浙江省湖州市高二上学期数学期末考试试卷
浙江省湖州市高二上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、解答题 (共8题；共71分)
1. （1分） (2018高二上·雅安月考) 已知点，设点在线段上（含端点），则的取值范围是________
2. （10分）已知直角△ABC的顶点坐标A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2 ），顶点C在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求斜边的方程．
3. （10分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的一点，M，N分别为BC1AB，的中点．
（1）求证：MN∥平面DCC1；
（2）当D为AA1的中点时，求三棱锥D﹣ACN的体积．
4. （5分） (2018高二上·宜昌期末) 已知，，．
（Ⅰ）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，“ 或”为真命题，“ 且”为假命题，求实数的取值范围．
5. （10分） (2018高二上·承德期末) 如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为 .
（1）证明：为的中点；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
6. （10分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知圆过两点，，且圆心在直线
上.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点且与圆有两个不同的交点，若直线的斜率大于0，求的取值范围.
7. （15分） (2018高三上·河北月考) 已知函数(m,n∈R)在x=1处取得极值2.
（1）求f(x)的解析式；
（2） k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根
（3）设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围
8. （10分） (2018高二上·凌源期末) 已知椭圆的离心率为，且过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点的直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
二、填空题 (共14题；共15分)
9. （1分）(2019·黄冈模拟) 命题“ ，”的否定是“________，”．
10. （1分） (2017高二上·广东月考) 已知，，则直线与坐标平面的交点坐标为________．
11. （1分） (2018高二上·万州月考) 如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．
12. （1分） (2015高二上·常州期末) 抛物线x2=﹣8y的焦点坐标为________．
13. （1分） (2017高二上·邯郸期末) “x＞3”是“x＞1”的________条件．
14. （1分） (2017高三上·徐州期中) 棱长均为2的正四棱锥的体积为________．
15. （1分） (2017高二下·黄山期末) 函数y=x3+x的递增区间是________．
16. （2分）(2018·杭州模拟) 双曲线的渐近线方程是________，离心率是________.
17. （1分）给出下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是________(填序号)．
18. （1分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=________
19. （1分） (2016高二上·如东期中) 设F1 ， F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P为直角三角形，该三角形的面积为________．
20. （1分） (2016高二上·临川期中) 如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x= 时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；
以上命题中真命题的序号为________．
21. （1分） (2017高一上·辽宁期末) 已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点，且与直线2x+3y+5=0平行，则直线l的方程为________．
22. （1分）已知函数f(x)＝－f′(0)ex＋2x，点P为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线l上的一点，点Q在曲线y＝ex上，则|PQ|的最小值为________．
参考答案一、解答题 (共8题；共71分)
1-1、
2-1、
2-2、
3-1、
3-2、4-1、
5-1、
5-2、6-1、
6-2、7-1、
7-2、
7-3、
8-1、
8-2、
二、填空题 (共14题；共15分) 9-1、
10-1、
11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、
16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、。
2020-2021学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．23．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．18．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．29．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是．（两条都写出）12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为，其外接球的表面积是．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．解：由点到直线的距离公式可得：点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d＝．故选：A．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．2解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0即（x﹣）2+（y+1）2＝3，则圆的半径为．故选：C．3．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．∴l∥α或l⊂α．故选：C．4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行，所以，解得a＝2或a＝﹣3，故“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解：由l为直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故A错误；在B中，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：连接B1D1，EB1，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1，∴∠ED1B1或其补角为直线ED1与直线BD所成角，在△ED1B1中，B1D1＝2，B1E＝，D1E＝，由余弦定理知，cos∠ED1B1＝＝＝，∴直线ED1与直线BD所成角的余弦值是．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S＝×1×1＝，高为1，故棱锥的体积V＝＝，故选：A．8．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．2解：不妨设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2．由直线AB斜率为﹣2，且过点（1，0），用点斜式求得直线AB的方程为y＝﹣2（x﹣1）．代入抛物线方程y2＝8x，可得4（x﹣1）2＝8x．整理得x2﹣4x+1＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，代入直线AB方程得y1＝﹣2﹣2，y2＝2﹣2．故A（2+，﹣2﹣2），B（2﹣，2﹣2）．|AB|＝＝2，故选：B．9．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：∵侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，△D1PC的面积为定值，∴点P到线段D1C的距离为定值，则点P在以D1C所在直线为轴，固定长为底面半径的圆柱的侧面与平面ABCD的交线上，∴运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．解：由题可知：a+c＝2b，∴直线l3：ax+y+c＝0过定点E（1，﹣2），直线l1，l2交点P（，），点P到直线l3的距离的最大值为P到定点的距离，即|PE|，|PE|＝＝，当m＝0时，|PE|＝2，当n＝0时，|PE|＝，设＝t，当m≠0时，|PE|＝＝，令y＝26﹣，由判别式法可得：（4﹣y）t2﹣4t+26﹣y＝0，则△＝16﹣4（4﹣y）（26﹣y）≥0，解得y≤15+5，∴|PE|≤+．故选：D．二、填空题（本题共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是y＝±2x．（两条都写出）解：双曲线，可知a＝1，b＝2，所以双曲线的离心率是＝＝．渐近线方程为：y＝±x，即y＝±2x．故答案为：；y＝±2x．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为5，其外接球的表面积是50π．解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为：＝5，故其外接球的直径为：5，∴其外接球的表面积是4π•（）2＝50π．故答案为：5，50π．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为4．解：过切点P（3，2）且与x+y﹣1＝0垂直的直线为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，与直线y＝﹣4x联立，解得x＝1，y＝﹣4，∴圆心为（1，﹣4），∴半径r＝，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8；圆心（1，﹣4）到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离d＝，∴圆被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2＝8；4．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．解：由椭圆的方程可得：a＝3，b＝，c＝2，所以F（2，0），当直线AB⊥x轴时，A（2，y），且y＞0，所以，解得y＝，所以|AB|＝，当|AF|＝2|BF|，设直线AB的方程为：x＝my+2，（m＜0），代入椭圆方程可得：（9+5m2）y2+20my﹣25＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y，y，由|AF|＝2|BF|可得：y1＝﹣2y2，所以联立方程解得m＝﹣，所以直线AB的方程为：x＝﹣，即y＝﹣，故直线AB的斜率为﹣，故答案为：．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是2x+y﹣7＝0．解：设所求直线的方程为2x+y+m＝0，将点（2，3）代入方程，可得m＝﹣7，故所求直线方程为2x+y﹣7＝0．故答案为：2x+y﹣7＝0．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是5﹣3．解：根据题意，圆C1：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C1为（0，2），半径R＝1，圆C2：（x﹣4）2+y2＝4，其圆心C2为（4，0），半径r＝2，设圆N与圆C1：x2+（y﹣2）2＝1关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，b），则有，解可得，即N（﹣3，﹣1），|NC2|＝＝5，当P在线段NC2上时，|PA|+|PB|取得最小值，则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|﹣R﹣r＝5﹣3，故答案为：5﹣3．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．解：设棱长为3a，QB＝x（0＜x≤3a），由余弦定理得QE＝．则正四面体的高PO＝＝a，设P到平面BCD的距离为h，则，x＝，∴sinθ＝＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．【解答】解（Ⅰ）设P（x，y），∵点A的坐标为（1，1），则由，得，∴动点P的轨迹C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣6＝k（x﹣4），即kx﹣y+6﹣4k＝0，∵直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，∴圆心C（2，2）到l的距离d＝，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝4，显然满足条件，∴l的方程为x＝4或3x﹣4y+12＝0．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连BC1，则M为BC1的中点，又O为BD的中点，所以OM∥C1D，因为OM⊄平面DB1C1，C1D⊂平面DC1B1，所以直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）解：连D1O，因为ABCD是菱形，所以DO⊥AC，又ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，所以D1A＝D1C，而O为AC中点，所以D1O⊥AC，所以∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角，因为ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以DO＝1，又DO＝2，所以，所以．二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．解：（Ⅰ）抛物线C的焦点，可设直线，代入y2＝2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，已知A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt，，∴，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设P（x3，y3），Q（x4，y4），则依题知x3+x4＝2x0，y3+y4＝2，由，得（y3+y4）（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），即2（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），得，∵MN⊥PQ，∴MN的斜率为，得x0＝2，∴圆M的半径．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：因为BC＝3，CD＝6，∠C＝60°，所以由余弦定理得，从而BD2+BC2＝CD2，所以DB⊥BC，由已知得AB＝MC，AB∥MC，所以ABCM为平行四边形，所以DB⊥AM，设DB∩AM＝O，则折后可得AM⊥平面QOB，所以QB⊥AM，因为，即QB2+BO2＝QO2，所以QB⊥BO，因为AM∩BO＝O，AM，BO⊂平面ABCM，所以QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）作BP⊥QO于P，则由AM⊥平面QOB知BP⊥平面AQM，连MP，则MP是BM在平面AQM上的射影，所以∠BMP即是BM与平面AQM所成的角．因为，BM＝＝＝，所以．∴直线BM与平面AQM所成角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．解：（Ⅰ）由题意得，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆C的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）依题意得椭圆M的方程为，从而O到AB的距离是N到AB距离的，所以．（ⅱ）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，所以．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由，所以，即（当且仅当时取得等号），从而．。
浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题含答案
