拱桥及抛物线形运动问题
22.3 第3课时拱桥问题与运动中的抛物线 人教版九年级数学上册同步课堂教案
第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题与运动中的抛物线一、教学目标1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．会运用二次函数知识解决其他简单的实际问题.二、教学重难点重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题三、教学过程【新课导入】[情境导入]观察实物及欣赏图片：[课件展示]在我们的生活中有很美丽也很实用的各种各样的桥，他们无不给我们以抛物线的形象感受，我们本节课就来研究与桥有关的抛物线问题.【新知探究】[课件展示] 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m.水面下降1m ，水面宽度增加多少？如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系. 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为2ax y = 当拱桥离水面2 m 时，水面宽 4 m 即抛物线过点（２，－２） ∴a 42=- 解得：5.0=a∴这条抛物线所表示的二次函数为:25.0x y -= 当水面下降1 m 时,水面的纵坐标为3-=y ，这时有；25.03x -=-解得：6±=x这时水面宽度为：62ｍ∴当水面下降1m 时,水面宽度增加了)462(-ｍ [归纳总结]建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解[交流讨论] [课件展示]某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外？解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A 点坐标为(0，1.25)，顶点B 坐标为(1，2.25). 设抛物线为k h x a y ++=2)(，由待定系数法可求得抛物线表达式为：25.22)1(+--=x y . 当y=0时,可求得点C 的坐标为(2.5,0) ; 点 D 的坐标为(－2.5，0)．据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m ，才能使喷出的水流不致落到池外.数学模型●B (1,2.25)●DoAxy(0,1.25)x[课件展示]例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m ，如果篮圈中心距离地面3.05m ，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？解：如图，建立直角坐标系.则点A 的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B （0，3.5）. 以点C 表示运动员投篮球的出手处.设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为：k ax y +=2. 而点A ，B 在这条抛物线上，所以有3.05k 2.25a =+ 3.5k =解得：⎩⎨⎧=-=5.32.0k a 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 .故该运动员出手时的高度为2.25m .【课堂小结】转化回归（二次函数的图象和性质）（实物中的抛物线形问题）建立恰当的直角坐标系①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法.实际问题数学模型【课堂训练】 [课件展示]1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ）A.50mB.100mC.160mD.200m[课件展示]2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 2321812++-=x x y ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米.。
部编数学九年级上册22.3第3课时拱桥问题和运动中的抛物线含答案
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。
一、选择1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=-2x 2B ．y=2x 2C 、212y x =-D 、212y x =第1题 第2题 第3题 第4题2、有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm ，面积是sm 2，则s 与x 的关系式是（ ）A 、2324s x x =-+B 、2224s x x =-+C 、2324s x x =--D 、2224s x x=-+米，则铅球运行路线的解析式为（ ）B 、y 、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为A 、y=36（1-x ） B 、y=36（1+x ）C 、218(1)y x =+D 、218(1)y x =-7、如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+D 、21y x x =--第5题 第7题 第8题8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A 、4米B 、3米C 、2米D 、1米二、填空题厘米，面积随之增加平方厘米，米，现把它第10题 第13题 第14题 第15题3、二次函数2y ax bx c =++中，2b ac =，且x=0时y=4,则y 的最（大或小）值=4、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出约 米。
二次函数中抛物线形拱桥及答案
二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，且过点（10，－4）∴-==-4101252a a×，故y x=-1252（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（dh24，-）则hd-=-412542×∴d h=-104（3）当d＝18时，18104076=-=h h，.0762276..+=∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?解：以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
人教版九年级数学上知识点深度解析 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
3
4
3. 如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动
路线是抛物线 y ＝－ （ x ＋1）（ x －7）的一部分.
铅球落在 A 点处，则 OA ＝
7
第3题图
1
2
3
4
m.
4. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h
（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间
2
的关系式是 h ＝－ t ＋10 t （0≤ t ≤4）.
（1 ） 当 小 球的 高 度是 8.4m时 ， 求 此时 小 球的 运
动时间；
1
2
3
4
2
解：（1）由题意可得8.4＝－ t ＋10 t ，解得 t1＝1.2，
t2＝2.8.
∵0≤ t ≤4，∴ t1＝1.2， t2＝2.8都符合题意.
∴当小球的运动时间为1.2s或2.8s时，它的高度是8.4m.
实物问题
运动路线
（轨迹）
问题
具体方法
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛
物线形状的图形放到平面直角坐标系中；
（2）从已知条件中获得求二次函数解析
式所需要的条件；
（ 3 ）利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解
析式；
（4）根据所求出的抛物线解析式去解决
相关问题.
