n =，则6mn =，故答案为：614．（3分）（2019•郫都区模拟）如果关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为3m <且2m ≠．【解答】解：由题意可知：△44(2)0m =-->，3m ∴<，由于20m -≠，2m ∴≠，故答案为：3m <且2m ≠15．（3分）（2019春•岳麓区校级期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是BAD ∆和ACD ∆的高，得到下列四个结论：①OA OD =；②AD EF ⊥；③当90A ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④AE DF AF DE +=+．其中正确的是②③④（填序号）．【解答】解：如果OA OD =，则四边形AEDF 是矩形，没有说90A ∠=︒，不符合题意，故①错误；AD 是ABC ∆的角平分线，EAD FAD ∴∠=∠，在AED ∆和AFD ∆中，90EAD FAD AED AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AED AFD AAS ∴∆≅∆，AE AF ∴=，DE DF =，AE DF AF DE ∴+=+，故④正确；在AEO ∆和AFO ∆中，AE AF EAO FAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO AFO SAS ∴∆≅∆，EO FO ∴=，又AE AF = ，AO ∴是EF 的中垂线，AD EF ∴⊥，故②正确；当90A ∠=︒时，四边形AEDF 的四个角都是直角，∴四边形AEDF 是矩形，又DE DF = ，∴四边形AEDF 是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．三、解答题（共7小题，满分65分）16．（24分）（2019秋•杏花岭区校级月考）解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）（1）2(2)9x -=（直接开方法）（2）2660x x -+=（配方法）（3）23125x x -=+（公式法）（4）3(2)2(2)x x x -=-（因式分解法）（5）2(1)5(1)40x x ---+=（6）22122x x x-=--．【解答】解：（1）2(2)9x -= ，23x ∴-=或23x -=-，解得15x =，21x =-；（2）2660x x -+= ，266x x ∴-=-，则26969x x -+=-+，即2(3)3x -=，则2x -=，12x ∴=+，22x =-；（3）整理为一般式，得23260x x --=，3a = ，2b =-，6c =-，∴△2(2)43(6)760=--⨯⨯-=>，则2163x ±±==，即113x =，213x =；（4）3(2)2(2)x x x -=-- ，3(2)2(2)0x x x ∴-+-=，则(2)(32)0x x -+=，解得12x =，223x =-；（5）2(1)5(1)40x x ---+= ，(11)(14)0x x ∴----=，即(2)(5)0x x --=，则20x -=或50x -=，解得12x =，25x =；（6）两边都乘以2x -，得：222x x +=-，解得4x =-，检验：当4x =-时，260x -=-≠，∴分式方程的解为4x =-．17．（5分）（2019春•个旧市校级期中）先化简，后求值221(1)121a a a a a --÷+++，其中1a =．【解答】解：原式21(1)1(1)(1)a a a a +=++- 11a =-，当1a =+时，原式18．（6分）（2019春•静安区期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，90BAC ∠=︒，点E 为BC 的中点（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）联结BD ，如果BD 平分ABC ∠，2AD =，求BD 的长．【解答】证明：（1）90BAC ∠=︒ ，点E 为BC 的中点，12AE EC BC ∴==2BC AD = ，12AD BC ∴=AD EC ∴=，且//AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，且AE EC =，∴四边形AECD 是菱形（2）如图，//AD BC ，AD BC<∴四边形ABCD 是梯形，BD 平分ABD ∠，12ABD DBC ABC ∴∠=∠=∠//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD∴= 四边形AECD 是菱形，2AD DC ∴==2AB DC ∴==∴四边形ABCD 是等腰梯形，AC BD∴=24BC AD == ．BD AC ∴===19．（6分）（2019秋•长春期中）阳光小区附近有一块长100m ，宽80m 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为()a m ，求步道的宽．【解答】解：由题意，得：2210080(7)a a a a +-=化简，得2 3.6a a =．0a > ．3.6a ∴=．答：步道的宽为3.6m ．20．（6分）（2019秋•杏花岭区校级月考）已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//AE BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若2AB =，1DE =，求四边形AODE 的面积．【解答】（1）证明：//DE AC ，//AE BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，90AOD AOD ∴∠=∠=︒，∴四边形AODE 是矩形；（2）解： 四边形AODE 是矩形，1AO DE ∴==，2AB = ，BO ∴==OD BO ∴==，∴四边形AODE 的面积1AO OD === 21．（6分）（2019秋•鼓楼区校级月考）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x 元，则平均每周可售出40(200)10x +千克，依题意，得：40(400240)(2004160010x x --+=，整理，得：211024000x x -+=，解得：130x =，280x =．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2） 为尽可能让利于顾客，80x ∴=，∴40080108400-⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．22．（12分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，四边形OADC 为正方形，点D 的坐标为(4,4)，动点E 沿边AO 从A 向O 以每秒1cm 的速度运动，同时动点F 沿边OC 从O 向C 以同样的速度运动，连接AF 、DE 交于点G ．（1）试探索线段AF 、DE 的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF 、DF ，分别取AE 、EF 、FD 、DA 的中点H 、I 、J 、K ，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E 运动到AO 中点时，点M 是直线EC 上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以O ，C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）AF DE =．理由如下：四边形OADC 是正方形，OA AD ∴=，90DAE AOF ∠=∠=︒，由题意得：AE OF =，在AOF ∆和DAE ∆中，OA AD AOF DAE OF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOF DAE SAS ∴∆≅∆，AF DE ∴=．（2）四边形HIJK 是正方形．理由如下：如图①所示：H 、I 、J 、K 分别是AE 、EF 、FD 、DA 的中点，12HI KJ AF ∴==，12HK IJ ED ==，//HI AF ，//HK ED ，AF DE = ，HI KJ HK IJ ∴===，∴四边形HIJK 是菱形，AOF DAE ∆≅∆ ，ADE OAF ∴∠=∠，90ADE AED ∠+∠=︒ ，90OAF AED ∴∠+∠=︒，90AGE ∴∠=︒，AF ED ∴⊥，//HI AF ，//HK ED ，HI HK ∴⊥，90KHI ∴∠=︒，∴四边形HIJK 是正方形．