2023学年第一学期期末调研测试卷高二数学（答案在最后）注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．1.已知集合{}31,A x x n n ==+∈Z ，()(){}650B x x x =+-<，则A B = （）A.{}2,1,4- B.{}8,5,2,1--- C.{}5,2,1-- D.{}5,2,1,4--【答案】D 【解析】【分析】求出集合B ，然后令31n B +∈求出n 即可.【详解】()(){}{}65065B x x x x x =+-<=-<<，令6315n -<+<，解得7433n -<<，又n ∈Z ，所以2,1,0,1n =--，所以{}5,2,1,4A B ⋂=--.故选：D.2.在复平面上，复数5i 2-（i 为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出复数的代数形式，然后确定其对应的点即可.【详解】()()()()5i+25i 252i i 2i 2i 25+===----+-,其在复平面上对应的点为()2,1--，在第三象限，故选：C.3.已知向量(),1,2a k = ，(),0,2b k =- ，则“2k =”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标表示结合充分、必要条件分析求解.【详解】若a b ⊥，则240a b k ⋅=-=r r，解得2k =±，显然“2k =”可以推出“2k =±”，“2k =±”不可以推出“2k =”，所以“2k =”是“a b ⊥”的充分不必要条件.故选：A.4.双曲线2221x y -=的渐近线方程是（）A.y =B.2y x =±C.12y x =±D.2y x=±【答案】B 【解析】【分析】令2220x y -=，化简整理即得渐近线方程.【详解】由双曲线2221x y -=，令2220x y -=，解得22y x =±，所以渐近线方程为22y x =±.故选：B.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且13n n a S +=（*n ∈N ），则（）A.{}n S 为等比数列B.{}n S 为等差数列C.{}n a 为等比数列 D.{}n a 为等差数列【答案】A 【解析】【分析】利用1nn n a S S -=-求出{}n a 的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可.【详解】由13n n a S +=得当2n ≥时，13n n a S -=，两式相减得13n n n a a a +-=，即14n n a a +=，又当1n =时，211333a S a ===，所以数列{}n a 即不是等比数列也不是等差数列，CD 错误；所以21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，当2n ≥时，()113141414n n nS ---=+=-所以当1n =时，11S =，符合14n n S -=，所以14n n S -=，又2n ≥时14nn S S -=，所以{}n S 为等比数列，A 正确，B 错误.故选：A.6.已知圆1C ：22264480x y x my m ++-++=（0m ≠，R m ∈）与圆2C ：222240x y my m +-+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.外离D.与m 的取值有关【答案】C 【解析】【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案.【详解】圆1C ：22264480x y x my m ++-++=，即()()22321x y m ++-=，圆心()13,2C m -，半径11r =，圆2C ：222240x y my m +-+-=，即()224x y m +-=，圆心()20,C m ，半径22r =，所以当0m ≠时，12123C C r r =>=+所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外离.故选：C .7.已知空间内三点()1,1,2A ，()1,2,0B -，()0,3,1C ，则点A 到直线BC 的距离是（）．A.B.1C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出cos ABC ∠，利用同角三角函数的关系求出sin ABC ∠，结合sin d AB ABC ∠=⋅计算即可求解.【详解】空间内三点(1,1,2)A ，(1,2,0)B -，(0,3,1)C ，所以=3AB，BC = (1,1,1)BC =uu u r，(2,1,2)BA =-uu r ，由cos 3||||BA BC ABC BA BC ∠⋅===uu r uu u r uu r uu u r，所以sin 3ABC ∠=，所以点A 到直线BC的距离3sin 3d AB ABC ∠=⋅=⨯=故选：A.8.已知1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点，椭圆上一点P 满足12PF PF ⊥，且2115PF F PF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（） A.62B.3 C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先求出21sin PF F ∠，1sin PF F ∠，然后利用正弦定理求出12,PF PF 的关系，再利用12,PF PF 关系求出,a c 后即可得离心率.【详解】设1PF F x ∠=，则215PF F x ∠=，又12PF PF ⊥，则590x x += ，得15x =o ，即21175,15PF F PF F ∠=∠=，又()211sin sin 453022224PF F ∠=+=⨯+⨯= ，()11sin sin 453022224PF F ∠=-=⨯-⨯=，由正弦定理得12121sin sin PF PF F PF PF F ∠==∠，设12,,PF k PF k ==，则1222a PF PF k k =+=+=，即a =，又()2222216c k k k ⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦，所以2c k =，所以离心率63c e a ===.故选：D.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则下列说法正确的是（）A.()()22f f -=B.()00f =C.若()f x 在(),0∞-上有最小值2-，则()f x 在()0,∞+上有最大值2D.若()f x 在(),0∞-上单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由奇函数的定义和图象的对称性可依次判断各个选项.【详解】对于A ，由奇函数定义可得()()22f f -=-，若()20f ≠，则()()22f f -=不成立，故A 错误；对于B ，由奇函数定义可得()()00f f =-，得()00f =，故B 正确；对于C ，由奇函数图象关于原点对称，可知C 正确；对于D ，由奇函数图象关于原点对称，可知()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 错误.故选：BC.10.对于直线l ：30mx ny m +-=（220m n +≠，,R m n ∈），下列说法正确的是（）A.直线l 的一个方向向量为(),n m -B.直线l 恒过定点()3,0C.当m =时，直线l 的倾斜角为60°D.当2m =-且0n >时，l 不经过第二象限【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可.【详解】对于A ：直线l 的一个方向向量为(),n m -，A 正确；对于B ：直线l 的方程可化为()30m x ny -+=，所以直线l 恒过定点()3,0，B 正确；对于C ：当m =时，直线l 的斜率为，此时倾斜角为120 ，C 错误；对于D ：当2m =-且0n >时，直线l 为()23y x n=-，所以l 不经过第二象限，D 正确.故选：ABD .11.设n S 是公差为()d d ≠0的等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则数列{}n S 有最大项B.若数列{}n S 有最大项，则0d <C.若数列{}n S 是递增数列，则对任意N n +∈，均有0n S >D.若对任意+n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】ABD 【解析】【分析】由题意21()22n dn dS a n =+-，分0d <、0d >分别讨论对应的函数性质可判断A ，B ；若数列{}n S 是递增数列，则10(2)n n n a S S n -=->≥，若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥分析可判断C ，D.【详解】因为21(22n dn dS a n =+-，若0d <，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列{}n S 有最大项，A 正确；若0d >，二次函数开口向上，无最大项故若数列{}n S 有最大项，有0d <，B 正确；若数列{}n S 是递增数列，则10(2)n n n a S S n -=->≥，若10a <，则10S <，故不一定对任意N n +∈，均有0n S >，C 错误；若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意+n N ∈，均有0n S >故若对任意N n +∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，D 正确．故选：ABD12.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 满足111A F x A D = ，AE y AD z AB =+，且x ，y ，()0,1z ∈．记EF 与1AA 所成角为α，EF 与平面ABCD 所成角为β，则（）A.若13z =，三棱锥E -BCF 的体积为定值B.若12x y z ===，则AE BF ⊥C.(),,0,1x y z ∀∈，π2αβ+=D.()0,1x ∀∈，总存在y z =，使得//EF 平面11BDD B 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：确定EBC S 以及点F 到面EBC 的距离的取值情况即可判断；对于B ：假设AE BF ⊥，找出矛盾即可判断；对于C ：过F 作1//FG AA 交AD 于G ，连接GE ，找到α和β即可判断；对于D ：作图，然后证明//EF 平面11BDD B 即可.【详解】对于A ：若13z =，点E 在过线段AB 的三等分点（靠近A 点）并且与AD 平行的线MN 上，因为点E 在线段MN 上，且//BC MN ，所以点E 到线段BC 的距离为定值，则EBC S 为定值，又点F 到面ABCD ，即面EBC 的距离不变，所以13F EBC EBC F EBC V S h --=⋅ 为定值，A 正确；对于B ：若12x y z ===，则点F 为线段11A D 的中点，点E 为线段,AC BD 的交点，若AE BF ⊥，又AE BD ⊥，且,BF BD ⊂面BFD ，BF BD B ⋂=，所以⊥AE 面BFD ，又EF ⊂面BFD ，所以AE EF ⊥，设正方体的棱长为a ，则255,,222AE a AF a EF a =====，此时222AF EF AE ≠+，即90AEF ∠≠ ，与AE EF ⊥矛盾，故AE BF ⊥不正确，B 错误；对于C ：(),,0,1x y z ∀∈，则点F 在线段11A D 上（不含端点），点E 在正方形ABCD 内（不含边界），过F 作1//FG AA 交AD 于G ，连接GE ，则GFE ∠为EF 与1AA 所成角，即GFE α=∠，因为1AA ⊥面ABCD ，1//FG AA ，所以FG ⊥面ABCD ，则FEG ∠为EF 与平面ABCD 所成角，即FEG β=∠，因为EGF △为直角三角形，所以π2αβ+=，C 正确；对于D ：过F 作1//FG AA 交AD 于G ，过G 作//GE BD 交AC 于E ，连接EF ，此时满足111A F x A D = ，AE y AD z AB =+，()0,1x ∈，y z =，接下来只需要证明//EF 平面11BDD B 即可，因为11////FG AA DD ，FG ⊄面11BDD B ，1DD ⊂面11BDD B ，所以//FG 面11BDD B ，又//GE BD ，GE ⊄面11BDD B ，BD ⊂面11BDD B ，所以//GE 面11BDD B ，又GE FG G = ，且,GE FG ⊂面GEF ，所以面//GEF 面11BDD B ，又EF ⊂面GEF ，所以//EF 平面11BDD B ，所以()0,1x ∀∈，总存在y z =，使得//EF 平面11BDD B ，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．【答案】56【解析】【分析】求出总的基本事件数，然后求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型的公式求解即可.【详解】首先从中任取两个小球有()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6个基本事件，取出的小球中至少有一个号码为奇数有()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,3,3,4共5个基本事件，所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为56.故答案为：56.14.已知O 为坐标原点，过抛物线()2:20C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(),0M p ，若AF AM =，则直线AB 的斜率为______.【答案】【解析】【分析】由条件可得2M FA x x x +=，然后求出点A 的坐标，然后由AB AF k k =可得答案.【详解】因为AF AM =，(),0M p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以324M F A x x x p +==，所以22322A A y px p ==，2A y p =，所以02342AB AFp k k p p -===-，故答案为：15.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若424S S =，221n n a a =+，则2023a =_____________．【答案】4045【解析】【分析】先根据条件列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =得()114642a d a d +=+，整理得120a d -=①由221n n a a =+得()()1121211a n d a n d ⎡⎤+-=+-+⎣⎦，整理得11a d -=-②，由①②得11,2a d ==，所以2023120221220224045a a d =+=+⨯=.故答案为：4045.16.在三棱锥O ABC -中，6OA OB OC === ，3πAOB AOC BOC ∠=∠=∠=，点M 在OA 上，2OM MA = ，N 为BC 中点，则MN = _____________．【答案】【解析】【分析】将向量MN 用向量,,OA OB OC 表示出来，然后平方求解即可.【详解】由已知得211322MN MO ON OA OB OC =+=-++ ，则22211322MN OA OB OC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭222411221944332OA OB OC OA OB OC OB OC =++-⋅⋅+-⋅ 41121211136363666666619944323222=⨯+⨯+⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以MN = .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且112a b ==，22a b =，43a b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c b a =-，求数列{}n c 的前10项和．【答案】（1）2,2nn n a n b ==（2）1936【解析】【分析】（1）直接利用等差等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）通过分组求和，利用等差等比的求和公式求解.【小问1详解】设数列{}n a 是公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由已知得212a a d d =+=+，212b b q q =⋅=，41323a a d d =+=+，22312b b q q =⋅=，所以222232d q d q +=⎧⎨+=⎩，解得10q d =⎧⎨=⎩（舍去）或22q d =⎧⎨=⎩，所以2,2n n n a n b ==；【小问2详解】由（2）的22n n c n =-，所以数列{}n c 的前10项和为()()10212220101936122-+⨯-=-.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B b A =，且边AB 上的高等于14AB ．（1）求角A 的值；（2）若ABC 的面积为18，求边BC 的长．【答案】（1）π4A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意运用正弦定理边化角，即可得结果.（2）根据面积关系可得,b c ，再利用余弦定理运算求解.【小问1详解】因为sin cos a B b A =，由正弦定理可得：sin sin sin cos A B B A =，且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得sin cos A A =，即tan 1A =，且()0,πA ∈，所以π4A =.【小问2详解】由ABC 的面积可得1sin 21124ABC ABC S bc A S AB AB ⎧=⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，即2118221188bc c ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩由余弦定理可得22222cos 181********a b c bc A =+-=+-⨯⨯，即a =所以边BC的长为.19.