专题一：零和博弈剖析
税企之间的零和博弈分析
税企之间的零和博弈分析【摘要】企业追求的是利润最大化，税务机关代表国家无偿征税，企业和税务机关利益相悖。
企业总是想办法避税，而税务机关要对其依法稽查，税企陷入困境，他们的博弈是零和博弈。
由于税务机关对企业稽查的概率存在，恰当的概率不仅达到博弈的纳什均衡，促进企业依法纳税，在资源配置上达到帕累托最优。
【关键词】税企困境；零和博弈；纳什均衡；概率0.引言税收是政府为了满足社会公共需要，凭借政治权利，强制、无偿的取得财政收入的一种形式。
它是国家凭借其政治权力取得财政收入、进行国民收入分配和再分配的一种主要形式。
国家征税的目的是满足提供社会产品的需要，以弥补市场失灵、促进公平分配等的需要。
国家通过征税，将一部分社会产品由纳税人所有权转变为国家所有，因此征税的过程实际上是国家参与社会产品的分配过程。
国家征税以后对具体纳税人既不需要直接偿还，也不付出任何直接形式的报酬，是国家凭借政治权利，通过法律形式对社会产品进行强制性分配，而非纳税人的一种自愿交纳。
企业作为微观经济的主体，其经营的目的就是利润的最大化，我们称之为逐利行为。
利润是经济“游戏规则”的核心，即收入超过成本的部分。
当成本超过收入时，利润为负，即经营损失，就是向所有者发出明确信号—--此经营在减少他的财富。
衡量管理者决策成功与否，最重要的唯一标准就是这个决策将创造更高的利润还是降低了利润。
1.“税企困境”零和博弈的模型为分析方便，假设企业经营的唯一目的就是逐利（不考虑其他社会责任），税务机关唯一的活动就是征收税款。
税企之间只有税款和缴纳税款的关系（不考虑人情因素），即税务机关依法征收税款，企业依法缴纳税款。
由于税收具有无偿性和强制性，而企业经营的目的就是利润的最大化；若税务机关不能征到税款就会损害国家的经济利益，而企业缴纳税款就会降低企业的利润。
为此，企业在逐利行为的驱使下总是想方设法出具虚假的财务信息，从而逃避税收；鉴于企业的举动，为加大税收的征管力度，税收机关总是对企业财务进行稽查，若发现企业有逃避税收的行为税务机关除要求企业补缴税款外，还要依法对企业进行经济处罚。
博弈的分类——负和博弈、零和博弈、正和博弈
博弈的分类——负和博弈、零和博弈、正和博弈一方获益,另一方损失,这只是博弈的一种结果。
除此之外,博弈的结果还可能是两败俱伤,或者双方共赢。
按照博弈的结果来分,博奔分为负和博弈、零和博弈与正和博弈。
负和博弈是指博弈的参与者最后得到的收获都小于付出,都没有占到便宣,是一种两败俱伤的博弈。
网络上流传着这样一个笑话,甲、乙两个经济学家走在路上突然发现了路边有一蛇狗屎,甲便对乙说:“你要是把它吃了,我给你5000万元。
”乙一想,尽管臭了点,不过5000万元也不是个小数目啊,犹像了半天之后还是把它吃了。
二人续往前走,心中都有些不平衡。
甲想,5000万元也不是一笔小数目,我本想开开玩笑,现在倒好,白白花了5000万元,什么也没得到。
乙想,虽然得了5000万元,可吃狗屎的滋味太难受了,说不定这件事情传出去还会被人耻笑。
就在这时,两人又发现了一蛇狗属。
乙便提议说,你要是把它吃了,我也给你5000万元o甲本来就有点心疼自己的钱,再说乙都吃了,自己为什么不能吃?于是他便吃了。
按理说,两个人又找回了心理和金钱上的平衡,但是两个人怎么想都觉得不对,谁也没有得到什么,平白无故每人吃了一坨狗屎。
他们把这件事告诉了自己的导师,导师听完之后大吃一惊,说道:“你们知道自己做了什么吗?一转眼你们就创造了一个亿的GDP啊!”虽然只是一个笑话,但是其中蕴含着一场博弈,就结果来看是一场典型的负和博弈,也就是双方的收获都小于付出,两败俱伤零和博弈是指参与者中一方获益,另一方损失,并且参与者之间获得的利益与损失之和为零。
赌博便是零和博弈最好的体现,只要有贏家就会有输家,赢家赢的钱与输家输的钱肯定是一样多。
这与物理上的能量守恒定律是一个道理,不管能量怎样变动,总量是不变的。
我们用一个扑克牌游戏来解释一下零和博奔。
甲、乙两个人玩猜扑克游戏,游戏规则是每个人随便抽一张牌,然后一起打开,若是颜色相同,甲给乙1元钱,若是颜色不同,乙给甲1元钱。
为了保证没有歧义,先将牌中的“大王”和“小王”拿出来。
零和博弈
零和博弈(重定向自零和游戏原理)零和博弈（Zero-sum Game），也称零和游戏、定和博弈[编辑]零和博弈简介零和博弈是博弈论的一个概念，属非合作博弈，指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”。
双方不存在合作的可能。
零和博弈的结果是一方吃掉另一方，一方的所得正是另一方的所失，整个社会的利益并不会因此而增加一分。