（3）存在，理由如下：四边形OADC 为正方形，点D 的坐标为(4,4)，4OA AD OC ∴===，(4,0)C ∴，点E 为AO 的中点，2OE ∴=，(0,2)E ；分情况讨论：如图②所示，①当OC 是以O ，C 、M 、N 为顶点的菱形的对角线时，OC 与MN 互相垂直平分，则M 为CE 的中点，∴点M 的坐标为(2,1)，点M 和N 关于OC 对称，(2,1)N ∴-；②当OC 是以O ，C 、M 、N 为顶点的菱形的边时，若M 在y 轴的左侧时，四边形OCM N ''是菱形，4OM OC '∴==，//M N OC ''，∴△M FE COE '∆∽，∴2M F OC EF OE'==，设EF x =，则2M F x '=，2OF x =+，在Rt △OM F '中，由勾股定理得：222(2)(2)4x x ++=，解得：65x =，或2x =-（舍去），125M F '∴=，845FN M F '=-=，616255OF =+=，8(5N '∴，165；若M 在y 轴的右侧时，作N P OC ''⊥于P ，//ON CM '''' ，PON OCE ''∴∠=∠，1tan tan 2PN OE PON OCE OP OC ''''∴∠==∠==，设PN y ''=，则2OP y =，在Rt OPN ''∆中，由勾股定理得：222(2)4y y +=，解得：5y =，5PN ''∴=，5OP =，(5N ''∴，5-；综上所述，存在点N 使以O ，C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，点N 的坐标为(2,1)-或8(5，16)5或．。
山西省太原五中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(12月份) 含解析
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．3．在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（）A．B．C．D．4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cmC．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cmD．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm5．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△ADE ＝S△ABC6．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．78．下列选项中，函数y＝对应的图象为（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．210．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D ′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（）A．4B．6C．12D．24二．填空题（共6小题）11．已知＝，则＝．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是．14．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为．15．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝．（结果保留根号）16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．三．解答题（共7小题）17．计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（﹣）﹣118．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB′C′，请画出△AB′C ′．②填空：tan∠AD′C'＝．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H 两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．（1）求点C的坐标及k的值；（2）直接写出正方形EFGH的边长．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．通达桥即小店汾河桥，是太原新建成的一座跨汾大桥，也是太原首座悬索桥．桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高度．如图，他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处，测得桥的拱门最高点A的仰角∠ACF为30°，再将无人机从C处竖直向上升高200米到点D处，测得点A的俯角∠ADG为45°．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）23．合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．问题情境：正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP＝α（0°＜α＜135°），∠QCE＝β．初步探究：（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了0°＜α＜45°时的情形，射线AP与边CD交于点F．他们得出此时α与β的关系是β＝2α．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上（如图2）时，α＝°，β＝°；深入探究：（2）敏学小组的同学画出45°＜α＜90°时的图形如图3，射线AP与边BC交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；拓展延伸：（3）请你借助图4进一步探究：①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为；②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图就是从物体的左边进行观察，得出左视图．【解答】解：在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，故选：D．2．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sin A的值即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，cos A＝，∴sin A＝＝，故选：B．3．在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可判断出长方形木板在地面上形成的投影中不可能为梯形．【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形，则长方形木板在地面上形成的投影中不可能是梯形．故选：C．4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cmC．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cmD．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、2×8≠4×6，故选项错误；B、×≠×，故选项错误；C、×2≠×，故选项错误；D、2×＝×2，故选项正确．故选：D．5．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△ADE ＝S△ABC【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A结论正确；∵DE∥BC，∴＝，B 结论正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，C 结论正确；∵DE ∥BC ，AB ＝3AD ，∴S △ADE ＝S △ABC ，D 结论错误，故选：D ．6．在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，则下列三种说法：①如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形②如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形③如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意可得四边形AEDF 是平行四边形；由∠BAC ＝90°，得四边形AEDF 是矩形；由AD 平分∠BAC ，得四边形AEDF 是菱形；当AD ⊥BC 且AB ＝AC 时，四边形AEDF 是菱形．