2019-2020学年山东省德州市庆云县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）

1．对于y＝﹣x2下列说法不正确的是（）

A．开口向下B．对称轴为直线x＝0

C．顶点为（0，0）D．y随x增大而减小

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．将抛物线y先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（）

A．y（x+2）2+3B．y（x﹣2）2﹣3

C．y（x+2）2﹣3D．y（x﹣2）2+3

4．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．

A．42B．48C．46D．50

5．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）

A．149°B．69°C．62°D．31°

7．抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a），（﹣2，b），（3，c），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a

8．下列命题是真命题的是（）

A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB ＝4，CD＝1，则EB的长为（）

A．3B．4C．5D．2.5

10．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1，y1．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A 的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且P A＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）

A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）11．已知二次函数y＝（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．＞且k≠2B．且k≠2C．＞D．且k≠2 12．求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：

①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；⑤a＞；其

中，正确的结论有（）

A．5B．4C．3D．2

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（﹣1，2）和（7，2）两点，其对称轴是直线．14．如图，矩形ABCD中，AB，BC＝2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是．

15．如图，抛物线y＝a（x+2）2+3（a＜0）与y轴正半轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点M，连结MA、MB、MA、NB，则四边形ANBM的面积为．

16．如图，在△OAB中，∠AOB＝55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA'B’的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为．

17．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．

18．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为6；③∠AOB＝150°；④S△BOC＝12+16；

⑤S四边形AOBO′＝24+12．其中正确的结论是（填序号）．

三、解答题

19．（9分）已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．

（1）抛物线经过原点时，求k的值．

（2）顶点在x轴上时，求k的值；

（3）顶点在y轴上时，求k的值；

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）

（1）按下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；

②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；

（2）在x轴上求作点P，使|PC﹣P A|最大，请直接写出点P的坐标．

21．如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．

（1）求证：P A是⊙O的切线；

（2）若PD，求⊙O的直径．

22．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向△ABC外作等边△BCD，把△ABD绕点D，顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB＝4，AC＝3．

（1）试判断△ADE的形状，并说明理由；

（2）求∠BAD的度数；

（3）求AD的长．

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB 向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；

（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？

24．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，

（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．

（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？

（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”

改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？

25．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）点D为抛物线上一点，是否存在点D使，若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线BE的解析式．

2019-2020学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．对于y＝﹣x2下列说法不正确的是（）

A．开口向下B．对称轴为直线x＝0

C．顶点为（0，0）D．y随x增大而减小

【解答】解：y＝﹣x2中a＝﹣1＜0，开口向下，A正确，不符合题意；

对称轴为直线x＝0，B正确，不符合题意；

顶点为（0，0），C正确，不符合题意；

当x＞0时y随着x的增大而增大，D错误，符合题意，

故选：D．

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

3．将抛物线y先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（）

A．y（x+2）2+3B．y（x﹣2）2﹣3

C．y（x+2）2﹣3D．y（x﹣2）2+3

【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y（x﹣2）2﹣3．故选：B．

4．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）

度．

A．42B．48C．46D．50

【解答】解：连接AB，如图所示：

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵∠B＝∠ADC＝48°，

∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；

故选：A．

5．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4

【解答】解：扇形的弧长2π，

故选：B．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）

A．149°B．69°C．62°D．31°

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，

∴∠BAC＝59°，

∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，

∴A'C＝AC，

∴∠BAC＝∠AA'C＝59°，

∴∠ACA'＝62°＝α，

故选：C．

7．抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a），（﹣2，b），（3，c），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a

【解答】解：抛物线y＝x2+x+2的开口向上，对称轴为x，

（﹣3，a），（﹣2，b），（3，c）三点到对称轴的距离分别为2.5，1.5，3.5，

∴c＞a＞b，

故选：C．

8．下列命题是真命题的是（）

A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

【解答】解：A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；

B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；

C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；

D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；

故选：C．

9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB ＝4，CD＝1，则EB的长为（）

A．3B．4C．5D．2.5

【解答】解：设⊙O的半径为r．

∵OD⊥AB，

∴AC＝BC＝2，

在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，

∴OA2＝OC2+AC2，

∴r2＝（r﹣1）2+22，

∴r，

∴OC，

∵OA＝OE，AC＝CB，

∴BE＝2OC＝3，

故选：A．

10．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1，y1．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A 的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且P A＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）

A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）

【解答】解：设P1（x，y），

∵点P（0，2）关于A的对称点为P1，即A是线段PP1的中点，

∵点A（1，﹣1），

∴1，1，解得x＝2，y＝﹣4，

∴P1（2，﹣4）．

同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，

∴每6个坐标循环一次．

∵335…5，

∴点P2015的坐标是（0，0）．

故选：A．

11．已知二次函数y＝（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．＞且k≠2B．且k≠2C．＞D．且k≠2【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△＝（2k+1）2﹣4（k﹣2）2≥0，

解得k且k≠2．

故选：D．

12．求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：

①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；⑤a＞；其

中，正确的结论有（）

A．5B．4C．3D．2

【解答】解：①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＜0，故abc＜0，故错误；

②对称轴为直线x＝﹣1，0＜x1＜1，则﹣3＜x2＜﹣2，正确；

③对称轴为直线x＝﹣1，则b＝2a，4a﹣2b+c＝c＜﹣1，故正确；

④x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，为最小值，故a﹣b+c＜am2+bm+c，故错误；

⑤x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＞0，即3a＞﹣c，而c＜﹣1，故a＞，正确；

故选：C．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（﹣1，2）和（7，2）两点，其对称轴是直线x＝3．【解答】解：∵点（﹣1，2）和（7，2）的纵坐标相等，