当你看到两位对弈者时，你就可以说他们正在玩“零和游戏”。
因为在大多数情况下，总会有一个赢，一个输，如果我们把获胜计算为得1分，而输棋为-1分，那么，这两人得分之和就是：1+（-1）=0。
这正是“零和游戏”的基本内容：游戏者有输有赢，一方所赢正是另一方所输，游戏的总成绩永远是零。
零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们发现在社会的方方面面都能发现与“零和游戏”类似的局面，胜利者的光荣后面往往隐藏着失败者的辛酸和苦涩。
从个人到国家，从政治到经济，似乎无不验证了世界正是一个巨大的“零和游戏”场。
这种理论认为，世界是一个封闭的系统，财富、资源、机遇都是有限的，个别人、个别地区和个别国家财富的增加必然意味着对其他人、其他地区和国家的掠夺，这是一个“邪恶进化论”式的弱肉强食的世界。
但20世纪人类在经历了两次世界大战，经济的高速增长、科技进步、全球化以及日益严重的环境污染之后，“零和游戏”观念正逐渐被“双赢”观念所取代。
人们开始认识到“利己”不一定要建立在“损人”的基础上。
通过有效合作，皆大欢喜的结局是可能出现的。
但从“零和游戏”走向“双赢”，要求各方要有真诚合作的精神和勇气，在合作中不要耍小聪明，不要总想占别人的小便宜，要遵守游戏规则，否则“双赢”的局面就不可能出现，最终吃亏的还是自己。
[编辑]零和博弈的例子零和博弈的例子有：赌博、期货等。
最新专题一：零和博弈剖析
❖零和博弈是利益对抗程度最高的博弈。
山西财经大学经济学院 康旭华
3
2020/11/11
零和博弈：掷硬币
支付
2
1
正面
反面
正面 -1，1 1，-1
反面 1，-1 -1，1
山西财经大学经济学院 康旭华
4Hale Waihona Puke 2020/11/11山西财经大学经济学院 康旭华
17
U 参与人1 M
D
2020/11/11
最小最大方法：3
参与人2
L
M
R
5
3
1
6
2
1
1
0
山西财经大学经济学院 康旭华
0
18
U
参与人 M 1
D
2020/11/11
最小最大方法：3
参与人2
L
M
R
5，-5
3，-3
1，-1
6，-6
2，-2
1，-1
1，-1
0，0
0，0
山西财经大学经济学院 康旭华
山西财经大学经济学院 康旭华
10
内容提要
2020/11/11
零和博弈 最小最大方法
直线交叉法 对抗性排序
山西财经大学经济学院 康旭华
11
最小最大方法
2020/11/11
❖由冯·诺依曼提出
❖基本思想：
作为局中人，对手将采取对他自己最有利的策 略；相应的，对手会选择使你获得尽可能差的 支付的策略。
由于零和博弈的特点和性质，以上思想即为： 任何使对手得到最好结果的策略，都会使你获 得最差的结果。 双方都具有这样的理性！
双人零和博弈
一、双人零和博弈的概念零和博弈又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈，指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，一方收益多少，另一方就损失多少，所以博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”.双方不存在合作的可能.用通俗的话来讲也可以说是:自己的幸福是建立在他人的痛苦之上的，二者的大小完全相等，因而双方在决策时都以自己的最大利益为目标，想尽一切办法以实现“损人利己”.零和博弈的结果是一方吃掉另一方，一方的所得正是另一方的所失，整个社会的利益并不会因此而增加一分.二、双人零和博弈的模型的建立建立双人零和博弈的模型，就是要根据对实际问题的叙述确定参与人（局中人）的策略集以及相应的收益矩阵（支付矩阵）.我们记双人零和博弈中的两个局中人为A和B;局中人A的策略集为a1,…,am,局中人B的策略集为b1,…,bn;cij为局中人A采取策略ai、局中人B采取策略bj 时A的收益（这时局中人B的收益为- cij）.则收益矩阵见下表表1那么下面我们通过例子来说明双人零和博弈模型的建立: 例1甲、乙两名儿童玩猜拳游戏.游戏中双方同时分别或伸出拳头（代表石头）、或手掌（代表布）、或两个手指（代表剪刀）.规则是剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，赢者得一分.若双方所出相同，算和局，均不得分.试列出对儿童甲的赢得矩阵.解 本例中儿童甲或乙均有三个策略:或出拳头，或出手掌，或出两个手指，根据例子中所述规则，可列出对儿童甲的赢得矩阵见表2.