第3章 声波的传播特性
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2
令入射和透射波法向阻抗分别为：Z s1 PiA 1c1
s2 s1 rp 声强反射系数： rp Z Z ；声强投射系数：
第三节 平面声波斜入射与折射
平面波斜入射问题
如图，平面声波在xy面内传播，与x轴夹 角为 i ，投射到分界面上 入射波： i i , i 其单位矢量：
第三节 平面声波斜入射与折射
透射波： t t , t 其单位矢量：
2
t , t
2
2
i , i
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
rP 1, rV 1, rI 1 t P 2, tV 0, t I 0
讨论：
rP rV rI 0 ① R1 R2 ( R12 R21 1) ，则： t P tV t I 1
2013/11/15
第一节 概述
声波遇到障碍物会发生反射、折射、透射和绕射现象
汽车噪声控制
第三章 声波的传播特性
以平面波为例进行讨论，有关结论可以推广 平面波： 声压： P( x, t ) A1e j (t kx ) A2e j (t kx ) 质点振速： V ( x, t )
2
nt cos t i cos( t ) j cos k cos t i sin t j 2 2
由于： P PAe j (t k r ) 入射波声压： Pi PiAe j (t k1 x cosi k1 y sin i ) 入射波法向振速： Vix
, , 为波阵面法向与 x, y, z 轴的夹角
定义波矢量为：
k kn k (cos i cos j cos k ) 波阵面上任意一点的位置矢量为： r xi yj zk
该处声压可表示为：
P PAe j (t k r ) PAe j (t kx cos ky cos kz cos )
s2 s1
声压反射系数： rp
tp ；声压投射系数：
2
2Z s 2 Z s 2 Z s1
4 Z s22 1c1 Z s 2 Z s1 2 2c2
2c2 PtA cos t 声压投射系数： rp 2c2 c PiA 11 cos t cos i
根据分界面声学边界条件：( P 1 ) x 0 ( P 2 ) x 0 ; (V1 x ) x 0 (V2 x ) x 0 得： PiA e jk1 y sin i PrAe jk1 y sin r PtAe jk2 y sin t
i i sin k c i 2 1 sin k c t 1 2
沿空间任一方向传播的平面波表达式
平面波沿X轴传播时的情况
P PAe j (t kx )
三维空间中，同一波阵面上不同位置的点 具有相同X坐标，故声压的振幅和相位均相同 由图可知： ①X轴为波阵面法线方向
P PAe j (t knr ) 其中：n i 波阵面法向单位矢量，x轴正向 r xi yj zk 波阵面任一点位置矢量
2
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质来说非常“软”，称为超软边界 在媒质Ⅰ中，入射波和反射波叠加成驻波，分界面处恰是质 点振速的波腹和声压波节
第三节 平面声波斜入射与折射
垂直入射，媒质特性阻抗影响声波的传播 斜入射，媒质特性阻抗和入射角度影响声波的传播
第三节 平面声波斜入射与折射
②任意点的矢径在波阵面法向投影为X，代 表了传播距离 故可将上式改写为运用波阵面上任意一点的 矢量形式：
第三节 平面声波斜入射与折射
2c2 c 11 PrA cos t cos i 声压反射系数： rp 2c2 c PiA 11 cos t cos i
利用上式可求出：
第三节 平面声波斜入射与折射
Z s 2 Z s1 Z s 2 Z s1 Z Z
体积速度连续
(声压连续)
Pr PrAe j (t k1x ) P Vr rA e j (t k1x ) 1c1
Pt PtAe j (t k 2 x )
由于分界面无限薄，界面两边的介质保持恒定接触，故两种 介质在分界面上法向速度相等，即：
V1 V2
（法向速度相等）
Vt
1c1
来自百度文库
PtA
e j ( t k 2 x )
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第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
VrA 1c1 2 c2 R1 R2 1 R12 ViA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1 VtA 2 1c1 2 R1 2 R21 声压透射系数： tV ViA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1
j (t k1 x cos r k1 y sin r ) 反射波声压： Pr PrAe
cos i Pi 1c1
反射波法向振速：Vrx
cos r Pr 1c1
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第三节 平面声波斜入射与折射
第三节 平面声波斜入射与折射
透射波声压：Pt PtAe j (t k2 x cost k2 y sin t ) 透射波法向振速： Vtx 分界面两边介质中:
其单位矢量：
