5金融工程 期权性质和交易策略

美式看跌期权-提前实施？

在某时刻t，若股价下跌到K(1-e-r(T-t))之下，问 该股票的美式看跌期权是否应提前实施？
若提前实施，立即获得收益K-St≥ Ke-r(T-t) ,将此收益 立时存入银行，到T时刻获得收益一定大于K； 若不提前实施，则在到期日T获得收益(K-ST)+， 该收益不会超过K。
主要内容

期权价格的性质

上下界估计 参数对期权价值的影响 合成策略 价差策略 组合策略

期权的交易策略

期权价格的性质
期权价格的上限


看涨期权在任何情况下，其价值都不会超 过股票的价值，即 否则，卖出C买入S c0 S0，C0 S0 看跌期权在任何情况下，其价值都不会超 过敲定价格K的现值，即 p0 Ke-rT，P0 K
续

对于美式期权也有凸性结果：
如果K1 K 2 K3， 那么 K 2 K3 K1 K 2 Ct ( K 2 , T ) Ct ( K1 , T ) Ct ( K3 , T ) K1 K3 K1 K3 Pt ( K 2 , T )

K 2 K3 K K2 Pt ( K1 , T ) 1 Pt ( K3 , T ) K1 K3 K1 K3
cT(ST ,K) = (ST -K)+ pT(ST ,K) = (K-ST)+

再由无套利原理可得结论。
期权价格的凸性

设 K=K1+(1-)K3 , [0,1], 则有 ct(K) ≤ ct(K1)+(1-)ct(K3)， pt(K) ≤ pt(K1)+(1-)pt(K3)。
不支付红利的Put-Call Parity
考虑下面两个投资组合
组合1：买欧式看涨，买面值为K的零息贴 现债券； 组合2：买欧式看跌和标的股票。 在到期日，两个组合的价值都是 max(ST ,K) 由无套利原理II知， c0 + Ke-rT = p0 + S0
欧式期权价格的估计

不支付红利时，对[0,T)中的任意时刻t, (St –Ke-r(T-t))+ < ct <St ；
对具有相同到期日的ct(K1),ct(K2)和pt(K1), pt(K2), 若K1 > K2 ,则 0 ≤ ct(K2)-ct(K1) ≤ K1–K2

0 ≤ pt(K1)-pt(K2) ≤ K1–K2
续


具相同到期日的欧式期权ct(K1), ct(K2)和 pt(K1), pt(K2), 若K1 > K2 , 则 0 ≤ ct(K2)-ct(K1) ≤ (K1–K2)e-r(T-t) 0 ≤ pt(K1)-pt(K2) ≤ (K1–K2)e-r(T-t) 这说明

(Ke-r(T-t) -St )+ < pt < Ke-r(T-t) 。
组合1：c+D+Ke-rT 组合2：S 在到期日，V1=max{ST,K}+DT >V2=ST + DT

支付红利时，对任意t [0,T)有
-rT +
c0 (S0 - D - Ke )
-rT
p0 (D + Ke - S0 )
续


该保底产品的价格为 V0 = S0 e-rT + C0(S0,T; S0) 由于 C0(S0,T; S0) > S0 (1- e-rT) 故 V0 > S 0 这说明，投资者希望只投资S0 ,并享有收益 max{ST,S0}是不现实的，因为投行或保险公 司不可能免费提供这种服务。

本金保底产品的设计
否则，借钱买入 美式并立即执行

在不支付红利的情形下，有

(St -K)+ < (St –Ke-r(T-t))+< ct ≤ Ct Ct = ct St - K < Ct – Pt < St – Ke-r(T-t)

在支付红利D的情形下，有
S0 - D - K < C0 – P0 < S0 - Ke-rT
+
组合1：D+Ke-rT 组合2：p+S 在到期日，V2=max{ST,K}+DT >V1=DT + K
有关期权的术语



