数据结构与算法分析第九章 图论算法.
图论算法资料
图论算法图论算法是许多计算机科学领域中的关键主题，它们被用于解决各种实际问题，如社交网络分析、路由优化和布局等。
本文将介绍几种常见的图论算法，包括最短路径算法、最小生成树算法和图的遍历算法等。
最短路径算法最短路径算法旨在找到图中两个节点之间最短的路径。
其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于计算从单个源节点到所有其他节点的最短路径的贪婪算法。
它通过不断更新到达各个节点的最短路径长度来逐步构建最短路径树。
这种算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点数量。
Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
该算法使用矩阵来表示节点之间的距离，通过更新矩阵中的元素来找到最短路径。
其时间复杂度为O(V^3)。
最小生成树算法最小生成树算法是一类用于找到无向图中生成树的算法，其中生成树是原图的一个子图，包含了所有的节点且形成一棵树。
其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法Prim算法是一种贪婪算法，用于找到连通图的最小生成树。
该算法从初始节点开始，逐步在生成树中添加边，直到所有节点都被包含在生成树中。
它的时间复杂度为O(V^2)。
Kruskal算法Kruskal算法是一种基于集合的算法，用于找到连通图的最小生成树。
该算法首先将图中的所有边按权重排序，然后逐条添加边，确保生成树不产生环。
其时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
图的遍历算法图的遍历算法用于访问图中所有节点，并通常用于搜索特定的节点或路径。
深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常见的图遍历算法。
深度优先搜索（DFS）DFS算法从起始节点开始，逐步访问其相邻节点，并递归地访问相邻节点的相邻节点，直到没有未访问的节点为止。
这种算法通常用于寻找图中的路径。
《数据结构与算法 》课件
数据结构在人工智能中的优化可以提升算法的效率和准确性，例如通过使用哈希表实现快速特征匹配，提高图像识别速度。
THANK YOU
定义与分类
添加边、删除边、查找路径等。
基本操作
图中的边可以是有方向的，也可以是无方向的。节点之间可以有多种关系，如邻接、相连等。
特性
社交网络、交通网络、路由协议等。
应用场景
05
排序与查找算法
冒泡排序：通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
详细描述
链表的优势在于可以动态调整大小，插入和删除操作仅需修改指针，时间复杂度为O(1)。但链表访问特定元素需要从头部遍历，效率较低。
VS
栈和队列是特殊的线性数据结构，它们遵循特定的操作规则。栈遵循后进先出（LIFO）原则，队列遵循先进先出（FIFO）原则。
详细描述
栈用于保存按照后进先出顺序访问的数据元素，常见的操作有压栈、弹栈和查看栈顶元素。队列用于保存按照先进先出顺序访问的数据元素，常见的操作有入队、出队和查看队首元素。
03
线性数据结构
数组是线性数据结构中的基本形式，它以连续的内存空间为基础，用于存储固定长度的同类型元素。
数组具有固定的长度，可以通过索引直接访问任意元素。它适合于需要快速访问数据的场景，但插入和删除操作需要移动大量元素，效率较低。
详细描述
总结词
总结词
链表是一种线性数据结构，它通过指针链接各个节点，节点包含数据和指向下一个节点的指针。
图论算法总结及图论建模
else if (v in S)
// 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])
// 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop
// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
算法演示
边的分类
一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连接同一个DFS树中没
1. 2. procedure tarjan(u:longint); var p:node; v:longint; begin f[u]:=false;inc(top);stack[top]:=u; instack[u]:=true;p:=head[u]; inc(time);dfn[u]:=time;low[u]:=time; while p^.key<>u do begin v:=p^.key; if f[v] then begin tarjan(v); low[u]:=min(low[u],low[v]);
tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j]; }
if (DFN[i]==LOW[i]){ Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i);
数据结构与算法分析：C语言描述（原书第2版简体中文版！！！）PDF+源代码+习题答案
数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版简体中⽂版！！！）PDF+源代码+习题答案转⾃：/Linux/2014-04/99735.htm数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版中⽂版！！！） PDF+源代码+习题答案数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版）是《data structures and algorithm analysis in c》⼀书第2版的简体中译本。
原书曾被评为20世纪顶尖的30部计算机著作之⼀，作者mark allen weiss在数据结构和算法分析⽅⾯卓有建树，他的数据结构和算法分析的著作尤其畅销，并受到⼴泛好评．已被世界500余所⼤学⽤作教材。
在本书中，作者更加精炼并强化了他对算法和数据结构⽅⾯创新的处理⽅法。
通过c程序的实现，着重阐述了抽象数据类型的概念，并对算法的效率、性能和运⾏时间进⾏了分析。
数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版） PDF下载：百度⽹盘免费下载地址：（本⼈是从这⾥下载的，感谢原博主）全书特点如下： ●专⽤⼀章来讨论算法设计技巧，包括贪婪算法、分治算法、动态规划、随机化算法以及回溯算法 ●介绍了当前流⾏的论题和新的数据结构，如斐波那契堆、斜堆、⼆项队列、跳跃表和伸展树 ●安排⼀章专门讨论摊还分析，考查书中介绍的⼀些⾼级数据结构 ●新开辟⼀章讨论⾼级数据结构以及它们的实现，其中包括红⿊树、⾃顶向下伸展树。
treap树、k-d树、配对堆以及其他相关内容 ●合并了堆排序平均情况分析的⼀些新结果⽬录出版者的话专家指导委员会译者序前⾔第1章引论第2章算法分析第3章表、栈和队列第4章树第5章散列第6章优先队列（堆）第7章排序第8章不相交集ADT第9章图论算法第10章算法设计技巧第11章摊还分析第12章⾼级数据结构及其实现索引。
多项式算法数据结构中的高效问题求解方法
多项式算法数据结构中的高效问题求解方法数据结构和算法是计算机科学中非常重要的概念，它们为我们解决问题提供了基础和方法。
在多项式算法中，我们常常遇到需要高效解决问题的情况。
本文将介绍几种在多项式算法数据结构中的高效问题求解方法。
一、动态规划动态规划是一种常用的高效问题求解方法，它通过将原问题划分为子问题，并且通过解决子问题来解决原问题。
在多项式算法中，我们常常使用动态规划来解决诸如最长递增子序列、最短路径等问题。
动态规划的核心思想是定义状态和状态转移方程。
通过定义状态来表示问题的子问题，然后通过状态转移方程来描述子问题之间的关系。
例如，在最长递增子序列问题中，我们可以定义状态dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度，然后通过状态转移方程dp[i] = max(dp[j]+1)来求解问题。
二、贪心算法贪心算法是一种在每个阶段选择局部最优解，最终达到全局最优解的算法。
在多项式算法中，贪心算法常常用来解决如最小生成树、背包问题等。
贪心算法的关键是找到每个阶段的最优解，并通过局部最优解来推导出全局最优解。
例如，在背包问题中，我们每次选择单位重量价值最高的物品放入背包。
这样虽然不能保证一定得到最优解，但通常能够得到很接近最优解的结果。
三、分治算法分治算法是一种将问题划分为若干个独立子问题来解决的算法。
在多项式算法中，分治算法常常用来解决如合并排序、快速排序等问题。
分治算法的核心思想是将原问题划分为若干个规模较小且结构相同的子问题，然后分别解决这些子问题。
最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
例如，在合并排序中，我们将数组划分为两个子数组，分别对两个子数组进行排序，然后将排序后的子数组进行合并。
四、回溯算法回溯算法是一种通过深度优先搜索遍历问题的解空间来求解问题的算法。
