非退化二次曲面的几何定义
非退化二次曲线的另一分类法及其性质
非退化二次曲线的另一分类法及其性质福建师范大学数学与计算机学院吴健文我们知道平面上二次曲线的方程可写为:221112222a x a xy a y ++132333220a x a y a +++=.我们常用的分类方法是将它们经过平移、旋转,化为标准方程:2211223311220(0)b x b y b b b ++=≠或22213221320(0)b y b x b b +=≠或22233220(0)b y b b +=≠.从而,得出,共有九类形式:椭圆、虚椭圆、点椭圆、双曲线、两条相交曲线、抛物线、两条平行直线、两条虚平行直线、两条重合直线.其中,我们称椭圆、双曲、抛物线为非退化的实二次曲线.现在,本文用另一种分类方法,研究这三种曲线的性质.首先,我们定义曲线的相等:定义1若两条曲线经过平移、旋转、反射后重合,则称这两条曲线相等.因此,我们只要研究在同一坐标系中的具有标准方程的这三类曲线.其中:椭圆研究22221(0)x y a b a b +=>>;双曲线研究22221(,0)x y a b a b =>;抛物线研究22(0)y px p =>.我们有对这三类曲线的统一定义,为:到一定点的距离与到一定直线的距离之比等于定值的点的轨迹.其中:定点称为焦点,定直线称为准线,其比值称为离心率.当离心率大于1时为双曲线,等于1时为抛物线,小于1时为椭圆.可以看出在上述定义1之下,确定曲线的形状有两个要素:焦点到准线的距离(设为p)与离心率(设为e).本文从这两个要素入手将这三种曲线进行分类.先引进两条曲线“相似”的定义.定义2如图所示:对于曲线2C 、1C ,若存在一个点P,使过P 的任两条射线与这两条曲线分别交于1A 、2A ;1B 、2B ,(若有交点),且满足1122PA PB PA PB ==一个常数,则称这两条曲线相似.显然,“相似”是一个等价关系.现在固定离心率0e e =,变动焦点到准线的距离p,我们有:定理1对应于离心率0e e =,非退化实二次曲线是一族相似的曲线.证明分三种情形讨论.(1)0(0,1),e ∈此时曲线为椭圆.任取两个椭圆,设其方程为:i C :22221(1,2)i i x y i a b +==如图:其中1C 、2C ,为这两个椭圆的焦点.由椭圆的性质知:011cos e BC O=∠22cos B C O =∠cos α记作,从而α=常数.因此△11B C O ∽△22B C O 11112222OB OA b a m OB OA b a ==记作,(1)过O 任作一射线kx y =交这两个椭圆于1M 、2M ,1A 2A 1B 2B P1B x y O2B 1M 2M α2C 1C 2A 1A 24则12222211222222221122,.MM a b a b x x b a k b a k =±=±++利用公式(1)可得:12M Mx m x =,即12111222M M x OM b a m OM x b a ====由射线的任意性,根据定义2,这两个椭圆相似.(2)01,e >此时曲线为双曲线.与(1)类似地可得:任意两条双曲线是相似的.(证略)(3)01e =,此时曲线为抛物线.任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的对称轴、焦点分别重合,C 是它们的公共焦点,x 轴为它们的对称轴.设它们的焦点到准线的距离分别为12,p p ;1l ,2l 为它们的准线,过C任作一射线,交这两条抛物线于1M 、2M ,过这两个焦点作各自准线的垂线,垂足为1A 、2A ,由抛物线的性质知,111222,AM M C A M M C ==111222M C AMM C A M =.设对称轴与射线的交角为α,则1111cos AM p M C α=+111cos p M C α=.同理,21122221cos p M C p M C M C p α==,由定义2知,这两条抛物线相似.推论2任两条抛物线相似.定理3按离心率分类,每一类非退化二次曲线都是一族相似的曲线.酒杯中的解析几何问题福鼎一中数学组黄世钱酒杯是我们日常生活中的常见物品.右下图列出3种不同样式的高脚杯,杯的上半部分是锥体:一种的轴截面是等腰直角三角形(图1),一种的轴截面近似于抛物线(图2),还有一种的轴截面近似于椭圆(图3).生活情景1将一些大小不一的玻璃小球放入不同的3个酒杯中,发现所有的小球都无法触及直角酒杯的底部,能放入椭圆酒杯的小球均可触及底部,而有一些小球可以触及抛物线酒杯,但也有一些小球无法触及抛物线酒杯底部.那么,对于一个固定大小的酒杯,如何确定小球的半径大小,使其一定可以触及酒杯的底部?作为研究性学习的内容之一,本文在此做一点探讨,供大家参考.情景数学化研究抛物线、椭圆和圆的位置关系.数学模型1-1设抛物线酒杯的杯口宽为4cm,杯深8cm,玻璃球的半径为r ,研究r 在什么范围取值时,玻璃球一定可触及杯底?数学问题解决如图,以杯底中心为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =(p >0),将2,8x y ==代入,解得14p =,故抛物线的方程为21x y =.y x1M 2M α2l 2A 1A 1l 522。