ni cos i i cos( i ) j cos k cos i i sin i j 2 2 反射波： r r , r r , r 2 2
nr cos( r )i cos( r ) j cos k cos r i sin r j 2 2
1 P Vx cos P t x Vx 0 c0 0 1 P 将前式代入 cos V 即： y Vy P 0 c0 t y 0 Vz 1 P V cos P t z c 0 z 0 0
这表明声波没有反射，即全透射情况。当分界面两侧媒质 特性阻抗相等，分界面就像不存在 ② R2 R1 ( R12 1) ，则：
③ R2 R1 ( R12 1) ，则：
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质来说非常“硬”，称为超硬边界 在媒质Ⅰ中，入射波和反射波叠加成驻波，分界面处恰是质 点振速的波节和声压波腹 媒质Ⅱ中，没有声波传播，只有压强的静态传递 声强透射系数为零，没有能量进入媒质Ⅱ，发生全反射
dv dt 因为分界面时无限薄的，故 M 0 ，则 dv / dt [P 分界面取微质量元 M ，满足： 1P 2 ]S M
显然与事实不符，因此上式成立必满足：
Pi PiAe j (t k1 x )
Vi
1c1
PiA
e j (t k1x )
P 1 P 2
④ R2 R1 ( R12 1) ，则：
媒质Ⅱ中，没有声波传播，只有速度的静态传递 声强透射系数为零，没有能量进入媒质Ⅱ，发生全反射
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质上更“软”，象非弹性碰撞一样 ，反射波与入射波质点振速同相，声压反相（相差π） ⑤ R2 R1 ( R12 1) 则:
由分界面声学条件可得：
PiA PrA PtA ( P 1 ) x 0 ( P 2 ) x 0 带入得： PiA PrA PtA (V1 ) x 0 (V2 ) x 0 1c1 1c1 2 c2
令：R1 1c1 , R2 2 c2 , R12 R2 / R1 , R21 R1 / R2 声压反射系数： rP 声压透射系数： t P
声波通过分界面时的能量关系：
rP 1, rV 1, rI 1 t P 0, tV 2, t I 0
R2 R1 4 R1 R2 rI t I R R ( R R )2 1 1 2 1 2
I I I r It
这表明分界面上满足能量守恒
上式对x=0平面上任意y都成立，必要条件是各项指数因子相等 故： k1 sin i k1 y sin r k2 y sin t 由此解得：
cos t Pt 2c2
P1 Pi Pr P2 Pt , V1x Vix Vrx V2 x Vtx
n r x ，故上述等式成立 由于：
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第三节 平面声波斜入射与折射
第三节 平面声波斜入射与折射
该点振动速度可由运动方程导出：
如右图，当波阵面为任意方向时间，其法 向单位矢量为：
n cos i cos j cos k
V 1 P 0 t
斯奈尔声波反射与折射定律
利用该定律将前式简化得：
cos i P e jk1 y sin i cos r P e jk1 y sin r cos t P e jk2 y sin t rA tA 1c1 iA 1c1 2 c2
PiA PrA PtA cos cos r cos t i PiA PrA PtA 2c2 c c 1 1 11
rP 0, rV 0 t P 0, tV 0
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质上更“硬”，想弹性碰撞一 样，反射速度与入射速度反相（相差π），声压同相
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第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
rP 0, rV 0 t P 0, tV 0
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
2 声强： I PA 2 0 c0
0c0
A1
e j (t kx )
0c0
A1
e j (t kx )
声阻抗率： Z a P 0c0
V
第一节 概述
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
媒质分界面声学边界条件： 声压连续
平面波垂直入射：
入射波声压： 入射波振速： 反射波声压： 反射波振速： 透射波声压： 透射波振速：
PrA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1 PiA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1 PtA 2 2 c2 2 R2 2 R12 PiA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1
可见，平面声波在分界面上反射与透射的大小取决于分界面两 边媒质的特性阻抗
声压反射系数： rV 声强反射系数： rI 声强投射系数： t I