已知圆O ：224x y +=，直线:4l y kx =+．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当90AOB ∠=︒时，求k 的值；（2）若12k =时，点P 为直线l 上的动点，过点P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，求四边形OCPD 的面积的最小值．【答案】（1）k =（2）5【解析】【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解；（2）将四边形OCPD 的面积的最小值转化为求OPD S △的面积最小值，根据12OPD S OD PD =⋅= 求其最小值即可.【小问1详解】当90AOB ∠=︒时，由垂径定理得圆心O 到直线:4l y kx =+的距离为，则2421k =+，解得7k =±；【小问2详解】当12k =时，直线1:42l y x =+，即280x y -+=由已知得22211422OPD S OD PD OD OP OD OP =⋅=⋅-=- 又min 88145OP ==+，所以OPD S △的最小值为28211455⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为四边形OCPD 的面积的为2OPD S ，所以其最小值为41145555=20.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）求证：BF DE ⊥：（2）当11B D =时，求平面11BB C C 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）取线段BC 的中点G ，连接1,EG B G ，通过证明BF ⊥面11EGB A 可得结论；（2）通过证明出1,,AB BC BB 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角.【小问1详解】取线段BC 的中点G ，连接1,EG B G ，由,E G 分别时线段,CA CB 的中点可得11////EG AB A B 所以11,,,E G B A 四点共面，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，则侧面11CBB C 也为正方形，且112EC BG BC BB ==，所以1Rt Rt FCB GBB ，则190FBC BGB FBC BFC ∠+∠=∠+∠=，所以1BF GB ⊥，又11BF A B ⊥，1111111,,GB A B B GB A B =⊂ 面11EGB A ，所以BF ⊥面11EGB A ，又DE ⊂面11EGB A ，所以BF DE ⊥；【小问2详解】由（1）得BF ⊥面11EGB A ，又11A B ⊂面11EGB A ，所以11BF A B ⊥，又111BB A B ⊥，11,,BB BF B BB BF =⊂ 面11CBB C ，所以11A B ⊥面11CBB C ，又11//A B AB ，所以AB ⊥面11CBB C ，又BC ⊂面11CBB C ，所哟AB BC ⊥，故1,,AB BC BB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，()()()1,0,2,1,1,0,0,2,1D E F ，则()()0,1,2,1,1,1DE EF =-- 设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则200DE n y z EF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1z =可得()3,2,1n = ，又平面11BB C C 的一个法向量为()1,0,0m = ，设平面11BB C C 与平面DEF 所成锐二面角为θ所以cos 14m n m n θ⋅===⋅.21.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且234117a a a ++=，318a +是2a ，4a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n b b a +-⋅的前n 项和等于2n ．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）()11332n n S +=-（2）123n n n b -=-【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程求出首项和公比，然后利用求和公式求和即可；（2）先利用()()2211n n n b b a n n +-=--⋅，求出1n n b b +-，然后构造关于数列{}n b 的常数数列求解即可.【小问1详解】由已知()231234117a q a q q a a ++++==①，又()324218a a a +=+，即()23111218a q a q a q +=+②由①②得13,3a q ==，所以113n n n a a q -==，所以()111331331132n n n n S a a q q ++--===---；【小问2详解】因为数列(){}1n n n b b a +-⋅的前n 项和等于2n ，所以当2n ≥时，()()122121n n n n b b a n n +=---=-⋅，所以1213n n n b b n +--=，又()()2112131b b a b b =-⋅=-，即2113b b -=，符合1213n n n b b n +--=，所以当1n ≥时，11211333n n nn n b n n n b -+--+==-，即11133n n n n b n b n +-++=+，所以数列13n n b n -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，所以11111233n n b b n --+=+=，则123n n n b -=-.22.设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点．（1）当直线l 与x 轴垂直，且,A B 两点的距离等于双曲线C 的实轴长时，求双曲线C 的离心率；（2）若双曲线C 的焦距为4，且090AOB ︒<∠<︒恒成立，求双曲线C 的实轴长的取值范围．【答案】（1（2）()2,4【解析】【分析】（1）直接根据通径等于实轴长列式计算即可；（2）设直线l 的方程为2x my =+，与双曲线联立，利用韦达定理计算0OA OB ⋅> 恒成立即可.【小问1详解】当直线l 与x 轴垂直时,令x c =得22221c y a b -=，解得2b y a=，所以,A B 两点的距离为为22b a，根据题意可得222b a a=，所以2222a b c a ==-，整理得c e a==【小问2详解】双曲线C 的焦距为4，则2c =，即()2,0F ，2204b a =->由于直线l 的斜率不为零，设其方程为2x my =+，联立2222214x my x y a a =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩，消去x 得()()()2222222144440a m m y m a y a ⎡⎤+---⎣-+=⎦，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()2122224414m a y y a m m --+=+-，()()2212222414a y y a m m --=+-，由于,A B 两点均在双曲线的右支上，所以()()22122224014a y y a m m --=<+-，所以()222140a m m +->，即22204a m a ≤<-所以()()1212121222OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++ ()()21212124m y y m y y =++++()()()()()22222222224441241414a m a m m a m m a m m ----=+⋅+⋅++-+-()()222242224121614m a a a aa m m =++----，由090AOB ︒<∠<︒恒成立，得2224a m a <-时，均有0OA OB ⋅> ，并且,OA OB 不可能同向，即()22242412160m a a a a --+->，由于()2240a a ->，因为不等式左边是关于2m 的增函数，所以只需20m =时，4212160a a -+->成立即可，11a <<+，又02a <<，12a <<，所以双曲线C的实轴长的取值范围为()2,4-.【点睛】关键点点睛：本题关键点是将090AOB ︒<∠<︒恒成立转化为0OA OB ⋅> 恒成立，从而可以利用韦达定理来解决.。
浙江省高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥44．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．26．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．57．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．29．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是，渐近线方程是．12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是，三角形OMF的面积是．15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为，∴直线y=x+1的倾斜角α满足tanα=，∴α=60°故选：B2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选A．3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与B1C所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（1，1，2），=（﹣2，0，﹣2），设异面直线DE与B1C1所成角为θ，则cosθ===，∴θ=30°．∴异面直线DE与B1C所成角的大小是30°．故选：D．5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，可得圆心（1，4），半径r=2，∵弦长|AB|=2，圆心到直线的距离d==，解得：a=﹣，故选A．6．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．5【考点】点到直线的距离公式．【分析】求出直线系经过的定点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：直线mx﹣y﹣3=0恒过（0，﹣3），点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离．就是点P（2，1）到（0，﹣3）的距离．所以=2．点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离：2．故选B．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，△OMF2是正三角形，M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．9．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P ﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：C．10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是6，渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求解虚轴长与渐近线方程即可．【解答】解：在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是：6；渐近线方程为：y=x．故答案为：；12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量的坐标利用向量模的公式求，进一步求得，代入数量积求夹角公式求得向量与之间的夹角．【解答】解：由=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），得，，，∴cos＜＞=，∴向量与之间的夹角是120°．故答案为：．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是2，三角形OMF的面积是3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质，推出M的横坐标；然后求解三角形的面积．【解答】解：F为抛物线y2=12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，|MF|=5，设M的横坐标为x，可得|MF|=x﹣（﹣3），可得x=2；纵坐标为：y==．三角形OMF的面积是：=3．故答案为：；15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象，由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键．【解答】解：如图结合向量的运算法则可得：===﹣=故答案为：16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是（4，6）．【考点】圆的一般方程．【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，结合图形可得满足条件的圆的半径的范围．【解答】解：如图，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）是以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，圆心到原点的距离为．要使圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1．则4＜r＜6．故答案为：（4，6）．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π），则得到x1•y1+x2•y2=（sin2α+sin2β）=﹣，即sin2α+sin2β=﹣2，根据三角函数的性质，可得sin2α=sin2β=﹣1，即可求出α=，β=，即可求出答案．【解答】解：设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π）∴x1•y1+x2•y2=sinαcosα+sinβcosβ=（sin2α+sin2β）=﹣，∴sin2α+sin2β=﹣2，∵﹣1≤sin2α≤1，﹣1≤sin2β≤1，∴sin2α=sin2β=﹣1，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，∴不妨令α=，β=，∴y12+y22=sin2α+sin2β=+=1，故答案为：1三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由题意得l1的斜率为﹣1，即可求直线l2的方程；（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①，由|AB|=4得，②，联立①②，求点B的坐标．【解答】解：（1）由题意得l1的斜率为﹣1，…则直线l2的方程为y+2=﹣x即x+y+2=0．…（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①…由|AB|=4得，②…联立①②解得，或即点B的坐标为B（2，0）或B（﹣2，4）．…19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AD1，由已知可证四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1，可证得EF∥BC1，又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，从而可证EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可证BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可证明A1C⊥平面C1BD．【解答】证明：（1）连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1∴EF∥BC1．又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），利用动点P满足|PA|=2|PB|，求解曲线的方程C的方程．（2）求出圆的圆心与半径，求出圆心M到直线l1的距离，求出QM|的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4=k（x﹣1），圆心到直线的距离，求出k求解直线方程．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x，y），…因为两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，所以（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，…即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．…（2）因为（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，则圆心M到直线l1的距离为，…因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为．…直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0，联立直线l1：x+y+3=0，可得Q（1，﹣4），…设切线方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，…故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…因此直线QM的方程x=1或y=﹣4．…21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG 所成角的正弦值等于？【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…设平面EFG的法向量为，由即可取…设…即（x M，y M+2，z M）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…解得或．…因此AM=1或AM=3．…22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件推出b=c=1，求出a，即可得到椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）联立，消去y得：，利用判别式以及韦达定理，求出弦长|AB|，|CD|，通过|AB|=|CD|，推出m1+m2=0．（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则，得到，求出三角形的面积表达式，路基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．…故a2=2．所以椭圆的标准方程为．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）由消去y得：，△=（4km1）2﹣4（2m12﹣2）（1+2k2）=8（1+2k2﹣m12）＞0x1+x2=，x1x2=…所以=同理…因为|AB|=|CD|，所以．得，又m1≠m2，所以m1+m2=0．…（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．…又m1≠m2，所以，所以…．…（或）所以，当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…2017年2月17日。
