1.1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示
小题狂做
1、若以集合A={-1，1},B={0，2},则集合 {z︱z=x+y,x A,y B} 中的元素个数为（ ） 。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2 、若以集合S={a,b,c}( a,b,c R)中三个元素为边可 构成三角形，那么此三角形不可能是（ ） 。 A.锐角三角形 C. 钝角三角形 B. 等腰三角形 D.直角三角形
【分析】集合相等当且仅当集合中元素全部相同。且同一集合中的元素互异。
【解析】由A=B，即A与B的元素一样，则
a+d=aq （Ⅰ）a+2d=aq2
Hale Waihona Puke (Ⅱ)2a+d= aq2 a+2d= aq
由（Ⅰ）消去d，得aq
－2aq＋a=0.
根据已知条件，显然a 0, d 0,解得q=1. 但当q=1时，a=aq=aq2 ，这与集合中元素的互异性矛 盾，故q=1舍去.
05 集合的分类
集合通常可分为有限集、无限集、空集.
（1）有限集 含有有限个元素的集合叫做有限集. (2) 无限集 含有无限个元素的集合叫做无限集. 如{所有的等腰三角形} （3）空集 不含任何元素的集合叫做空集.
你学到了什么？
1、元素与集合的概念 2、常用数集的符号 3、集合中元素的三个特征 ：确定性，互异性， 无序性 4、集合的表示方法：列举法，描述法，图示法 5、集合的分类：有限集，无限集，空集
例题
（2）用描述法表示所有奇数的集合。
解： 任何一个奇数都可以表示为x=2k+1(k z)的形式， 所以我们可以把所有奇数的集合表示为 E={ x Z︱x=2k+1,k z}.
例题
（3）分别用列举法和描述法表示 x2－2=0的所有实数根组成的集合。 方程
数学1：1.1.1_集合的含义与表示
1、1集合一、教材分析：新课标把集合作为现代数学一种基本语言来学习，课标中明确提出了：给一个数学对象怎么去描述？可以用自然语言，可以用venn图，也可以用集合的语言表述数学对象。
把集合作为一种语言来学习，要注意三件事：1）要把集合的有关概念、表示方法、集合之间关系的符号、集合的运算搞清楚，这是教学中首先要把握好的一个重点；2）语意的转换、方法的选择、了解用集合语言和别的语言，优点是什么，提高学生学习的自觉性；3）用集合语言来表述数学对象、数学关系的任务不能在这一章中全部完成，我们仅仅是为了给学生打一个基础，在今后的学习中，只要有适当的机会就主动地引导学生应用、比较，不断提高学生的表达能力，用集合语言来交流的能力。
二、学情分析：在初中阶段已经学习了自然数集合、有理数集合，对集合有了初步的认识，对用集合语言还不熟悉，难在将集合语言和自然语言进行转换。
§1、1、1 集合的含义与表示教学目标：了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系；知道常用数集及其专用记号；了解集合中元素的三大特征；会用集合语言表示有关数学对象，能选择自然语言、集合语言表述不同的具体问题；培养学生抽象概括能力。
教学重点：集合的含义与表示方法教学难点：表示法的适当选择教学情境设计：教师：军训时，我们听到教官口令“高一（9）班同学集合”这里的“集合”作为动词，听到口令后高一（9）班的同学就会从四面八方聚集到一起，不是高一（9）班的同学会走开，这一声“集合”就能把某些指定的对象集在一起,如果把这个集在一起的整体作为研究对象，这个整体即我们数学中所说的集合。
教师：你能举一些集合的例子吗？学生：举例、交流。
教师：引导学生阅读教科书上的8个例子，并思考概括它们的共同特征。
1、集合的含义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
完成P2思考题教师：集合中元素可以是数，可以是点，也可以是事物或其它东西，是不是任何事物一定能构成集合？集合中的元素有什么特征？学生：阅读教科书、举例，发表自己看法。
【数学】1.1.1集合的含义与表示
3、元素与集合的关系
关系 元 素 与 集 合 的 关 系 概念 记法 读法
如果a是集合A中的 于 属于 元素，就说a属于集 a∈A 集合 合A 如果a不是集合A中 不 的元素，就说a不属 a∉A 属于 于集合A
a属 A a不 A
属于 集合
4、常用的数集及记法 名称 意义 记法 非负整数集 全体非负整数组成的 N (自然数集) 集合 所有正整数组成的集 * 正整数集 N 或N＋ 合 整数集 有理数集 实数集 全体整数组成的集合 全体有理数组成的集 合 全体实数组成的集合 Z Q R
练习2：已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a ＋3}，若1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，应舍去； 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意． 当 a ＝－ 2 时， A ＝ {0,1,1} ，与集合中元素的互 异性矛盾，舍去； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知，a＝0.
例4
用适当的方法表示下列集合．
* *
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N ，y∈N }；
6 ； ∈ Z| x ∈ N (2)B＝ 1＋x
(3)方程 x ＋y －4x＋6y＋13＝0 的解集； (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
先明确集合中元素的特点，再选择 适当的方法来表示．
（4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
知识梳理： 1、定 义 一般地, 指定的某些对象的全体称 为集合. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2、集合与元素 (1)、元素：一般地，我们把研究对象统 称为元素，元素常用小写拉丁字母 a ， b ， c„表示． (2)、集合：把一些元素组成的总体叫做 集合 ( 简称集 ) ，集合通常用大写拉丁字 母A，B，C，„表示． (3)、集合元素的三个特性：确定性、互 异性、无序性．
1.1.1集合的含义与表示
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.
