考点11 函数
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 11 指数与指数函数

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结11指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题,分值为5分,中等难度考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点4.体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题1.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为()A.18 B.21 C.24 D.27答案 D解析因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y,解得x=21,y=6,所以x+y=27.2.化简(a>0,b>0)的结果是()A.ba B.ab C.a2b D.ab答案 D解析3.函数f(x)=a x-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0答案 D解析由f(x)=a x-b的图象可以观察出,函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.故选D.4.已知a=(2)43,b=225,c=913,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案 A解析5.函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x) B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x) D.与x有关,不确定答案 A解析∵f(x+1)=f(1-x),∴f(x)图象的对称轴为直线x=1,由此得b=2.又f(0)=3,∴c=3.∴f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x).若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选A.6.已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是() A.(2-22,2+22) B.(-∞,2)C.(-∞,2+22) D.[2+22,+∞)答案 C解析令t=3x(t>1),则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1的图象在t∈(1,+∞)上恒在x轴的上方,则对于方程f(t)=0,有Δ=(-m)2-4(m+1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,m2≤1,f (1)=1-m +m +1≥0,解得2-22<m <2+22或m ≤2-22,所以m <2+2 2.故选C. 7.已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( ) A .1x 2+1>1y 2+1B .ln(x 2+1)>ln (y 2+1)C .sin x >sin yD .x 3>y 3 答案 D解析 因为实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),所以x >y ,根据函数y =x 2的对称性和单调性,可知x 2,y 2的大小不确定,故A ,B 中的不等式不恒成立;根据正弦函数的单调性,可知C 中的不等式也不恒成立;由于函数f (x )=x 3在R 上单调递增,所以x 3>y 3,所以D 中的不等式恒成立.故选D.8.(多选)设函数f (x )=2x ,对于任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),下列命题中正确的是( ) A .f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2) B .f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2) C .f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<f (x 1)+f (x 2)2答案 ACD 解析9.(多选)已知函数f (x )=e x -1-e -x +1,则下列说法正确的是( ) A .函数f (x )的最小正周期是1 B .函数f (x )是单调递增函数C .函数f (x )的图象关于直线x =1轴对称D .函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称 答案 BD解析 函数f (x )=e x -1-e -x +1,即f (x )=e x -1-1e x -1,可令t =e x -1,即有y =t -1t ,由y =t -1t 在t >0时单调递增,t =e x -1在R 上单调递增,可得f (x )在R 上为增函数,则A 错误,B 正确;由f (2-x )=e 1-x -e x -1,可得f (x )+f (2-x )=0,即有f (x )的图象关于点(1,0)对称,则C 错误,D 正确.故选BD.10.(多选)已知函数f (x )=πx -π-x 2,g (x )=πx +π-x2,则f (x ),g (x )满足( )A .f (-x )+g (-x )=g (x )-f (x )B .f (-2)<f (3)C .f (x )-g (x )=π-xD .f (2x )=2f (x )g (x ) 答案 ABD解析 f (-x )=π-x -πx 2=-f (x ),g (-x )=πx +π-x2=g (x ),所以f (-x )+g (-x )=g (x )-f (x ),A 正确;因为函数f (x )为增函数,所以f (-2)<f (3),B 正确;f (x )-g (x )=πx -π-x2-πx +π-x 2=-2π-x 2=-π-x,C 不正确;f (2x )=π2x -π-2x 2=2·πx -π-x 2·πx +π-x2=2f (x )g (x ),D 正确.11.求值:0.064-13-⎝ ⎛⎭⎪⎫-590+[(-2)3]-43+16-0.75+0.0112=________. 答案 14380解析 原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=104-1+116+18+110=14380.12.已知max{a ,b }表示a ,b 两数中的最大值.若f (x )=max{e |x |,e |x -2|},则f (x )的最小值为________.答案 e解析 由题意得,f (x )=⎩⎨⎧e |x |,x ≥1,e |x -2|,x <1.当x ≥1时,f (x )=e |x |=e x ≥e(当x =1时,取等号);当x <1时,f (x )=e |x -2|=e 2-x >e.故f (x )的最小值为f (1)=e.二、高考小题13.(2022·天津高考)设a =30.7,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫13-0.8,c =log 0.70.8,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a <b <cB .b <a <cC .b <c <aD .c <a <b 答案 D解析 因为a =30.7>1,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫13-0.8=30.8>30.7=a ,c =log 0.70.8<log 0.70.7=1,所以c <1<a <b .故选D.14.(2022·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=K1+e-0.23(t -53),其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( )A .60B .63C .66D .69 答案 C解析 因为I (t )=K1+e -0.23(t -53),所以I (t *)=K 1+e -0.23(t *-53)=0.95K ,则e0.23(t *-53)=19,所以0.23(t *-53)=ln 19≈3,解得t *≈30.23+53≈66.故选C.15.(2022·北京高考)已知函数f (x )=2x -x -1,则不等式f (x )>0的解集是( ) A.(-1,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 D解析 因为f (x )=2x -x -1,所以f (x )>0等价于2x >x +1,在同一直角坐标系中作出y =2x 和y =x +1的图象如图:两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),所以不等式2x >x +1的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).所以不等式f (x )>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.16.(2022·上海高考)已知常数a >0,函数f (x )=2x 2x +ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ,65,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ,-15.若2p +q =36pq ,则a =________. 答案 6解析 由已知条件知f (p )=65,f (q )=-15, 所以⎩⎪⎨⎪⎧2p 2p +ap =65,①2q 2q +aq =-15, ②①+②,得2p (2q +aq )+2q (2p +ap )(2p +ap )(2q +aq )=1,整理得2p +q =a 2pq ,又2p +q =36pq , ∴36pq =a 2pq ,又pq ≠0,∴a 2=36,∴a =6或a =-6,又a >0,∴a =6. 三、模拟小题17.(2022·云南曲靖陆良县联办高级中学模拟)函数y = 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .[0,+∞)D .(-∞,0] 答案 C解析 要使函数有意义,需满足1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1=⎝ ⎛⎭⎪⎫120,解得x ≥0,因此,函数y =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0,+∞).故选C. 18.(2022·湖北武汉高三开学考试)对于函数f (x ),若在定义域内存在实数x 0满足f (-x 0)=-f (x 0),则称函数f (x )为“倒戈函数”.设f (x )=3x +m -1(m ∈R ,m ≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-23,0B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23,-13C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23,0 D .(-∞,0)答案 A解析 ∵f (x )=3x +m -1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,存在x 0∈[-1,1]满足f (-x 0)=-f (x 0),∴3-x 0+m -1=-3 x 0-m +1,∴2m =-3-x 0-3 x 0+2,构造函数y =-3-x 0-3 x 0+2,x 0∈[-1,1],令t =3x 0,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3,y =-1t -t +2=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫t +1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,1上单调递增,在(1,3]上单调递减,∴t =1取得最大值0,t =13或t =3取得最小值-43,y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-43,0,∴-43≤2m <0,∴-23≤m <0.故选A. 19.(多选)(2022·山东日照二模)若实数m ,n 满足5m -4n =5n -4m ,则下列关系式中可能成立的是( )A .m =nB .1<m <nC .0<m <n <1D .n <m <0 答案 ACD解析 由题意,实数m ,n 满足5m -4n =5n -4m ,可化为4m +5m =5n +4n ,设y =f (x )=4x +5x ,y =g (x )=5x +4x ,由初等函数的性质,可得f (x ),g (x )都是单调递增函数,画出函数f (x ),g (x )的图象,如图所示,作直线y =t 0,当t 0<1时,n <m <0成立;当t 0=1或t 0=9时,m =n 成立;当1<t 0<9时,0<m <n <1成立;当t 0>9时,1<n <m 成立.综上,可知可能成立的为A ,C ,D.20.(多选)(2022·江苏淮安高三第一学期五校联考)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f (x )=e x 1+e x -12,则关于函数g (x )=[f (x )]的叙述中正确的是( )A .g (x )是偶函数B .f (x )是奇函数C .f (x )在R 上是增函数D .g (x )的值域是{-1,0,1} 答案 BC解析 ∵g (1)=[f (1)]=⎣⎢⎡⎦⎥⎤e1+e -12=0,g (-1)=[f (-1)]=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e1+1e -12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e +1-12=-1,∴g (1)≠g (-1),则g (x )不是偶函数,故A 错误;∵f (x )=e x 1+e x -12的定义域为R ,f (-x )+f (x )=e -x1+e -x -12+e x 1+e x -12=1e x1+1e x+e x 1+e x -1=11+e x +e x1+e x -1=0,∴f (x )为奇函数,故B 正确;∵f (x )=e x 1+e x -12=1+e x-11+e x -12=12-11+e x ,又e x在R 上单调递增,∴f (x )=12-11+e x 在R 上是增函数,故C 正确;∵e x >0,∴1+e x >1,则0<11+e x<1,可得-12<12-11+e x <12,即-12<f (x )<12.∴g (x )=[f (x )]∈{-1,0},故D 错误.故选BC. 21.(2022·南阳模拟)若函数f (x )=2|x -a |(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则a =________,实数m 的最小值为________.答案 1 1解析 因为f (1+x )=f (1-x ),所以函数f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =1.函数f (x )=2|x -1|的图象如图所示.因为函数f (x )在[m ,+∞)上单调递增,所以m ≥1,所以实数m 的最小值为1.22.(2022·福建漳州高三阶段考试)函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=a x (a >1).若对任意的x ∈[0,2t +1],均有f (x +t )≥[f (x )]3,则实数t 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,-49解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=a x (a >1),∴f (x )=a |x |(a >1),则[f (x )]3=(a |x |)3=a |3x |=f (3x ),则f (x +t )≥[f (x )]3等价于f (x +t )≥f (3x ),当x ≥0时f (x )为增函数,则|x +t |≥|3x |,即8x 2-2tx -t 2≤0对任意x ∈[0,2t +1]恒成立,设g (x )=8x 2-2tx -t 2,则⎩⎨⎧g (0)≤0g (2t +1)≤0⇔⎩⎨⎧-t 2≤0,27t 2+30t +8≤0,解得-23≤t ≤-49,又2t +1>0,∴-12<t ≤-49.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1.(2022·黑龙江鹤岗一中期末)函数f(x)=2x-a2x是奇函数.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)>m·2-x+4恒成立,求m的取值范围.解(1)∵函数f(x)=2x-a2x是奇函数,∴f(-x)=2-x-a2-x =-a·2x+12x=-2x+a2x=-f(x),故a=1,故f(x)=2x-12x.(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)>m·2-x+4恒成立,即m+1<(2x)2-4·2x在x∈(0,+∞)上恒成立,令t=2x,t>1,h(t)=t2-4t=(t-2)2-4(t>1),显然h(t)在(1,+∞)上的最小值是h(2)=-4,故m +1<-4, 解得m <-5.故m 的取值范围为(-∞,-5).2.(2022·湖北襄阳高三阶段考试)已知函数f (x )=a |x +b |(a >0,a ≠1,b ∈R ). (1)若f (x )为偶函数,求实数b 的值;(2)若f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,试求实数a ,b 应满足的条件. 解 (1)因为f (x )为偶函数,所以对任意的x ∈R ,都有f (-x )=f (x ), 即a |x +b |=a |-x +b |,|x +b |=|-x +b |, 解得实数b =0.(2)记h (x )=|x +b |=⎩⎨⎧x +b ,x ≥-b ,-x -b ,x <-b .①当a >1时,f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,即h (x )在区间[2,+∞)上是增函数, 所以-b ≤2,即b ≥-2.②当0<a <1时,f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,即h (x )在区间[2,+∞)上是减函数,但h (x )在区间[-b ,+∞)上是增函数,故不存在a ,b 的值,使f (x )在区间[2,+∞)上是增函数.所以f (x )在区间[2,+∞)上是增函数时,实数a ,b 应满足的条件为a >1且b ≥-2. 3.(2022·宁夏银川一中期末)已知定义在R 上的奇函数f (x ),在x ∈(0,1)时,f (x )=2x4x +1且f (-1)=f (1).(1)求f (x )在x ∈[-1,1]上的解析式; (2)证明:当x ∈(0,1)时,f (x )<12;(3)若x ∈(0,1),常数λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52,解关于x 的不等式f (x )>1λ.