2013年1-4-7-10月自考概率论与数理统计(经管类)答案详解

全国2013年1月自考概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04183一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

解：本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂===故选B.解：本题考查的是分布函数的性质。

由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。

再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。

所以答案为C 。

解：{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 故选A 。

解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040d =--= 故选D 。

解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。

解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=选A 。

解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= 选C 。

解：由方差的计算公式22()()()D X E X E X =-， 可得2222()()()E X D X E X nσμ=+=+选B 。

解：置信度表达了置信区间的可靠度，选D 。

二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

解：本题为贝努利概型。

4次射击中命中3次的概率为3334(0.6)(0.4)4(0.6)(0.4)0.3456C ⋅=⨯⨯=解：()()()()()()0.20.140.06p A B P A P AB P A P A P B -=-=-=-=解：因为()()()P A B P A P AB -=-，所以可得()()()0.3P AB P A P A B =--=所以()0.33(|)()0.88P AB P B A P A ===解：可以得到X 的分布律为123(1),(2),(3)P X P X P X a a a======由分布律的性质，可得12361a a a a++==，故6a =。

解：11{1}10.30.7x x P X e dx ee e λλλλλ----<==-=-=⇒=⎰所以22220{2}11()0.51x x P X e dx e e e λλλλλ----<==-=-=-=⎰解：{21}{1}{0}0.20.40.6P X P X P X -<<==-+==+=解：此题为二维随机变量密度函数的性质，答案为1。

解：{2}{1,2}{2,1}0.4P XY P X Y P X Y ====+===解：121()2114444CE X C =-⨯+⨯+⨯==，所以4C =。

解：2222()()()()=()+()=4D X E X E X E X D X E X =-⇒所以22(32)3()210E X E X -=-=。

解：若~(,)X B n p ，则(),()(1)E X np D X np p ==-，由题意，有()14()(1)13E X np D X np p p ===--，则可得14p =。

解：矩估计中用样本二阶中心距2ns 估计总体方差。

即22n s σ=。

解：总体方差未知时，均值的置信区间为2(1)S X t n n α⎛⎫±-⋅ ⎪⎝⎭经计算11.3X =，2211() 1.09, 1.041ni i s x x s n ==-==-∑ 所以平均工时的置信区间为21.04(1)(11.3 3.1824)(11.3 1.65)(9.65,12.95)2S X t n n α⎛⎫±-⋅=±⨯=±= ⎪⎝⎭解：总体方差已知，对均值的进行检验时用的统计量为00/x U nμσ-=解：估计回归方程时：01ˆˆ1y x ββ=-= 所以1191ˆ42y x β--=== 三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)解：设1A ={第一次命中},1()0.4P A =2A ={第一次命中},2()0.5P A = 3A ={第一次命中},3()0.7P A =由于三次射击是独立的，所以恰好有一次击中目标的概率为：(P 123123123A A A A A A A A A ++) = )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++ =7.05.06.03.05.06.03.05.04.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯36.0=解：（X ，Y ）的分布律为：四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)解：(1)X 的概率密度函数为2,01()(),120,Ax x f x F x A x ≤<⎧⎪'==≤<⎨⎪⎩其他由性质+-()1f x dx ∞∞=⎰，有+12120-01()221f x dx Axdx Adx AxA A ∞∞=+=+==⎰⎰⎰Y X 1 2 34 1 140 0 0 2 18 180 0 3 112 112 112 0 4 116 116 116 116则12A =（2）所以X 的概率密度函数为,011()(),1220,x x f x F x x ≤<⎧⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎩其他（3）3333{0}()(0)02244P x F F <≤=-=-=解：()80.490.2100.49E X =⨯+⨯+⨯=()80.190.8100.19E Y =⨯+⨯+⨯=由此可见甲乙射击的平均环数是相同的。

2()[()]10.4010.40.8D X E X E X =-=⨯++⨯= 2()[()]10.1010.10.2D Y E Y E Y =-=⨯++⨯=从方差上看，乙的射击水平更稳定，所以选派乙去参赛。

五、应用题(10分)解：（1）提出零假设H 0：μ =70,H 1：μ ≠70．选择统计量0/x t s nμ-=于是066.4701.215/5/x t s nμ--===-由检验水平α ＝0.05,0.025(24) 2.064t =拒绝域为0.025||t t ≥，由于|| 1.2 2.064t =<,从而不能否定H 0． 所以不能认为该镇居民日平均收入为70元． （2）提出零假设H 0：2216σ=,H 1：2216σ≠．选择统计222)1(σχS n -= 由给定的样本值，计算得到22222(1)241521.0916n S χσ-⨯===由检验水平α ＝0.05，拒绝域为220.025(24)39.4χχ>=或220.975(24)12.4χχ<= 由于221.09χ=，没有落入拒绝域。

从而不能认为该镇居民日平均收入的方差为216．附：其他常考大题题型例1．设某地区地区男性居民中肥胖者占25%，中等者占60%，瘦者占15%，又知肥胖者患高血压病的概率为20%，中等者患高血压病的概率为8%，瘦者患高血压病的概率为2%，试求：（1）该地区成年男性居民患高血压病的概率；（第一章，全概率公式）（2）若知某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？（第一章，贝叶斯公式）解：设1A ={肥胖者}，2A ={中等者}，3A ={瘦者} B={患高血压病}已知)(1A P =0.25, )(2A P =0.6, )(3A P =0.15)|(1A B P =0.2, )|(2A B P =0.08, )|(3A B P =0.02（1）)()(1A P B P =)|(1A B P )(2A P +)|(2A B P )(3A P +)|(3A B P =0.101（2）495.0101.02.025.0)()|()()()()|(1111≈⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 例2.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=,,0,10,101,1)(其他x x x x x f 试求E (X )及 D (X ).（第四章，连续型随机变量的期望和方差求法） 解：0)1()1()()(11=-++==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x xf X E61)1()1()()(1201222=-++==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E 61)()()(22=-=EX X E X D 例3. 设（X ，Y ）的分布律如下，求),cov(Y X 。

Y X 1 20 0.2 0.1 1 0.3 0.4（第四章，二维离散型随机变量协方差的计算） 解：7.014.013.001.002.0)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1.124.013.021.012.0)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E7.0214.0113.0201.0102.0)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E 07.01.17.07.0)()()(),cov(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X例4.设（X ，Y ）服从在区域D 上的均匀分布，其中D 由x 轴、y 轴及x+y=1所围成，求X 与Y 的协方差Cov(X ，Y).（第四章，二维连续型随机变量协方差的计算）解：（X ，Y ）的概率密度为1y⎩⎨⎧∉∈=D y x Dy x y x f ),(,0),(,2),(312),()(1010===⎰⎰⎰⎰-x Dxdy dx dxdy y x xf X E312),()(1010===⎰⎰⎰⎰-yDydx dy dxdy y x yf Y E1212),()(101===⎰⎰⎰⎰-x Dxydy dx dxdy y x xyf XY E 361)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X 例5 设某行业的一项经济指标服从正态分布N （μ,σ2），其中μ,σ2均未知.今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值x =56.93，样本方差s 2=(0.93)2.求μ的置信度为95%的置信区间.(附：t 0.025(8)=2.306) （第七章，对μ估计，方差已知）解：分析：对μ估计，方差未知，置信区间为n S n t X /)1(2⋅-±α计算得93.56=x ，05.0=α，306.2025.0=t ，93.0=S ，9=n 故μ的置信度为95%的置信区间为：3/93.0306.293.56/)1(2⨯±=⋅-±n S n t X α即56.215,57.645（）。