1.1.1集 合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到“集合”这个概念。
那什么是集合呢？集合就像是一个“大口袋”，把一些具有特定性质的对象装在一起。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合；一个书架上的所有书籍也能构成一个集合；一年中所有的月份也能形成一个集合。
从这些例子可以看出，集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的每个对象都被称为这个集合的元素。
元素是构成集合的基本单位。
比如在班级同学这个集合中，每一位同学就是其中的一个元素。
那怎么来表示一个集合呢？常见的方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来。
就像咱们刚刚说的一年中所有的月份这个集合，就可以用列举法表示为｛1 月，2 月，3 月，4 月，5 月，6 月，7 月，8 月，9 月，10 月，11 月，12 月｝。
再比如小于 5 的自然数组成的集合，用列举法就是｛0，1，2，3，4｝。
描述法呢，是通过描述元素所具有的共同特征来表示集合。
比如｛x ｜ x 是小于 10 的正整数｝，这个集合就表示了小于 10 的所有正整数。
又比如｛x ｜ x 是方程 x² 4 ＝ 0 的解｝，通过这样的描述，我们就能清楚地知道这个集合里的元素是哪些。
图示法中，我们常用的是韦恩图。
通过画一个封闭的曲线，把集合中的元素放在这个曲线内部。
比如有两个集合 A 和 B，A 是｛1，2，3｝，B 是｛2，3，4｝，我们就可以用韦恩图来直观地表示它们之间的关系。
集合还有一些重要的特性。
确定性是说，对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
不能模棱两可，比如说“个子高的同学”就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不明确。
互异性指的是集合中的元素不能重复。
比如｛1，2，2，3｝这样的表示就是错误的，应该写成｛1，2，3｝。
无序性则表示集合中的元素排列顺序是无所谓的。
｛1，2，3｝和｛3，2，1｝表示的是同一个集合。
1.1.1集合的含义与表示
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
1.1.1 集合的含义与表示
有理数于3小于11的偶数； { 4,6,8,10 } A=
②1∼10以内的奇数；
1、列举法 B= { 1,3,5,7,9 }
就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内； 3、别忘了大括号。
例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合 (2)方程
{ x | p(x) }
x为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：x―7<3的解集可以表示为：
｛x∈R|x<10｝
例2.用描述法表示下列集合：
1. 小于10的所有有理数组成的集合； 2. 所有偶数组成的集合； 2 3. 二次函数 y x 2 的函数值组成 的集合； 2 4. 抛物线 y x 2 上的点组成的 集合；
4、集合与元素的关系:
若a是A中元素，记为
a A,
若a不是A中元素，记为
a A
5、有限集：元素个数有限的集合. 无限集：元素个数无限的集合.
集合的三种表示方法：
1、列举法：
2、描述法：
3、图示法：
集合中元素具有 确定性 互异性 无序性
一般 地：我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元 素，用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
若a是A中元素，记为 a A 若a不是A中元素，记为 a A
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集
Q：
R：
练习，用适当的方法表示下列集合
1. 小于100的自然数组成的集合； 2. 不等式 2 x 3 3x 的解集 2 3. 方程 x x 6 0 的解集
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⑶ 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合． 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
A 图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
集合的表示方法
（1）列举法：把集合的元素一一 列举出来写在大括号的方法． （2）描述法：用确定条件表示某 些对象是否属于这个集合的方法．
集合的含义与表示
观察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12；
（2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数；
（4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
1. 定 义
一般地, 指定的某些对象的
全体称为集合. 集合中每个对象叫做这个
集合的元素.
2.
集合的表示法 集合常用大写字母表示,
（3）图示法．
集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空 集：不含任何元素的集合. 记作．
5．例题讲解
例1 下面的各组对象能否 构成集合？
（1）高个子的人；
（2）小于2004的数；
（3）和2004非常接近的数.
练
习
判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}√
课堂练习 1.若M={1，3}，则下列表示方ห้องสมุดไป่ตู้ 正确的是（ C ） A． 3 M C． 1 M B．1 M
D． 1 M且 3 M
2．用符号表示下列集合，并写 出其元素： (1) 12的质因数集合A； (2) 大于 11且小于 29 的整数 集B．
课堂小结 1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法； 5. 集合的分类.。
R
2．写出集合的元素，并用符号表 示下列集合： ①方程x2－ 9=0的解的集合；
②大于0且小于10的奇数的集合；
列举法：把集合的元素一一列出来
写在大括号的方法．
③不等式x－3＞2的解集；
④抛物线y=x2上的点集；
⑤方程x2+x +1=0的解集合.
描述法：用确定条件表示某些对 象是否属于这个集合的方法．
4．重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N＋: 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集
(5) R：实数集
练
习
1. 用符号“∈”或“
空 (1) 3.14
”填 Q
Q (2)
(4) (6)
(3) 0 + N 2 3 (5) Q
0 (-2) N+ 2 3
(2) 若4x=3,则 xN
(3) 若x Q,则 x R (4)若X∈N,则x∈N+
√ × ×
例2 若方程x2－5x+6=0和方程x2－x －2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4
例3．已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素，求a的值和这个元 素．．
元素则常用小写字母表示.
3．集合元素的性质： （1）确定性：集合中的元素必须 是确定的． 如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须
是互不相同的． (3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．