2019-2020学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省湖州帀咼二（上）期末数学试卷、选择题：每小题 4分，共40分C . 3x y 10 D . 3x y 1D . 106.( 4 分)设 x R ，则“ 0 x 5 ”是 “ | x 1| 1 ” 的( A . ( 1 , 1, 1) B .(1 , 1 ,1)C . (1 , 1, 1)D . (1 , 1 , 1)（4分）直线x . 3y 2 0截圆x 2 y 2 4所得弦长是 ()A . 2 3B.2 C . . 3D . 12 2（4分）椭圆-匕1上一点P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另- -个焦点的距离是3.4.)1.（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是2. (4 分）在空间直角坐标系Oxyz 中，点 P(1 , 1, 1）关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是（ 5.(4分) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几 8 - 3C . 8A .充分而不必要条件 C •充要条件7. （4分）已知m , n 是两条不同的直线, 的是（）A .若 m// ， n// ，则 m/ /nC .若 a ,，则 a//B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件, 是三个不同的平面，下列命题中正确B .若 m// , n// ，则 a// D .若 m, n，则 m//n8. （ 4分）已知正方体 ABCDA B i C i 何体的体积是（ B14（4 分）已知平行六面体 ABCD ARGD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA, 2 , uuui UULTA 1ABA AD 60 ,则 AD ! gAC为_ ,则动点Q 的轨迹是（ ）4A •椭圆 双曲线C .抛物线D •圆 9. （ 4分）已知P 为抛物线x212y 上一个动点， Q 为圆（x 4)22y 1，则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是 （C . 210. （4分）已知四棱锥S ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等, E 是线段SA 上的点（不含端点），设直线BE 与CD 所成的角为!，直线BE 与平面ABCD 所成的角为.面1,2 3 C.2 1,3 1 D.1 2,3 2二、填空题：单空题每题4分，多空题每11.（4分）双曲线2x_ 16 2—1的离心率为 9；渐近线方程为12.（4分）棱长为 1的正方体的内切球的半径是，该正方体的外接球的表面积是13.（4分）已知圆 2 2 2 201 : x y 4与圆O 2：(x 2) (y 1) 1相交于A , B 两点，则两圆的圆心Q , 02所在直线方程是，两圆公共弦AB 的长度是iuur ,|AG|B .2A .1 3,2 32 215. (4分)过双曲线C:冷y21的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若a b以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点(0为坐标原点)，则双曲线C的标准方程是_.16. ( 4分)在三棱锥P ABC 中，AB BC CA AP 3 , PB 4 , PC 5，则三棱锥P ABC的体积是____ .2 217. (4分)在ABC中，B(10,0)，直线BC与圆x (y 5) 25相切，切点为线段BC的中点•若ABC的重心恰好为该圆圆心，则点A的坐标是 _.三、解答题：5小题，共74分2 218. 已知直线l :x y 2 0分别与x轴，y轴交于A , B两点，圆C : (x 2) y 2 .(1)已知平行于I的直线h与圆C相切，求直线h的方程；19. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是线段AC上的中点.(1)证明：AM //平面CBQ!;(2)求异面直线AM与CD1的所成角的余弦值.220. 设抛物线C:y 4x的焦点为F ,过F且倾斜角为45的直线l与C交于A ,B两点.(1 )求| AB| 的值；(2)求过点A , B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.21. 如图，三棱台ABC A1B1C1，平面A1ACC1平面ABC , ABC和厶ARG均为等边三角形，AB 2AA 2CC1 2AB1，O 为AC 的中点.(1)证明：OB AA ；(2)求直线OB与平面BCGB所成角的正弦值.x2y27222. 如图，已知椭圆C1：二 2 1(a b 0)经过点P(2,0)，且离心率e ——，圆C2以椭a b 2圆G的短轴为直径.过点P作互相垂直的直线h , I2，且直线h交椭圆G于另一点D，直线12交圆C2于A , B两点(1)求椭圆G和圆C2的标准方程；(2)求ABD面积的最大值.2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1. （4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是（）A. x y 1 0B. x y 1 0C. 3x y 1 0D. 3x y 1 0【解答】解：根据题意，依次分析选项:对于A ,x y10 ,其斜率k1, 倾斜角为45 ,对于B ,x y10,其斜率k1，倾斜角为135 ,对于C ,-3x y 1 0 ,其斜率k、3，倾斜角为60 ,对于D , 3x y 1 0 ,其斜率k.3，倾斜角为120 ,则B选项中直线的倾斜角最大；故选：B .2. （4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1 , 1, 1）关于平面xOz对称的点Q的坐标是（）A . （ 1 , 1, 1） B. （1 , 1 , 1） C. （1 , 1, 1） D. （1 , 1 , 1）【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，点P（1, 1, 1）关于平面xOz对称的点Q的坐标是（1 , 1 , 1）.故选：D .3. （4分）直线x 3y 2 0截圆x2寸 4所得弦长是（）A . 23B .2C. 3D. 1【解答】解：由圆x22y 4, 得到圆心（0,0）, r 2 ,Q圆心（0,0）到直线x3y 220的距离d1 ,直线被圆截得的弦长为2 . r2d2 23 .故选：A.2 24. （4分）椭圆—y 1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是25 9。
浙江省湖州市高二数学上学期期末考试试题(扫描版)
浙江省湖州市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（扫描版）2016学年第一学期期末调研卷高二数学（参考答案与评分要求）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11．364y x =±，； 12120︒ ； 13．12,36；14．2，； 15．111222MN a b c =-++16．()4,6； 17．1三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18． (本小题满分1４分)已知直线1l ：20x y +-=，直线2l 过点()2,0A -且与直线1l 平行． （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）点B 在直线1l 上，若4AB =．求点B 的坐标． 解：（Ⅰ）由题意得1l 的斜率为1-，…………………2分则直线2l 的方程为2y x +=-即20x y ++=．…………………5分（Ⅱ）设()00,B x y ，则由点B 在直线1l 上得，0020x y +-=①…………………7分由4AB =得，②…………………10分联立①②解得，00=2=0x y ⎧⎨⎩或00=2=4x y -⎧⎨⎩即点B 的坐标为()2,0B 或()2,4B -．…………………14分19． (本小题满分15分)正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点．求证：（Ⅰ）//EF 平面1C BD ； （Ⅱ）1AC ⊥平面1C BD ．证明：（Ⅰ）连接1AD ,因为,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点， 所以1//EF AD ．…………………3分又在正方体中有11//BC AD ，所以1//EF BC …………………5分又EF ⊄平面1C BD ，1BC ⊆平面1C BD ，因此//EF 平面1C BD ………………7分（Ⅱ）连接AC ,1B C ．在正方体中有1AA ⊥平面ABCD ,又BD ⊆平面ABCD ，所以1BD AA ⊥．………………………………………………………………9分 在正方形ABCD 内有BD AC ⊥，而1=AA AC A ,所以BD ⊥平面1AAC ． 又1AC ⊆平面1AAC ,故1BD AC ⊥．…………………10分 同理11BC AC ⊥．…………………13分 又1=BC BD B ,因此1AC ⊥平面1C BD ．…………………15分120． (本小题满分15分)已知点()3,0A -，()3,0B ，动点P 满足2PA PB =．（Ⅰ）若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点Q 在直线1l ：30x y ++=上，直线2l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ．当QM 取最小值时，求直线QM 的方程．解：（Ⅰ）设P 点的坐标为(,)x y ，……………………………1分 因为两定点(3,0)A -,(3,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，所以2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，……………………………………4分即22(5)16x y -+=．所以此曲线的方程为22(5)16x y -+=．……………………………6分（Ⅱ） 因为22(5)16x y -+=的圆心坐标为(5,0)C ,半径为4,则圆心M 到直线1l =7分 因为点Q 在直线1:30l x y ++=上,过点Q 的直线2l 与曲线C ：22(5)16x y -+=只有一个公共点M , 所以|QM ．…………………9分直线CQ 的方程为50x y --=,联立直线1:30l x y ++=,可得(1,4)Q -，…………………10分设切线方程为4(1)y k x +=-,即40kx y k ---=,……………………………11分 故圆心到直线的距离4d ==, 得0k =,切线方程为4y =-；…13分当切线斜率不存在时,切线方程为1x =，……………………………14分 因此直线QM 的方程1x =或4y =-．…………………15分21． (本小题满分15分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,,E F G 分别是,,PA PB BC 的中点．（Ⅰ）求直线EF 与平面PAD 所成角的大小；（Ⅱ）若M 为线段AB 上一动点，问当AM 长度等于多少时，直线MF 与平面EFG所成角的正弦值等于5？ 解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，AB AD ⊥所以AB ⊥平面PAD ．……………………………3分 又因为//EF AB ,所以EF ⊥平面PAD , 所以直线EF 与平面PAD 所成角的为2π．……………………………5分（2）取AD 中点O ，连结OP ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥所以PO ⊥平面ABCD ……………………………7分如图所示,以O 点为原点，分别以射线,OG OD 为y x ,轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由题意知各点坐标如下：()020A -，，, ()420B -，，,(0E -，,(21F -，,()400G ，，所以()=2,0,0EF，(=4,1,EG …………………………………………8分 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,40,x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(0,3,1)n=……………………10分设()400AM AB λλ==，，……………………11分 即()(),2,400M M M x y z λ+=，，，解得=4=2=0M M Mx y z λ⎧⎪-⎨⎪⎩,即()4,2,0M λ-．故(24MF λ=-……………………12分 设直线MF 与平面EFG 所成角为θ,(sin 52MF n MF nθ⋅===⋅,………………………13分 解得1=4λ或3=4λ．……………………………14分 因此=1AM 或=3AM ．…………………………………………………15分22．（本小题满分15分）已知椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆的上顶点，且145PFO ∠=︒（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆交于C ，D 两点，且||||AB CD =．(i)求12m m +的值；11。