【解答】解：∵DE ∥CA ，DF ∥BA ，∴四边形AEDF 是平行四边形；∵∠BAC ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形；∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠FAD ＝∠ADF ，∴AF ＝DF ，∴四边形AEDF 是菱形；∵AD ⊥BC 且AB ＝AC ，∴AD平分∠BAC，∴四边形AEDF是菱形；故①②③正确．故选：A．7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．8．下列选项中，函数y＝对应的图象为（）A．B．C．D．【分析】根据x的取值范围讨论函数的图象的位置后即可确定正确的选项．【解答】解：∵y＝中x≠0，∴当x＞0时，y＞0，此时图象位于第一象限；当x＜0时，y＞0，此时图象位于第二象限．故选：A．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．10．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D ′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（）A．4B．6C．12D．24【分析】由矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，推出＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴＝，∴＝，解得a＝12，故选：C．二．填空题（共6小题）11．已知＝，则＝．【分析】根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．【解答】解；由＝，得＝．由合比性质，得＝．＝，故答案为：．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．13．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是．【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为＝．故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为﹣12．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出△OAP的面积的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值【解答】解：连接OP．∵点B为AO的中点，△PAB的面积为3S△OAP＝2S△PAB＝2×3＝6，又∵，∴，∴|k|＝12，∵k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．15．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝．（结果保留根号）【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝9，∴直角三角形ABE中，BE＝＝，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF∵AD∥BC∴∠G＝∠DEF∴∠BEG＝∠G∴BG＝BE＝由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9+2x＝BC∵BG＝BC+CG∴＝9+2x+x解得x＝∴BC＝9+2（﹣3）＝故答案为：16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共7小题）17．计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（﹣）﹣1【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝2﹣3×+1﹣（﹣2）＝2﹣+1+2＝+3．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB′C′，请画出△AB′C ′．②填空：tan∠AD′C'＝4．【分析】（1）先利用正方形的性质得到BC的中点D，然后连接AD即可；（2）①利用网格特点确定AB、AC的中点B′、C′即可；②利用勾股定理的逆定理得到△ACB＝90°，利用正切的定义得到tan∠ADC＝4，然后利用相似的性质得到tan∠AD′C'＝tan∠ADC＝4．【解答】解：（1）如图所示，AD为所求；（2）①如图所示，△AB′C′为所求；②∵BC2＝32+32＝18，AC2＝62+62＝72，AB2＝32+92＝90，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan∠ADC＝＝4，∵△ABC∽△AB'C'，∴tan∠AD′C'＝tan∠ADC＝4．故答案为4．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H 两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．（1）求点C的坐标及k的值；（2）直接写出正方形EFGH的边长．【分析】（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．求得点A的坐标为（﹣1，4），过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，根据勾股定理得到A B＝＝＝5，推出四边形ABCD是菱形，求得点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），把点D（4，4）代入y＝中，于是得到结论；（2）设正方形EFGH的边长为a，得到E（﹣，a+4），得到H（，a+4），根据正方形的性质列方程解得a＝2﹣2，（负值舍去）．于是得到结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．∴点A的坐标为（﹣1，4），过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，∴∠A MB＝∠DNC＝90°，∴AM∥DN．则MO＝1，AM＝4．∵点B（﹣4，0），∴OB＝4，BM＝BO﹣MO＝3．在Rt△ABM中，A B＝＝＝5，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC＝MN＝5，AM＝DN＝4，OC＝BC﹣BO＝5﹣4＝1，ON＝MN﹣M0＝5﹣1＝4．∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），把点D（4，4）代入y＝中，得k＝16；（2）设正方形EFGH的边长为a，则∵E点反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴在E（﹣，a+4），∵H点在y＝的图象上，∴H（，a+4），∴﹣（﹣）＝a，解得：a＝2﹣2，（负值舍去）．∴正方形EFGH的边长为2﹣2．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】解：（1）设每千克核桃应降价x元．根据题意，得．化简，得x2﹣10x+9＝0解得x1＝1，x2＝9答：每千克核桃应降价1元或9元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价1元或9元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价9元．此时，售价为：60﹣9＝51（元），∴，答：该店应按原售价的八五折出售．22．通达桥即小店汾河桥，是太原新建成的一座跨汾大桥，也是太原首座悬索桥．桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高度．如图，他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处，测得桥的拱门最高点A的仰角∠ACF为30°，再将无人机从C处竖直向上升高200米到点D处，测得点A的俯角∠ADG为45°．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】如图，作AM⊥DE于M．根据CD＝200米，构建方程求出CM即可解决问题．【解答】解：如图，作AM⊥DE于M．∴∠AMD＝∠AMC＝90°，在Rt△ACM中，∠ACM＝90°﹣∠ACF＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠ACM＝tan60°＝＝，∴AM＝CM，在Rt△ADM中，∠ADM＝90°﹣∠ADG＝90°﹣45°＝45°，∴tan∠ADM＝tan45°＝＝1，∴AM＝DM＝CM，由题意：CD＝200米，∴CM+CM＝200，∴CM＝≈73（米），∵∠ABE＝∠AME＝∠MEB＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴AB＝ME＝MC+CE＝73+50＝123（米）．