表2例2 从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张，在对B 保密情况下拿给A 看，若A 看到的是红牌，他可选择或掷硬币决定胜负，或让B 猜.若选择掷硬币，当出现正面，A 赢p 元，出现反面，输q 元;若让B 猜，当B 猜中是红牌，A 输r 元，反之B 猜是黑牌，A 赢s 元.若A 看到的是黑牌，他只能让B 猜.当B 猜中是黑牌，A 输u 元，反之B 猜是红牌，A 赢t 元，试确定A 、B 各自的策略，建立支付矩阵.解 因A 的赢得和损失分别是B 的损失和赢得，故属二人零和博弈.为便于分析，可画出如图3的博弈树图.图3中，○为随机点，□分别为A 和B 的决策点，从图中看出A 的策略有掷硬币和让B 猜两种，B 的策略有猜红和猜黑两种，据此可归纳出各种情况下A 和B 输赢值分析的表格，见表4.图3抽到红牌正面反面抽到黑球○□□○□1/2掷硬币让B 猜1/21/2猜红猜黑猜黑猜红1/2让B 猜p-q-rst-u表4对表4中各栏数字可以这样来理解:因让A 看到红牌时或掷硬币或让B 猜.若A 决定选掷硬币这个策略，当出现正面，这时不管B 猜红或猜黑，A 都赢p 元;当出现反面，不管B 猜红或猜黑，A 都输q 元.同样A 选择让B 猜的策略后，他的输赢只同B 猜红或猜黑有关，而与掷硬币的正反面无关.又若抽到的牌是黑牌，A 的决定只能让B 猜，因而掷硬币策略对A 的胜负同样不起作用.考虑到抽牌时的红与黑的概率各为1/2，掷硬币时出现正反面的概率也各为1/2,故当A 采取“掷硬币”策略，而B 选择“猜红”策略时，A 的期望赢得为:⎪⎭⎫ ⎝⎛-q p 212121+t 21=()t q p 241+- 当A 采取让B 猜策略，B 选择“猜红”策略时，A 的期望赢得为:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-r r 212121+t 21=()t r +-21 相应可求得其他策略对A 的期望赢得值.由此可列出本例的收益矩阵，见表5.表5三、双人零和博弈的求解定理1（极小极大定理）在零和博弈中，对于给定的支付矩阵U ，如果存在混合战略1σ*=（1σ*1，…1σ*m ）和2σ*=（2σ*1，…2σ*n ）以及一个常数v 满足，对任意j 有∑=mi i ij a 11*σ≥v ，对任意的i 有∑=nj j ij a 12*σ≤v ，那么战略组合（1σ*，2σ*）为该博弈的Nash 均衡.其中，v 为参与人1在均衡中所得到的期望支付，亦称该博弈的值.这个极小极大定理，其基本思想就是:参与人1考虑到对方使自己支付最小的最优反应，从中选择使自己最好的策略.参与人2也遵循同样的思路，这样才能满足Nash 均衡的互为最优反应的条件.这样我们就可以得到双人零和博弈Nash 均衡的计算方法了，如以下定理定理2 对于给定的零和博弈，如果博弈的值v 大于0，则博弈的Nash 均衡（1σ*，2σ*）为以下对偶线性规划问题的解Min ∑=mi i p 1s.t. ∑=mi i ij p a 1≥1 (j=1,…,n)i p ≥0 (i=1,…,m) 和Max ∑=nj j q 1s.t. ∑=nj j ij q a 1≤1 (i=1,…,m)j q ≥0 (j=1,…,n) 其中，Nash 均衡支付∑∑====nj jmi iqpv 1111Nash 均衡战略),,,,(1*1m i vp vp vp =σ，),,,(1*2n j vq vq vq =σ由于此定理只适用于v 大于0的情形，因此对于v 小于等于0的情形，该定理所给出的方法需做适当的修改.命题 如果支付矩阵U=mxn ij a )(的每个元素都大于0,即ij a ＞0,那么博弈的值大于0,即v ＞0.定理3 如果支付矩阵U '=mxn ij a )('是由U=mxn ij a )(的每个元素都加上一个常数c 得到，即c a a ij ij +='，那么支付矩阵U 和U '所对应的零和博弈的Nash 均衡战略相同，博弈的值相差c.根据以上定理，可以得到如下求解一般零和博弈Nash 均衡的方法:(1) 若支付矩阵U 中的所有元素都大于零，则可以直接根据定理进行计算;若支付矩阵U 中有小于0的元素,可以通过加上一个常数使它们都大于0,然后再根据定理进行计算. (2) 求解定理中的两个对偶线性规划问题.下面通过实例来说明如何求解双人零和博弈的Nash 均衡.例3 求解下图中战略式博弈的Nash 均衡. 参与人2L M RU参与人1 C D通过求解对偶线性规划问题求零和博弈的Nash 均衡解 根据前面的介绍，可知该博弈的支付矩阵为U=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛224132312不难发现，该博弈的支付矩阵U=()33x ij a 的每个元素都大于0，即ij a >0,那么博弈的值大于0，即v>0.