解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数且x ∈(0,1)时,f (x )=2x4x +1,∴f (0)=0,当x ∈(-1,0)时,f (x )=-f (-x )=-2-x 4-x +1=-2x4x +1,又f (-1)=-f (1),f (-1)=f (1), ∴f (-1)=f (1)=0.综上所述,当x ∈[-1,1]时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x 4x +1,x ∈(-1,0),2x 4x+1,x ∈(0,1),0,x ∈{-1,0,1}.(2)证明:当x ∈(0,1)时,f (x )=2x 4x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +12x -1,又2x +12x ≥22x ·12x =2,当且仅当2x =12x ,即x =0时取等号.∵x ∈(0,1),∴2x +12x >2,∴f (x )<12. (3)当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52时,1λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25,12,f (x )>1λ,即4x -λ·2x +1<0,设t =2x ∈(1,2),不等式变为t 2-λt +1<0,∵λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52,∴Δ=λ2-4>0, ∴λ-λ2-42<t <λ+λ2-42.令g (λ)=λ-λ2-42,λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52,g ′(λ)=λ2-4-λ2λ2-4, 又λ2-4<λ,∴g ′(λ)<0, ∴g (λ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52上单调递减,∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<g (λ)<g (2),即12<λ-λ2-42<1.令h (λ)=λ+λ2-42,h (λ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52上单调递增, ∴h (2)<h (λ)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,即1<λ+λ2-42<2,∴1<t <λ+λ2-42,即0<x <log 2λ+λ2-42.综上可知,不等式f (x )>1λ的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,log 2λ+λ2-42. 4.(2022·山东枣庄高三模拟)已知函数f (x )=e x +a e -x ,x ∈R . (1)当a =1时,证明:f (x )为偶函数;(2)若f (x )在[0,+∞)上单调递增,求实数a 的取值范围;(3)若a =1,求实数m 的取值范围,使m [f (2x )+2]≥f (x )+1在R 上恒成立. 解 (1)证明:当a =1时,f (x )=e x +e -x ,定义域(-∞,+∞)关于原点对称,而f (-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )为偶函数.(2)设x 1,x 2∈[0,+∞)且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=e x 1+a e -x 1-(e x 2+a e -x 2) =(e x 1-e x 2)(e x 1+x 2-a )e x 1+x 2.因为x 1<x 2,函数y =e x 为增函数, 所以e x 1<e x 2,则e x 1-e x 2<0,又因为f (x )在[0,+∞)上单调递增, 所以f (x 1)<f (x 2),故f (x 1)-f (x 2)<0, 所以e x 1+x 2-a >0恒成立,即a <e x 1+x 2对任意的0≤x 1<x 2恒成立, 所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(-∞,1].(3)由(1)(2)知,函数f (x )=e x +e -x 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以其最小值为f (0)=2,且f (2x )=e 2x +e -2x =(e x +e -x )2-2,设t =e x+e -x,则t ∈[2,+∞),1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12, 则不等式m [f (2x )+2]≥f (x )+1恒成立, 等价于m ·t 2≥t +1,即m ≥t +1t 2恒成立, 而t +1t 2=1t 2+1t =⎝ ⎛⎭⎪⎫1t +122-14,当且仅当1t =12,即t =2时t +1t 2取得最大值34,故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞.。
_考点11一次函数的图像与性质课件-2021年浙江省中职升学数学一轮复习

知识要点
2.一次函数 (1)函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,一次函数图象是 经过点(0,____b____)和点(____bk____,0)的一条直线. (2)y=kx+b(k≠0)的图象可由y=kx(k≠0)的图象沿y轴方 向平移_____b____个单位得到. (3)当k>0时,在R上是____增_____函数;当k<0时,在R上 是____减_____函数. (4)当k>0,b>0时,图象经过第__一__、__二__、__三___象限; 当___k>__0_,__b_<_0__时,图象经过第一、三、四象限; 当__k_<__0_,__b_>_0__时,图象经过第一、二、四象限; 当k<0,b<0时,图象经过第__二__、__三__、__四___象限.
9.当x=2时,函数y=kx-2和y=2x+k的值相等,则k=__6____.
10.对任意实数m,一次函数f(x)=(3-m)x+2m图象必过
定点_(__2_,__6_)__.
由题意得2k-2=4+k,得k=6.
函数y=(3-m)x+2m可变形为m(2-x)=y-3x,关于m的方程
有无穷多组解,∴
2
3
4 a
C= .b{2 x,|x<∴-ba =32-} 12
和x= .
2 b
3x 2 0, .∵图象B.在{xx|x轴< 上23 }交于由同2一x点 3,得0 -得a4
x x
2 3 3 2
, ,
D.{x|x< 3 }
2
解得x<- 3 .
2
5.已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上交于同一点,
中考数学复习考点知识讲解与练习11 一次函数-概念与性质

中考数学复习考点知识讲解与练习 专题11 一次函数-概念与性质在某一个变化过程中,设有两个变量x 和y ,如果满足这样的关系:y=kx+b(k 为一次项系数且k≠0,b 为任意常数,),那么我们就说y 是x 的一次函数,其中x 是自变量,y 是因变量 (又称函数)。
其图象是一条直线,k 的值决定图象的增减性,k 、b 的值决定图象的位置。
本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题主要内容是对一次函数定义、图象的位置、增减性、直线平移、进行巩固练习,为后期综合题训练打下坚实基础。
一、一次函数定义(基本概念、参数取值或取值范围)1.(2022·广西兴宁·南宁三中期末)下列函数中,一次函数是() A .28y x = B .18y x -= C .1y x =+D .11y x =+ 2.(2022·山东东昌府·期末)下列函数中,y 是x 的一次函数的有( ) ①y =x ﹣6;②y =2x 2+3;③y =2x;④y =8x ;⑤y =x 2A .0个B .1个C .2个D .3个3.(2022·广西横县·期末)下列函数不是正比例函数的是( ) A .y =2xB .y =﹣4xC .y =﹣6xD .y =﹣6x +54.(2022·四川营山·初二期末)下列函数中,正比例函数是() A .2xy =B .y =2x 2C .2y x=D .y =2x +15.(2022·安徽瑶海·合肥38中月考)y=(m-3)x+m 2-9 是正比例函数,则m=_____________6.(2022·山东汶上·初二期末)若25(2)3m y m x -=++是一次函数,则m 的值为()A .2B .-2C .±2D .7.(2022·内蒙古科尔沁右翼前旗·初二期末)若函数y=(m-1)x ∣m ∣-5是一次函数,则m 的值为( ) A .±1B .-1C .1D .28.(2022·山东昌乐·初二期末)已知函数28(3)4m y m x -=++是关于x 的一次函数,则m 的值是() A .3m =±B .3m ≠-C .3m =-D .3m =9.(2022·贵州兴仁·初二期末)若函数()232m y m x -=-是正比例函数,则m =_______.二、一次函数图象的位置10.一次函数2y kx =-的图象经过点()1,0-,则该函数的图象不经过( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.一次函数21y x =--的图象不经过() A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限12.如果一次函数y =mx+n 的图象经过第一、二、四象限,则一次函数y =nx+m 不经过的象限是( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限13.当0b <时,一次函数y x b =+的图象大致是()A .B .C .D .14.两个一次函数y 1 = mx+n ,y 2 =nx+m ,它们在同一坐标系中的图像可能是()A .B .C .D .15.一次函数y=3x ﹣6的图象不经过( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限16.一次函数y=kx+b ,当k >0,b <0时,它的图象是( )A .B .C .D .17.直线l 1:y =kx +b 与直线l 2:y =bx +k 在同一坐标系中的大致位置是( )A .B .C .D .18.一次函数1y ax b 与一次函数2y bx a =-在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A .B .C .D .19.直线()32y a x b =-+-在直角坐标系中的图象如图所示,化简||2b a b --______.三、一次函数图象的增减性20.已知一次函数y=kx+b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交,且函数值y 随自变量x 的增大而增大,则k ,b 的取值情况为() A .k 1>,b 0<B .k 1>,b 0>C .k 0>,b 0>D .k 0>,b 0<21.一次函数24y x =--的图象上有两点A (﹣3,y 1)、B (1,y 2),则y 1与y 2的大小关系是() A .y 1>y 2B .y 1=y 2C .y 1<y 2D .无法确定22.已知一次函数()371y m x m =--+(m 为整数)的图象与y 轴正半轴相交,y 随x 的增大而减小,当04y <<时,x 的取值范围是(). A .10x -<<B .31x -<<C .04x <<D .13x <<23.若点(-3,y 1),(1,y 2)都在直线12y x b =-+上,则y 1、y 2大小关系是()A .y 1 < y 2B .y 1 > y 2C .y 1 = y 2D .y 1≥y 224.点()111,P x y ,点()222,P x y 是一次函数43y x =-+图象上的两个点,且120x x <<,则3,1y 与2y 的大小关系是() A .213y y <<B .123y y >>C .123y y <=D .123y y =>25.已知点()()()123,,1,3,2,y y -在一次函数5y kx =+的图像上,则12,,3y y 的大小关系正确的是() A .213y y <<B .123y y <<C .213y y <<D .213y y <<26.如图,正比例函数y =kx ,y =mx ,y =nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则比例系数k ,m ,n 的大小关系是()A .n <m <kB .m <k <nC .k <m <nD .k <n <m27.一个y 关于x 的一次函数同时满足两个条件:①图像经过(1,-1)点;②当x >0时,y 随x 的增大而减小,这个函数的解析式为________.28.己知一次函数23y x =-+,当05x ≤≤时,函数y 的最大值是__________. 29.已知,函数y =3x +b 的图象经过点A (﹣1,y 1),点B (﹣2,y 2),则y 1_____y 2(填“>”“<”或“=”) 四、一次函数图象的平移 30.将一次函数12y x =的图象向上平移2个单位,平移后,若0y >,则x 的取值范围是() A .4x >B .4x >-C .2x >D .2x >-31.一次函数23y x =+的图象可由直线2y x =向上平移得到,则平移的单位长度是________.32.将一次函数3y x =的图象向上平移2个单位的长度,平移后的直线与x 轴的交点坐标为_________. 33.如果将一次函数132y x =+的图像沿y 轴向上平移3个单位,那么平移后所得图像的函数解析式为__________.34.将直线24y x =-+先向上平移2个单位,再向右平移2个单位得到的直线l 对应的一次函数的表达式为_____.35.将一次函数2y x =的图象向上平移2个单位后,当0y >时,x 的取值范围是_________.36.将直线12y x =-向上平移一个单位长度得到的一次函数的解析式为_______________.37.解答题:如图,直线l 是一次函数y kx b =+的图象. (1)求出这个一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向下平移3个单位,求出平移后一次函数的解析式,并写出平移后的图像与x 轴的交点坐标38.解答题:已知一次函数y kx b =+,y 随x 增大而增大,它的图象经过点()1,0且与x 轴的夹角为45,()1确定这个一次函数的解析式;()2假设已知中的一次函数的图象沿x 轴平移两个单位,求平移以后的直线及直线与y 轴的交点坐标.39.解答题:已知一次函数y =kx -4,当x =2时,y =-3. (1)求一次函数的表达式;(2)将该函数的图像向上平移6个单位长度,求平移后的图像与x 轴交点的坐标. 40.解答题:一次函数2y x a =+的图象与x 轴交与点()2,0, (1)求出a 的值;(2)将该一次函数的图象向上平移5个单位长度,求平移后的函数解析式.。
高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式

考点十一: 导数与函数的单调性【考纲要求】(1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题,常常会考查利用导数研究含参函数的单调性,极值.预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题,命题形式会更加灵活、新颖. 【典型高考试题变式】(一)原函数与其导函数的图像问题例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示,则函数()y f x =的图像可能是( ).【答案】D【解析】导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图像和原函数图像.故选D .【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ,'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数.'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b上为减函数.且导函C.数单调性可以判原函数图像的凹凸性:若)('x f 大于0且递增,则原函数)(x f 图像递增且下凹;若大于0且递减,则原函数)(x f 图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件,通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考(理)】设函数()f x 的导函数为()f x ',若()f x 为偶函数,且在()0,1上存在极大值,则()f x '的图象可能为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数,结合函数图象可以排除B . D ,又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点,且零点左侧导数值符号为正,右侧导数值符号为负,结合选项可以排除A ,只有C 选项符合题意;本题选择C 选项.【变式2】【改编例题中条件,给定解析式,判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数()2sin 20142x f x x =++,则()'f x 的大致图象是 ( ) A. B. C. D.【答案】B(二)用导数求不含参数的单调区间例2.【2017全国2卷(文)】设函数()()21e xf x x =-.(1)讨论()f x 的单调性.【答案】()f x 在区间(),21-∞,()21,+∞是减函数,在区间()221-是增函数.【解析】(1)()()()222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--, 令()0f x '=得2210x x +-=,解得121x =-,221x =, 所以()f x 在区间(),21-∞-,)21,+∞是减函数,在区间()221-是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是:求导,求解不等式,写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“,”连接,不能用“或”或“ ”.【变式1】【改编函数条件,函数中含分式】【2016全国2卷(理)】(1)讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;x x x -++> 【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调递增,在]2,2(-上单调递减.(三)用导数求含参函数的单调区间例3.【2017全国1卷(理)】已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;【答案】见解析【解析】(1)由于()()2e 2e x x f x a a x =+--,故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+.①当0≤a 时,e 10x a -<,2e 10x +>.从而()0f x '<恒成立. ()f x 在R 上单调递减.②当0a >时,令()0f x '=,从而e 10x a -=,得ln x a =-.x()ln a -∞-, ln a -()ln a -+∞,()f x ′ -+()f x极小值综上,当0≤a 当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一:①确定函数()y f x =的定义域; ②求导数''()y f x =;③解不等式'()0f x ≥,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式'()0f x ≤,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.