二次曲线的定义
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
二次曲面公式总结
二次曲面公式总结在数学中，二次曲面是指由二次多项式方程描述的曲面。
它们具有广泛的应用领域，包括几何、物理学和工程学等。
本文将从圆锥曲线、圆柱曲面和二次曲面三个方面来总结二次曲面的公式和特点。
圆锥曲线圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交得到的曲线。
当平面垂直于圆锥对称轴时，圆锥曲线成为圆。
当平面与圆锥对称轴的夹角小于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为椭圆。
当平面与圆锥对称轴的夹角等于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为双曲线。
当平面与圆锥对称轴的夹角大于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为抛物线。
圆柱曲面圆柱曲面是由一个圆柱和一个平面相交得到的曲面。
当平面与圆柱轴线平行时，圆柱曲面为一条直线。
当平面的截面是一个圆时，圆柱曲面成为一个圆柱体。
当平面和圆柱的轴线夹角不为90度时，圆柱曲面成为一个椭圆柱。
当平面和圆柱的轴线垂直时，圆柱曲面成为一个抛物面或双曲面。
二次曲面二次曲面是由一个具有二次项的多项式方程描述的曲面。
它们被广泛地应用于数学、物理学、工程学等领域。
二次曲面可以分为二维和三维曲面。
在二维情况下，二次曲线的方程为:ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a,b,c,d,e和f是实数或复数。
当b^2 – 4ac > 0时，二次曲线成为椭圆。
当b^2 – 4ac = 0时，二次曲线成为一条抛物线。
当b^2 – 4ac < 0时，二次曲线成为双曲线。
在三维情况下，二次曲面的方程为:ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0其中，a,b,c,d,e,f,g,h,i和j是实数或复数。
当方程为一个二次椭球面时，它们的系数可以被正交矩阵矩阵化为标准形式:αx^2 + βy^2 + γz^2 = 1其中，α,β和γ是正实数，代表了椭球面的三个半轴的长度。
椭球面可以是椭球体、椭圆抛物面或双曲面。
总结三类曲面的公式和性质是二次曲面研究的基础，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
2二次曲面分类简介
或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
高等代数非退化-概述说明以及解释
高等代数非退化-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在现代数学中，高等代数是一门重要而且广泛应用于各个领域的学科。
它作为数学的一支重要分支，研究的对象是各种各样的代数结构，如群、环、域等。
高等代数旨在研究和探讨这些代数结构的性质、规律和应用。
高等代数的非退化性是指在代数结构中不存在空穴、空洞和无效的元素。
换句话说，它要求代数结构中的每个元素都具有一定的意义和作用，不会出现无效的情况。
这种非退化性在高等代数的研究和应用中非常重要，它为我们提供了一个坚实的基础，使得我们能够更好地理解代数结构的本质和特征。
高等代数的非退化性不仅仅局限于理论研究，它还在许多实际问题的建模和解决过程中发挥着重要的作用。
无论是在物理学、计算机科学、工程学还是经济学等领域，高等代数的非退化性都具有重要的应用价值。
通过对代数结构的研究和分析，我们能够更好地理解和描述各种复杂的现实问题，从而为问题的解决提供有效的方法和策略。
本文将以高等代数的非退化性为主题，探讨其重要性和应用。
首先，我们将介绍高等代数的基本概念和背景知识，包括群、环、域等代数结构的定义和性质。
然后，我们将重点讨论高等代数的非退化性在理论研究和实际应用中的意义和作用。
最后，我们将对高等代数的非退化性进行总结，并展望其未来的发展方向和应用领域。
通过本文的阅读，读者将能够更好地理解高等代数的非退化性的概念和意义，以及它在数学和实际问题中的重要作用。