在多项式算法中，回溯算法常常用来解决如八皇后问题、组合问题等。
回溯算法的核心思想是通过深度优先搜索遍历问题的解空间，并通过剪枝来减少搜索空间。
数据结构与算法分析第九章 图论算法
I
J
L
C
物理与电子学院-数据结构
D
9
1.概念定义
连通：顶点v至v’’之间有路径存在 强连通图：有向图 G 的任意两点之间都是连通的， 则称 G 是强连通图。 强连通分量：极大连通子图(每个子图是强连通的) 基础图：有向图去掉弧上方向形成的无向图 弱连通图：非强连通但其基础图是连通的有向图。
27
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
无权最短路径
见图9-10 S为v3
广度优先搜索
按层次处理顶点：距源点近的顶点先被访问， 远的顶点后被访问。 类似树的层序遍历
物理与电子学院-数据结构
28
3.最短路径算法
队列实现
O(|E|+|V|)
物理与电子学院-数据结构
29
3.最短路径算法
图的割点 深度优先生成树 Num：按照搜索顺序给节点的编号 Low：通过零或多条边(最多包括一条背向边)所能到 达的最小编号节点
V2
加权邻接矩阵：
20
V3
V2
V3
（V0,V3 ,V2 ）
（V0,V3） （V0 ,V3 ,V2 ,V4）
50
30 60
0 1 2 3 4
V4
0 1 2
0 10 ∞ 30 100 ∞ 0 50 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10 ∞ ∞ 20 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 60 0
3
4
注意：这里0、1、2、3、4用于标识结点V0 、 V1、V2、V3、V4。
《算法设计与分析》第09章
1 X1=1 0 3 0 5 6 1 0 7
X3=1 0
8 9
1
10
0
11
1
12
0
13
1
14
0
15
状态空间树
分枝限界算法有利于提高算法效率的两个特点：
• 该算法首先扩展上层结点，采用智能化的限界 函数，有利于大范围地剪枝； • 该算法处理活动结点时，只经过一次扩展即列 出所有子结点，而回溯算法每次只扩展一个子 结点，遍历的路径较长。所以效率较高。 • 较高的效率是以付出一定代价为基础的。
0-1背包问题分枝限界算法思路：
1
如
0 3
X1=1
2 X2=1 4 X3=1 0 8 9 1 10 0 5 0 11 1
1 6 0 13
0
n=3,M=35,W=( 11,21,23),P=(2 1,31,33)
12
按FIFO方式从活 7 动结点表中选 A-结点进行扩 1 0 展，其搜索过 14 15 程为：
– 对状态结点的处理是跳跃式的。 – 算法要维护一个“活动结点表”。需占用较多的空 间
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求 图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
6.2 单源最短路径问题
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最 短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的 数字表示该结点所对应的当前路长。
顶点i和j间有边，且此 路径长小于原先从原点 到j的路径长
6.3 最小耗费搜索
1.问题描述
设x是所有可行解集合A中的一个可行解,D(x)是找到x 所需要的耗费（如：当这个耗费与该解在T中的深度成正 比时，可以定义D(x)等于x的深度），要求找到一个可行 解x*,使得D(x*)=minD(x) (x∈A)。
图论基本算法
图论基本算法图论是NOIP必考的知识点。
松弛操作如图：⽐如说从1到2可以有2种解法，⼀种是直接⾛，另⼀种就是⽤⼀个点来中转；从这两条路上选最短的⾛法的操作就叫松弛。
根据这个操作啊就可以做出像暴⼒⼀样的最短路算法————Floyd算法.我们可以先初始化把不相连的边都设为⽆穷⼤，再不断进⾏松弛操作不断更新最短路。
这样就可以得出所有的两点之间的最短路，还能处理负边权。
不过就是有点慢时间复杂度是O（n3）for(k=1;k<=n;k++) //中转点for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]) //松弛操作dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];但是该算法适⽤于求解多源最短路径，所以时间复杂度⼤也是正常的。