当堂检测
1. 一足球被踢出后，距离地面的高度 h （m）和飞行
第二十二章
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
要点归纳
知识要点
拱桥问题和运动中的抛物线
常见情形
几种常见的抛物线形实物有拱形桥
22.3.2实际问题与二次函数——拱桥问题和运动抛物线问题
一、拱桥问题
探究3
l
图中是抛物线形拱桥， 当水面在l时，拱顶离 时，拱顶离 水面2m，水面宽4m， 水面下降1m，水面宽 度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建 立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二 次函数解析式，为解题简便，以抛物线的顶点为原 点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 20 米，与
篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最
大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米. 问此球能否投中？
9
20 9
4米
3米
4米 8米
y
20 9
（ 4， 4）
1 2 y x 4 4 9
y
4米
20 9
3米
4米 7米 x
O
用抛物线的知识解决拱桥问题和运动 抛物线问题的一般步骤： 建立适当的直角坐标系
设二次函数解析式 由条件求解析式 找出实际问题的答案
20 练习：一场篮球赛中，甲跳起投篮，已知球出手时离地面高 9
米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米 时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心 距离地面3米。 (1)问此球能否投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已 知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
抛物线形拱桥，当水面 y 1 在l 时，拱顶离水面2m， 水面宽度4m，水面下降 当 y 1 时， x 6 2 1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的
6 m. ∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
22.3 拱桥问题和运动中的抛物线
2 ag22 1 a 2
y 1 2 x 2
-4
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时 从而
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
A
∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2.
3 x 2 2
1 3 9 y 1.125 2 2 8
因此拱顶离水面高1.125m
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
o
x
o
（0，0）
（4，0） x
（-2，-2）
（2，-2）
y （0，2）
（-2，2） 谁最 合适
y
（-2，0）
o
（2，0）
o x
（-4，0）
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
拱桥问题和运动中的抛物线
拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－112m 2＋m ＋3)，D (m ，－112m 2＋m ＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
第二十一讲 拱桥问题和运动中的抛物线(解析版) -2021年新九年级数学上册(人教版)
第二十一讲拱桥问题和运动中的抛物线【学习目标】1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．【新课讲解】知识点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤(1)实际问题。
（2）建立二次函数模型。
（3）利用二次函数的图象和性质求解。
（4）确定实际问题的解。
【例题1】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；【答案】见解析。
【解析】设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04∴y=-0.04x2.知识点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题【例题2】悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；【答案】见解析。
【解析】根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y 轴，设抛物线的函数表达式为y=ax 2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a •4502+0.5. 解得故所求表达式为(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m 处垂直钢索的长. 解：当x=450－100=350（m ）时，得当x=450－50=400（m ）时，得拱桥问题和运动中的抛物线过关检测注意：满分100分，答题时间60分钟1．(8分)图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？【答案】【解析】建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(a ≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a ， 解得：12a =-.∴212y x =-.当y=-3时，x =答：当水面高度下降1米时，水面宽度为.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．2．（8分）抛物线形桥拱的跨度AB 为6米，拱高为4米，求桥拱的函数关系式． 【答案】2449y x =-+（答案不唯一）． 【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系， ∵AB=6 ∴AO=3∴点A 的坐标为（-3,0） 可设所求解析式为2y ax c =+， 由抛物线过和得： 解得：∴抛物线解析式为2449y x =-+（答案不唯一）． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，并利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．3．（10分）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB 宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m .（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2m 的速度上升）【答案】（1）2125y x =-；（2）再持续5h 到达拱桥顶. 【解析】（1）设所求抛物线的解析式为2y ax =.设，则，把D 、B 的坐标分别代入2y ax =， 得解得 ∴2125y x =-. （2）∵1b =-， ∴∴拱桥顶O 到CD 的距离为1，150.2=. 故再持续5h 到达拱桥顶.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成二次函数的问题．4．（10分）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）2114y x =-+（2）500（3）n=620时，w 最大=19200元 【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E 的坐标，代入()20y kx m k =+≠即可求解； （2）根据N 点与M 点的横坐标相同，求出N 点坐标，再求出矩形FGMN 的面积，故可求解； （3）根据题意得到w 关于n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题可知D （2,0），E （0,1）代入到()20y kx m k =+≠得 解得∴抛物线的函数表达式为2114y x =-+； （2）由题意可知N 点与M 点的横坐标相同，把x=1代入2114y x =-+，得y=34∴N （1，34） ∴MN=34m ， ∴S 四边形FGMN =GM×MN=2×34=32， 则一扇窗户的价格为32×50=75元 因此每个B 型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月最多生产160个， ∴100+20×≤160 解得n≥620 ∵-2＜0∴n≥620时，w 随n 的增大而减小 ∴当n=620时，w 最大=19200元．【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质． 5．（10分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式．【答案】（1）(12,0)M ，(6,6)P ；（2）2126y x x =-+．【分析】（1）利用现以O 点为原点，抛物线最大高度为6米，底部宽度OM 为12米，得出点M 及抛物线顶点P 的坐标即可；（2）利用顶点式将P 点M 点代入求出抛物线解析式即可． 【详解】（1）∵其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米， ∴点M 及抛物线顶点P 的坐标分别为：M （12，0），P （6，6）． （2）设抛物线解析式为：， ∵抛物线经过点（0，0）， ∴20(06)6a =-+，即16a =-， ∴抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求二次函数解析式，利用数形结合得出抛物线解析式是解题关键．