设参与人1和参与人2的混合战略分别是1σ=（321,,vp vp vp ）和2σ=（321,,vq vq vq ）,利用对偶线性规划求解方法求解该战略式博弈的Nash 均衡，构造规划问题如下.Min ｛321p p p ++｝s.t. 321422p p p ++≥1 32123p p p ++≥1 32123p p p ++≥1 1p ≥0,2p ≥0,3p ≥0 和Max ｛321q q q ++｝s.t. 32132q q q ++≤1 32132q q q ++≤1 321224q q q ++≤1 1q ≥0,2q ≥0,3q ≥0求解第一个规划问题，得到1p =1/4, 2p =1/4, 3p =0,参与人1的支付v=2.因此，参与人1的混合战略1σ*=（1/2,1/2,0）.同理，对对偶问题求解，得到1q =0，2q =1/4, 3q =1/4,参与人2的损失v=2,因此参与人的混合战略2σ*=（0,1/2,1/2）.所以，该博弈存在一个混合战略Nash 均衡（（1/2,1/2,0）（0,1/2,1/2），）.例4 求解下图中的战略式博弈的Nash 均衡.参与人2L M R U 参与人1 C D通过求解对偶线性规划问题求零和博弈的Nash 均衡解 该博弈的支付矩阵为U=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--203011122 在上树支付矩阵U=33)(x ij a 中，12a <0, 21a <0.为了利用对偶线性规划模型求解博弈的解，构造支付矩阵U '=33')(x ij a ,其中a 'ij=ij a +c.令c=2，那么新构造的支付矩阵为U '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛425231304 设参与人1和参与人2的混合战略分别是1σ=（v 'p 1, v 'p 2, v 'p 3）和2σ=（v 'q 1, v 'q 2 v 'q 3,）,v 为原博弈的值，v '为新博弈的值，且v '=v+2，利用对偶线性规划求解方法求解新战略式博弈的Nash 均衡，构造规划问题如下.Min ｛321p p p ++｝ s.t. 32154p p p ++≥13223p p +≥1 321423p p p ++≥11p ≥0, 2p ≥0, 3p ≥0Max ｛321q q q ++｝s.t. 3134q q +≤1 32123q q q ++≤1 321425q q q ++≤1 1q ≥0,2q ≥0,3q ≥0通过求解对偶问题，得到1p =0，2p =3/13, 3p =2/13,参与人1的支付v '=13/5, 1q =1/13, 2q =4/13, 3q =0,参与人2的损失v '=13/5.因此，参与人1的混合战略1σ*=（0,3/5,2/5）, 参与人2 的混合战略2σ*=(1/5,4/5,0)，原博弈的值v= v '-2=3/5.所以，博弈存在一个混合战略Nash 均衡（（0,3/5,2/5），(1/5,4/5,0)）.。
双人零和博弈（精品）
一、双人零和博弈的概念零和博弈又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈，指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，一方收益多少，另一方就损失多少，所以博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”.双方不存在合作的可能.用通俗的话来讲也可以说是:自己的幸福是建立在他人的痛苦之上的，二者的大小完全相等，因而双方在决策时都以自己的最大利益为目标，想尽一切办法以实现“损人利己”.零和博弈的结果是一方吃掉另一方，一方的所得正是另一方的所失，整个社会的利益并不会因此而增加一分.二、双人零和博弈的模型的建立建立双人零和博弈的模型，就是要根据对实际问题的叙述确定参与人（局中人）的策略集以及相应的收益矩阵（支付矩阵）.我们记双人零和博弈中的两个局中人为A和B;局中人A的策略集为a1,…,am,局中人B的策略集为b1,…,bn;cij为局中人A采取策略ai、局中人B采取策略bj 时A的收益（这时局中人B的收益为- cij）.则收益矩阵见下表表1那么下面我们通过例子来说明双人零和博弈模型的建立: 例1甲、乙两名儿童玩猜拳游戏.