2 I r PrA /(2 1c1 ) R R1 2 R 1 2 ( 2 ) ( 12 ) 2 I i PiA /( 2 1c1 ) R2 R1 R12 1 2 I t PtA /( 2 1c1 ) 4 R1 R2 4 R12 2 I i PiA /( 2 1c1 ) ( R2 R1 ) 2 ( R12 1) 2
令入射和透射波法向阻抗分别为：Z s1 PiA 1c1
s2 s1 rp 声强反射系数： rp Z Z ；声强投射系数：
第三节 平面声波斜入射与折射
平面波斜入射问题
如图，平面声波在xy面内传播，与x轴夹 角为 i ，投射到分界面上 入射波： i i , i 其单位矢量：
第三节 平面声波斜入射与折射
透射波： t t , t 其单位矢量：
2
t , t
2
2
i , i
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
rP 1, rV 1, rI 1 t P 2, tV 0, t I 0
讨论：
rP rV rI 0 ① R1 R2 ( R12 R21 1) ，则： t P tV t I 1
2013/11/15
第一节 概述
声波遇到障碍物会发生反射、折射、透射和绕射现象
汽车噪声控制
第三章 声波的传播特性
以平面波为例进行讨论，有关结论可以推广 平面波： 声压： P( x, t ) A1e j (t kx ) A2e j (t kx ) 质点振速： V ( x, t )
2
nt cos t i cos( t ) j cos k cos t i sin t j 2 2
由于： P PAe j (t k r ) 入射波声压： Pi PiAe j (t k1 x cosi k1 y sin i ) 入射波法向振速： Vix
, , 为波阵面法向与 x, y, z 轴的夹角
定义波矢量为：
k kn k (cos i cos j cos k ) 波阵面上任意一点的位置矢量为： r xi yj zk
该处声压可表示为：
P PAe j (t k r ) PAe j (t kx cos ky cos kz cos )
s2 s1
声压反射系数： rp
tp ；声压投射系数：
2
2Z s 2 Z s 2 Z s1
4 Z s22 1c1 Z s 2 Z s1 2 2c2
2c2 PtA cos t 声压投射系数： rp 2c2 c PiA 11 cos t cos i
根据分界面声学边界条件：( P 1 ) x 0 ( P 2 ) x 0 ; (V1 x ) x 0 (V2 x ) x 0 得： PiA e jk1 y sin i PrAe jk1 y sin r PtAe jk2 y sin t
i i sin k c i 2 1 sin k c t 1 2
沿空间任一方向传播的平面波表达式
平面波沿X轴传播时的情况
P PAe j (t kx )
三维空间中，同一波阵面上不同位置的点 具有相同X坐标，故声压的振幅和相位均相同 由图可知： ①X轴为波阵面法线方向
P PAe j (t knr ) 其中：n i 波阵面法向单位矢量，x轴正向 r xi yj zk 波阵面任一点位置矢量
2
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质来说非常“软”，称为超软边界 在媒质Ⅰ中，入射波和反射波叠加成驻波，分界面处恰是质 点振速的波腹和声压波节
第三节 平面声波斜入射与折射
垂直入射，媒质特性阻抗影响声波的传播 斜入射，媒质特性阻抗和入射角度影响声波的传播
第三节 平面声波斜入射与折射
②任意点的矢径在波阵面法向投影为X，代 表了传播距离 故可将上式改写为运用波阵面上任意一点的 矢量形式：
第三节 平面声波斜入射与折射
2c2 c 11 PrA cos t cos i 声压反射系数： rp 2c2 c PiA 11 cos t cos i
利用上式可求出：
第三节 平面声波斜入射与折射
Z s 2 Z s1 Z s 2 Z s1 Z Z
体积速度连续
(声压连续)
Pr PrAe j (t k1x ) P Vr rA e j (t k1x ) 1c1
Pt PtAe j (t k 2 x )
由于分界面无限薄，界面两边的介质保持恒定接触，故两种 介质在分界面上法向速度相等，即：
V1 V2
（法向速度相等）
Vt
1c1
来自百度文库
PtA
e j ( t k 2 x )
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第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
VrA 1c1 2 c2 R1 R2 1 R12 ViA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1 VtA 2 1c1 2 R1 2 R21 声压透射系数： tV ViA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1
j (t k1 x cos r k1 y sin r ) 反射波声压： Pr PrAe
cos i Pi 1c1
反射波法向振速：Vrx
cos r Pr 1c1
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第三节 平面声波斜入射与折射
第三节 平面声波斜入射与折射
透射波声压：Pt PtAe j (t k2 x cost k2 y sin t ) 透射波法向振速： Vtx 分界面两边介质中:
其单位矢量：