同时，本文也将为读者提供一些启示和思考，帮助他们更好地理解和应用高等代数的非退化性原理，从而为问题的解决和创新提供有力的支持。
1.2文章结构文章结构的设计是为了让读者更好地理解和掌握高等代数非退化的相关内容。
本文的结构分为引言、正文和结论部分。
下面是对每个部分的详细介绍：1. 引言部分（Introduction）引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
1.1 概述（Overview）在概述部分，我们将简要介绍高等代数非退化的研究背景和意义，概括高等代数非退化的基本概念和作用，为读者建立起对该领域的初步认识。
第八节二次曲面
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩 倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： b a
第四节 二次曲面
x
相交的直线旋转一周， 例 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转 曲面叫圆锥面 两直线的交点叫圆锥面的顶点 圆锥面． 顶点， 曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的
| MO | 1 = , 根据题意有 | MM | 2
0
即
1 x + y +z = , ( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4) 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x 2 ( y 1) z 4 116 . 所求方程为 + + + + + = 3 9 3
注意1：不是每一个三元方程都表示空间曲面。
如坐标满足方程 x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 的点是不存在的，故它不表示任何曲面图形。 再如，方程 x 2 + y 2 + z 2 = 0 仅表示一个点（0，0，0），方程
x2 + y 2 = 0
仅表示两个平面 x = 0, y = 0
的交线（z轴），它们
f ( y1 , z1 ) = 0
得方程
f (±
x + y , z = 0,
2 2
)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
z
z y
z
O
O x y
O
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定的抛物线. 它与 XOZ 面的任一平行 平 面 Y ＝ h 的 交
线 为 式 （11）， 是 一 可 动 抛 物 线 ， 且 以 上 两 抛 物 线 符 合 定
义的条件. 所以∑可以由定义得到. 故定义和椭圆抛物
面的代数式定义是等价的.
5. 双曲抛物面
定义：一抛物线的顶点，沿另一抛物线滑动，滑动
中，两抛物线所在的平面相互垂直，开口方向相反，焦
z2 z12
= 1， （3）
y = y1.
在曲面上任取一点 P（X，Y，Z），过 P 符合定义条件
的滑动椭圆 L2 和 L1 交于 Q 点，令 Q（0，Y1，Z1），则 L2 的
方程可写作（式 2）；由于半轴长之比是定值，设：a0 ＝ kz1（k
为常数） 则得到式 3. 由 L2 的方程得：
▲z12 =
Z1），则式（9）；由于 Q 在 L1 上，所以 Q（0，Y1，Z1）代入 L1 的方程适合式（10）：
∑ ∑ ∑ x2 + y2 = 2z.（10）
qp
x2 = 2p
z-
h 2p
，（11）
y = h.
是椭圆抛物面的标准方程. 反之,假定曲面∑是代
数式定义下的椭圆抛物面，它和 YOZ 面的交线是一固
【关键词】 二次曲面；椭圆面；双曲面；抛物面；几何定义
在空间解析几何中， 非退化二次曲面的定义是在
空间坐标系内，以代数式的形式给出，也就是给出曲面
的方程. 这样给出的定义不易从直观上想象到这些曲
面的形状. 为了有利于直观地了解非退化二次曲面的
形状， 在这里用几何的方法给出非退化二次曲面的定
义. 总的方法是通过非退化二次曲线的有规则运动产
x2 k2
y1 = y.
+
z2， （4）
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1.（5）
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1. （6）
由于 Q 在 L1 上，把 Q（0，Y1，Z1）代入 L1 适 合 方 程 ： 令 k2c2 ＝ a2，则式（5）. 此方程是椭圆面的标准方程.