游戏中双方同时分别或伸出拳头（代表石头）、或手掌（代表布）、或两个手指（代表剪刀）.规则是剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，赢者得一分.若双方所出相同，算和局，均不得分.试列出对儿童甲的赢得矩阵.解 本例中儿童甲或乙均有三个策略:或出拳头，或出手掌，或出两个手指，根据例子中所述规则，可列出对儿童甲的赢得矩阵见表2.表2例2 从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张，在对B 保密情况下拿给A 看，若A 看到的是红牌，他可选择或掷硬币决定胜负，或让B 猜.若选择掷硬币，当出现正面，A 赢p 元，出现反面，输q 元;若让B 猜，当B 猜中是红牌，A 输r 元，反之B 猜是黑牌，A 赢s 元.若A 看到的是黑牌，他只能让B 猜.当B 猜中是黑牌，A 输u 元，反之B 猜是红牌，A 赢t 元，试确定A 、B 各自的策略，建立支付矩阵.解 因A 的赢得和损失分别是B 的损失和赢得，故属二人零和博弈.为便于分析，可画出如图3的博弈树图.图3中，○为随机点，□分别为A 和B 的决策点，从图中看出A 的策略有掷硬币和让B 猜两种，B 的策略有猜红和猜黑两种，据此可归纳出各种情况下A 和B 输赢值分析的表格，见表4.图3抽到红牌正面反面抽到黑球○□□○□1/2掷硬币让B 猜1/21/2猜红猜黑猜黑猜红1/2让B 猜p-q-rst-u表4对表4中各栏数字可以这样来理解:因让A 看到红牌时或掷硬币或让B 猜.若A 决定选掷硬币这个策略，当出现正面，这时不管B 猜红或猜黑，A 都赢p 元;当出现反面，不管B 猜红或猜黑，A 都输q 元.同样A 选择让B 猜的策略后，他的输赢只同B 猜红或猜黑有关，而与掷硬币的正反面无关.又若抽到的牌是黑牌，A 的决定只能让B 猜，因而掷硬币策略对A 的胜负同样不起作用.考虑到抽牌时的红与黑的概率各为1/2，掷硬币时出现正反面的概率也各为1/2,故当A 采取“掷硬币”策略，而B 选择“猜红”策略时，A 的期望赢得为:⎪⎭⎫ ⎝⎛-q p 212121+t 21=()t q p 241+- 当A 采取让B 猜策略，B 选择“猜红”策略时，A 的期望赢得为:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-r r 212121+t 21=()t r +-21相应可求得其他策略对A 的期望赢得值.由此可列出本例的收益矩阵，见表5.表5三、双人零和博弈的求解定理1（极小极大定理）在零和博弈中，对于给定的支付矩阵U ，如果存在混合战略1σ*=（1σ*1，…1σ*m ）和2σ*=（2σ*1， (2)σ*n ）以及一个常数v 满足，对任意j 有∑=mi i ij a 11*σ≥v ，对任意的i 有∑=nj j ij a 12*σ≤v ，那么战略组合（1σ*，2σ*）为该博弈的Nash 均衡.其中，v 为参与人1在均衡中所得到的期望支付，亦称该博弈的值.这个极小极大定理，其基本思想就是:参与人1考虑到对方使自己支付最小的最优反应，从中选择使自己最好的策略.参与人2也遵循同样的思路，这样才能满足Nash 均衡的互为最优反应的条件.这样我们就可以得到双人零和博弈Nash 均衡的计算方法了，如以下定理定理2 对于给定的零和博弈，如果博弈的值v 大于0，则博弈的Nash 均衡（1σ*，2σ*）为以下对偶线性规划问题的解Min ∑=mi i p 1s.t. ∑=mi i ij p a 1≥1 (j=1,…,n)i p ≥0 (i=1,…,m) 和Max ∑=nj j q 1s.t. ∑=nj j ij q a 1≤1 (i=1,…,m)j q ≥0 (j=1,…,n) 其中，Nash 均衡支付∑∑====nj jmi iqpv 1111Nash 均衡战略),,,,(1*1m i vp vp vp =σ，),,,(1*2n j vq vq vq =σ由于此定理只适用于v 大于0的情形，因此对于v 小于等于0的情形，该定理所给出的方法需做适当的修改.命题 如果支付矩阵U=m xn ij a )(的每个元素都大于0,即ij a ＞0,那么博弈的值大于0,即v ＞0.定理3 如果支付矩阵U '=m xn ij a )('是由U=m xn ij a )(的每个元素都加上一个常数c 得到，即c a a ij ij +='，那么支付矩阵U 和U '所对应的零和博弈的Nash 均衡战略相同，博弈的值相差c.根据以上定理，可以得到如下求解一般零和博弈Nash 均衡的方法:(1) 若支付矩阵U 中的所有元素都大于零，则可以直接根据定理进行计算;若支付矩阵U 中有小于0的元素,可以通过加上一个常数使它们都大于0,然后再根据定理进行计算. (2) 求解定理中的两个对偶线性规划问题.