求函数的单调区间方法二:①确定函数()y f x =的定义域;②求导数''()y f x =,令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间;④确定'()f x 在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷(文)改编】已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++.(1)讨论()f x 的单调性; 【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷(文)改编】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性; 【答案】(Ⅰ)见解析; 【解析】试题分析:(Ⅰ)先求得()()()'1e 2.x f x x a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性;试题解析:(Ⅰ)()()()()()'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+(Ⅰ)设0a ≥,则当(),1x ∈-∞时,()'0f x <;当()1,x ∈+∞时,()'0f x >. 所以f (x )在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷(理)改编】已知函数()n ,nf x x x x R =-∈,其中*n ,n 2N ∈≥.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;【答案】(Ⅰ) 当n 为奇数时,()f x 在(,1)-∞-,(1,)+∞上单调递减,在(1,1)-内单调递增;当n 为偶数时,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,()f x 在(1,)+∞上单调递减.【解析】(Ⅰ)由()nf x nx x =-,可得,其中*n N ∈且2n ≥, 下面分两种情况讨论: (1)当n 为奇数时:令()0f x '=,解得1x =或1x =-,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表:所以,()f x 在(,1)-∞-,(1,)+∞上单调递减,在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时,当()0f x '>,即1x <时,函数()f x 单调递增; 当()0f x '<,即1x >时,函数()f x 单调递减.所以,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,()f x 在(1,)+∞上单调递减.【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷(理)】设函数()ea xf x x bx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+.(Ⅰ)求a ,b 的值; (Ⅱ)求()f x 的单调区间.【答案】(Ⅰ)2,e a b ==;(Ⅱ) ),(+∞-∞ 【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意求出)(x f ',根据(2)2e 2,(2)e 1f f '=+=-求a,b 的值即可; (Ⅱ)由题意判断)(x f '的符号,即判断1()1e x g x x -=-+的单调性,知g(x)>0,即)(x f '>0,由此求得f(x)的单调区间.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2()e e xf x x x -=+.由21()e(1e )xx f x x --'=-+及2e 0x ->知,)(x f '与11e x x --+同号.令1()1e x g x x -=-+,则1()1ex g x -'=-+.所以,当)1,(-∞∈x 时,0)(<'x g ,)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减; 当),1(+∞∈x 时,0)(>'x g ,)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值, 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知,0)(>'x f ,),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用,因此,有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类讨论的思想”.2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的; ⑵问题中的条件是分类给出的;⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错;另外,函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】1.【2018河南郑州一中测试题】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数,而函数()f x y x=在区间I 上是减函数,那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”,区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”,则“缓增区间”I 为 ( )A. [)1,+∞ B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1 D. 1,3⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】因()()''213131,[](1)2222f x f x x x x x x =-=-+=-',故210{ 310x x-≥-≤,解之得13x ≤≤,应选答案D.2.【2018河南南阳一中上学期第二次考试(文)】已知函数()252ln f x x x x =-+,则函数()f x 的单调递增区间是__________.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞3.【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模(文)改编】 已知函数()()222xx a x af x e +-+-=, 0a ≤(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;【答案】(Ⅰ)当0a =时, ()f x 在(),-∞+∞上为减函数;当0a <时,则()f x 在(][),,0,a -∞+∞上为减函数;在[],0a 上为增函数;【解析】(Ⅰ) ()()xa x xf x e-'=,令()1200,f x x x a =⇒==';①0a =时,则()0f x '≤(当且仅当0x =时取等号)()f x ⇒在(),-∞+∞上为减函数; ②当0a <时,则()()()(),0,0x a f x f x ∈-∞⋃+∞<⇒'⇒在(][),,0,a -∞+∞上为减函数; ()()(),00x a f x f x '∈⇒>⇒在[],0a 上为增函数;4.【2017陕西省西安市长安区第一中学4月模考(理)】已知函数()ln f x x =,()()2g x f x ax bx =++,其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系;若0a ≥,并试讨论函数()g x 的单调性;(2)设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y12()x x <,求证:2111k x x <<. 【答案】(1) 21b a =-- ,单调性见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)求导,利用导数的几何意义确定a 与b 的关系,再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性;(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系,再构造函数,利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析:(1)()()22ln g x f x ax bx x ax bx =++=++, ()12g x ax b x∴=++', 由题意得()1120g a b '=++=, 21b a ∴=--;()()()211112221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--=++=+--=>', ①当0a =时, ()()1(0)x g x x x'--=>,当1x >时, ()0g x '<, ∴函数()g x 在()1,+∞单调减;当01x <<时, ()0g x '>, ∴函数()g x 在()0,1单调增;④当12a >时.即112a<, ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>, ∴函数()g x 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调减区间;函数()g x 在()1,+∞和10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增;(2)由题设210x x >>,21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-< 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>,则()111(1)x h x x x x-'=-=>, 1x ∴>时, ()0h x '<, ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数,而()10h =, 1x ∴>时, ()()10h x h <=210x x >>, 211x x ∴>, 222111ln 10x x x h x x x ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭,即2211ln 1x xx x <-, ②令()1ln 1(1)H x x x x =+->,则()22111(1)x H x x x x x-=-=>', 1x ∴>时, ()0H x '>, ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数, 1x ∴>时, ()()10H x H >=, 2221111ln 10x x H x x x x ⎛⎫∴=+->⎪⎝⎭, 即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<. 5.【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试(理)】已知函数()244ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中常数0k >.(Ⅰ)讨论()f x 在()0,2上的单调性; 【答案】(Ⅰ)见解析;【解析】试题分析:(1)求导数,对k 分类讨论,利用导数的正负,即可得到()f x 在区间()0,2上的单调性;试题解析:(Ⅰ)由已知得, ()f x 的定义域为()0,∞+,且()()222244444(0)x k x x k x k k k k f x k x x x x ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭='=-=->, ①当02k <<时,40k k >>,且42k>, 所以()0,x k ∈时, ()0f x '<; (),2x k ∈时, ()0f x '>. 所以,函数()f x 在()0,k 上是减函数,在(),2k 上是增函数; ②当2k =时,42k k==, ()0f x '<在区间()0,2内恒成立, 所以()f x 在()0,2上是减函数; ③当2k >时, 4402,k k k<, 所以40,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0f x '<; 4,2x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0f x '>所以函数在40,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,在4,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数. 6.函数.(Ⅰ)讨论的单调性;【答案】(Ⅰ)当时, 时,单调递减;当时,单调递增;当时, 时,单调递增;当时, 单调递减;【解析】试题分析:(1)求出()'f x , 讨论两种情况分别令()'0f x >可得增区间,()'0f x <可得得减区间;7.【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学(文科)】已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈.(Ⅰ)若0a <,讨论()f x 的单调性; 【答案】(Ⅰ)当12a =-时, ()f x 的减区间是()0,+∞,无增区间,当102a -<<时, ()f x 的增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭,减区间是()10,1,,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,当12a <-时, ()f x 的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭,减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.【解析】(Ⅰ)()f x的定义域为()0,+∞,当0a<时,()()()221211212ax a xf x ax ax x+--=+--='()()()1212112a x xax x ax x⎛⎫+-⎪+-⎝⎭==,(ⅲ)若112a-<,即12a<-,1,12xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0f x'>,()f x是增函数,10,2xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0f x'<,()f x是减函数,()1,x∈+∞时,()0f x'<,()f x是减函数;综上可得,当12a=-时,()f x的减区间是()0,+∞,无增区间,当12a-<<时,()f x的增区间是11,2a⎛⎫-⎪⎝⎭,减区间是()10,1,,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,当12a<-时,()f x的增区间是1,12a⎛⎫-⎪⎝⎭,减区间是()10,,1,2a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.8.【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题(文)】已知函数()11lnf x m x xm x⎛⎫=++-⎪⎝⎭,其中常数0m>.(1)当2m =时,求()f x 的极大值; (2)试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性. 【答案】(1)()532ln222f=-;(2)当01m <<时, ()f x 在()0,m 上单调递减,在(),1m 上单调递增;当1m =时, ()f x 在()0,1上单调递减;当1m >时, ()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【解析】试题分析:(1)借助题设条件将2m =代入函数解析式可得()51ln 2f x x x x =+-,进而求导,运用导数与函数的单调性之间的关系求解;(2)先对函数()11ln f x m x x m x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求导,再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间:(2)()()()2211110,0x m x m m m f x x m x x x⎛⎫--+⎪⎝⎭=->'--=>, 当01m <<时, ()f x 在()0,m 上单调递减,在(),1m 上单调递增; 当1m =时, ()f x 在()0,1上单调递减;当1m >时, ()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 9.【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题(文)】已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; 【答案】(Ⅰ)见解析;【解析】试题分析:(Ⅰ)求出()f x 的定义域为()0,+∞,求导数,若0a ≤,若0a >,判断导函数的符号,然后推出函数的单调性;试题解析:(Ⅰ) ()f x 的定义域为()0,+∞,求导数,得()()()()211'1x a x a x x a a f x x a x x x+--+-=+--==.若0a ≤,则()'0f x >,此时()f x 在()0,+∞上单调递增,若0a >,则由()'0f x =,得x a =.当0x a <<时, ()'0f x <;但x a >时, ()'0f x >,此时()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增.10.【2017河北省唐山市三模(理)改编】已知函数()()2ln 1f x x ax =++, 0a >.(1)讨论函数()f x 的单调性; 【答案】(Ⅰ)见解析【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得()2221'1ax ax f x x ++=+, 分0∆<, 0∆=, 0∆>,三种情况讨论可得单调区间.试题解析:(Ⅰ) ()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++, 1x >-, 令()2221g x ax ax =++, ()24842a a a a ∆=-=-,若0∆<,即02a <<,则()0g x >,当()1,x ∈-+∞时, ()'0f x >, ()f x 单调递增,若0∆=,即2a =,则()0g x ≥,仅当12x =-时,等号成立, 当()1,x ∈-+∞时, ()'0f x ≥, ()f x 单调递增. 若0∆>,即2a >,则()g x 有两个零点1x =,2x =由()()1010g g -==>, 102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<, 当()11,x x ∈-时, ()0g x >, ()'0f x >, ()f x 单调递增; 当()12,x x x ∈时, ()0g x <, ()'0f x <, ()f x 单调递减; 当()2,x x ∈+∞时, ()0g x >, ()'0f x >, ()f x 单调递增. 综上所述,当02a <≤时, ()f x 在()1,-+∞上单调递增;当2a >时, ()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. 11.【2018河北省武邑中学第一次月考(理)改编】已知函数()e xf x ax =-(R a ∈,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数()f x 的单调性; 【答案】(1)见解析【解析】试题分析:(1)求函数的导数()x f x e a '=- 通过0a ≤和0a > 两种情况分类讨论,分别判断函数的单调性.12.【2018湖南省岳阳市一中第一次月考(理)改编】已知函数()()()21ln 102f x a x a x x a =-++->. (1)讨论()f x 的单调性;【答案】(1) 当1a =时, ()f x 在()0,+∞上单调递减;当01a <<, ()f x 的单调递增区间为(),1a ;单调递减区间是()0a ,和()1,+∞;当1a >, ()f x 的单调递增区间为()1,a ,单调递减区间是()01,和(),a +∞;【解析】试题分析:(1)求出()f x 的导数,通过1,01,1a a a =<的讨论,分别令()'0f x >得增区间, ()'0f x <得减区间;试题解析:(1)()()()()2111x a x a x a x af x a x x x x-++---+=-++-==',()()()()11x a x af x a x x x---=++-=-', ①当1a =时, ()()()10x a x f x x---'=≤,∴()f x 在()0,+∞上单调递减;②当01a <<,由()0f x '>解得1a x <<,∴()f x 的单调递增区间为(),1a , 单调递减区间是()0a ,和()1,+∞;③当1a >,同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ,单调递减区间是()01,和(),a +∞.。