∴点（﹣1，2）和（7，2）关于抛物线对称轴对称，

∴抛物线的对称轴为直线x3．

故答案为：x＝3．

14．如图，矩形ABCD中，AB，BC＝2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是21．

【解答】解：∵矩形ABCD中，AB，BC＝2，

∴AD＝BC＝2，CD＝AB，∠A＝90°，

∵BE＝BC＝2，

在Rt△ABE中，AE，

∴AB＝AE，

∴∠ABE＝∠EBC＝45°，

∴S阴＝S四边形BCDE﹣S扇形BEC（2+2）21，

故答案为21．

15．如图，抛物线y＝a（x+2）2+3（a＜0）与y轴正半轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点M，连结MA、MB、MA、NB，则四边形ANBM的面积为6．

【解答】解：抛物线y＝a（x+2）2+3的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，

∵AB∥x轴，

∴AB＝2×2＝4，

∴四边形ANBM的面积AB×MN4×3＝6．

故答案为6．

16．如图，在△OAB中，∠AOB＝55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA'B’的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为70°．

【解答】解：∵BB′∥AO，

∴∠B′BO＝∠AOB＝55°．

根据旋转的定义可得BO＝B′O，

所以∠B′BO＝∠BB′O＝55°．

所以旋转角∠BOB′＝180°﹣55°×2＝70°．

故答案为70°．

17．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为3．

【解答】解：作B点关于MN的对称点B′，连结OA、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如图，

∵P′B＝P′B′，

∴P′A+P′B＝P′A+P′B′＝AB′，

∴此时P′A+P′B的值最小，

∵点A是半圆上一个三等分点，

∴∠AON＝60°，

∵点B是弧AN的中点，

∴∠BPN＝∠B′ON＝30°，

∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，

∴△AOB′为等腰直角三角形，

∴AB′OA＝3，

∴AP+BP的最小值为3．

故答案为3．

18．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为6；③∠AOB＝150°；④S△BOC＝12+16；

⑤S四边形AOBO′＝24+12．其中正确的结论是①③④（填序号）．

【解答】解：在△BO′A和△BOC中，，

∴△BO′A≌△BOC（SAS）．

∴O′A＝OC，

∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；

如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，

∴点O与O'的距离为8，②错误；

在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．

∴Rt△AOO′面积为6×8＝24，

又等边△BOO′面积为8×416，

∴四边形AOBO'的面积为24+16，⑤错误；

∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；

过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，

∵∠AOB＝150°，

∴∠BOE＝30°，

∵OB＝8，

∴BE＝4，

∴S△AOB4×6＝12，

∴S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+1612＝12+16，故④正确，

故答案为①③④．

三、解答题

19．（9分）已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．

（1）抛物线经过原点时，求k的值．

（2）顶点在x轴上时，求k的值；

（3）顶点在y轴上时，求k的值；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4经过原点，

∴3k+4＝0，

解得：k；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4顶点在x轴上，

∴b2﹣4ac＝0，

∴（﹣2k）2﹣4×1×（3k+4）＝0，

解得：k＝4或k＝﹣1；

（3）∵抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4顶点在y轴上，

∴﹣2k＝0，

解得：k＝0．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）

（1）按下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；

②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；

（2）在x轴上求作点P，使|PC﹣P A|最大，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）①如图△A1B1C1即为所求．

②如图△A2B2C2即为所求．

（2）延长CA交x轴于点P，此时|PC﹣P A|的值最小，点P的坐标（0，0）．

21．如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．

（1）求证：P A是⊙O的切线；

（2）若PD，求⊙O的直径．

【解答】解：（1）证明：连接OA，

∵∠B＝60°，

∴∠AOC＝2∠B＝120°，

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

又∵AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP＝30°，

∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，

∴OA⊥P A，

∴P A是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，

∴PO＝2OA＝OD+PD，

又∵OA＝OD，

∴PD＝OA，

∵PD，

∴2OA＝2PD＝2．

∴⊙O的直径为2．

22．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向△ABC外作等边△BCD，把△ABD绕点D，顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB＝4，AC＝3．

（1）试判断△ADE的形状，并说明理由；

（2）求∠BAD的度数；

（3）求AD的长．

【解答】解：（1）∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°，到△ECD位置，

∴∠ECD＝∠ABD，∠ADE＝60°，AD＝DE，AB＝CE＝4，

∵∠BAC+∠BDC＝180°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∵∠DCE＝∠ABD，

∴∠ACD+∠DCE＝180°，

∴A，C，E共线，

∴∠ADE＝60°，AD＝DE，

∴△ADE是等边三角形，

（2）∵△ADE是等边三角形，

∴∠E＝60°，

又∵∠BAD＝∠E，

∴∠BAD＝60°

（3）∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE＝AC+CE＝AC+AB＝7．

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB 向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；

（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？

【解答】解：（1）根据题意知S＝S△ABC﹣S△PBQ

12×244x×（12﹣2x）

＝4x2﹣24x+144，

由12﹣2x＞0得x＜6，

∴0＜x＜6；

（2）y＝4x2﹣24x+144＝4（x﹣3）2+108．

∵4＞0

∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108．

24．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，

（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．

（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？

（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”

改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？

【解答】解：（1）结论：AE＝CD．

理由：如图1中，

在△AEB和△CDB中，

，

∴△AEB≌△CDB（SAS）

∴AE＝CD．

（2）结论：AE＝CD，AE⊥CD，

理由：如图2中，设AB交CD于O．

∵∠DBE＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝∠DBC，

在△AEB和△CDB中，

，

∴△AEB≌△CDB（SAS），

∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，

∵∠DCB+∠COB＝90°，∠AOF＝∠COB，∴∠FOA+∠F AO＝90°，

∴∠AFC＝90°，

∴AE⊥CD．