下面通过实例来说明如何求解双人零和博弈的Nash 均衡.例3 求解下图中战略式博弈的Nash 均衡. 参与人2L M RU参与人1 C D通过求解对偶线性规划问题求零和博弈的Nash 均衡解 根据前面的介绍，可知该博弈的支付矩阵为U=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛224132312不难发现，该博弈的支付矩阵U=()33x ij a 的每个元素都大于0，即ij a >0,那么博弈的值大于0，即v>0.设参与人1和参与人2的混合战略分别是1σ=（321,,vp vp vp ）和2σ=（321,,vq vq vq ）,利用对偶线性规划求解方法求解该战略式博弈的Nash 均衡，构造规划问题如下.Min ｛321p p p ++｝s.t. 321422p p p ++≥1 32123p p p ++≥1 32123p p p ++≥1 1p ≥0,2p ≥0,3p ≥0 和Max ｛321q q q ++｝s.t. 32132q q q ++≤1 32132q q q ++≤1 321224q q q ++≤1 1q ≥0,2q ≥0,3q ≥0求解第一个规划问题，得到1p =1/4, 2p =1/4, 3p =0,参与人1的支付v=2.因此，参与人1的混合战略1σ*=（1/2,1/2,0）.同理，对对偶问题求解，得到1q =0，2q =1/4, 3q =1/4,参与人2的损失v=2,因此参与人的混合战略2σ*=（0,1/2,1/2）.所以，该博弈存在一个混合战略Nash 均衡（（1/2,1/2,0）（0,1/2,1/2），）.例4 求解下图中的战略式博弈的Nash 均衡.参与人2L M R U 参与人1 C D通过求解对偶线性规划问题求零和博弈的Nash 均衡解 该博弈的支付矩阵为U=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--203011122 在上树支付矩阵U=33)(x ij a 中，12a <0, 21a <0.为了利用对偶线性规划模型求解博弈的解，构造支付矩阵U '=33')(x ij a ,其中a 'ij =ij a +c. 令c=2，那么新构造的支付矩阵为U '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛425231304 设参与人1和参与人2的混合战略分别是1σ=（v 'p 1, v 'p 2, v 'p 3）和2σ=（v 'q 1, v 'q 2 v 'q 3,）,v 为原博弈的值，v '为新博弈的值，且v '=v+2，利用对偶线性规划求解方法求解新战略式博弈的Nash 均衡，构造规划问题如下.Min ｛321p p p ++｝ s.t. 32154p p p ++≥13223p p +≥1 321423p p p ++≥11p ≥0, 2p ≥0, 3p ≥0Max ｛321q q q ++｝s.t. 3134q q +≤1 32123q q q ++≤1 321425q q q ++≤1 1q ≥0,2q ≥0,3q ≥0通过求解对偶问题，得到1p =0，2p =3/13, 3p =2/13,参与人1的支付v '=13/5, 1q =1/13, 2q =4/13, 3q =0,参与人2的损失v '=13/5.因此，参与人1的混合战略1σ*=（0,3/5,2/5）, 参与人2 的混合战略2σ*=(1/5,4/5,0)，原博弈的值v= v '-2=3/5.所以，博弈存在一个混合战略Nash 均衡（（0,3/5,2/5），(1/5,4/5,0)）.。
[读书使人明智]零和博弈与非零和博弈
![[读书使人明智]零和博弈与非零和博弈](https://img.taocdn.com/s3/m/0275b964178884868762caaedd3383c4bb4cb4db.png)
[读书使人明智]零和博弈与非零和博弈众所周知，博弈是为争夺利益而进行的一场竞争，竞争的结局在大多数情况下，总会有一个赢，有一个输，如果我们把获胜计算为1分，而输者得-1分，那么，这两人得分之和就是：1+(-1)=0。
在博弈论中，这种情形的博弈被称为“零和博弈”。
要了解零和博弈的原理，我们可以从《拉封丹寓言》中所讲的一则关于狐狸与狼的一场博弈中得到最为形象的解释。
有一天晚上，一只狐狸踱步来到了水井旁，低头俯身看到井底水面上月亮的影子，它以为那是一块大奶酪。