内在价值：立即执行期权所具有的价值与0 之间的最大值。看涨期权的内在价值(S-K)+， 看跌期权的内在价值(K-S)+。 实值期权：内在价值大于零。 虚值期权：立即实施期权时，价值小于零。 平价期权：股价与敲定价格相等。
日历价差期权-利用看涨期权
c(T2)-c(T1) 收益
K
S
讨论2：看跌期权的上下限
1. pt > (Ke-r(T-t) -St )+ 欧式看跌期权价值高于其内在价值 2. pt(K2) ≤ pt(K1)，如果K1 > K2 pt(K) 0 ，当K0时， 3. 对于欧式看跌期权，无法得到！ pt(K,T1) ≤ pt(K,T2)，如果T1 < T2 4. pt(K,T) ≤ Ke-r(T-t)
Call价格
时间价值
K
股价
欧式看跌期权
Put价格
时间价值
K
ຫໍສະໝຸດ Baidu
股价
例1：欧式看涨期权
设
c0 = $3 S0 = $20 T = 1年 r = 10%(年利率) K = $18 D = 0(不支付红利) 是否存在套利机会?
（e-0.1=0.9048；18e-0.1=16.2871；17e0.1=18.79）
否则，卖出P并存入银行

c和p表示欧式期权，C和P表示美式期权。
欧式期权平价公式(call-put parity)

不支付红利的平价公式： ct + Ke-r(T-t) = pt + St ， 对[0,T]中的所有时刻t都成立。
支付红利的平价公式：
c0 + D + Ke-rT = p0 + S0 ， 对[0,T]中的所有时刻t都成立，其中D > 0 是红利的现值。
美式期权的其他性质

具相同到期日的美式期权Ct(K1), Ct(K2)和 Pt(K1), Pt(K2), 若K1 > K2 , 则 0 ≤ Ct(K2)-Ct(K1) ≤ (K1–K2)e-r(T-t)
0 ≤ Pt(K1)-Pt(K2) ≤ (K1–K2)e-r(T-t)

对任意 >0, 有 Ct(St ,K) = Ct(St,K)， Pt(St ,K) = Pt(St,K)
否则，只需卖出敲定价格K2的期权，同时买入其 他两个期权。只要期权K2被执行，那么就执行其 他两个。这样构造一个套利机会。
影响期权价格的因素
变量
S K T
c

r D
+ – ? + + –
– + ? + – +
p
C
P
+ – + + + –
– + + + – +
到期日对价值的影响

在不考虑红利的情形下，当T1 < T2时， 欧式看涨期权 ct(K,T1) ≤ ct(K,T2) 对于美式期权，显然有：当T1 < T2时， Ct(K,T1) ≤ Ct(K,T2)



向顾客收取一次性费用，费用的大小是 V0 - S 0 不多收取本金，但调整产品的到期收益为 S0 + p max {ST - S0,0}， 其中，p介于0，1之间，称为投资参与百 分比，是使得投资额与S0相等的p值，即 p=(1-e-rT)S0/C0
敲定价格对欧式期权价值的影响

设ct(K), pt(K)分别表示敲定价格为K的欧式 看涨和看跌期权在t时刻的价值。

影响期权价格的因素
变量
S K T
c

+
r D
+ – ? + + –
– + ? + – +
p
C
P
+ – + + + –
– + + + – +
讨论1：欧式期权的上下限
1. ct >(St –Ke-r(T-t))+ >(St –K)+ =>欧式看涨期权价值高于其内在价值 2. ct(K1) ≤ ct(K2)，如果K1 > K2 ct(K) St ，当K0时 ct(K) 0 ，当K+∞时 3. 不考虑红利的欧式看涨期权有 ct(K,T1) ≤ ct(K,T2)，如果T1 < T2

美式期权
美式期权的持有人总是有机会提前实施。 与欧式期权相比，美式期权的持有人有更
多获益的机会，故其价值不小于相应的欧 式期权，即 Ct ct Pt pt
否则，卖出欧 式，买入美式
美式期权价值的估计