2021-2022学年浙江省湖州市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省湖州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,3A 关于平面xOy 的对称点A '的坐标是（ ） A ．()1,2,3- B ．()1,2,3-C ．()1,2,3-D ．()1,2,3--【答案】C【分析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,3A 关于平面xOy 的对称点A '的坐标是()1,2,3-.故选：C.2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且35294a a a =⋅，21a =，则1a =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为q （0q >），则由已知条件列方程组可求出1a 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （0q >），由题意得28421114()a q a q a q ⋅=，且11a q =，即2102811141a q a q a q ⎧=⎨=⎩，2141q a q ⎧=⎨=⎩， 因为0q >，所以2q ，112a =， 故选：D3．已知椭圆222125x y m+=的右焦点为()14,0F ，则正数m 的值是（ ）A ．3B ．4C ．9D ．21【答案】A【分析】由222a b c =+直接可得. 【详解】由题知4c =，225a =所以222549m =-=，因为0m >，所以3m =. 故选：A4．已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =--，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）.A ．1B ．15C ．35D ．75【答案】D【分析】利用向量的数量积为0可求k 的值.【详解】因为ka b +与2a b -互相垂直，故()()20a b ka b +⋅=-， 故()22220ka b k a b --=+⋅即()02252k k ⨯--=-，故75k =. 故选：D.5．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知2*()n S n n N =∈，则数列{}n a （ ） A ．是等比数列，但不是等差数列 B ．是等差数列，但不是等比数列 C ．是等比数列，也是等差数列 D ．既不是等差数列，也不是等比数列【答案】B【分析】根据n a 与n S 的关系求出通项，然后可知答案.【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，综上，{}n a 的通项公式为21n a n =-， 121[2(1)1]2n n a a n n --=----=∴数列{}n a 为等差数列同理，由等比数列定义可判断数列{}n a 不是等比数列. 故选：B6．已知圆22:60C x y x +-=与直线:21l x y +=，则圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】由2260x y x +-=得22(3)9x y -+=， 则圆的圆心为()3,0，半径3r =， 由21210x y x y +=⇒+-=，则圆心到直线的距离d =∵031<<，∴在圆上到直线距离为1的点有两个. 故选：B.7．在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =++--(,R)x y ∈，点N 满足(1)()DN DA D R C λλλ=+-∈，当AM 和DN 的长度都为最短时，AM AN ⋅的值是（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【分析】根据给定条件确定点M ，N 的位置，再借助空间向量数量积计算作答. 【详解】因()1AM xAB yAC x y AD =++--，则)()(AM AD x AB AD y AC AD -=+--，即DM xDB yDC =+，而,R x y ∈，则,,DM DB DC 共面，点M 在平面BCD 内，又(1)()DN DA D R C λλλ=+-∈，即CN CA λ=，于是得点N 在直线AC 上，棱长为1的正四面体ABCD 中，当AM 长最短时，点M 是点A 在平面BCD 上的射影，即正BCD △的中心， 因此，111333AM AB AC AD =++，当DN 长最短时，点N 是点D 在直线AC 上的射影，即正ACD △边AC 的中点，12AN AC =，而60BAC DAC ∠=∠=，111cos602AB A A AC D C ⋅=⋅=⨯⨯=，所以2111()()21336AB AC AD AM AN A AB A C D C AC A AC ⋅=⋅=⋅+⋅=+++.故选：A8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，延长FB交另一条渐近线于点A .已知O 为原点，且53OA a =，则AF =（ ）A ．4aB ．113aC ．103aD ．3a【答案】C【分析】画出图象，结合渐近线方程得到FB b =，OB a =，进而得到4tan 3AOB ∠=，结合渐近线的斜率及角度关系，列出方程，求出2b a =，从而求出AF . 【详解】渐近线为by x a =±，如图，过点F 作FB 垂直b y x a=于点B ，交b y x a =-于点A ，则(),0F c到渐近线by x a=距离为FB b ==，则OB a ==，又53OA a =，由勾股定理得：43AB a =，则4tan 3AB AOB OB ∠==，又tan b BOF a ∠=，π2π22AOB BOF BOF ⎛⎫∠=-∠=-∠ ⎪⎝⎭，所以2222tan 4tan tan 21tan 31bBOF a AOB BOF BOF b a ∠∠=-∠=-=-=-∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：2b a =，所以410233AF AB BF a a a =+=+=.故选：C 二、多选题9．已知直线2:(1)10l x a a y --+-=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a = B ．当1a =时，直线l 与直线0x y +=垂直 C ．直线l 过定点()1,0D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】BC【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.【详解】对于A 项，若直线l 与直线0x y -=平行，则()211100a a a a a -⇒-⇒＋＝＝＝或1，故A 错误；对于B 项，当1a =时，直线l 为10x y --＝，斜率为1，而直线0x y +=斜率为－1，∴两条直线垂直，故B 正确；对于C 项，2(1)10x a a y --+-=恒成立时，令y ＝0，得x ＝1，即直线过定点(1，0)，故C 正确；对于D 项，当0a =时，直线l 为10x y --=，令01x y =⇒=-，令01y x =⇒=，所以横截距和纵截距互为相反数，故D 错误. 故选：BC.10．已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）A ．点Q 的轨迹可能是椭圆B ．点Q 的轨迹可能是双曲线的一支C ．点Q 的轨迹可能是抛物线D ．点Q 的轨迹可能是一个定点【答案】ABD【分析】根据点A 的位置分类讨论其轨迹. 【详解】①当点A 在圆内时，且不为圆心连接QA ，由已知得QA QP ＝.∴QO QA QO QP OP r ＋＝＋＝＝.又∵点A 在圆内，∴OA OP ＜，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆，故A 正确； ②当点A 在圆上时，点Q 与圆心重合，轨迹为定点，故D 正确； ③点A 在圆外时，连接QA ，由已知得QA QP ＝.∴||QA QO QP QO OP r --＝＝＝，又∵A 在圆外，∴|OA OP ＞∣，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为实轴长的双曲线的一支(靠近O )，故B 正确；④当点A 与圆心O 重合时，点Q 的轨迹为圆； 故选：ABD.11．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）A ．16ACB ．1AC BD ⊥C ．直线1BD 与直线ACD ．直线AB 与平面11A ACC【答案】AB【分析】根据空间向量基本定理，将所求转化为基底进行运算即可. 【详解】记1,,AA a AB b AD c ===，则12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= 因为1AC a b c =++，所以222212226AC a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=，故A 正确；因为221()()0AC BD a b c c b a c a b b c b c b c ⋅=++⋅-=⋅-⋅+⋅-+-⋅=，故B 正确； 因为222212222BD b a c a b c a b a c b c =--=++-⋅+⋅-⋅=，22223AC b c b c b c =+=++⋅=，221()()1AC BD b c b a c b a b b c b ca c c ⋅=+⋅--=-⋅-⋅+⋅-⋅-=-， 所以1cos ,AC BD <>==，所以130sin ,6AC BD <>=，故C 不正确；易知AC BD ⊥，又1()0BD AA c b a ⋅=-⋅=，所以BD 为平面11A ACC 的法向量，记直线AB 与平面11A ACC 所成角为θ，则21sin 112b c b AB BD AB BDθ⋅-⋅===⨯，故D 不正确. 故选：AB12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若713S S =，且()*1)1(n n n S nS n N ++>∈，则下列选项中正确的是（ ） A ．1n n a a +>B ．10S 和11S 均为n S 的最大值C ．存在正整数k ，使得0k S =D ．存在正整数m ，使得3m m S S =【答案】ACD【分析】设数列公差为d ，根据已知条件713S S =和()*1)1(n n n S nS n N ++>∈判断公差正负，求出1a 和d 关系，逐项验证即可.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由713S S =得1176131271322a d a d ⨯⨯+⋅=+⋅，化简得10110a a +=；∵()*1)1(n n n S nS n N ++>∈，∴10111110S S >，即()()1101111011111022a a a a +⨯+⨯⨯>⨯，∴1011a a >，∴100a >，110a <，∴d ＜0，故数列{}n a 为减数列，故A 正确；10110a a +=，100a >，110a <，故10S 为n S 的最大值，故B 错误；10111200a a a a +=+=，故()1202020=02a a S +⨯=，故C 正确；3m m S S =时，()()111331322m m m m ma d ma d --+⋅=+⋅，即()1241a m d =-+，又由10110a a +=得1219a d =-，∴()1941d m d -=-+，解得5m =，故D 正确. 故选：ACD. 三、填空题13．在空间直角坐标系中，已知()1,1,2A -，()3,0,4B -，||3c =，AB c ∥，则c =___________.【答案】()2,1,2--或()2,1,2-()2,1,2--或()2,1,2-【分析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解. 【详解】()2,1,2AB =--，且c AB ，∴设()()2,,2c AB λλλλλ==--∈R ，(2)33c λλ∴=-==，解得1λ=±，()2,1,2c ∴=--或()2,1,2c =-.故答案为：()2,1,2--或()2,1,2-.14．若抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是___________. 【答案】5【分析】根据抛物线的定义知点P 到焦点距离等于到准线的距离即可求解.【详解】因为抛物线方程为24y x =，所以准线方程为1x =-，所以点P 到准线的距离为415+=，故点P 到该抛物线焦点的距离5. 故答案为：515．已知数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列1{}1n a +为等差数列，则5a =_____________.【答案】75【解析】【详解】试题分析：由题意得:73553111111157,(53).732411125a a d d a a a -++===+-=⇒=-++ 【解析】等差数列通项16．已知单位空间向量1e ，2e ，3e 满足120e e ⋅=，231312e e e e ⋅=⋅=.若空间向量a 满足12322e e a a ⋅=⋅=且对于任意实数,x y ，12||a xe ye --的最小值是2，则()3||R a e λλ-∈的最小值是___________. 【分析】以1e ，2e 方向为,x y 轴，垂直于1e ，2e 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.【详解】以1e ，2e 方向为,x y 轴，垂直于1e ，2e 方向为z 轴建立空间直角坐标系，则()()121,0,0,0,1,0e e == ，由231312e e e e ⋅=⋅=可设3111(,,)22e z =，由3e 是单位空间向量可得311(,22e =，由12322e e a a ⋅=⋅=可设232,)2(a z =，123||xe e a y =--（2x y ==，12||a xe ye --的最小值是2，所以22z =± ，取32,2)2(a =，332(,2)222a e λλλ=--，33|(2|a e λ=- 当λ=时，()3||R a e λλ-∈四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，3453a a a b ++=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,n n n c a b n N *=+∈，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）21,n a n n N *=+∈，3,n n b n N *=∈；（2）()()32312nn S n n =++-，n *∈N . 【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，依题意有()112111433a d b q a d b q ++=⎧⎨+=⎩，由113a b ==，又0q >，解得32q d =⎧⎨=⎩，∴()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，即21,n a n n N *=+∈，111333,n n n n b b q n N --*==⨯=∈；（2）∵213nn n n c a b n =+=++，∴前n 项和()()123123n n n S a a a a b b b b =+++++++++()()123357213333n n =++++++++++()()()()31332132312132nnn n nn -++=+=++--. ∴前n 项和()()32312nn S n n =++-，n *∈N . 18．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）.规划在公路l 上选两个点P ､Q ，并修建两段直线型道路PB ､QA .规划要求，线段PB ､QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.已知点,A B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （,C D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）.(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； (2)在规划要求下，点Q 能否选在D 处？并说明理由. 【答案】(1)15（百米）(2)点Q 选在D 处不满足规划要求，理由见解析【分析】（1）建立适当的坐标系，得圆O 及直线PB 的方程，进而得解.（2）不妨点Q 选在D 处，求AD 方程并求其与圆的交点，在线段AD 上取点不符合条件，得结论. (1)如图，过O 作OH l ⊥，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为AB 为圆O 的直径，10AB =，所以圆O 的方程为2225x y +=. 因为6AC =，12BD =，所以92AC BDOH +==，故直线l 的方程为9y =， 则点A ，B 的纵坐标分别为3，3- 从而()4,3A ，()4,3B --，直线AB 的斜率为34.因为PB AB ⊥，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.令13x =-，得9y =，()13,9P -，所以()()221349315PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）. (2)若点Q 选在D 处，连结AD ，可求出点()4,9D -，又()4,3A ， 所以线段()3:6444AD y x x =-+-≤≤.由2225364x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩解得4x =或2425x =， 故不妨取3x =，得到在线段AD 上的点153,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径5. 因此点Q 选在D 处不满足规划要求.19．已知抛物线()2:20C y px p =>的准线与x 轴的交点为()1,0-.(1)求C 的方程；(2)若过点()2,0P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点.请判断2211PAPB+是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)24y x =(2)是定值，定值为14【分析】(1)由抛物线的准线求标准方程；(2)直线与抛物线相交求定值，解联立方程消未知数，利用韦达定理，求线段长，再求它们的倒数的平方和. (1)由题意，可得12p=，即2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =.(2)2211PAPB +为定值，且定值是14.下面给出证明. 证明：设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线有224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y my --=，则()21212Δ162048m y y m y y ⎧=+>⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩， 又211PA m y =+，221PB m y =+. 得()()22222212111111m y m y PAPB+=+++()()()22221222222121616114164141y y m m m y y m m +++====+++因此2211PAPB +为定值，且定值是14. 