2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像(1)一次函数;(2)二次函数;(3)反比例函数;(4)指数函数;(5)对数函数;(6)三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域;②化简解析式;③考察性质:奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性;④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点;⑤特殊线(对称轴、渐近线等).2.图像的变换 (1)平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的; ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的; ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的; ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的; (2)对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称; 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称;函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称; ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称,则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-(实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ,即()()2a x a x a -++=为常数);若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称,则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变,将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的(如图(a )和图(b ))所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变,并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数(如图(c )所示).注:()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像,做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形,然后擦去x 轴下方的图像得到;而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像,擦去y 轴左方的图像,然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.(3)伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像,可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像,可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立,则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上,则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+,对任意∈x R 恒成立,则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ,中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一:由解析式选图(识图) 题型二:由图象选表达式 题型三:表达式含参数的图象问题 题型四:函数图象应用题 题型五:函数图像的综合应用【典例例题】题型一:由解析式选图(识图)例1.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数,排除A ,B ,又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭,排除C ,即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ,又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++,所以()f x 不是奇函数,排除A ,B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++,所以排除C.故选:D.例2.(2022·陕西·汉台中学模拟预测(理))函数2ln x y x=的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性,排除A 、B 选项;结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性,排除D 选项,即可求解. 【详解】由题意,函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞,关于原点对称,且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-, 所以函数()f x 为偶函数,其图象关于y 轴对称,排除B 选项;当1x >时,可得()2ln x f x x =,则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==,当x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减;排除A 选项当)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以排除D 选项,选项C 符合. 故选:C.例3.(2022·天津·二模)函数sin exx xy =的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =,该函数的定义域为R ,()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===, 所以,函数sin exx xy =为偶函数,排除AB 选项, 当0πx <<时,sin 0x >,则sin 0exx xy =>,排除C 选项. 故选:D.例4.(2022·全国·模拟预测)已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为( )A .B .C .D .【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项,再根据()0,x π∈时,函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数,sin y x =也是奇函数,则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数,故排除选项B ,C ;因为)lnln y x ⎛⎫==,当0x >1x >恒成立,所以ln 0⎛⎫<恒成立, 且当()0,x π∈时,sin 0x >,所以当()0,x π∈时,()0f x <,故选项A 正确,选项D 错误, 故选:A .例5.(2022·全国·模拟预测)函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解. 【详解】由()0f x =得0x =或2,故排除选项A ;当x →+∞时,函数值无限靠近x 轴,但与x 轴不相交,只有选项B 满足.例6.(2022·河北·模拟预测)函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为( ) A . B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称, ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=, ∴()f x 为偶函数,函数的图象关于y 轴对称,则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=, ∴排除选项D , 故选:A .【方法技巧与总结】利用函数的性质(如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)排除错误选项,从而筛选出正确答案题型二:由图象选表达式例7.(2022·全国·模拟预测)已知y 关于x 的函数图象如图所示,则实数x ,y 满足的关系式可以为( )A .311log 0x y --=B .321xx y-=C .120x y --=D .ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭,结合图像变换,可判断A;取特殊值验证,可判断B;作出函数12x y -=的图象,可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质,可判断D.【详解】 由311log 0x y --=,得31log 1x y=-, 所以3log 1y x -=-,即3log 1y x =--, 化为指数式,得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭,其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的, 即为题中所给图象,所以选项A 正确;对于选项B ,取1x =-,则由()31121y---=,得21y =>,与已知图象不符,所以选项B 错误; 由120x y --=,得12x y -=,其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的,如图:与题中所给的图象不符,所以选项C 错误;由ln 1x y =-,得ln 1y x =+,该函数为偶函数,图象关于y 轴对称, 显然与题中图象不符,所以选项D 错误, 故选:A.例8.(2022·江西赣州·二模(理))已知函数()f x 的图象的一部分如下左图,则如下右图的函数图象所对应的函数解析式( )A .(21)y f x =-B .412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C .(12)y f x =-D .142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变,横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变,横坐标变为原来的一半 故选:C.例9.(2022·浙江·模拟预测)已知函数()f x 的大致图象如图所示,则函数()y f x =的解析式可以是( )A .()()2211--=xxex y eB .()21sin -=xxex y eC .()()2211-+=xxex y eD .()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象,可知函数为偶函数,排除A ,D ,根据C 项函数没有零点,排除C 项,最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象,可知函数为偶函数,排除A ,D ;对于C ,当0x >时,22110,2-+>≥x xe x e x ,函数显然不存在零点,排除C . 故选:B .例10.(2022·全国·模拟预测)已知函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可能为( )A .()sin πf x x x =B .()()1πsin f x x x =-C .()()sin π1f x x x =+D .()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性,结合AC 的奇偶性可排除AC ,根据已知图象f (0)=0可排除D ,从而正确可得B 为正确选项. 【详解】对于A ,()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==,故()sin πf x x x =为偶函数,图象应该关于y 轴对称,与已知图象不符;对于C ,()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数,故排除AC ; 对于D ,()01f =-,与已知图象不符,故排除D .对于B ,()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=,故f (x )关于x =1对称,f (0)=0,均与已知图象符合,故B 正确. 故选:B .例11.(2022·河北沧州·模拟预测)下列图象对应的函数解析式正确的是( )A .()cos f x x x =B .()sin f x x x =C .()sin cos f x x x x =+D .()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知,函数()f x 的图象关于原点中心对称,所以函数()f x 为奇函数,且()02f π>,对选项B 、C :由函数()f x 为偶函数即可判断,对选项A :函数()f x 为奇函数,但()cos 0222f πππ==即可判断;对选项D :函数()f x 为奇函数,且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解:由图可知,函数()f x 的图象关于原点中心对称,所以函数()f x 为奇函数,且()02f π>,对A :因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,所以函数()f x 为奇函数,但()cos 0222f πππ==,故选项A 错误;对B :因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==,所以函数()f x 为偶函数,故选项B 错误;对C :因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=,所以函数()f x 为偶函数,故选项C 错误; 对D :因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-,所以函数()f x 为奇函数,且()cos sin 102222f ππππ=+=>,符合题意,故选项D 正确. 故选:D.例12.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数()sin f x x =,()e e x x g x -=+,下图可能是下列哪个函数的图象( )A .()()2f x g x +-B .()()2f x g x -+C .()()⋅f x g xD .()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质,结合每个选项中函数的性质,即可判断和选择. 【详解】由图可知,图象对应函数为奇函数,且()011f <<; 显然,A B 对应的函数都不是奇函数,故排除;对C :()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+,其为奇函数,且当1x =时,11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭,故错误;对D :y =()()f xg x sin e e x xx-=+,其为奇函数,且当1x =时,sin110112e e<<<+,故正确. 故选:D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置;2.从奇偶性判断对称性;3.从周期性判断循环往复;4.从单调性判断变化趋势;5.从特征点排除错误选项.题型三:表达式含参数的图象问题(多选题)例13.(2022·全国·高三专题练习)函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为( ) A . B .C .D .【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下,()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时,22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++;当0,0a c >>时,()f x 定义域为R 且为奇函数,在(0,)+∞上()0f x >,在上递增,在)+∞上递减,A 可能;当0,0a c <<时,()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数,在上()0f x >且递增,在)+∞上()0f x <且递增,B 可能;当0,0,0a b c =≠<时,22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠,此时()f x 为偶函数,若0b >时,在(上()0f x <(注意(0)0f <),在(,)-∞+∞上()0f x >,则C 不可能;若0b <时,在(上()0f x >,在(,)-∞+∞上()0f x <,则D 可能; 故选:ABD(多选题)例14.