这只饿得发昏的狐狸跨进一只吊桶下到了井底，把与之相连的另一只吊桶升到了井面。
下到井底，它才明白这“奶酪”是吃不得的，自己已铸成大错，处境十分不利，长期下去就只有等死了。
如果没有另一个饥饿的替死鬼来打这月亮的主意，以同样的方式，落得同样悲惨的下场，而把它从眼下窘迫的境地换出来，它怎能指望再活着回到地面上去呢？两天两夜过去了，没有一只动物光顾水井。
时间一分一秒地不断流逝，银色的上弦月出现了。
沮丧的狐狸正无计可施时，刚好一只口渴的狼途经此地，狐狸不禁喜上眉梢，它对狼打招呼道：“喂，伙计，我免费招待你一顿美餐，你看怎么样？”看到狼被吸引住了，狐狸于是指着井底的月亮对狼说：“你看到这个了吗？这可是块十分好吃的奶酪，这是森林之神用牛奶做出来的。
假如神王朱庇特病了，只要他尝到这美味可口的食物就会胃口大开。
我已吃掉了这奶酪的一半，剩下这一半也够你吃一顿的了，就请委屈你钻到我特意为你准备好的桶里下到井里来吧。
狐狸尽量把故事编得天衣无缝，这只狼果然中了狐狸的奸计。
狼下到井里，它的重量使狐狸升到了井口，这只被困两天的狐狸终于得救了。
这个故事中狐狸和狼所进行的博弈就是蒙和博弈。
狐狸和狼一只在上面，一只在下面，下面的想上去，就得想办法让上面的下来。
零和博弈原理揭示的实质是这种博弈的双方的博弈结果永远是零。
在社会生活中有太多的情况与零和博弈有类似的局面，胜利者的喜悦常常建立在失败者的痛苦之上，胜利者的光荣背后往往隐藏的是失败者的辛酸与苦涩。
生活中零和博弈的例子
生活中零和博弈的例子
在生活中，我们经常会面对各种各样的博弈情境，有些是合作共赢的，有些则是零和博弈的。
零和博弈是指参与者之间的利益完全对立，一方的利益的增加必然导致另一方的利益减少。
这种情况下，参与者往往会采取竞争、对抗的态度，而非合作共赢。
一个生动的例子是工作场合上的竞争。
在职场上，每个人都希望能够获得更好的职位和更高的待遇，但是职位和待遇是有限的，因此同事之间往往会陷入零和博弈的状态。
他们会争夺资源和机会，甚至采取一些不道德的手段来排挤竞争对手，这样一来，整个团队的氛围就会变得紧张和不友好。
另一个例子是家庭中的争斗。
比如兄弟姐妹之间为了争夺父母的关注和爱，会展开激烈的竞争，这种竞争往往会导致家庭关系的紧张和破裂。
父母也可能会陷入争夺家庭资源和权力的博弈中，这样一来，家庭氛围就会变得紧张和不和谐。
在社会层面上，不同国家之间的竞争也是零和博弈的典型例子。
各国为了争夺资源、市场和地缘政治的影响力，往往会采取竞争和对抗的态度，这样一来，国际关系就会变得紧张和不稳定。
面对零和博弈的情境，我们应该如何应对呢？首先，我们要意识到零和博弈并非唯一的选择，合作共赢同样是一个可行的选择。
我们可以通过合作、沟通和妥协来寻求双赢的解决方案，从而化解博弈带来的负面影响。
其次，我们要学会换位思考，尊重他人的利益和权利，避免为了自己的利益而伤害他人。
最后，我们要注重建立良好的人际关系，通过互相支持和信任来化解博弈带来的紧张和矛盾。
总之，生活中的零和博弈无处不在，我们需要学会正确的应对方式，才能够化解博弈带来的负面影响，实现合作共赢的局面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6，-6
1，-1
2，-2
0， 0
1，-1
0， 0
山西财经大学经济学院 康旭华
19
2018/10/25
最小最大方法：4
参与人2 L U 参与人 1 M M R
5
3
2
6
1
4
6
3
0
D
山西财经大学经济学院 康旭华
20
2018/10/25
最小最大方法：4
参与人2 L U 参与人 1 M D M R
5，-5
山西财经大学经济学院 康旭华 29
2
正面
反面
山西财经大学经济学院 康旭华
8
非零和博弈： 囚犯困境(蕴含双赢或多赢)
支付
2018/10/25
嫌疑 人B
抵赖
坦白
嫌疑人A
抵赖 坦白 -1，-1 0，-9 -9，0 -6，-6
山西财经大学经济学院 康旭华
9
2018/10/25
行局中人的支付
支付 1 正面
反面
2
正面 -1
1
反面 1
-1
山西财经大学经济学院 康旭华
专题一：零和博弈
Zero-Sum Game
2018/10/25
1
2018/10/25
内容提要
零和博弈
最小最大方法 直线交叉法 对抗性排序
山西财经大学经济学院 康旭华 2
2018/10/25
零和博弈与非零和博弈 (zero-sum game and non-zero-sum game)
如果一个博弈在所有各种对局下全体参与 人之得益总和总是保持为零，这个博弈就 叫零和博弈；
q-混合
-q+(1-q)
反
1
max=1
-1
max=1
q-(1-q)
max=?