⽽单源最短路径主要有两种Dijkstra算法O（n2）加堆优化O（nlogn）⽤来计算从⼀个点到其他所有点的最短路径的算法。
Dijkstra它不能处理存在负边权的情况。
算法描述：设起点为s，dis[v]表⽰从s到v的最短路径，。
a)初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0;;b)For (i = 1; i <= n ; i++)1.在没有被访问过的点中找⼀个顶点u使得dis[u]是最⼩的。
（可以认为是贪⼼操作）2.u标记为已确定最短路径的点3.与u相连的每个没有被确定最短路径的顶点进⾏松弛操作。
算法思想：我们把点分为两类，⼀类是已确定最短路径的点，称为“⽩点”，另⼀类是未确定最短路径的点，称为“蓝点”。
如果我们要求出⼀个点的最短路径，就是把这个点由蓝点变为⽩点。
从起点到蓝点的最短路径上的中转点在这个时刻只能是⽩点。
Dijkstra的算法思想，就是⼀开始将起点到起点的距离标记为0，⽽后进⾏n次循环，每次找出⼀个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从蓝点变为⽩点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 1
∧
2 0∧∧
1 B 2 C
2 1∧
0 2∧∧
18
物理与电子学院-数据结构
1.概念定义
邻接多重表
A
无向图 G2
B
•用途：用于无向图，边表中 的边结点只需存放一
E
次，节约内存。
C
D
data first 0 A 1 B
0 2 4
1 4 1
0 1 3 p2
∧ ∧
2 3 4
∧ ∧ ∧
2 C 3 D 4 E
图的割点 深度优先生成树 Num：按照搜索顺序给节点的编号 Low：通过零或多条边(最多包括一条背向边)所能到 达的最小编号节点
30
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
在这个过程中，总保持从s到第一组各顶点的 最短路径长度都不大于从s到第二组的任何顶 点的最短路径长度，而且，每个顶点都对应 一个距离值：
第一组的顶点对应的距离值就是从s到该顶点的最 短路径长度 第二组的顶点对应的距离值是从s到该顶点的只包 括第一组的顶点为中间顶点的最短路径长度
物理与电子学院-数据结构
35
4.网络流问题
问题
从源节点到目的节点能够通过的最大流量 受到边的限制(每条边有一个最大容量)
物理与电子学院-数据结构
36
5.最小生成树
Prim算法
从最小的树开始向外延伸 选取最小的边，当该边不形成圈
Kruskal算法
选取最小的边，当该边不与已有的边形成圈
物理与电子学院-数据结构
22
2.拓扑排序
任何有向无圈图，其顶点都可以排在一个 拓扑序列里，其拓扑排序的方法是：
（1）从图中选择一个入度为0的顶点且输出 之。 （2）从图中删掉此顶点及其所有的出边。 （3）回到第（1）步继续执行。
物理与电子学院-数据结构
23
2.拓扑排序
拓扑排序
简单方法 O(|V|2)
无向图G A E H K M C D M F I G J H L K B A E 无向图G的三个连通分量 B F G
I
J
L
C
物理与电子学院-数据结构
D
9
1.概念定义
连通：顶点v至v’’之间有路径存在 强连通图：有向图 G 的任意两点之间都是连通的， 则称 G 是强连通图。 强连通分量：极大连通子图(每个子图是强连通的) 基础图：有向图去掉弧上方向形成的无向图 弱连通图：非强连通但其基础图是连通的有向图。
B
A
• 无向图：G2 =（V2，E2） V2 = {A,B,C,D,E} E2 = {(A,B), (A,C), (B,D),
B
<C,D>, <D,A>}
物理与电子学院-数据结构
(B,E), (C,E), (D,E)}
4
1.概念定义
A 有向图 G1 B A A B 有向图G1的子图 A B
C 无向图 G2 A
赋权最短路径
见图9-20，源点v1
最短路径的子路径仍是最短路径 Dijkstra算法
把图中所有顶点分成两组
第一组包括已确定最短路径的顶点 第二组包括尚未确定最短路径的顶点；
按最短路径长度递增的顺序逐个把第二组的 顶点加到第一组中去
直至从s出发可以到达的所有顶点都包括进第一组 中。
a
b a b a b
表示成右图矩阵
b
b b
a
a
C
D
优点：判断任意两点之间是否有边方便，仅耗费 O(1) 时间。 缺点：即使 << n2 条边，也需内存 n2 单元，太多; 仅读入数据耗费 O( n2 ) 时间，太长。
物理与电子学院-数据结构 15
1.概念定义
邻接表
A 向图 G1 B data adj 0 A null 1 B 2 C 3 D 1 3
将一个有向无圈图中所有顶点在不违反先决 条件关系的前提下排成线性序列的过程称为 拓扑排序