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点1B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ，D 是AC 的中点，且满足DA DB =．(1)求证：AB ⊥平面11BCC B ；(2)已知22AC BC ==，直线1BB 与底面ABC 所成角的大小为π3，求二面角1C BD C --的大小．【答案】(1)证明见解析； (2)4π. 【分析】（1）分别证明出1B C ⊥AB 和BC ⊥AB ，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以C 为原点，1,,CA Cy CB 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角. (1)因为点1B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ， 所以1B C ⊥面ABC . 因为AB面ABC ,所以1B C ⊥AB .因为D 是AC 的中点，且满足DA DB =．所以DA DB DC ==，所以,DAB DBA DCB DBC ∠=∠∠=∠.因为DAB DBA DCB DBC π∠+∠+∠+∠=， 所以2DBA DBC π∠+∠=，即2ABC π∠=,所以BC ⊥AB .因为1B C BC C ⋂=,BC ⊂面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B , 所以AB ⊥平面11BCC B . (2)∵1B C ⊥面ABC ，∴直线1BB 与底面ABC 所成角为1B BC ∠，即1π3B BC ∠=. 因为1BC =，所以1tan 33B C BC π=由（1）知，2ABC π∠=，因为22AC BC ==，所以6BAC π∠=，3ACB π∠=.如图示，以C 为原点，1,,CA Cy CB 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系. 则()0,0,0C ,132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()1,0,0D ,(13B ,所以113,32BB ⎛=- ⎝，13,2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设()1,,C x y z ，由11CC BB =得，()13,,,32x y z ⎛=- ⎝，即113,32C ⎛- ⎝. 则()11,3,3BC =--.设平面BDC 1的一个法向量为(),,n x y z =，则1·01·002n BC x n BD x y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令x =()3,1,2n =.因为1B C ⊥面ABC ，所以面DBC 的一个法向量为(1CB = 记二面角1C BD C --的平面角为θ，由图知，θ为锐角.所以1110cos cos ,3CB n CB n CB nθ+====⨯⨯,即4πθ=. 所以二面角1C BD C --的大小为4π. 21．某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A ，B 两个等级，其中B 等设备安全系数低于A 等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分B 等设备更新成A 等设备.据统计，2020年底该企业A 等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B 等设备更新成A 等设备，与此同时，4%的A 等设备由于设备老化将降级成B 等设备.(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A 等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；(2)至少在哪一年底，该企业的A 等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：340.5125⎛⎫= ⎪⎝⎭，440.40965⎛⎫= ⎪⎝⎭，540.327685⎛⎫= ⎪⎝⎭） 【答案】(1)A 等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析； (2)在2025年底实现A 等设备量超过生产设备总量的60%.【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过n 年后A 等设备量占总设备量的百分比为n a ，求出n a ，根据n a 的范围进行判断；(2)令n a ＞35即可求解.(1)记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过n 年后A 等设备量占总设备量的百分比为n a ， 则经过1年即2021年底该企业A 等设备量1396716210100101005a =⨯+⨯=， ()()14414%16%1525n n n n a a a a +=-+-=+， 可得1444555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又142055a -=-≠所以数列45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以25-为首项，公比为45的等比数列，可得424555n n a ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以414525nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然有45n a <，所以A 等设备量不可能超过生产设备总量的80%. (2)由41435255n n a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭.因为45n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，又44255⎛⎫> ⎪⎝⎭，54255⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以在2025年底实现A 等设备量超过生产设备总量的60%.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是32，且过点()2,1P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且2OM =求AOB 面积的最大值. 【答案】(1)22182x y +=； (2)2.【分析】(1)根据已知条件列出关于a 、b 、c 的方程组即可求得椭圆标准方程； (2)直线l 和x 轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB 面积；直线l 和x 轴不垂直时，设直线方程为点斜式y ＝kx ＋t ，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长2OM =k 和t 的关系，表示出△AOB 的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值. (1)由题知224113a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得222826a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=.(2)当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由OMAB12AOB O S M AB =⋅=△ 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 得122814kt x x k -+=+，21224814t x x k -=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM ()2222214116k t k+=+.∵()()()22222212122284814141414kt t AB kx x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，结合()2222214116k t k+=+化简得()()22222212411162116AOBk k S AB d k +⎛⎫=⋅=⨯ ⎪⎝⎭+△()2222212412164116k k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦≤⨯=+ 此时AOB 的面积最大，最大值为2.当且仅当221241k k =+即218k =时取等号，综上，AOB 的面积的最大值为2.。
2023-2024学年浙江省湖州市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省湖州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．椭圆22449196x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．7,2,7B．14,4,7C．7,2,7D．14,4,7【正确答案】D【分析】把方程化为标准方程后得,,a b c ，从而可得长轴长、短轴长、离心率．【详解】由已知，可得椭圆标准方程为221494x y +=，则7a =，2b =，c ==，所以长轴长为214a =、短轴长为24b =、离心率为c e a ==故选：D.2．已知平面α的一个法向量为()()()1,2,1,1,0,1,0,1,1n A B =--，且,A B αα∉∈，则点A 到平面α的距离为（）A ．13B．6CD ．1【正确答案】B【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．【详解】∵()()1,0,1,0,1,1A B --，∴()1,1,2AB =--uu u r ，又平面α的一个法向量为()1,2,1n =，∴点A 到平面α的距离为AB n n ⋅=故选：B3．在等差数列{}n a 中，首项13a =，前3项和为6，则345a a a ++等于（）A ．0B ．6C ．12D ．18【正确答案】A【分析】根据题意求出公差d ，从而可得出答案.【详解】设公差为d ，则1231336a a a a d ++=+=，解得1d =-，所以3451390a a a a d ++=+=.故选：A.4．已知点(1,2)P -到直线:430l x y m -+=的距离为1，则m 的值为（）A ．5-或15-B ．5-或15C ．5或15-D ．5或15【正确答案】D【分析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点(1,2)P -到直线:430l x y m -+=的距离为1，1,=解得：m =15或5．故选：D.5．已知圆22:8870C x y x y +--+=，直线:320,l mx y m l +--=与C 交于两点,M N ，则当MN 最小时，实数m 的值是（）A ．2B ．-2C ．12D ．12-【正确答案】C【分析】由直线方程得直线所过定点P 坐标，由几何性质知当CP 与直线MN 垂直时，弦长MN 最小，由斜率关系可得m ．【详解】直线l 方程为320mx y m +--=知直线l 过定点(3,2)P ，圆C 标准方程为22(4)(4)25x y -+-=，圆心为(4,4)C ，半径为5，5CP ==<，P 在圆内部，因此当直线l 与CP 垂直时，MN 最小，42243CP k -==-，∴21m -⨯=-，12m =．故选：C ．6．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点分别为()()()1,3,2,4,3,2A B C ，则ABC 的欧拉线方程是（）A ．10x y -+=B ．30x y -+=C ．50x y +-=D ．390x y +-=【正确答案】C【分析】求出重心坐标，求出AB 边上高和AC 边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC 的重心为()2,3G ，可得直线AB 的斜率为34112-=-，则AB 边上高所在的直线斜率为1-，则方程为5y x =-+，直线AC 的斜率为321132-=--，则AC 边上高所在的直线斜率为2，则方程为2y x =，联立方程52y x y x=-+⎧⎨=⎩可得△ABC 的垂心为510,33H ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线GH 斜率为10331523-=--，则可得直线GH 方程为()32y x -=--，故△ABC 的欧拉线方程为50x y +-=.故选：C.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法一定正确的是（）A ．若20220S >，则10a >B ．若20230S >，则10a >C ．若20220S >，则20a >D ．若20230S >，则20a >【正确答案】B【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20220S >和20230S >即可得答案.【详解】当1q =时，2022120220S a =>，故10a >，20a >，当1q ≠时，()202212022101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>；当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<，当01q <<时，10a >，此时210a a q =>；当1q >时，10a >，此时210a a q =>；故当20220S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C .当1q =时，2023120230S a =>，故10a >，20a >；当1q ≠时，()202312023101a q S q-=>-，由于20231q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确；故选：B8．双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的离心率是2，左右焦点分别为12,,F F P 为双曲线左支上一点，则21PF PF 的最大值是（）A ．32B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.【详解】由焦半径公式得21221121PF PF ex a a ex a ex a x a-==-=-+++，(],x a ∈-∞-，则当x a =-时，()21max 21321PF PF a a⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⋅-+.故选：C.二、多选题9．已知曲线C 的方程为()22125x y m m m +=∈+R ，则（）A ．曲线C 可以表示圆B ．曲线C 可以表示焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 可以表示焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可以表示焦点在y 轴上的双曲线【正确答案】CD【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.【详解】对A ，若曲线表示圆，则有250m m =+>，无解，A 错；对BC ，若曲线表示椭圆，则有0025025m m m m m >⎧⎪⇒>+>⎨⎪≠+⎩，此时25m m +>，则曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，C 对B 错；对D ，若曲线表示双曲线，则有()525002m m m +<⇒-<<，此时025m m <<+，此时曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，D 对.故选：CD.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A ．若221n S n =+，则{}n a 是等差数列B ．若112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则199100199S a =D ．若{}n a 是等比数列，则299101100S S S ⋅>【正确答案】BC【分析】由前n 项和求得n a 后判断AB ，根据等差数列、等比数列的性质判断CD ．【详解】选项A ，2n ≥时，221212(1)142n n n a S S n n n -=-=+---=-，113a S ==，26a =，310a =，3221a a a a -≠-，{}n a 不是等差数列，A 错；选项B ，1112a S ==-，2n ≥时，11111(1()1()222n n n n n n a S S --=-=--+=-，214a =，318a =-，321212aa a a =-=，{}n a 是等比数列，B 正确；选项C ，若{}n a 是等差数列，则1199100199100199()199222199a a a a S +⨯===，C 正确；选项D ，若1n a =，则n S n =，99101991019999S S ⋅=⨯=，而22100100100009999S ==>，D 错误，故选：BC ．11．已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和双曲线()22002200:10,0x y E a b a b -=>>的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且1260F PF ∠=，直线2PF 与双曲线交于另一点Q ，若222PF F Q =，则下列说法正确的是（）A ．1PFQ △的周长为165aB ．双曲线E的离心率为3C ．椭圆CD ．