(2022·福建·莆田二中高三开学考试)函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是( )A .B .C .D .【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性,可排除D 选项,然后对a 的取值进行分类讨论,比如0a =,可判断A 可能,再对a 分大于零和小于零的情况讨论,结合求导数判断函数单调性,即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数, 图象关于y 轴对称,所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数,只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时,函数2||11()||x f x x x x===,所以A 可能; ②当0a >时,2()xf x x a =+,()222()a x f x x a '-=+,所以()f x 在单调递增,在)+∞单调递减,所以C 可能; ③当0a <时,2()x f x x a =+,()222()0a x f x x a -'=<+,所以()f x 在单调递减,在)+∞单调递减,所以B 不可能; 故选:AC.(多选题)例15.(2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习)已知()2xf x x a=-的图像可能是( )A .B .C .D .【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域,据此判断图像即可. 【详解】 若a =0,则f (x )=1x,图像为C ;若a >0,则f (x )定义域为{x |x ,f (0)=0,f (-x )=-f (x ),f (x )为奇函数,x ∈(-∞,时,f (x )<0,x ∈(0)时,f (x )>0,x ∈(0,f (x )<0,x ∈+∞)时,f (x )>0,又x ≠0时,f (x )=1a x x-,函数y =x -ax 在(-∞,0)和(0,+∞)均单调递增,∴f (x )在(-∞,(0),(0,∞)均单调递减,综上f (x )图像如A 选项所示; 若a <0,则f (x )定义域为R ,f (x )为奇函数,f (0)=0, 当x >0时,f (x )>0,当x <0时,f (x )<0,当x ≠0时,f (x )=1a x x-+,函数y =x +ax-时双勾函数,x ∈((),时,y 均单调递减,x ∈)(,,+∞-∞时,y 均单调递增,∴f (x )在((),单调递增,在)(,,+∞-∞单调递减,结合以上性质,可知B 图像符合.故选:ABC.(多选题)例16.(2022·湖北武汉·高一期末)设0a >,函数21axx y e ++=的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>,得到抛物线的开口向上,对称轴的方程为12x a=-,再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论,结合复合函数的单调性,即可求解. 【详解】由题意,函数21axx y e ++=,令()21,0g x ax x a =++>,可得抛物线的开口向上,对称轴的方程为102x a=-<, 当140a ∆=-=时,即14a =时,可得()21104g x x x =++≥, 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减,在1[,)2a-+∞上单调递增,且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减,在1[,)2a -+∞上递增,且(2)1g e -=; 当140a ∆=-<时,即14a >时,可得()0g x >, 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减,在1[,)2a-+∞上单调递增, 由复合函数的单调性,可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减,在1[,)2a-+∞上递增,且1y >, 此时选项B 符合题意; 当当140a ∆=->时,即104a <<时,此时函数()21g x ax x =++有两个零点, 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<,此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减,在1[,)2a-+∞上单调递增, 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减,在121[,],[,)2x x a -+∞上递增,且12()()0g x g x ==,则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减,在121[,],[,)2x x a -+∞上递增,且12()()1g x g x e e ==,此时选项D 符合题意.综上可得,函数的图象可能是选项BD. 故选:BD.(多选题)例17.(2022·广东东莞·高一期末)已知函数()af x x x=+()a R ∈,则其图像可能为( ) A . B .C .D .【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =,0a >,0a <讨论a 的取值范围,利用排除法解决. 【详解】 0a =,()(0)af x x x x x=+=≠,定义域需要挖去一个点,不是完整的直线,A 选项错误;0a <时,y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增,ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增,两个增函数相加还是增函数,即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增,故D 选项错误,C 选项正确.;0a >时,由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选:BC.(多选题)例18.(2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习)在同一直角坐标系中,函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值,再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意,当1a >时,函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方,排除B ,C ,而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩,因此,()f x 在(,0)-∞上递减,且x <0时,0<f (x )<1,D 不满足,A 满足; 当01a <<时,函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方,点(0,1)下方,排除A ,D ,而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩,因此,f (x )在(0,)+∞上递增,且x >0时,0<f (x )<1,B 不满足,C 满足, 所以给定函数的图象可能是AC. 故选:AC(多选题)例19.(2021·河北·高三阶段练习)函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论,利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时,()01f =,令21y x =+,易知,其在(),0-∞上为减函数,()0,∞+上为增函数,所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数,在()0,∞+上为减函数,故D 正确; 当0a <时,()01f =,()()2'2221ax x afx x--+=+,令22y ax x a =--+,当0x <且0x →时,0y <,当0x >且0x →时,0y <,所以()'0f x <,故A 正确;当0a >时,()01f =,()()2'2221ax x afx x--+=+,令22y ax x a =--+,当0x <且0x →时,0y >,当0x >且0x →时,0y >,所以()'0f x >,故B 正确;综上,()f x 的图象不可能为C. 故选:ABD.(多选题)例20.(2022·全国·高三专题练习)已知()x x f x e ke -=+(k 为常数),那么函数()f x 的图象不可能是( )A .B .C .D .【答案】AD【解析】 【分析】根据选项,四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当1k =时,()x x f x e e -=+为偶函数,当1k =-时,()x x f x e e -=-为奇函数,再根据单调性进行分析得出答案.【详解】由选项的四个图象可知,备选函数都具有奇偶性. 当1k =时,()x x f x e e -=+为偶函数,当0x ≥时,1x t e =≥且单调递增,而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增,故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增,故选项C 正确,D 错误; 当1k =-时,()x x f x e e -=-为奇函数,当0x ≥时,1x t e =≥且单调递增,而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减,故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减,故选项B 正确,A 错误. 故选:AD .【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象,其中解答中熟记指数幂的运算性质,二次函数的图象与性质,以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及分类讨论思想的应用.题型四:函数图象应用题例21.(2022·全国·高三专题练习)如图,正△ABC 的边长为2,点D 为边AB 的中点,点P 沿着边AC ,CB 运动到点B ,记∠ADP =x .函数f (x )=|PB |2﹣|P A |2,则y =f (x )的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,结合图形,分析区间(0,2π)和(2π,π)上f (x )的符号,再分析f (x )的对称性,排除BCD ,即可得答案. 【详解】根据题意,f (x )=|PB |2﹣|P A |2,∠ADP =x . 在区间(0,2π)上,P 在边AC 上,|PB |>|P A |,则f (x )>0,排除C ; 在区间(2π,π)上,P 在边BC 上,|PB |<|P A |,则f (x )<0,排除B , 又由当x 1+x 2=π时,有f (x 1)=﹣f (x 2),f (x )的图象关于点(2π,0)对称,排除D , 故选:A例22.(2022·全国·高三专题练习)匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水,则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ,高H ,利用圆锥与其轴垂直的截面性质,建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ,高H ,注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O ',水面半径AO x '=,此时水面高度PO h '=,如图:由垂直于圆锥轴的截面性质知,x h r H =,即r x h H =⋅,则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅,令水匀速注入的速度为v ,则注水时间为t 时的水的体积为V vt =,于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数,所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤,23103h t -'=>,函数图象是曲线且是上升的,随t 值的增加,函数h 值增加的幅度减小,即图象是先陡再缓, A 选项的图象与其图象大致一样,B ,C ,D 三个选项与其图象都不同. 故选:A例23.(2022·四川泸州·模拟预测(文))如图,一高为H 且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时,水流出所用时间为t ,则函数()h f t =的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可. 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数,故排除C ,D ,则一开始,h 随着时间的变化,而变化变慢,超过一半时,h 随着时间的变化,而变化变快,故对应的图象为B , 故选B . 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用,结合函数的变化规律是解决本题的关键.例24.(2021·山东济南·高三阶段练习)如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A 点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→),则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是( )A .B .C.D.【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时,与О点的直线距离保持不变,沿BO走时,随时间增加与点О的距离越来越小,沿OA走时,随时间增加与点О的距离越来越大.故选:D.例25.(2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试)如图,△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形,平面图形OBD是四分之一圆的扇形,点P在线段AB上,PQ⊥AB,且PQ交AD或交弧DB于点Q,设AP =x(0<x<2),图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y,则函数y=f(x)的大致图像是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分两段,当P点在AO之间时,当P点在OB之间时,再由二次函数的性质及增长趋势可知.【详解】当P 点在AO 之间时,f (x )12=x 2(0<x ≤1),排除B,D 当P 点在OB 之间时,y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢,故只有A 正确 故选A . 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质,考查分类讨论思想及排除法应用,属于基础题.【方法技巧与总结】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.题型五:函数图像的综合应用例26.(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-,且当[]0,1x ∈时,()e 1xf x =-,若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解,则m 的取值范围为( )A .e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B .e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C .e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D .()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点,利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-,∴函数()f x 关于直线1x =对称,又()f x 为定义在R 上的偶函数, 故函数()f x 关于直线0x =对称,作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象,要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解,则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点,∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩,即e 1e 164m --<<. 故选:B.例27.(2022·北京丰台·一模)已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值,则a 的取值范围是( )A .(,1]-∞-B .(,1)-∞-C .[1,)+∞D .(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质,作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象,利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-,可得()()233311y x x x '=-=+-,由0y '>,得1x <-或1x >,由0y '<,得11x -<<,∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增,在()1,1-上单调递减,在()1,+∞上单调递增, ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2,在1x =时有极小值2-, 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象,由图可知,当1a ≤时,函数()f x 有最小值12f ,当1a >时,函数()f x 没有最小值.故选:D.例28.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点,则m 的取值范围是( ) A .102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B .102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C .102,3⎛⎫⎪⎝⎭D .102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根,然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =,则()21y g t t mt ==++,作出函数()f x 的大致图象,如图所示,则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根, 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用数形结合,把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根,即二次方程根的分布问题,利用二次函数的性质即解.