其次证明若∑是代数式定义下的椭圆面， 方程可
动， 滑动中， 椭圆所在的平面始终和双曲线的实轴垂
直，且椭圆的两半轴长之比为定值，椭圆滑动产生的曲
面叫做双叶双曲面. 用上面同样的方法可证明上面的
定义与代数式定义同样等价.
4. 椭圆抛物面
定义：一抛物线的顶点，沿另一抛物线滑动，滑动
中，两抛物线所在平面相互垂直，开口方向相同，且焦
参数保持不变，滑动抛物线产生的轨迹叫椭圆抛物面.
参数保持不变，抛物线滑动的轨迹叫做双曲抛物面. 用
同样方法可证明该定义与双曲抛物面的代数定义等价.
至此非退化二次曲面的几何定义已完整. 用这些
曲面的几何定义， 从文字叙述上就可以想像到该曲面
的形状，对于理解曲面的性质有很大的帮助.
97
2009.2
▲ ▲
〈 〈
明了椭圆面的几何定义与它的代数式定义是等价的.
2. 单叶双曲面
定义：一椭圆对称轴的两端点，沿着一固定双曲线
滑动，滑动中，椭圆所在的平面始终和双曲线的虚轴垂
直，且椭圆的两半轴长之比为定值，椭圆滑动产生的曲
面叫做单叶双曲面. 用上面同样的方法可证明上面的
定义与代数式定义同样等价.
3. 双叶双曲面
定义： 一椭圆对称轴两端点， 沿一固定双曲线滑
ZHUAN TI YAN J IU
专题研究
非退化二次曲面的几何定义
◎韩宝玲 （河南省义马煤炭高级技工学校 472300）
【摘要】 非退化二次曲面包括椭圆面、单叶双曲面、双叶双 曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面. 在空间解析几何中，以方程的 形式给出了它们的定义， 并根据方程讨论了它们的性质. 本文 用几何的方法，通过非退化二次曲线的有规则运动产生的轨迹， 形成非退化二次曲面的定义，并加以论证，这样对这些曲面的形 状有了更直观的了解.
生的轨迹，形成非退化二次曲面.
1. 椭圆面
定义：一椭圆对称轴的两
Z
端点，沿另一固定椭圆滑动， 滑动中， 滑动椭圆所在的平
Q（0，Y1，Z1）
面始终和固定椭圆的一对称 轴垂直， 它的半轴长之比为
O
Y
P（X，Y，Z）
定值， 滑动椭圆的轨迹叫做 椭圆面.
X 图1
下面从两方面验证此定
义和椭圆面的代数式定义是等价的. 首先证明定义下
的椭圆面与代数式定义的椭圆面方程相同. 根据定义，
固定椭圆的两对称轴分别为 Y，Z 轴，建立如图 1－1 所
示的 O－XYZ 右手坐标系. 设：固定椭圆为
▲ ▲ L1：
y2 b2
+
z2 c2
= 1， （1）
x2 a02
+
z2 z12
= 1， （2）
x = 0.
y = y1.
▲L2：
x2 k2z12
+
写作式（6），则∑符合定义.
用 YOZ 面截∑，交线是椭圆. 用与 XOZ 面平行的
任一平面 Y ＝ h 截曲面∑，截线为：
∑x2 a2
+
Байду номын сангаас
z2 c2
=1-
h b2
，（h2 ＜ b2）， （7）
y = h.
这是和 XOY 面平行的平面上的椭圆，且它的两半
轴之比为：a ∶ c， 是定值. 所以曲面∑符合定义. 由此证
建 立 坐 标 系 ，L1 为 固 定 抛 物 线 ，L2 为 滑 动 抛 物
线，令：
▲ ▲ L1：
y2 = 2pz，（8） x= 0.
L2：
x2 = 2p（z-z1），（9） y= y1.
在椭圆抛物面上任取一点 P（X，Y，Z），过 P 符合定
义 4 中条件的滑动抛物线 L2 与 L1 交 于 Q，令 Q（0，Y1，