6．（10分）某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由【答案】（1）213y x =-；（2）不能通过. 【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解； （2）车从中间过，即x ＝1.5，代入解析式求出y 值后，比较即可． 【详解】(1)如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax 2抛物线的顶点为原点，隧道宽6m ，高5m ，矩形的高为2m ， 所以抛物线过点A(−3,−3)， 代入得−3=9a ， 解得a=−13， 所以函数关系式为213y x =-(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75，此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5.从而此车不能通过此隧道.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．7．（10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C 离地面AA1的距离为8m．（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？【答案】(1) y=﹣132x2+8；（2）货运卡车能通过，理由见解析.【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+6，再有条件求出a的值即可；（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．【详解】（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y=ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入64a+8=6解得：a=﹣1 32．抛物线的解析式为y=﹣132x2+8．（2）根据题意，把x=±4代入解析式，得y=7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．8．（10分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB ＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)．【答案】门的高度约为9.1m【分析】根据所建坐标系，易求A 、B 、D 的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE 长．【详解】解：由题意得，抛物线过点(4,0)A -、(4,0)B 、(3,4)D -， 设，把(3,4)D -代入， 得4(34)(34)a =-+--， 解得47a =-， 4(4)(4)7y x x ∴=-+-．令0x =得647y =，即64(0,)7， 649.17OE ∴=≈ 门的高度约为9.1m ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．9.（12分）如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB 为26m ，当水位上涨1m 时，抛物线拱桥的水面宽CD 为24m ．现以水面AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式；（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m 时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m ，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？【答案】见解析。
二次函数---(拱桥问题)
22.3（4.1）---（拱桥问题）一．【知识要点】1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。
如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.二．【经典例题】1.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。
2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？三．【题库】【A】1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________.【B】1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.【C】1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是m．【D】1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，①两人何时相距180m？②两人何时相距最近？最近距离是多少？。
九年级数学：22.3 第2课时 拱桥问题与运动中的抛物线
A．16490米
B.147米
C．16470米
D.145米
8．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽 20 m，水位上升3 ห้องสมุดไป่ตู้就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开 始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
桥面 OC 共需__3_6_秒．
3．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，
某菜农身高 1.6 米，则他在不弯腰的情况下，在大棚内左右活动的范围是( B)
A. 25米 B. 5米 C．1.6 米 D．0.8 米
4．(习题 3 变式)一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)与飞行时间 t(秒)
方法技能： 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算． 易错提示： 易忽略自变量的取值范围，导致所求最值与实际不符．
满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C )
A．1 米 B．5 米 C．6 米 D．7 米
5．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线 y＝－41x2 ＋bx＋c 的一部分(如图)，其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1 m，球落地点
A 到 O 点的距离是 4 m，那么这条抛物线的解析式是( A )
解：(1)y＝－215x2 (2)可求 O 到 CD 的距离为 1 m，01.2＝5(小时)， ∴再持续 5 小时到达拱桥顶
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 hx BA Nhomakorabea例3.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球
出手时离地面高 20米，与篮圈中心的水平 距离为8米，当球出手后水平距离为4米时 到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为 抛物线，篮圈中心距离地面3米。 问此球能否投中？
20 9
9
4米
3米 9
20
4米 4米
y
20 9
（4，4）
1 2 y x 4 4 (0≤x≤8) 9
8
1 a 9
0
x
4
20 当x 8时，y 9
如图，建立平面 直角坐标系， 点（4，4）是图中这段抛物 线的顶点，因此可设这段抛 物线对应的函数为：
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
y ax 4 4
2
(0≤x≤8)
20 抛物线经过点 0， 9
y 0
(-2,-2) ● (2,-2) ●
解：设这条抛物线表示的二次 函数为 y ax 2 由抛物线经过点（－2，2）， 1 x 可得 a 2 所以，这条抛物线的二次函数 为：
抛物线形拱桥，当水 面在 l 时，拱顶离水面 当 y 3 时，x 6 所以，水面下降1m，水面的 2m，水面宽度4m，水 宽度为 2 6 m 面下降1m，水面宽度 ∴水面的宽度增加了2 6 4 m 增加多少？
1 2 y x 2 当水面下降1m时，水面的纵 坐标为 y 3
练习
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型， 建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为 1 2 y x ， 当水位线在AB位置时，水面宽 25 AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（） A、米 B、米；C、米； 、米 5 6 8 D9
20 2 a0 4 4 9
练习 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所 示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为 4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门， 货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m。请判 断这辆汽车能否顺利通过大门．