物理与电子学院-数据结构
21
2.拓扑排序
拓扑序列
对于有向无圈图G=（V，E），V里顶点的线 性序列称作一个拓扑序列，如果该顶点序列 满足：
若在有向无圈图G中从顶点Vi到Vj有一条路径，则 在序列中顶点Vi必在顶点Vj之前。
V2
加权邻接矩阵：
20
V3
V2
V3
（V0,V3 ,V2 ）
（V0,V3） （V0 ,V3 ,V2 ,V4）
50
30 60
0 1 2 3 4
V4
0 1 2
0 10 ∞ 30 100 ∞ 0 50 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10 ∞ ∞ 20 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 60 0
3
4
注意：这里0、1、2、3、4用于标识结点V0 、 V1、V2、V3、V4。
第九章 图论算法
本章纲要
1.概念定义 2.拓扑排序 3.最短路径算法 4.网络流问题 5.最小生成树 6.深度优先搜索的应用 7.NP-完全性介绍
物理与电子学院-数据结构
2
1.概念定义
飞机航空路线图
公路交通图 图
图G是由一个顶点集 V 和一个边集E构成的数 据结构。 G = (V, E )
物理与电子学院-数据结构
37
6.深度优先搜索的应用
深度优先搜索
递归的遍历节点v的每一个邻接的顶点 与广度优先搜索不同。
无向图
深度优先生成树 背向边：属于图但不属于深度优先生成树的 边，其方向由搜索过程决定。
物理与电子学院-数据结构
38
6.深度优先搜索的应用
1.寻找无向图割点
每对顶点间的最短路径（all-pairs shortest paths）
指的是对已知图G=（V，E），任意的顶点Vi， Vj∈V，找出从Vi到Vj的最短路径。
26
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
一个示例
源点 V0 30 10
V0 V1 ( V0 ,V 1） 10 终点 最短路径 最短路径长度
1.概念定义
圈
w1=wN，长度至少为1的一条路径； 该路径若是简单路径，该圈就是简单圈。 无向图中，圈的边是互异的 无圈的有向图，称为DAG
物理与电子学院-数据结构
8
1.概念定义
连通：顶点v至w之间有路径存在 连通图：无向图 G 的任意两点之间都是连通 的，则称 G 是连通图。 连通分量：极大连通子图
队列实现
图9-6 O(|E|+|V|)
物理与电子学院-数据结构
24
3.最短路径算法
赋权路径长
路径上所有权值之和
无权路径长
路径长：边数之和
物理与电子学院-数据结构
25
3.最短路径算法
单源最短路径（single-source shortest paths）
指的是对已知图G=（V，E），给定源顶点 s∈V，找出s到图中其它各顶点的最短路径。
弱连通图G 图G的两个强连通分量
A
B
A
B
C
D
C
D
10
物理与电子学院-数据结构
1.概念定义
生成树
极小连通子图。包含图的所有 n 个结点，但 只含图的 n-1 条边。
无向图G A B A 无向图G的生成树 B
E
H H
E
M
C D C
M
D
完全图
每一对顶点间都存在一条边。
11
物理与电子学院-数据结构
表示成右图矩阵
0
1 1 0
1
0 0 1
1
0 0 0
0
1 0 0
0
1 1 1
E
C
D
0
1
1
1
0
•在物理实现时的考虑，和前一页的无向图类似。
物理与电子学院-数据结构
14
1.概念定义
•有向图的加权邻接矩阵
设有向图具有 n 个结点，则用 n 行 n 列的矩阵 A 表示该有向图； 并且 A[i,j] = a , 如果i 至 j 有一条有向边且它的权值为a。A[i,j] = ‘ 空 或其它标 志；如果 i 至 j 没有一条有向边。 a A B
6 b 4 5 d c 2 1 1 8 g 4 h 2
a
e
7
k
4
f
a b c d e f g h k ve vl
0 0 6 0 4 0 5 0 5 7 0 7 15 0 14 11 0 18 0
34
18 0 18 6 18 6 18 8 18 8 10 16 18 18 14 18 7 18
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
工程最早完成时间
关键路径
从第一个事件到最后一个事件最长路径的长
EC1 0 ECw max ( ECv cv , w )
( v , w )E
每个任务的最早完成时间
每个任务的最晚完成时间
LCn ECn LCv min ( LCw cv , w )
( v , w )E
3
物理与电子学院-数据结构
1.概念定义