124PF PF =【正确答案】BCD【分析】设2QF t =，则22PF t =，由双曲线定义得1022PF t a =+，102QF t a =+，再由余弦定理得03a t =，然后由椭圆定义得5a t =，利用余弦定理求得c =，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．【详解】设2QF t =，则22PF t =，1022PF t a =+，102QF t a =+，1PFQ △中由余弦定理22211112cos QF PF PQ PF PQ F PQ =+-∠，得222000(2)(22)92(22)3cos60t a t a t a t t +=++-+⋅⋅︒，化简得03a t =，10228PF t a t =+=24PF =，D 正确；又12210a PF PF t =+=，所以5a t =，又1027QF t a t =+=，1PFQ △的周长为18837185t t t t ++==，A 错误；12PF F △中，122F F c =，由余弦定理得2224(8)(2)282cos 60c t t t t =+-⨯⨯⨯︒，所以c =，因此双曲线的离心率为10c e a ===B 正确；椭圆的离心率为255c e a t ===，C 正确，故选：BCD．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足[]1,0,1DP DD DA λμλ=+∈，[]0,1μ∈，则以下说法正确的是（）A ．当λμ=时，1AC BP⊥B ．当1λμ+=时，线段CP长度的范围是⎣C ．当1λμ+=时，直线CP 与平面11BCC B 所成角的最大值为π3D ．当12μ=时，存在唯一点P 使得直线DP 与直线AC 所成的角为π3【正确答案】ABD【分析】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，1(0,0,1)D ，1(0,1,1)C ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，由1DP DD DA λμ=+uu u r uuur uu u r 得(,0,)DP μλ=，即(,0,)P μλ，选项A ，λμ=时，(1,1,)BP μλ=--，1(1,1,1)AC =- ，1110AC BP μλ⋅=--+= ，1AC BP ⊥ ，A正确；选项B ，(,1,)CP μλ=-，CP ==[0,1]μ∈，所以211()[0,24μ-∈，[2CP ∈ ，B 正确；选项C ，平面11BCC B 的一个法向量是(0,1,0)n =，1cos ,CP n CP n CP n CP⋅-==，设直线CP 与平面11BCC B 所成角为θ，则1sin CP θ= ，由选项B得，sin θ∈，sin 2θ<，π3θ<，C 错误；选项D ，12μ=，1(,0,)2P λ，1(,0,)2DP λ= ，(1,1,0)AC =- ，1π12cos ,cos 32DP AC DP AC DP AC⋅===，12λ=±，又[0,1]λ∈，∴12λ=，即P 点唯一，D 正确，故选：ABD ．.三、填空题13．已知直线1l 平分圆22:(2)2C x y -+=且与2:6410l x y +-=互相平行，则12,l l 的距离是__________.【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆C 的圆心到直线2l 的距离作答.【详解】因为直线1l 平分圆22:(2)2C x y -+=，于是直线1l 过圆心(2,0)C ，所以12,l l的距离26d ==.故2614．在等比数列{}n a 中，9128,1a a ==，则数列{}n a 的前5项和是__________.（用具体数字作答）【正确答案】3968【分析】利用9128,1a a ==求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案.【详解】设公比为q ，因为9128,1a a ==，所以8111181a q a q ⎧=⎨=⎩，解得1111,220482q a ===；所以数列{}n a 的前5项和为5512048123968112S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-.故3968.15．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为,F PQ 是过点F 的一条弦，定点A 的坐标是()3,3，当PA PF +取最小值时，则弦PQ 的长是__________.【正确答案】16936【分析】如图，过点P 作准线=1x -的垂线PP '，垂足为P '，则PA PP PA PF +='+，由图可知当,,A P P '三点共线时，PA PF +取最小值，由此可得点P 的坐标，从而可得直线PQ 的方程，联立方程求出Q 点的坐标，即可得解.【详解】抛物线2:4C x y =的焦点()0,1F ，准线为=1x -，如图，过点P 作准线=1x -的垂线PP '，垂足为P '，则PF PP '=，所以PA PP PA PA PF '++≤=，当且仅当,,A P P '三点共线时，取等号，所以当PA PF +取最小值时，P 点的横坐标为3，当3x =时，94y =，即93,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以91543012PQk -==-，所以直线PQ 的方程为5112y x =+，联立251124y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消y 得235120x x --=，解得3x =或43x =-，当43x =-时，49y =，即44,39Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22494169334936PQ ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.1693616．已知平面四边形ABCD 中，,,3,2,AB BD CB CD AB BD CB CD ⊥⊥===，现将BCD △沿BD 折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值是__________.【正确答案】1414【分析】由外接球的性质及外接球表面积最小确定球心在AD 中点上，则可由半径确定C 的位置，最后建系由向量法求线线角的余弦值.【详解】设AD 的中点为E ，BD 的中点为F ，∴EF AB ∥.∵,,3,2,AB BD CB CD AB BD CB CD ⊥⊥===，∴CF BD ⊥，()222,2234CB CD AD ===+，132EF AB ==，12FC FB FD ===.四面体的外接球心在过E 且垂直于面ABD 的直线上，又四面体的外接球表面积最小，即外接球的半径最小，则当球心为E 时，半径22ADr EA ===最小.∵2222EC r EF FC ==+，∴EF CF ⊥，由,EF BD F EF BD =⊂ 、平面ABD ，∴CF ⊥平面ABD ，则可建立空间直角坐标系F xyz -如图所示，则()()()()1,0,0,1,23,0,1,0,0,0,0,1B A D C --，()()2,0,0,1,23,1BD AC =-=-，∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为21414214BD AC BD AC⋅==⨯ .故答案为.1414四、解答题17．已知圆C 经过点()()0,3,2,5A B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)求过点()4,6P 与圆C 相切的直线方程.【正确答案】(1)22(2)(3)4-+-=x y (2)4x =和512520x y -+=【分析】（1）设圆的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，根据题意利用待定系数法求出,,a b r ，即可得解；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为()64y k x -=-，根据圆心到直线的距离等于半径求出k ，即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意得2222222(3)2(2)(5)3104a b r a a b r b a b r ⎧+-==⎧⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎩，所以圆的标准方程为22(2)(3)4-+-=x y ；（2）当直线的斜率不存在时，4x =符合题意，当直线斜率存在时，设该斜率为k ，此时直线方程为()64y k x -=-，即460kx y k --+=，圆心()2,3到该直线的距离为r ，即2d =，解得512k =，此时直线方程为512520x y -+=，故所求直线方程为4x =和512520x y -+=.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3315,8S a ==，设数列{}n b 的前n 项和为n P ，且122n n P +=-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和为n T .【正确答案】(1)31n a n =-，2nn b =(2)()13428n n T n +=-×+【分析】（1）由条件求等差数列基本量，即可求通项公式，n b 由与n P 的关系求得；（2）由错位相减法求和.【详解】（1）等差数列{}n a 中322233155,3S a a d a a =-==⇒==，∴()2231n a a n d n =+-⋅=-.当2n ≥，11222n n n n n n b P P +-=-=-=，又11122b P ===，故2n n b =；（2）()312nn n n c a b n ==-⋅，()22252312n n T n ⨯-=⨯++⋅+ ①，()23122252312n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ②，则①-②得()()()()11126123123122432822312232n n n nn n n n n T +++---=⨯+⨯++⋅-⋅=-⋅=-⋅---- .∴()13428n n T n +=-×+.19．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠=== ，11190,60,BAA DAA BD ∠∠===.(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.【正确答案】(1)11BD AA AD AB =+- ，15AA =(2)1974【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用1,,AB AD AA 表示CE，计算1BD CE ⋅ ，由向量法求异面直线所成的角．【详解】（1）111BD AA A AD A D B B A =-=+-，111122AA AD AA AA ⋅=⨯⨯= ，110,4242AB AA AD AB ⋅=⋅=⨯⨯= ，2222111147222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB ==+++⋅-⋅-⋅ ，即2114741628AA AA =+++-，解得15AA = ；（2）由（1）知111111,2BD AA AD AB CE CC C E AA AD=+-=+=-()2211111111112222BD CE AA AD AB AA AD AA AD AD AA AB AA AB AD⎛⎫⋅=+-⋅-=-+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭115525254222=-+⨯+⨯=1BD CE = 设异面直线1BD 与CE 所成角为θ，则111552cos cos ,1974BD CE BD CE BD CEθ⋅===⋅ .20．西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年（2023年）起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，n a 为第n 年末林区面积（单位：千平方公里）.(1)确定n a 与1n a -的递推关系（即把n a 用1n a -表示）；(2)证明：数列{}1.6n a -是等比数列，并求n a ；(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？【正确答案】(1)()10.80.322n n a a n -=+≥(2)证明见解析， 1.6 1.10.8nn a =-⨯(3)经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里【分析】（1）根据题意分析即可得出答案；（2）由（1）得()10.80.322n n a a n -=+≥，证明11.61.6n n a a ---为定值即可，再根据等比数列的通项即可得出答案；（3）由题意可得 1.2n a ≥，解不等式即可.【详解】（1）()1 1.516%0.514%0.72a =⨯+⨯-=，()()111216%14%0.80.32n n n n a a a a ---=-⨯+⨯-=+，()10.80.322n n a a n -∴=+≥；（2）()111.60.80.32 1.60.8 1.6n n n a a a ---=+-=-，11.60.81.6n n a a --∴=-且1 1.60.880a -=-≠，所以数列{}1.6n a -是以0.8为公比的等比数列，()111.6 1.60.8n n a a -∴-=-⨯，所以 1.6 1.10.8nn a =-⨯；（3）由（2）知 1.6 1.10.8 1.2nn a =-⨯≥，解得40.811n≤，当4n =时，440.80.409611=>，当5n =时，540.80.3276811=≤，经过5年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里.21．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，13AB AD CD ==，60ADC ∠=︒，(0)DE EC λλ=> .现沿AE 将ADE V 折起至AD E ' （D '∉平面ABCE ）.(1)若BC D D ⊥'（如图1），求λ的值；(2)当12λ=且二面角D AE B '--的平面角为π3时（如图2），求D C '与平面D AE '所成角的正弦值.【正确答案】(1)2λ=【分析】（1）由线面垂直，线线垂直相互转化，寻求得到E 点的位置，进而由平面几何知识得到2λ=.（2）首先确定E 点位置，然后建系，利用题中已知二面角，求得所需点的坐标，进而求得平面D AE '的法向量，代入线面角公式即得结果.【详解】（1）由题意知D ¢在平面ABCE 的射影落在折痕AE 的垂线上，记为T ，则D T '⊥平面ABCE ，又BC ⊂平面ABCE ，∴D T BC '⊥.又,BC D D D D D T D D D D T D DT '''⊥⋂'''⊂'=，，平面，∴BC ⊥平面,DD T '又DT ⊂平面,DD T 'BC DT ∴⊥.在平面ABCD 中，AE BC ∥，∵//AB CD ，∴四边形ABCE 为平行四边形，即有AB CE =，∵13AB AD CD ==，(0)DE EC λλ=> ，∴2λ=.（2）连接AE 和BD ，交于点O ，由题意可知四边形ABED 为菱形；折起后，,OD AE OB AE '⊥⊥，∵二面角D AE B '--的平面角为π3，∴π3D OB '∠=.以,OB OE 所在直线分别为,x y 轴，O为原点，如图建系，不妨设2AB =，则()()()3,,0,1,0,0,1,02D C A E '⎫-⎪⎪⎝⎭.()30,2,0,,1,22AE AD ⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭;设平面D AE '的法向量为(),,m x y z=则200,30022y m AE x y z m AD =⎧⎧⋅=⎪⎪⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩'可取()m =.又322D C ⎛⎫=- '⎪ ⎪⎝⎭,设D C '与平面D AE '所成角为θ,则sin cos<,2D C m θ=>==' ,故D C '与平面D AE '所成角的正弦值2.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点在椭圆C 上，其左右顶点分别为,,A B P 为椭圆C 的短轴端点，且121cos 3F PF ∠=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 为椭圆C 上异于,A B 的任意一点，设直线AQ 与直线13x =交于点R ，过R 作直线BQ 的垂线交椭圆C 于,M N 两点.（i ）设直线AQ 与MN 的斜率分别为,k k '，证明：k k'为定值，并求出该定值；（ii ）求OMN （O 为坐标原点）面积的最大值.【正确答案】(1)22196x y +=(2)（i ）证明见解析，定值为32（ii ）2【分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解之可得椭圆方程；（2）（i ）设()00,Q x y ，分别求出AQ k ，MN k 与BQ k 的积即得证；（ii ）直线():3AQ y k x =+，得()13,16R k ，得出直线MN 方程后可得直线MN 过定点，求出177236OMN M N M N S y y y y =⨯⨯-=- ，由定点重新设出其方程为72,33x my m k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，代入椭圆方程后由韦达定理得M N y y -，然后由基本不等式得面积的最大值．【详解】（1）由题意得221212226211,cos 12sin 1232F PF c F PF a b a ∠∠⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭，由222222621112()3a b c a b c a ⎧+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得229,6a b ==，即椭圆C 的方程为22196x y +=.（2）（i ）设()00,Q x y ，则0000,33AQ QB y y k k k x x ===+-，()220002200002923,33993QBx y y y k k x x x x -⨯=⨯===-+---又1QB k k ⨯'=-32QB QBk k k k k k ∴='⨯=⨯'故k k '为定值为32（ii ）直线():3AQ y k x =+，此时()13,16R k ，此时直线()3:16132MN y k k x -=-，即3723y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过定点7177,0,3236OMN M N M NS y y y y ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭不妨设直线72:,33MN x my m k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭代入22196x y +=，得()22286423039m m y y ++-=.22227542M N y y m m -=+++ ⎪⎝⎭≤=21754m =取等号.即当22417k =时，()max 7672OMN S =⨯=综上可得OMN 面积的最大值为2.方法点睛：直线与圆锥曲线相交中的最值问题处理方法：（1）设直线方程为y kx b =+（或x my t =+），设交点坐标1122(,),(,)x y x y ；（2）联立直线方程与圆锥曲线方程消元得一元二次方程（判别式确定直线与圆锥曲线相交得参数范围），由韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +）；（3）用坐标1122(,),(,)x y x y 表示出欲求最值的量，代入韦达定理的结论后得函数式，利用不等式的知识或函数的知识求得最值．。