答：通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB约为123米．23．合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．问题情境：正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP＝α（0°＜α＜135°），∠QCE＝β．初步探究：（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了0°＜α＜45°时的情形，射线AP与边CD交于点F．他们得出此时α与β的关系是β＝2α．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上（如图2）时，α＝30°，β＝60°；深入探究：（2）敏学小组的同学画出45°＜α＜90°时的图形如图3，射线AP与边BC交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；拓展延伸：（3）请你借助图4进一步探究：①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为β＝2（α﹣90°）；②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为6﹣2．【分析】初步探究：（1）连接PC，由对称的性质和等腰三角形的性质得出∠QCE＝∠PCE，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP＝∠BCP，由平行线得出∠CQE＝∠DAP＝α，证出α+β＝90°①，再证出β＝2α②，即可得出结果；深入探究：（2）连接PC，由对称的性质和等腰三角形的性质得出∠QCE＝∠PCE，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP＝∠BCP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣α，AP＝CP，证出∠BAP＝∠GCE，得出∠BCG＝∠GCE＝90°﹣α，即可得出结论；拓展延伸：（3）①连接PC，证出∠PCE＝∠QCE＝β，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP＝∠BCP＝∠DAP﹣∠BAD＝α﹣90°，证明∠BAP＝∠BCH，得出∠BCP＝∠BCH＝∠BAP＝α﹣90°，即可得出结论；②分三种情况：当0°＜α＜45°时，β＝2α，不合题意；当45°＜α＜90°时，β＝2（90°﹣α），得出α＝β＝60°，作PM⊥AD于M，证出AM＝AP，DM＝PM＝AM，设AM＝x，则CP＝AP＝2x，DM＝PM＝x，得出方程，解得：x＝﹣1，得出CP＝AP＝2x＝2﹣2，在△PCQ中，求出CE＝CP＝﹣1，PE＝CE ＝3﹣，得出PQ＝2PE＝6﹣2；当90°＜α＜135°时，β＝2（α﹣90°），得出α＝β＝180°，不合题意．【解答】初步探究：解：（1）连接PC，如图2所示：∵点Q与点P关于点E对称，∴EP＝EQ，∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ，∴CP＝CQ，∴∠QCE＝∠PCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，∵AD∥BC，∴∠CQE＝∠DAP＝α，∵CE⊥AP，∴∠CQE+∠QCE＝90°，即α+β＝90°①，∵∠CQE+∠BAP＝90°，∴∠QCE＝∠BAP＝∠BCP，∵∠BCP＝∠CQE+∠CPQ，∴β＝2α②，由①②得：α＝30°，β＝60°；故答案为：30，60；深入探究：解：（2）α与β的关系是β＝2（90°﹣α）；理由如下：连接PC，如图3所示：∵点Q与点P关于点E对称，∴EP＝EQ，∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ，∴CP＝CQ，∴∠QCE＝∠PCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣α，AP＝CP，∵∠ABG＝∠CEG＝90°，∴∠BAP+∠AGB＝90°，∠GCE+∠CGE＝90°，∵∠AGB＝∠CGE，∴∠BAP＝∠GCE，∴∠BCG＝∠GCE＝90°﹣α，∴∠QCE＝2∠GCE＝2（90°﹣α），即：β＝2（90°﹣α）；拓展延伸：解：（3）①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为β＝2（α﹣90°）；理由如下：连接PC，设CE交AB于点H，如图4所示：∵点Q与点P关于点E对称，∴EP＝EQ，∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ，∴CP＝CQ，∴∠PCE＝∠QCE＝β，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBP，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP＝∠DAP﹣∠BAD＝α﹣90°，∵∠AEH＝∠CBH＝90°，∴∠BAP+∠AHE＝90°，∠BCH+∠BHC＝90°，∵∠AHE＝∠CHB，∴∠BAP＝∠BCH，∴∠BCP＝∠BCH＝∠BAP＝α﹣90°，∴∠QCE＝∠PCE＝2∠BCP＝2（α﹣90°），即：β＝2（α﹣90°）；故答案为：β＝2（α﹣90°）；②当0°＜α＜45°时，β＝2α，不合题意；当45°＜α＜90°时，β＝2（90°﹣α），∵α＝β，∴α＝β＝60°，作PM⊥AD于M，如图5所示：∵∠APM＝90°﹣α＝30°，∠PDM＝45°，∴AM＝AP，DM＝PM＝AM，设AM＝x，则CP＝AP＝2x，DM＝PM＝x，∵AD＝2，∴x+x＝2，解得：x＝﹣1，∴CP＝AP＝2x＝2﹣2，∵∠PCQ＝2β＝120°，CP＝CQ，CE⊥AP，∴∠CPE＝30°，PE＝QE，∴CE＝CP＝﹣1，PE＝CE＝3﹣，∴PQ＝2PE＝6﹣2；当90°＜α＜135°时，β＝2（α﹣90°），∵α＝β，∴α＝β＝180°，不合题意；综上所述，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为6﹣2；故答案为：6﹣2．。
2019年山西省实验中学中考数学三模试卷及答案解析
2019年山西省实验中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格．）1．下列四个数中是无理数的是（）A．3B．3πC．3.14159D．2．将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．80°3．一元一次不等式组的最大整数解是（）A．﹣1B．0C．1D．24．据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（）A．55×106B．5.5×106C．0.55×108D．5.5×1075．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a5+a5＝a10C．（﹣2a3）3＝﹣6a9D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b26．如图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．7．若（）÷M的化简结果是﹣，那么分式M为（）A．B．C．D．﹣8．二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（）A．16B．6C．0D．﹣129．如图中的古印度的“无字证明”直观的证明一个重要定理，这个定理早在三千多年前就被周朝的数学家商高提出，它被记载于我国古代著名的数学著作是（）A．《周髀算经》B．《九章算术》C．《几何原本》D．《海岛算经》10．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算﹣的结果是．12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么大树CD的高度为．。
山西省太原市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷含解析