例29.(2022·甘肃省武威第一中学模拟预测(文))已知函数()221xf x =--,则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解,则实数,m n 满足( ) A .0m >且0n > B .0m <且0n > C .01m <<且0n = D .10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =,利用换元法可得20u mu n ++=,由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ,作出函数()f x 的图象,结合题意和图象可得10u =、2u m =-,进而得出结果. 【详解】令()u f x =,作出函数()u f x =的图象如下图所示:由于方程20u mu n ++=至多两个实根,设为1u u =和2u u =,由图象可知,直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0、2、3、4,由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解,则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =,则0n =,则方程20u mu +=的另一根为2u m =-,直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4,则10m -<-<,解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选:C.例30.(2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩,若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,则实数m 的取值范围为( ) A .1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置,结合函数的单调性以及图像特征,即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31.(2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中(理))已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩,若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点,则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点,求出直线与1()11f x x =--相切时的k ,进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点, 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根,画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像,以及()1y k x =-,则两函数的图象有4个公共点.其中直线()1y k x =-经过定点(1,0),斜率为k当直线与()f x 相切时,联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩,22(12)40k k ∆=--=,可求出14k =,由图可知,当104x <<时,方程()()1f x k x =-有4个交点,故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛:根据函数零点个数求参数取值范围的注意点:(1)结合题意构造合适的函数,将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理; (2)在同一坐标系中正确画出两函数的图象,借助图象的直观性进行求解;(3)求解中要注意两函数图象的相对位置,同时也要注意图中的特殊点,如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等.例32.(2022·贵州遵义·高三开学考试(文))已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点,则m 的取值范围是________.【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点,利用导数求得函数()g x 的极值,画出函数()g x 的图象,结合图象,即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,根据题意函数()f x 恰有3个零点,即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点,当12x ≥时,可得2()(3ln 1)g x x x '=+,令()0g x '=,得131e 2x -=>,当131[,e )2x -∈时,函数()g x 单调递减;当13(e ,)x -∈+∞时,函数()g x 单调递增,所以当13e x -=时,函数()g x 取得极小值,极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又由11()ln 2028g =-<,作出()g x 的图象,如图所示,由图可知,实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦.例33.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g (x )=2log x ,则函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数是________. 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题,作出图象,数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中,作出()y g x =与()y f x =的图象如图,由()()()0h x f x g x =-=可得,()()f x g x =,即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标, 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点,即()h x 有3个零点. 故答案为:3例34.(2022·全国·高三专题练习(理))如图,在等边三角形ABC 中, AB =6.动点P 从点A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点,记P 运动的路程为x ,点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x ),给出下列三个结论:①函数f (x )的最大值为12;②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9; ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中,所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =,利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤, P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤, P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤,22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩,由图象可得,方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为:①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题,如利用函数的图象解决函数性质问题,函数的零点、方程根的问题,有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象,利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像,利用图像的直观性得到方程解。
高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 11 word版含答案

考点测试11 函数的图象一、基础小题1.已知函数f (x )=2x-2,则函数y =|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析 函数y =|f (x )|=⎩⎪⎨⎪⎧2x-2,x ≥1,2-2x,x <1,故y =|f (x )|在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除A 、C 、D.2.为了得到函数y =lgx +310的图象,只需把函数y =lg x 的图象上所有的点( )A .向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B .向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C .向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D .向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 y =lgx +310=lg (x +3)-1可由y =lg x 的图象向左平移3个单位长度,向下平移1个单位长度而得到.3.函数f (x )=x +|x |x的图象是( )答案 C解析 化简f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1x >0,x -1x <0,作出图象可知选C.4.已知a >0,b >0且ab =1,则函数f (x )=a x与函数g (x )=-log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵ab =1,且a >0,b >0,∴a =1b,又g (x )=-log b x =-log 1ax =log a x ,所以f (x )与g (x )的底数相同,单调性相同,且两图象关于直线y =x 对称,故选B.5.已知函数f (x )=1lnx +1-x,则y =f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当x =1时,y =1ln 2-1<0,排除A ;当x =0时,y 不存在,排除D ;当x 从负方向无限趋近0时,y 趋向于-∞,排除C ,选B.6.若函数f (x )=(k -1)a x-a -x(a >0,且a ≠1)在R 上既是奇函数,又是减函数,则g (x )=log a (x +k )的图象是( )答案 A解析 由函数f (x )=(k -1)a x-a -x(a >0,且a ≠1)在R 上是奇函数,得k =2,又f (x )是减函数,得0<a <1,则g (x )=log a (x +k )=log a (x +2),定义域是(-2,+∞),且单调递减,故图象是A.7.已知函数y =f (x )(-2≤x ≤2)的图象如图所示,则函数y =f (|x |)(-2≤x ≤2)的图象是( )答案 B解析 解法一:由题意可得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-12x -1,-2≤x <0,-x -12+1,0≤x ≤2,所以y =f (|x |)=⎩⎪⎨⎪⎧-x +12+1,-2≤x <0,-x -12+1,0≤x ≤2,可知选B.解法二:由函数f (x )的图象可知,函数在y 轴右侧的图象在x 轴上方,函数在y 轴左侧的图象在x 轴下方,而y =f (|x |)在x >0时的图象保持不变,因此排除C 、D ,由于y =f (|x |)是偶函数,函数y =f (|x |)在y 轴右侧的图象与在y 轴左侧的图象关于y 轴对称,故选B.8.若对任意的x ∈R ,y =1-a |x |均有意义,则函数y =log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )答案 B解析 由题意得1-a |x |≥0,即a |x |≤1=a 0恒成立,由于|x |≥0,故0<a <1.y =log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x=-log a |x |是偶函数,且在(0,+∞)上是单调递增函数,故选B.9.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b x ≤0,log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +19x >0的图象如图所示,则a +b +c =( )A .43B .73C .4D .133答案 D解析 由题图知,可将点(0,2)代入y =log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +19,得2=log c19,解得c =13.再将点(0,2)和(-1,0)分别代入y =ax +b ,解得a =2,b =2,∴a +b +c =133,选D.10.如图,虚线是四个象限的角平分线,实线是函数y =f (x )的部分图象,则f (x )可能是( )A .x sin xB .x cos xC .x 2cos x D .x 2sin x答案 A解析 由题图知f (x )是偶函数,排除B 、D.当x ≥0时,-x ≤f (x )≤x .故选A. 11.把函数f (x )=(x -2)2+2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数解析式是________.答案 y =(x -1)2+3解析 把函数f (x )=(x -2)2+2的图象向左平移1个单位,得y =2+2=(x -1)2+2,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数解析式为y =(x -1)2+2+1=(x -1)2+3.12.已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=log2f (x )的定义域是________.答案(2,8]f(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0解析当f(x)>0时,函数g(x)=log2的x∈(2,8].二、高考小题13.函数y=2x2-e|x|在的图象大致为( )答案 D解析当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x.f′(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时,f′(x)<0;当x0<x≤2时,f′(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.14.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D .{x |-1<x ≤2} 答案 C解析 作出函数y =log 2(x +1)的图象,如图所示:其中函数f (x )与y =log 2(x +1)的图象的交点为D (1,1),结合图象可知f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1},故选C.15.函数f (x )=ax +bx +c 2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a >0,b >0,c <0B .a <0,b >0,c >0C .a <0,b >0,c <0D .a <0,b <0,c <0答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠-c },由题中图象可知-c =x P >0,即c <0,排除B ;令f (x )=0,可得x =-b a ,则x N =-b a ,又x N >0,则b a<0,所以a ,b 异号,排除A ,D.故选C.16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-|x |,x ≤2,x -22,x >2,函数g (x )=b -f (2-x ),其中b ∈R ,若函数y =f (x )-g (x )恰有4个零点,则b 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫74,+∞B .⎝⎛⎭⎪⎫-∞,74 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,74 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫74,2答案 D解析 记h (x )=-f (2-x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图,直线AB :y=x -4,当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +b ′,y =x -22,解得b ′=-94,-94-(-4)=74,所以曲线h (x )向上平移74个单位后,所得图象与f (x )的图象有四个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当74<b <2时,f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点,即y =f (x )-g (x )恰有4个零点.选D.17.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =x +1x与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑mi =1(x i +y i )=( )A .0B .mC .2mD .4m答案 B解析 由f (-x )=2-f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称,又易知y =x +1x =1+1x的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x 1+x m =x 2+x m -1=…=0,y 1+y m =y 2+y m -1=…=2,∴∑mi =1(x i +y i )=0×m 2+2×m2=m .故选B.18.如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x .将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA +PB =1+5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB ,则x =π2,易求得PA +PB =2PA =2 2.