对[0,T)中的任意时刻t,有

ct ≤ Ct ； pt ≤ Pt Ct ≥(St -K)+ ； Pt ≥(K-St)+


因此，股价下跌到一定程度,提前实施美式看跌 期权是有必要的。
支付红利的美式Call（红利率q）



若不提前实施,在到期日T的收益为(ST-K)+ ； 若在t时刻股价上升到一定程度, 则立即实施： 借现金K买入股票St ,只要St足够大，使得红 利qSt足以抵消贷款利息K(er(T-t) -1 ),于是提前 实施所得收益就可能超过不提前实施的收益。 由于红利的存在, 当原生资产的价格上升到 一定程度,提前实施美式看涨期权是明智的。
期权的价值 = 内在价值+时间价值

讨论：欧式期权的上下限
对于欧式看涨期权有 ct >(St –Ke-r(T-t))+ >(St –K)+ 欧式看涨期权价值高于其内在价值。

对于欧式看跌期权有 pt > (Ke-r(T-t) -St )+ 欧式看跌期权价值高于其内在价值

欧式看涨(不支付红利)
一些类期权例子




Traded Options：期权标的股票的公司与期权 交易双方不发生关联。 权证(warrant)：标的股票公司自己发行的看 涨期权。 管理层股票期权(ESOs)：公司给高管人员发 行的看涨期权。 可转换债券：公司发行的、在一般债券上附 加期权的一种债务工具。
ct ( K 2 ) ct ( K1 ) e r (T t ) K1 K 2
作为敲定价格的函 数，其斜率小于贴 现因子
期权价格的齐次性


对任意 >0, 有 ct(St ,K) = ct(St,K)， pt(St ,K) = pt(St,K)。 这只需注意到

由于p0< Ke-rT-S0，故存在套利机会： 初始时刻，借款$38买put和股票，期限半年，到期 还银行38e0.025=38.9614； 半年后，S<40,执行put，卖出股票并偿还贷款。 总收益≥40-38.9614=$1.0386。
例3：本金保底合约



Principal protection：使投资者的回报在一 定水平得到保证的合约。 设投资的证券价格为St ，在T时刻的产品 收益为 VT = max{ST,S0}=S0+ max {ST - S0,0} 该产品可看成：面值为S0的无风险贴现债 券和执行价为S0的欧式Call
练习

设T1T2 T3。记ci= ct(Ki, Ti), i=1, 2, 3


如果K1K2 K3，那么 c1 c2 c3 . 如果K1 <K2 <K3，那么 c2-c1 -(K2 –K1)，c3-c2 -(K3 –K2). 如果K1 <K2 <K3，K2-K1=K3 –K2，且T1= T2= T3， 那么 c2 (c3 +c1)/2 。
如果K1 K 2 K 3， 那么 K 2 K3 K1 K 2 ct ( K 2 , T ) ct ( K1 , T ) ct ( K 3 , T ) K1 K 3 K1 K 3 pt ( K 2 , T ) K 2 K3 K K2 pt ( K1 , T ) 1 pt ( K 3 , T ) K1 K 3 K1 K 3
由于c0< S0-Ke-rT，故存在套利机会： 初始时刻，卖空股票获$20，同时买call花费$3， 去掉花费将$17存入银行一年，到期17e0.1=18.79； 一年后，S>18,执行call，买入股票并偿还。 总收益≥18.79-18=$0.79。
例2：欧式看跌期权
设
p0 = $1 S0 = $37 T = 0.5年 r = 5%(年利率) K = $40 D = 0(不支付红利) 是否存在套利机会? （e0.025=1.0253；40e-0.025=39.0124； 38e0.025=38.9614）
结论

看涨期权价值总是高于其内在价值； 看跌期权价值不总是高于其内在价值

当利率为零时，高于其内在价值； 一般情况下不成立。若St ≤ K(1-e-r(T-t))，则 当期权存续期过长时，敲定价格的贴现值 Ke-r(T-t)小于看跌期权的内在价值。由 pt ≤ Ke-r(T-t)知，看跌期权的价值就小于其内在 价值。。