山西省太原市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．193．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（）A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+14．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，355．如果k＜0，b＞0，那么一次函数y=kx+b的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限6．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．188．下列命题中，错误的是（）A．三角形的两边之和大于第三边B．三角形的外角和等于360°C．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形D．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分9．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）10．如图所示，有一条线段是ABC ∆（AB AC >）的中线，该线段是（ ）.A ．线段GHB ．线段ADC ．线段AED ．线段AF11．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-412．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．25和30B ．25和29C ．28和30D ．28和29二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．14．一个扇形的面积是125πcm ，半径是3cm ，则此扇形的弧长是_____． 15．如图，点A 为函数y=9x （x ＞0）图象上一点，连结OA ，交函数y=4x （x ＞0）的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，则△OBC 的面积为____．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（3，0），顶点B 在y 轴正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y=-x 2-5x+c 经过点B 、C ，则菱形ABCD 的面积为_______．17．一个圆的半径为2，弦长是23，求这条弦所对的圆周角是_____．18．比较大小：3_________10 (填<，>或＝)．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．20．（6分）如图，在ABC V 中，A 90∠=o ，AB AC =，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ，连结EC ．()1依题意补全图形；()2求ECD ∠的度数；()3若CAE 7.5∠=o ，AD 1=，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60o 交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．21．（6分）解不等式组2102323x x x +>⎧⎪-+⎨≥⎪⎩并在数轴上表示解集． 22．（8分）某花卉基地种植了郁金香和玫瑰两种花卉共 30 亩，有关数据如表：成本（单位：万元/亩）销售额（单位：万元/亩） 郁金香2.4 3 玫瑰 2 2.5本）（2） 若计划投入的成本的总额不超过 70 万元，要使获得的收益最大，基地应种植郁金香和玫瑰个多少亩？23．（8分）如图，海中有一个小岛 A ，该岛四周 11 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B 处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C 处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）24．（10分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝55，求BD 的长．25．（10分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点E ，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.（可以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.26．（12分）已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：OC OP PD AP；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．27．（12分）在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC上一点，连接BE．(1)如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；(2)如图2，D为AB上一点，且满足AE=AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG=AF+FG．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】∴有“我”字一面的相对面上的字是国.故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字.【解析】【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.故选A.【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.3．A【解析】【分析】先根据0＜k＜1判断出k-1的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤1即可得出结论．【详解】∵0＜k＜1，∴k-1＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤1，∴当x=1时，y最小=1（k-1）+1=1k-1．故选A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．4．C【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C．5．D【解析】根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．【详解】∵k＜0，∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限．又∵b＞0时，∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴．综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．故选D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．6．D【解析】【分析】先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.【详解】∵点A(a，-b)在第一象限内，∴a>0，-b>0，∴b<0，∴点B((a，b)在第四象限，故选D．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．7．B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.8．C【解析】【分析】根据三角形的性质即可作出判断．解：A、正确，符合三角形三边关系；B、正确；三角形外角和定理；C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确．故选：C．【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．9．D【解析】【分析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n＝4（n﹣1）是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．【详解】根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线．故选B．【点睛】线．11．D【解析】【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．12．D【解析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，∴这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故选D ．【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1．【解析】【分析】设小矩形的长为x ，宽为y ，则由图1可得5y=3x ；由图2可知2y-x=2.【详解】解：设小矩形的长为x ，宽为y ，则可列出方程组，3522x y y x =⎧⎨-=⎩，解得106x y =⎧⎨=⎩， 则小矩形的面积为6×10=1. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.【解析】【分析】 根据扇形面积公式1S 2l r 扇形=⋅⋅求解即可 【详解】 根据扇形面积公式1S 2l r 扇形=⋅⋅. 可得：121352l π=⨯⨯， 85l π=， 故答案：85π. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系, 利用扇形弧长和半径代入公式1S 2l r 扇形=⋅⋅即可求解, 正确理解公式是解题的关键. 注意在求扇形面积时, 要根据条件选择扇形面积公式.15．6【解析】【分析】根据题意可以分别设出点A 、点B 的坐标，根据点O 、A 、B 在同一条直线上可以得到A 、B 的坐标之间的关系，由AO=AC 可知点C 的横坐标是点A 的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC 的面积．【详解】设点A 的坐标为(a,9a),点B 的坐标为(b,4b )， ∵点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，∴点C 的坐标是(2a,0)，设过点O(0,0),A(a, 9a)的直线的解析式为：y=kx ， ∴9a=k ⋅a ， 解得k=29a ， 又∵点B(b,4b )在y=29a x 上， ∴4b =29a ⋅b,解得,a b =32或a b =−32(舍去)， ∴S △OBC =422a b ⋅=6.故答案为：6.本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.16．20【解析】【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C，即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=1，再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积．【详解】抛物线的对称轴为x=-5 22ba=-．∵抛物线y=-x2-1x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，∴点C的横坐标为-1．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=1，∴点D的坐标为（-2，0），OA=2．在Rt△ABC中，AB=1，OA=2，∴OB=22AB OA-=4，∴S菱形ABCD=AD•OB=1×4=3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出AD=1、OB=4是解题的关键．17．60°或120°【解析】【分析】首先根据题意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D, 通过垂径定理, 即可推出∠AOD的度数, 求得∠AOB 的度数, 然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.【详解】解：如图：连接OA,过点O作OD⊥AB 于点D,Q OA=2,AB=∴:2,∴∠AOD=60o,∠∴AOB=120o,∴∠AMB=60o,∴∠ANB=120o.故答案为: 60o或120o.【点睛】本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角.18．<【解析】【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案.【详解】∵32=9，9<10，∴，故答案为：<.【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．第二、三季度的平均增长率为20%．【解析】【分析】设增长率为x，则第二季度的投资额为10（1+x）万元，第三季度的投资额为10（1+x）2万元，由第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x，由题意，得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：第二、三季度的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4建立方程是关键．20．（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【解析】【分析】（1）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC．（2）先判定△ABD ≌△ACE ，即可得到B ACE ∠=∠，再根据45B ACB ACE ∠=∠=∠=︒，即可得出90ECD ACB ACE ∠=∠+∠=︒；（3）连接DE ，由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求2DE =；由60ADF ∠=︒，7.5CAE ∠=︒ ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长；过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt △ADH 中，由60ADF ∠=︒，AD=1可求AH 、DH 的长；由DF 、DH 的长可求HF 的长；在Rt △AHF 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．【详解】解：()1如图，()2Q 线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ．DAE 90∠∴=o ，AD AE =，DAC CAE 90∠∠∴+=o ．BAC 90∠=o Q ，BAD DAC 90o ∠∠∴+=．BAD CAE ∠∠∴=，在ABD V 和ACE V 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴V ≌()ACE SAS V． B ACE ∠∠∴=，ABC QV 中，A 90∠=o ，AB AC =，B ACB ACE 45∠∠∠∴===o ．ECD ACB ACE 90∠∠∠∴=+=o ；()3Ⅰ.连接DE ，由于ADE V 为等腰直角三角形，所以可求DE 2=Ⅱ.由ADF 60o ∠=，CAE 7.5∠=o ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长；Ⅲ.过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt ADH V 中，由ADF 60o ∠=，AD 1=可求AH 、DH 的长； Ⅳ.由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ.在Rt AHF V 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．21．﹣12＜x≤0，不等式组的解集表示在数轴上见解析. 【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式2x+1＞0，得：x ＞﹣12， 解不等式2323x x -+≥，得：x≤0， 则不等式组的解集为﹣12＜x≤0， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．22．（1）y = 0.1x + 15，（2）郁金香 25 亩，玫瑰 5 亩【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可得到y 关于x 的函数；（2）根据题意可列出相应的不等式，再根据（1）中的函数关系式即可求解.【详解】（1）由题意得y=（3-2.4）x-（2.5-2）（30-x ）=0.1x+15即y 关于x 的函数关系式为y=0.1x+15（2）由题意得2.4x+2（30-x ）≤70∵y=0.1x+15∴当x=25时，y最大=17.530-x=5，∴要使获得的收益最大，基地应种植郁金香25亩和玫瑰5亩.【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意进行列出关系式与不等式进行求解. 23．不会有触礁的危险,理由见解析.【解析】分析：作AH⊥BC，由∠CAH=45°，可设AH=CH=x，根据BHtan BAHAH∠=可得关于x的方程，解之可得．详解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠BAH=60°，∠CAH=45°，BC=1．设AH=x，则CH=x．在Rt△ABH中，∵1060310BH xtan BAH tan x xAH x∠+=∴︒==+，，，解得：53513.65x=≈．∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．24．BD＝41.