显然1+5>22,故当x =π2时,f (x )没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π4时,f (x )=tan x +4+tan 2x ,不是一次函数,排除A ,故选B.三、模拟小题19.已知函数f (x )=4-x 2,函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数,当x >0时,g (x )=log 2x ,则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )答案 D解析 因为函数f (x )=4-x 2为偶函数,g (x )是奇函数,所以函数f (x )·g (x )为奇函数,其图象关于原点对称,排除A 、B.又当x >0时,g (x )=log 2x ,当x >1时,g (x )>0,当0<x <1时,g (x )<0;f (x )=4-x 2,当x >2时,f (x )<0,当0<x <2时,f (x )>0,所以C 错误,故选D.20.已知f (x )=ax -2,g (x )=log a |x |(a >0且a ≠1),若f (4)g (-4)<0,则y =f (x ),y=g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )答案 B 解析 ∵f (x )=ax -2>0恒成立,又f (4)g (-4)<0,所以g (-4)=log a |-4|=log a 4<0=log a 1,∴0<a <1.故函数y =f (x )在R 上单调递减,且过点(2,1),函数y =g (x )在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B 正确.21.已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( )A .f (x )=ln |x |xB .f (x )=e xxC .f (x )=1x2-1D .f (x )=x -1x答案 A解析 由函数图象可知,函数f (x )为奇函数,应排除B 、C.若函数为f (x )=x -1x,则x →+∞时,f (x )→+∞,排除D ,故选A.22.若函数y =f (x )的图象过点(1,1),则函数y =f (4-x )的图象一定经过点________. 答案 (3,1)解析 由于函数y =f (4-x )的图象可以看作y =f (x )的图象先关于y 轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y 轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度,可推出函数y =f (4-x )的图象过定点(3,1).23.设函数y =f (x )的图象与函数y =2x +a的图象关于直线y =-x +1对称,且f (-3)+f (-7)=1,则实数a 的值是________.答案 2解析 设函数y =f (x )的图象上任意一点的坐标为(x ,y ),其关于直线y =-x +1对称的点的坐标为(m ,n ),则点(m ,n )在函数y =2x +a的图象上,由⎩⎪⎨⎪⎧y +n 2=-x +m2+1,y -nx -m =1,得m =1-y ,n =1-x ,代入y =2x +a得1-x =21-y +a,即y =-log 2(1-x )+a +1,即函数y=f (x )=-log 2(1-x )+a +1,又f (-3)+f (-7)=1,所以-log 24+a +1-log 28+a +1=1,解得a =2.24.已知函数y =|x 2-1|x -1的图象与函数y =kx -2的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.答案 (0,1)∪(1,4)解析 y =⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤-1或x >1,-x -1,-1<x <1,函数y =kx -2恒过定点M (0,-2),k MA =0,k MB =4.当k =1时,直线y =kx -2在x >1时与直线y =x +1平行,此时有一个公共点,∴k ∈(0,1)∪(1,4),两函数图象恰有两个交点.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈2,5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象;(2)写出f (x )的单调递增区间;(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值.解 (1)函数f (x )的图象如图所示. (2)由图象可知,函数f (x )的单调递增区间为,.(3)由图象知当x =2时,f (x )min =f (2)=-1, 当x =0时,f (x )max =f (0)=3.2.已知函数f (x )=x |m -x |(x ∈R ),且f (4)=0. (1)求实数m 的值;(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集;(5)求集合M ={m |使方程f (x )=m 有三个不相等的实根}. 解 (1)∵f (4)=0,∴4|m -4|=0,即m =4.(2)∵f (x )=x |m -x |=x |4-x |=⎩⎪⎨⎪⎧x x -4,x ≥4,-x x -4,x <4.∴函数f (x )的图象如图:由图象知f (x )有两个零点.(3)从图象上观察可知:f (x )的单调递减区间为.(4)从图象上观察可知:不等式f (x )>0的解集为:{x |0<x <4或x >4}.(5)由图象可知若y =f (x )与y =m 的图象有三个不同的交点,则0<m <4,∴集合M ={m |0<m <4}.3.已知函数f (x )=|x 2-4x +3|.若关于x 的方程f (x )-a =x 至少有三个不相等的实数根,求实数a 的取值范围.解 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -22-1,x ∈-∞,1]∪[3,+∞,-x -22+1,x ∈1,3.作出图象如图所示.原方程变形为|x 2-4x +3|=x +a .于是,设y =x +a ,在同一坐标系下再作出y =x +a 的图象.如图.则当直线y =x +a 过点(1,0)时,a =-1;当直线y =x +a 与抛物线y =-x 2+4x -3相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +a ,y =-x 2+4x -3⇒x 2-3x +a +3=0.由Δ=9-4(3+a )=0,得a =-34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-34时方程至少有三个不等实根. 4.设函数f (x )=x +1x(x ∈(-∞,0)∪(0,+∞))的图象为C 1,C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2,C 2对应的函数为g (x ).(1)求函数y =g (x )的解析式,并确定其定义域;(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点,求b 的值,并求出交点的坐标. 解 (1)设P (u ,v )是y =x +1x上任意一点,∴v =u +1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ,y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧u +x =4,v +y =2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u =4-x ,v =2-y .代入①得2-y =4-x +14-x ,y =x -2+1x -4,∴g (x )=x -2+1x -4(x ∈(-∞,4)∪(4,+∞)). (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =b ,y =x -2+1x -4⇒x 2-(b +6)x +4b +9=0,∴Δ=(b +6)2-4×(4b +9)=b 2-4b =0,b =0或b =4. ∴当b =0时,得交点(3,0);当b =4时,得交点(5,4).。
考点11 反比例函数(精练)(原卷版)
考点11.反比例函数(精练)限时检测1:最新各地模拟试题(60分钟)A .①②2.(2023·河南信阳·统考一模)....(2023·河南南阳·统考二模)已知双曲线ky x=经过点()1,2-,则下面说法错误的是().该双曲线的解析式为2xB .点)2在该双曲线上.该双曲线在第二、四象限D .当0时,y 随x 增大而减小(2024.湖北校考模拟预测)如图,取一根长100cm 的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来,()25cm 25cm L =处挂一个重()19.8N 9.8N F =的物体,在中点O 的右侧用一个弹A .B .C ..5.(2023·湖北武汉·统考二模)已知()11,A x y ,()22B x ,()33,C x y ,为双曲线6x =-上的三个点,且23x x <<,则以下判断正确的是().若120x x >,则23y y >B .若20x <,则130y y <A .2B .2m -8.(2023·浙江台州·统考一模)若反比例函数A .2k ≤-B .k ≤-9.(2023年湖南省张家界市中考数学真题)如图,矩形A.2B.310.(2023·江苏南通·校考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点一和第三象限的两支上,连接AB点C落在第四象限中,且BC∥A.2B.311.(2023·北京丰台·二模)在平面直角坐标系所示,k的值可以是.(写出一个即可)12.(2023·山东青岛·统考二模)室内每立方米空气中的含药量13.(2023·四川成都·校考三模)在平面直角坐标系的值都随x 值的增大而增大,则14.(2023·江苏扬州·统考二模)如图,反比例函数15.(2023·湖北随州·统考模拟预测)(4m >,0x >)上,若AC 16.(2022·福建三明·统考模拟预测)反比例函数如图所示,点M 在22y x =的图象上,的图象于点B ,当点M 在2y =ODB OCA S S = ①;②四边形OAMB ④若ODB OCA OAMB S S S =+ 四边形,则四边形17.(2023·广东东莞·校联考一模)已知反比例函数()2,A b 和()6,B n 两点.(1)求k 时,函数值y 的取值范围;(3)18.(2023·山西阳泉·校联考模拟预测)阅读与思考下面是小宇同学的一篇数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.今天是2023年5月8日(星期一)功率P 与电阻R 函数关系的数学活动第一步,我们根据物理知识P UI =功率.第二步,通过换用不同定值电阻,使电路中的总电阻成整数倍的变化.第三步,计算收集数据如下:/R Ω (5101520)(4)请直接写出:若想P大于30W,R的取值范围.(1)求n和k的值;(2)点C是双曲线上介于点(3)过C点作DE OA∥,交x轴于点的等腰直角三角形?若存在,请求出点21.(2023·广东深圳·校考模拟预测)阅读材料:“三等分角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道,思考问题:(1)设1,P a a ⎛⎫⎪⎝⎭,1,R b b⎛⎫⎪⎝⎭,求直线OM 的函数解析式(用含a ,b 的代数式表示),并说明线OM 上;(2)证明:13MOB AOB ∠=∠.(3)如图2,若直线y x =与反比例函数()40y x x=≠交于点比例函数()40y x x=≠第一象限上的一个动点,使得30COD ∠=︒.求用材料中的方法求出满足条件标.限时检测2:最新各地中考真题(60分钟).B ...(2023年浙江省宁波市中考数学真题)如图,一次函数(111y k x b k =+>的图像与反比例函数()220k k x=>的图像相交于A B ,两点,点A 的横坐标为1,点B 的横坐标为2,当12y y <时,x 的取值范围是()A .<2x -或1x >B .5.(2023年内蒙古通辽市中考数学真题)已知点120x x <<,则下列结论一定正确的是(A .120y y +<B .A.3B.328.(2023年江苏省淮安市中考数学真题)轴、y轴交于A B、两点,且与反比例函数y则k的值是().A.3B.239.(2023年江苏省宿迁市中考数学真题)如图,直线、、、.若四边形ABCD的面积为A B C DA .34B .2210.(2023年浙江省湖州市中考数学真题)已知在平面直角坐标系中,正比例函数反比例函数()220k y k x=>的图象的两个交点中,数1y k x =的图象上(0t ≠且t ≠积为负数时,t 的取值范围是(A .37t -<<-或11t <<B .13.(2023年山东省日照市中考数学真题)已知反比例函数7y x b =-+的图象共有两个交点,14.(2023年河北省中考数学真题)如图,15.(2023年四川省攀枝花市中考数学真题)如图,在直角顺时针旋转105︒至A B ''△为.16.(2023年湖南省益阳市中考数学真题)我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道:将一次函数2y x =的图象向上平移1个单位得到y ()221y x =++的图象.若将反比例函数数表达式是.17.(2023年浙江省杭州市中考数学真题)在直角坐标系中,已知()2225y k x =-+的图象交于点A (1)求12,k k 的值.(2)过点A 作y 轴的垂线,过点B 作y 轴的垂线,在第四象限交于点20.(2023年山东省济南市中考数学真题)综合与实践如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8mm a.栏围住,木栏总长为2【问题提出】小组同学提出这样一个问题:若(1)根据小颖的分析思路,完成上面的填空.【类比探究】(2)若6a =,能否围出矩形地块?请仿照小颖的方法,在图由.【问题延伸】当木栏总长为m a 时,小颖建立了一次函数直线2y x =-通过平移得到的,在平移过程中,当过点(2,的图象有唯一交点.(3)请在图2中画出直线2y x a =-+【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题象限内交点的存在问题”.)若要围出满足条件的矩形地块,且AB 和BC 的长均不小于。
考点11 二次函数的图象性质及相关考点【无答案】
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多,出题最多,难度最大的函数,一直都是各地中考数学中最重要的考点。
而对于二次函数图象和性质的考察,也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
出题形式虽然多是选择、填空题,但解答题中也时有出现,且题型变化较多,考生复习时需要熟练掌握相关知识,熟悉相关题型,认真对待该考点的复习。
一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式(组)五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式2.二次函数平移的方法:①转化成顶点式(已经是顶点式的此步忽略),②“左加右减(x),上加下减(y)”;1.把y=(2﹣3x)(6+x)变成y=ax2+bx+c的形式,二次项,一次项系数为,常数项为.2.用配方法将二次函数y=x2﹣2x﹣4化为y=a(x﹣h)2+k的形式为()A.y=(x﹣2)2﹣4B.y=(x﹣1)2﹣3C .y =(x ﹣2)2﹣5D .y =(x ﹣2)2﹣63.在平面直角坐标系中,若将抛物线y =2x 2+1先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是( ) A .y =2(x ﹣3)2+3 B .y =2(x +3)2+3 C .y =2(x ﹣3)2+1D .y =2(x +3)2+24.抛物线y =2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为( ) A .(﹣3,0)B .(3,0)C .(0,﹣3)D .(0,3)5.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,3),点B 的坐标为(6,3).若抛物线y =mx 2+2mx +m +3(m 为常数,m ≠0)向右平移a (a >0)个单位长度,平移后的抛物线的顶点在线段AB 上,则a 的取值范围为 .考向二、二次函数的图象特征与最值1. 对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):对称轴:直线a bx 2-=;顶点坐标:)442(2a b ac a b --,; 开口向上 a > 二次函数有最小值ab ac 442-;开口向下 a < 二次函数有最大值ab ac 442-;2. 图象的增减性问题:抛物线的增减性问题,由a 的正负和对称轴同时确定,单一的直接说y 随x 的增大而增大(或减小)是不对的,必须附加一定的自变量x 取值范围;1.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是平面直角坐标系内两图象的存在性问题,一般先假设简单函数图象成立,再验证复杂函数是否成立, 利用排除法,得到最后答案。
2022新高考数学高频考点题型归纳11函数图像(学生版)