山西财经大学经济学院 康旭华
27
2018/10/25
参与人2的q-混合策略图解
2的支付
1
1反
1/2
1正
1
0
1 2的q混合策略
-1
-1
山西财经大学经济学院 康旭华
28
2018/10/25
内容提要
零和博弈
最小最大方法 直线交叉法 对抗性排序
山西财经大学经济学院 康旭华
6
常和博弈：掷硬币 常和为-1：偏零因子-1/2
支付 1 正面 反面 -1.5，0.5 0.5，-1.5 0.5，-1.5 -1.5，0.5 2 正面 反面
2018/10/25
山西财经大学经济学院 康旭华
7
2018/10/25
归零博弈：支付减去-0.5
支付 1 正面 反面 -1，1 1，-1 1，-1 -1，1
14
2018/10/25
最小最大方法：1
支付 2
左
右
1 上
下
1，-1
2，-2
4，-4
3，-3
山西财经大学经济学院 康旭华
15
2018/10/25
最小最大方法：2
支付 1 上 下 1 4 2 3 2 左 右
山西财经大学经济学院 康旭华
16
2018/10/25
最小最大方法：2
支付 1 2
左 1，-1
4
2018/10/25
常和博弈与非常和博弈 (constant-sum game and variable-sum game)
如果一个博弈在所有各种对局下全体参与人之得 益总和总是保持为一个常数，这个博弈就叫常和 博弈； 相反，如果一个博弈在所有各种对局下全体参与 人之得益总和不总是保持为一个常数，这个博弈 就叫非常和博弈。 常和博弈也是利益对抗程度最高的博弈。
-p+(1-p)
-1
p-(1-p)
min=-1
min=？
山西财经大学经济学院 康旭华
25
2018/10/25
参与人1的p-混合策略图解
1的支付
1
2正
1/2
2反
1
0
1 1的p混合策略
-1
-1
山西财经大学经济学院 康旭华
26
2018/10/25
2的选择
支付 2 1 正 正 (q) -1 反 (1-q) 1
山西财经大学经济学院 康旭华 12
2018/10/25
最小最大方法的应用
支付 甲 上 下 -3 10 4 6 min=-3 min=6 乙 左 右
max=10
max=6
山西财经大学经济学院 康旭华
13
2018/10/25
最小最大方法：1
支付 1 2 左 右
上
下
1
2
4
3
山西财经大学经济学院 康旭华
3，-3
2，-2
6，-6
1，-1
4，-4
6，-6
3，-3
0， 0
山西财经大学经济学院 康旭华
21
2018/10/25
内容提要
零和博弈
最小最大方法 直线交叉法 对抗性排序
山西财经大学经济学院 康旭华 22
2018/10/25
最小最大方法： 适用于零和博弈的纯策略纳什均衡 扩展的最小最大方法 （直线交叉方法）： 适用于零和博弈的混合策略纳什均衡 在非零和博弈中，可能存在共同利益。
山西财经大学经济学院 康旭华
5
2018/10/25
常和博弈与归零博弈
设G是一个n人常和博弈，那么在G的每种战略组合
下博弈的n个参与人的支付的总和是一个常数。常
数的1/n称为常和博弈支付的偏零因子。
对于每个n人常和博弈G，可以从每个参与人的支付 中减去博弈的偏零因子，将G转换为零和博弈G/，把 G/叫做常和博弈G的归零博弈。
10
2018/10/25
内容提要
零和博弈
最小最大方法 直线交叉法 对抗性排序
山西财经大学经济学院 康旭华 11
2018/10/25
最小最大方法
由冯· 诺依曼提出 基本思想： 作为局中人，对手将采取对他自己最有利的 策略；相应的，对手会选择使你获得尽可能差 的支付的策略。 由于零和博弈的特点和性质，以上思想即为： 任何使对手得到最好结果的策略，都会使你获 得最差的结果。 双方都具有这样的理性！
山西财经大学经济学院 康旭华 23
2018/10/25
无纯策略纳什均衡的零和博弈
支付 1 正 反 -1 1
max=1 max=1
2
正
反 1 -1
min=-1 min=-1
山西财经大学经济学院 康旭华
24
2018/10/25
1的选择
支付
1 正（p） -1 1
min=-1
2
正
反
反（1-p）
p-混合
1
4，-4
右 2，-2
3，-3
上
下
山西财经大学经济学院 康旭华
17
2018/10/25
最小最大方法：3
参与人2 L U 参与人1 M D
0
山西财经大学经济学院 康旭华
0
18
2018/10/25
最小最大方法：3
参与人2 L U M R
5，-5
3，-3
1，-1
参与人 1
M D
相反，如果一个博弈在所有各种对局下全 体参与人之得益总和不总是保持为零，这 个博弈就叫非零和博弈。 零和博弈是利益对抗程度最高的博弈。
山西财经大学经济学院 康旭华 3
2018/10/25
零和博弈：掷硬币
支付 2 正面 反面
1 正面
反面
-1，1
1，-1
1，-1
-1，1
山西财经大学经济学院 康旭华