【解析】【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．作DM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，连接AC ，如图所示：则∠M ＝90°，∴∠DCM+∠CDM ＝90°，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC 2＝AB 2+BC 2＝25，∵CD ＝10，AD ＝55 ， ∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，∴∠ACB+∠DCM ＝90°，∴∠ACB ＝∠CDM ，∵∠ABC ＝∠M ＝90°，∴△ABC ∽△CMD ， ∴12AB CM =， ∴CM ＝2AB ＝6，DM ＝2BC ＝8，∴BM ＝BC+CM ＝10，∴BD ＝22BM DM +＝22108+＝241，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD 是直角三角形是解决问题的关键．25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3BC AB =【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE=12AC ，即可得出OE=12BD ，即可得出结论； （3）先判断出△ABE 是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【详解】（1）∵AD=BD ，∴∠B=∠BAD ，∵AD=CD ，∴∠C=∠CAD ，在△ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=90°，∴∠BAC=90°，（2）如图②，连接AC 与BD ，交点为O ，连接OEQ 四边形ABCD 是矩形 1122OA OB OC OD AC BD ∴===== AE CE ⊥Q90AEC ∴∠=︒12OE AC ∴=12OE BD ∴= 90BED ∴∠=︒BE DE ∴⊥（3）如图3，过点B 做BF AE ⊥于点FQ 四边形ABCD 是矩形AD BC ∴=，90BAD ∠=︒ADE ∆Q 是等边三角形AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒由（2）知，90BED ∠=︒30BAE BEA ∴∠=∠=︒2AE AF ∴=Q 在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒2AB AF ∴=，AF =AE ∴=AE BC =QBC ∴=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD ，解（2）的关键是判断出OE=12AC ，解（3）的关键是判断出△ABE 是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．26． (1)详见解析；（2）10.【解析】【分析】 ①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故OC OP PD AP=. ②根据相似三角形的性质求出PC 长以及AP 与OP 的关系，然后在Rt △PCO 中运用勾股定理求出OP 长，从而求出AB 长．【详解】①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得：AP=AB ，PO=BO ，∠PAO=∠BAO ，∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C ，∠APD=∠POC.∴△OCP ∽△PDA. ∴OC OP PD AP=. ②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.∴PD=2OC ，PA=2OP ，DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.设OP=x，则OB=x，CO=8−x.在△PCO中，∵∠C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，∴x2=(8−x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.27．（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE 中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴，∴x=（负根已经舍弃），∴AB=AC=（2+ ）•，∴BC= AB= +1．作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
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【答案】-4
【解析】 ∵ ∆POM 的面积等于 2，
∴ 1 | k |= 2 ， 2
而k <0，
∴k = −4
15. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°， AC = 5 ，将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转， AB 13 得到△A1B1C，点 、A B 分别与点 、A1 B1 对应，边 ，A1 B1 分别交边 、 AB BC 于点
【考点】统计与概率
★ 【难度星级】
【答案】见解析
【解析】（1）本次调查的学生人数为12 ÷ 20% = 60 （名 ) ， 则扇形统计图中 B 所对应的扇形的圆心角为 360° × 24 = 144° ．
60 （2） A 类别人数为 60 ×15% = 9 （人 ) ，则 D 类别人数为 60 − (9 + 24 + 12) = 15 （人 ) ，
A.1.8m
B.1.86m
C.1.68m
D.1.6m
【考点】平行投影；相似三角形
★ 【难度星级】
【答案】B
【解析】设甲杆的高度为 xm ， 根据题意得 x = 1.5 ，
1.24 1 解得 x = 1.86 ，
即甲杆的高度是1.86m ．
5. 点（2，-4）在反比例函数 y = k 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） x A.（2，4） （ ， ） B. -1 -8 （ ， ） C. -2 -4 D.（4，-2）
【考点】反比例函数图形性质
★ 【难度星级】
【答案】C
【解析】见答案
10. 如图，在矩形 ABCD 中， ， ， ⊥ AB=3 AD=6 CE BD 于 ， ⊥ E AG BD 于 ，G AF 平分∠BAD 交 BC 于点 N， 交 EC 延长线与点 F，则下列说法中正确的有（ ）个 ①BE=DG ② BN = 1 AD
B. x = 0 D. x = ±3
【考点】解一元二次方程
★ 【难度星级】
【答案】C
【解析】 x ( x − 3) = 0 ， x1 = 0, x2 = 3
2. 已知 a = 2 ，则代数式 a + b 的值为（ ）
b3
b
A. 5 2
B. 5 3
C. 2 3
【考点】比例的性质
★ 【难度星级】
【答案】B
12. 已知线段 ，点 AB=2 C 黄金分割 AB，则 AC 的长度是
.
【考点】黄金分割点
★ 【难度星级】 或3 【答案】 5 −1 − 5
【解析】 ∵ 点 C 是 AB 的黄金分割点，
∴ BC = 5 −1 AB 或 AC = 5 −1 AB
2
2
或3 ∴ BC = 5 −1 − 5
13. 在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的 2 个红球和 n 个白球，任意从口袋中摸出一个球是
D、E，如果点
E
是边
A1B1
的中点，那么
BD B1C
=
．
【考点】旋转与相似综合
★★ 【难度星级】
11
【答案】
13
【解析】 ∵ ∠ACB = 90° ， AC = 5 ， AB 13
∴设 AC = 5x ， AB = 13x ，
∴ BC = AB2 − AC2 = 12x ，
∵ 将 ∆ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，得到△ A1B1C ， ∴CB1 = BC = 12x ， A1B1 = 13x ， ∠ACB = ∠A1CB1 ，
由 △BMN ∼△DMA 可知： MN = BN = 1 ，则有 MN = 1 AN = 1 × 3 2 =
AM AD 2
3
3
③ 2 ，故 正确；
连接 AC，易证 ∠BAC = ∠BCE ，设 ∠BAC = ∠BCE = α ，则 ∠CAF = ∠BAC − ∠BAN = α − 45° ，
-4-
∴ ∴ ④ ∠CFA = ∠BCE − ∠CNF = α − 45° ， AC=CF， △ACF 为等腰三角形， BD=AC=CF，故 正确； ⑤ 在 Rt△ABD 中，由射影定理可得： AG2 = BGiDG ，故 正确.