专题11函数图像一、关键能力1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、教学建议1.学生应掌握图象的平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等;2.函数图象的应用很广泛,研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等都离不开函数的图象,对图象的控制能力往往决定着对函数的学习效果.3.函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法. 三、自主梳理 1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y =f (x )―——————―→关于x 轴对称y =-f (x ); ②y =f (x )――——————―→关于y 轴对称y =f (-x ); ③y =f (x )―――——————→关于原点对称y =-f (-x );④y =a x (a >0且a ≠1)――——————―→关于y =x 对称y =log a x (a >0且a ≠1). ⑤y =f (x )―――——————→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y =|f (x )|. ⑥y =f (x )――——————―→保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称的图象y =f (|x |). (3)翻折变换(☆☆☆)①y =f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图,保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y =f (|x |);②y =f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y =|f (x )|.(4)伸缩变换①y =f (x ) 至 y =f (ax ).②y =f (x ) 至 y =af (x ).――——————―——————―→a >1,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变0<a <1,纵坐标缩短为原来的a 倍,横坐标不变四、高频考点+重点题型 考点一、作图例1-1(対称、翻折、分段作图)画下列函数图像 (1)y =|lg x |; (2)y =x 2-2|x |-1;例1-2.(平移作图)(1)y =2x +2; (2)y =x +2x -1.例1-3(周期、类周期函数作图)定义函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--2,)2(2121|,23|84x x f x x 则函数g (x )=xf (x )-6在区间[1,2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A .nB .2n C.34(2n -1) D.32(2n -1)对点训练1.已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤,则下列图象错误的是( )A .()y f x =的图象:B .()1y f x =-的图象:C .()y fx =的图象:D .()y f x =-的图象:对点训练2.(2019年高考全国Ⅱ卷理)设函数的定义域为R ,满足,且当时,.若对任意,都有,则m 的取值范围是A .B .C .D .考点二、识图例1-1.(由解析式选图像) 【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为 ( )()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦A BC D例2-2.(由图像选解析式)(2021·浙江高考真题)已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=,则图象为如图的函数可能是( )A .1()()4y f x g x =+- B .1()()4y f x g x =-- C .()()y f x g x = D .()()g x y f x =例2-3.(实际应用识图像)在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )例2-4(两个函数图像对比)在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+a2与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是()对点训练1.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()对点训练2.以下四个选项中的函数,其函数图象最适合如图的是()A.y=||2xexB.y=2(1)||xx exC .y =|2|xe xD .y =22xe x对点训练3.(2020·江西临川一中模拟) 广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互纠在一起,因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图,是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”,圆心分别为O ,O 1,O 2,若一动点P 从点A 出发,按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ,O ,O 1,O 2,B 五点共线),设P 的运动路程为x ,y =|O 1P |2,y 与x 的函数关系式为y =f (x ),则y =f (x )的大致图象为( )对点训练4.(2021·四川高三三模(理))函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+,则()y f x =及y g x 的图象可能为( )A .B .C .D .考点三、利用图像解不等式 例3-1(转化为两个图像的上下方)【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--,则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞例3-2(图像在x 轴的上下方)函数f (x )是定义域为(-∞,0)∈(0,+∞)的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,f (3)=0,若x ·[f (x )-f (-x )]<0,则x 的取值范围为________.对点训练1.(2021·浙江高三专题练习)若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦对点训练2.函数f (x )是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式f (x )cos x<0的解集为________.考点四、利用图像求解方程问题 例4-1.(方程根的个数)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________.例4-2.已知12,x x 是方程x2210,log 10x x x +=+=的两个根,则12x x +=对点训练1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x -1,x ≤0,f (x -1),x >0,若方程f (x )=x +a 有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,0]B .[0,1)C .(-∞,1)D .[0,+∞)对点训练2.若满足225xx +=, 满足()222log 15x x +-=, 则+=考点五、利用图像研究函数性质 例5-1.(利用图像研究单调性)1x 2x 1x 2x已知函数f (x )=x |x |-2x ,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞) B .f (x )是偶函数,递减区间是(-∞,1) C .f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1) D .f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)例5-2(利用图像研究函数最值或值域)对a ,b ∈R ,记max{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥b ,b ,a <b ,函数f (x )=max{|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值 _.对点训练1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-2x ,x ≥0,x 2-2x ,x <0,若f (3-a 2)<f (2a ),则实数a 的取值范围是_____.对点训练2.(2020·全国高三其他(文))已知函数在区间的值域为,则( ) A .2 B .4 C .6 D .8()()()22241x x f x x x ee x --=--++[]1,5-[],m M m M +=巩固训练 一、单项选择题1.函数f (x )=x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________. A. 4 B. 3 C. 2 D. 62.如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集是( ) A.{x |-1<x ≤0} B.{x |-1≤x ≤1} C.{x |-1<x ≤1} D.{x |-1<x ≤2}3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x >0,2x ,x ≤0,若关于x 的方程f (x )=k 有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是________.4.(2021·四川达州市·高三二模(理))已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1,则图2可能是下列哪个函数的部分图象( )A .(())y f g x =B .()()y f x g x =C .(())y g f x =D .()()f x yg x =5.(2018·全国高考真题(文))设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩,,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是( )A .(]1-∞-,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,6.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水,则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是( )A .B .C .D .二、多项选择题7.设f (x )的定义域为R ,给出下列四个命题其中正确的是( )A .若y =f (x )为偶函数,则y =f (x +2)的图象关于y 轴对称;B .若y =f (x +2)为偶函数,则y =f (x )的图象关于直线x =2对称;C .若f (2+x )=f (2-x ),则y =f (x )的图象关于直线x =2对称;D .若f (2-x )=f (x ),则y =f (x )的图象关于直线x =2对称.8.观察相关的函数图象,对下列命题的真假情况进行判断,其中真命题为( )A .10x =x 有实数解B .10x =x 2有实数解C .10x >x 2在x ∈(0,+∞)上恒成立D .10x =-x 有两个相异实数解.三、填空题9. 设奇函数f (x )的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如图,则不等式f (x )<0的解集是________.10.函数f (x )=⎩⎨⎧ln x (x >0),--x (x ≤0)与g (x )=|x +a |+1的图象上存在关于y 轴对称的点,则实数a 的取值范围是________.四、解答题11.已知函数f (x )=x |m -x |(x ∈R ),且f (4)=0.(1)求实数m 的值;(2)作出函数f (x )的图象;(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间;(4)若方程f (x )=a 只有一个实数根,求a 的取值范围.12.(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称;(2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值.。
中考数学复习专题11:点的坐标、函数及其概念
专题11 点的坐标、函数及其概念?解读考点
知识点名师点晴
点的坐标及坐标特征
1.平面直角坐标系会建立合适的平面直角坐标系。
2.点的坐标的概念会正确书写点的坐标。
3.各象限内点的坐标的特征会准确判断各象限内点的坐标符号。
4.坐标轴上的点的特征能区分x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
5.两条坐标轴夹角平分线上的点
的坐标的特征
知道第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标分别相等,第
二、四象限角平分线上的点的横纵坐标分别互为相反数。
6.和坐标轴平行的直线上点的坐
标的特征
知道平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同,平行于y轴的
直线上的点的横坐标相同。
7.关于x轴、y轴或原点对称的点
的坐标的特征
能准确区别三种情况下点的坐标符号特征。
与点有关
的距离
8.点到坐标轴及原点的距离能准确判断点到坐标轴的距离与点的坐标的关系。
函数及其图象1.函数定义知道函数和自变量的对应关系。
2.函数的解析式能准确判断函数自变量的取值。
3.函数的三种表示方法及作图
象的步骤
知道三种表示方法的优点和相互转化,会准确作出图象。
?2年中考
【2015年题组】
1.如图,点A(﹣2,1)到y轴的距离为()A.﹣2 B.1 C.2 D.
5
【答案】C.
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考点11 函数
(1)【答案】A)【解析】B)选项中函数pow(x,e)错误,应该直接使用exp(x)函数。
C)选项中函数abs(n^x+e^x)错误,应该使用fabs()返回浮点数的绝对值。
D)选项中pow(x,n)参数顺序错误。
本题正确答案为A)。
(2)【答案】A)【解析】C语言主要通过函数的功能来实现程序模块化,答案选择A)。
(3)【答案】A)【解析】本题考查的是函数的声明。
函数声明的一般形式为:
函数类型函数名(参数类型1 [,参数名1] ,参数类型2[,参数名2]……);
其中,参数名可以省略。
本题中的fun函数有两个参数,一个类型是double型的一维数组,另一个是int 型的指针。
而在C语言中,一维数组用作函数参数和该数组元素的指针类型是等价的。
所以本题的正确答案是选项A)。
(4)【答案】A)【解析】本题考查的知识点是:函数的形参和实参。
在定义函数时函数名后面括弧中的变量名称为“形式参数”(简称形参),在主调函数中调用一个函数时,函数名后面括弧中的参数(可以是一个表达式)称为“实际参数”(简称实参)。
C语言规定,实参变量对形参变量的数据传递是“值传递”,即单向传递,只由实参传给形参,而不能由形参传回来给实参。
在内存中,实参单元与形参单元是不同的单元。
故本题应该选择A)。
(5)【答案】A)【解析】函数参数传递是个不可逆的过程,形参不会把值传回实参,所以A)选项错误。
(6)【答案】A)【解析】C语言组成单位为函数,所以A)选项正确。
(7)【答案】A)【解析】本题中第一次调用为fun(8,fun(5,6)),因为fun(5,6)返回值为5,所以第二次调用为fun(8,5)=6,因此选择A)。
(8)【答案】A)【解析】for循环进入循环体的i分别为0 10 20,调用f函数返回分别为1 101 401,累加为503,所以选择A)。
(9)【答案】A)【解析】在函数调用前,需要定义或有声明,A)选项错误。
(10)【答案】A)【解析】fun(x,y)值为13,z--表达式的值为8,fun(13,8)的值为21答案选择A)。
(11)【答案】A)【解析】第一次循环,b为1,输出为B,第二次循环b为3,输出为D,第三次循环b为8,输出为I,所以选择A)。
(12)【答案】A)【解析】A)选项中*f(a,b)表示调用后返回一个指向整型数据的地址指针,即该函数的返回值为指针类型,因此不能将其赋值给整型变量k。
(13)【答案】A)【解析】第一次调用m=f(f(f(1))),第二次为m=f(f(2)),第三次为m=f(4),即返回值为8,选项A)正确。
(14)【答案】A)【解析】函数直接或间接调用自己,称为递归调用,所以选择A)。
(15)【答案】A)【解析】首先n=fun(3),3被当作参数传递进去,进行了第一次调用,3被当作参数传进去后,程序会执行语句else return fun(k-1)+1,进行了第二次调用,而参数是3-1也就是2。
2被当作参数传进去后,程序会执行语句else return fun(k-1)+1,进行了第三次调用,而参数是2-1也就是1。
1被当作参数传进去后,程序会执行语句else if(k==1) return 1;不再递归调用,因此最终结果为3次,选项A)正确。
(16)【答案】A)【解析】本题考查的是递归算法的分析。
一个直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
在一个递归算法中,至少要包含一个初始值和一个递归关系。
本题的fun()函数在x等于0或1时返回3,而在其余情况下返回x-fun(x-2),所以本题的递归算法可以这样表示:
fun(x)=3 (x=0或x=1)(初始值)
fun(x)=x-fun(x-2)(x≠0且x≠1)(递归关系)
在主函数中输出的结果是fun(7),而fun(7) = 7-fun(5) = 7-(5-fun(3)) = 7-(5-(3-fun(1)))。
(17)【答案】A)【解析】f函数为递归调用,返回的为数组a的最大值。
所以选择A)。
(18)【答案】A)【解析】fun函数是递归函数,调用到n为0时*s=1+1为2,返回主函数,x为2。
(19)【答案】A)【解析】函数调用中发生的数据传递是单向的,即只能把实参的值传递给形参,而不能把形参的值反向地传递给实参。
因此在函数调用过程中,形参的值发生改变,而实参中的值不会变化,所以数组c中的元素的值并没有变化,故选择A)。
(20)【答案】A)【解析】本题中函数fun()的功能是将数组k中前5个元素倒序,因此返回后数组k 中的元素排列是5,4,3,2,1,6,7,8,9,10。
程序打印输出k[2]到k[7]元素的值,即321678,所以选择A)。
(21)【答案】A)【解析】本题中由fun函数可知,b[0]=a[0][0]-a[0][3]=1-4=-3,b[1]=a[1][1]-a[1][2]=6-7=-1,b[2]=a[2][2]-a[2][1]=11-10=1,b[3]=a[3][3]-a[3][0]=16-13=3。
因此主函数中输出y数组元素的值为A)选项。
(22)【答案】A)【解析】f函数将a[0]自增5次,所以答案选择A)。
(23)【答案】A)【解析】本题考查的是二维数组的定义、赋初值和对二维数组元素的引用。
在fun()函数中,首先将s[0][k]的值赋给m,然后通过for循环,遍历s[1][k]~s[n-1][k]之中的数,将遇到的比m大的数保存到m中。
很显然,这是搜索最大值的算法,搜索的是s[0][k]~s[n-1][k]之间的最大值。
所以,主函数中fun(a,4,0)的功能就是搜索a[0][0]~a[3][0]之间的最大值,这4个值分别是1、11、21、31,所以最终输出结果是31,应该选择A)。
(24)【答案】A)【解析】flag为1求出每行的最小值,flag为0求出每行的最大值,所以选择A)。
(25)【答案】A)【解析】fun函数功能为,把下标为奇数的元素按值的从小到大排列,所以答案选择A)。
(26)【答案】A)【解析】第一次循环返回12,第二次循环返回12,累加结果为24。
(27)【答案】A)【解析】变量,函数等都有它的作用范围,都有一个有效的作用域,所以选择A)。
(28)【答案】A)【解析】全局变量的存储类别可以是静态类或其他类型的,所以选择A)。
(29)【答案】A)【解析】auto和register只有在使用时才开辟空间,占用内存单元,所以选择A)。
(30)【答案】A)【解析】静态变量只赋值一次,下一次调用,还是使用上次遗留的值。
答案选择A)。
(31)【答案】A)【解析】声明静态局部变量:函数调用结束后,其占用的存储单元不释放,在下次该函数调用时,该变量保留上一次函数调用结束时的值。
本题子函数fun中的变量i和m均为静态局部变量。
因此第一次调用fun函数,返回m的值为5,第二次再调用fun函数时,i的值为3,m的值已经是5了,所以执行i+=m+1,i的值变为9,m=i+x+y=9+1+1=11。
故本题答案为A)。
(32)【答案】D)【解析】第一次循环fun函数返回值为2,第二次循环由于x是static类型,x仍保留上次的值2,所以返回值为4,第三次循环由于x是static类型,x仍保留上次的值4,所以返回值为8,对三次返回值乘积值为64,所以答案选择D)。
(33)【答案】A)【解析】循环调用fun函数,依次返回值为2 3 4 5 6,s原值为1,累加以上返回值,最终结果为21,所以答案选择A)。
(34)【答案】A)【解析】s得到全局变量a的值为4,第一次循环返回12,第二次循环返回12,累加结果为28。