ni cos i i cos( i ) j cos k cos i i sin i j 2 2 反射波： r r , r r , r 2 2
nr cos( r )i cos( r ) j cos k cos r i sin r j 2 2
1 P Vx cos P t x Vx 0 c0 0 1 P 将前式代入 cos V 即： y Vy P 0 c0 t y 0 Vz 1 P V cos P t z c 0 z 0 0
这表明声波没有反射，即全透射情况。当分界面两侧媒质 特性阻抗相等，分界面就像不存在 ② R2 R1 ( R12 1) ，则：
③ R2 R1 ( R12 1) ，则：
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质来说非常“硬”，称为超硬边界 在媒质Ⅰ中，入射波和反射波叠加成驻波，分界面处恰是质 点振速的波节和声压波腹 媒质Ⅱ中，没有声波传播，只有压强的静态传递 声强透射系数为零，没有能量进入媒质Ⅱ，发生全反射
dv dt 因为分界面时无限薄的，故 M 0 ，则 dv / dt [P 分界面取微质量元 M ，满足： 1P 2 ]S M
显然与事实不符，因此上式成立必满足：
Pi PiAe j (t k1 x )
Vi
1c1
PiA
e j (t k1x )
P 1 P 2
④ R2 R1 ( R12 1) ，则：
媒质Ⅱ中，没有声波传播，只有速度的静态传递 声强透射系数为零，没有能量进入媒质Ⅱ，发生全反射
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质上更“软”，象非弹性碰撞一样 ，反射波与入射波质点振速同相，声压反相（相差π） ⑤ R2 R1 ( R12 1) 则:
由分界面声学条件可得：
PiA PrA PtA ( P 1 ) x 0 ( P 2 ) x 0 带入得： PiA PrA PtA (V1 ) x 0 (V2 ) x 0 1c1 1c1 2 c2
令：R1 1c1 , R2 2 c2 , R12 R2 / R1 , R21 R1 / R2 声压反射系数： rP 声压透射系数： t P
声波通过分界面时的能量关系：
rP 1, rV 1, rI 1 t P 0, tV 2, t I 0
R2 R1 4 R1 R2 rI t I R R ( R R )2 1 1 2 1 2
I I I r It
这表明分界面上满足能量守恒
上式对x=0平面上任意y都成立，必要条件是各项指数因子相等 故： k1 sin i k1 y sin r k2 y sin t 由此解得：
cos t Pt 2c2
P1 Pi Pr P2 Pt , V1x Vix Vrx V2 x Vtx
n r x ，故上述等式成立 由于：
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第三节 平面声波斜入射与折射
第三节 平面声波斜入射与折射
该点振动速度可由运动方程导出：
如右图，当波阵面为任意方向时间，其法 向单位矢量为：
n cos i cos j cos k
V 1 P 0 t
斯奈尔声波反射与折射定律
利用该定律将前式简化得：
cos i P e jk1 y sin i cos r P e jk1 y sin r cos t P e jk2 y sin t rA tA 1c1 iA 1c1 2 c2
PiA PrA PtA cos cos r cos t i PiA PrA PtA 2c2 c c 1 1 11
rP 0, rV 0 t P 0, tV 0
媒质Ⅱ比媒质Ⅰ在声学性质上更“硬”，想弹性碰撞一 样，反射速度与入射速度反相（相差π），声压同相
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第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
rP 0, rV 0 t P 0, tV 0
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
2 声强： I PA 2 0 c0
0c0
A1
e j (t kx )
0c0
A1
e j (t kx )
声阻抗率： Z a P 0c0
V
第一节 概述
第二节 平面声波的垂直入射、反射和透射
媒质分界面声学边界条件： 声压连续
平面波垂直入射：
入射波声压： 入射波振速： 反射波声压： 反射波振速： 透射波声压： 透射波振速：
PrA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1 PiA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1 PtA 2 2 c2 2 R2 2 R12 PiA 2 c2 1c1 R2 R1 R12 1
可见，平面声波在分界面上反射与透射的大小取决于分界面两 边媒质的特性阻抗
声压反射系数： rV 声强反射系数： rI 声强投射系数： t I
2 I r PrA /(2 1c1 ) R R1 2 R 1 2 ( 2 ) ( 12 ) 2 I i PiA /( 2 1c1 ) R2 R1 R12 1 2 I t PtA /( 2 1c1 ) 4 R1 R2 4 R12 2 I i PiA /( 2 1c1 ) ( R2 R1 ) 2 ( R12 1) 2