2019 − π
0
−
1 2
−1
（ ）2
x
x +
1
+
1
=
2
x+ x
1
【考点】计算与化简求值
★ 【难度星级】
【答案】（1） 3 − 1
【解析】见答案
（2）原式= a + b ，将 a，b 代入得：原式 = −2
-7-
18. （本题 9 分）自我校深化课程改革以来，初中数学校本课程开设了；A．利用影长求物体高度；B，制 作视力表：C．设计遮阳棚；D．池塘里有多少条鱼。四类数学实践活动选修课，供学生们选择，其中 九年级 11 班和 12 班的两个班的同学将选择结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 学生选修数学实践活动课条形统计图 学生选修数学实践活动课扇形统计图
【考点】一元二次方程的应用
★ 【难度星级】
【答案】见解析
【解析】（1）设甲进价为 x 元，乙进价为 y 元
3x(+x
y=3
+1) +
2(
2
y
−
1)
=
12
∴ x = 1
x +1= 2
解得：
y
=
2
，
2
y
−
1
=
3
∴甲、乙进价分别为 1 元和 2 元
甲、乙零售价分别为 2 元和 3 元
（2）设甲降价 t 元，则每天所销售 1000t 件
（3）画树状图为： -8-
共有 12 种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的结果数为 8，
所以所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概率为
8
=
2
．
12 3
19.（本题 8 分）某商店经销甲、乙两种商品，已知两种商品的进价之和是 3 元，甲商品零售价比进价多 一元。乙商品零售价比进价的 2 倍少 1 元，按零售价购买 3 件甲和 2 件乙商品共花费 12 元。 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进价分别为 元和 元；甲、乙两种商品的零售价分别为 元 和 元（直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1200 件，经调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元，甲种商品每天可多销售 100 件．求解当甲商品售价定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种 商品获取的利润共 1700 元?
【考点】特殊平行四边形的性质
★ 【难度星级】
【答案】A
【解析】可举反例：筝形，故 A 错误
-3-
9. 对于函数 y = − 4 ，下列说法错误的是（ ） x A.它的图象分布在第二、四象限 B.它的图象与直线 y = 2x 无交点 当C. x<0 时，y 的值随 x 的增大而减小 D.它的图象关于直线 y = −x 对称
-2-
【考点】一元二次方程根的判别式情况
★ 【难度星级】
【答案】C
【解析】由 sin 30°
=
a
+1
可得：
a
=
−2
，则有
x2
−
2x+来自2=0
，由 △=
b2
−
4ac
<
0 可知方程无实根.
a
7. 某种运动器材原来每套售价 298 元，经过连续两次涨价后，现在每套售价为 400 元.设平均每次涨价的 百分率为 x，则列方程正确的是（ ）
红球的概率为 1 ，则 n=
.
3
【考点】概率的计算
★ 【难度星级】
【答案】4
【解析】
2
2 +
n
=
1 3
，
n
=
4
-5-
14. 如图，点 P 是反比例函数 y = k (k ≠ 0)的图象上一点，过点 P 作 ⊥ PM x 轴，垂足为 ，△ M POM 的面积
x
为 2，则 k 的值等于
．
【考点】k 的几何意义
山西省实验中学 2019-2020 学年第一学期 12 月月考试（卷）
九年级 数学（解析）
（本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 一元二次方程 x2 = 3x 的解是（ ）
A. x = 3
或 C. x = 0 x=3
2
③ MN = 2 ④BD=CF
⑤ AG2 = BG i DG
A.2
B.3
C.4
D.5
【考点】矩形的性质；相似三角形
★★★ 【难度星级】
【答案】D
① 【解析】由 △BEC ≅△DGA 可知：BE=DG，故 正确；
② 由 △ABN 为等腰直角三角形可知： BN = AB = 1 AD ，故 正确； 2
8. 下列说法错误的是（ ） A.若一个四边形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形一定是菱形 B.若四边形两条对角线互相垂直且相等，则以它的四边中点为顶点可组成一个正方形 C.若一个菱形绕对角线的交点旋转 90°后所得图形与原图形重合，则这个菱形是正方形 D.若四边形两条对角线互相平分且相等，则以它的四边中点为顶点可组成一个菱形
【考点】反比例函数
★ 【难度星级】
【答案】D
【解析】反比例函数图象上任意一点的横纵坐标之积等于比例系数 k，故选 D
6. 已知sin30°= a +1 ，则一元二次方程 x2 + ax + 2 = 0 解的情况时（ ） a A.有两个相同的实数根 B.有两个不同的实数根 C.没有实数根 D.无法判断