2022-2023学年浙江省湖州市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年浙江省湖州市高二上册期末数学质量检测试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每题5分，共40分）1．如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是侧面11CDD C 的中心，若1AF xAD y AB z AA =++，求x y z ++=（）A ．1B ．32C ．2D ．523．已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A ．2310x y -+=B ．2310x y --=C ．3210x y -+=D ．3210x y --=4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（）A ．12B ．24C ．36D ．485．若函数()()2121262f x f x x '=-+-，则()2f '-的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．86．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()3,6,3c =-r 且a c ⊥ ，//b c，则a b += （）A ．B ．C ．4D ．37．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左､右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．3⎛ ⎝⎭B ．3⎫⎪⎪⎝⎭C ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．0,3⎛ ⎝⎭.8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则6=a （）A ．103B ．107C ．109D ．105二、多选题（每小题5分，共20分。
2019-2020学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是( ) A ．10x y --=B ．10x y +-=C ．310x y --=D ．310x y +-=2．（4分）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，1，1)关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是()A ．(1-，1，1)B ．(1，1-，1)-C ．(1，1，1)-D ．(1，1-，1)3．（4分）直线320x y --=截圆224x y +=所得弦长是( ) A ．23B ．2C ．3D ．14．（4分）椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是( ) A ．3B ．5C ．8D ．105．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A ．43B ．2C ．83D ．46．（4分）设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//n β，则//a βC ．若a γ⊥，βγ⊥，则//a βD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n8．（4分）已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 是平面ABCD 内一动点，若1D Q 与1D C 所成角为4π，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆9．（4分）已知P 为抛物线212x y =上一个动点，Q 为圆22(4)1x y -+=，则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．（4分）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段SA 上的点（不含端点），设直线BE 与CD 所成的角为1θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S BC D --的平面角为3θ，则( )A ．13θθ<，23θθ<B ．21θθ<，23θθ<C ．21θθ<，31θθ<D ．12θθ<，32θθ<二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）双曲线221169x y -=的离心率为 ；渐近线方程为 ．12．（4分）棱长为1的正方体的内切球的半径是 ，该正方体的外接球的表面积是 ． 13．（4分）已知圆221:4O x y +=与圆222:(2)(1)1O x y -++=相交于A ，B 两点，则两圆的圆心1O ，2O 所在直线方程是 ，两圆公共弦AB 的长度是 ．14．（4分）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160oA AB A AD ∠=∠=，则1AD AC =u u u u r u u u r g ，1||AC =u u u u r．15．（4分）过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点），则双曲线C 的标准方程是 ．16．（4分）在三棱锥P ABC -中，3AB BC CA AP ====，4PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -的体积是 ．17．（4分）在ABC ∆中，(10,0)B ，直线BC 与圆22(5)25x y +-=相切，切点为线段BC 的中点．若ABC ∆的重心恰好为该圆圆心，则点A 的坐标是 ． 三、解答题：5小题，共74分18．已知直线:20l x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，圆22:(2)2C x y -+=． （1）已知平行于l 的直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程； （2）已知动点P 在圆C 上，求ABP ∆的面积的取值范围．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段AC 上的中点． （1）证明：1//A M 平面11CB D ；（2）求异面直线1A M 与1CD 的所成角的余弦值．20．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于A ，B 两点．（1）求||AB 的值；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．21．如图，三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，ABC ∆和△111A B C 均为等边三角形，1111222AB AA CC A B ===，O 为AC 的中点． （1）证明：1OB AA ⊥；（2）求直线1OB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．22．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)P ，且离心率2e =，圆2C 以椭圆1C 的短轴为直径．过点P 作互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l 交椭圆1C 于另一点D ，直线2l 交圆2C 于A ，B 两点（1）求椭圆1C 和圆2C 的标准方程； （2）求ABD ∆面积的最大值．2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A ．10x y --=B ．10x y +-=C 10y --=D 10y +-=【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，10x y --=，其斜率1k =，倾斜角为45︒， 对于B ，10x y +-=，其斜率1k =-，倾斜角为135︒，对于C 10y --=，其斜率k =60︒，对于D 10y +-=，其斜率k =120︒， 则B 选项中直线的倾斜角最大； 故选：B ．2．（4分）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，1，1)关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是()A ．(1-，1，1)B ．(1，1-，1)-C ．(1，1，1)-D ．(1，1-，1)【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，1，1)关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是(1，1-，1)． 故选：D ．3．（4分）直线20x -=截圆224x y +=所得弦长是( )A ．B ．2C D ．1【解答】解：由圆224x y +=，得到圆心(0,0)，2r =，Q 圆心(0,0)到直线20x -+=的距离212d ==，∴直线被圆截得的弦长为=故选：A ．4．（4分）椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是( )。
浙江省湖州市数学高二上学期理数期末考试试卷
浙江省湖州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2019高二上·洮北期中) 抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .2. （2分）对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为（）A . 150B . 200C . 100D . 1203. （2分）设数列{an}是等比数列，则“a1<a2<a3"是“数列{an}为递增数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高二上·钦州港月考) 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个黑球与都是黑球B . 至少有一个黑球与都是红球C . 至少有一个黑球与至少有1个红球D . 恰有1个黑球与恰有2个黑球5. （2分）点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（）A . （2，3，-4）B . （-2，3，4）C . （2，-3，4）D . （-2，-3，4）6. （2分） (2017高二上·右玉期末) 一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）A . （￢p）∨（￢q）B . p∨（￢q）C . （￢p）∧（￢q）D . p∨q7. （2分）二面角a-AB-b的平面角是锐角，点C且点C不在棱AB上，D是C在平面b 上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则（）A . ∠CEB＞∠DEBB . ∠CEB=∠DEBC . ∠CEB＜∠DEBD . ∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定8. （2分） ={8，3，a}， ={2b，6，5}，若∥ ，则a+b的值为（）A . 0B .C .D . 89. （2分）在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边长作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知点是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且轴，焦距，则椭圆的离心率是（）A .B .C . －1D . －11. （2分） (2018高三上·德州期末) 已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·吉林月考) 如果数据的平均值为，方差为，则、…… 的平均值和方差分别为（）A . 和B . 和C . 和D . 和13. （2分）(2018·许昌模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是（）A . k≤7?B . k＜7?C . k≤8?D . k＜8?14. （2分）已知E、F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设α为二面角D﹣AE﹣D1的平面角，求sinα=（）A .B .C .D .15. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A . ﹣2B . 2C . -D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高一上·厦门期末) 某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为________．17. （1分）从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．18. （1分） (2017高三下·深圳月考) 直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是________．19. （1分） (2018高二下·济宁期中) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．20. （1分） (2016高一下·韶关期末) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据上表可得回归方程 = x+ ，其中 =7，则 =________，据此模型预报广告费为7万元时销售额为________．三、解答题 (共7题；共70分)21. （10分） (2016高二上·临漳期中) 已知命题p：∃x∈R，x2+2x﹣m=0；命题q：∀x∈R，mx2+mx+1＞0．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；（3）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．22. （10分）新课标要求学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩由模块考试成绩和平时成绩构成，各占50%，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分（为0分），设计一算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，并画出程序框图．23. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．25. （10分）(2017高三上·湖南月考) 已知直角梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．26. （10分） (2018高二下·邱县期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），若以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使 .（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值.27. （10分） (2018高二上·淮北月考) 已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共7题；共70分) 21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、25-1、26-1、26-2、。