北师大版数学八年级上册第七章 平行线的证明讲义
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明定义与命题课件
【基础训练】
1. 下列句子中，是命题的是（ D ）
A. 今天的天气好吗
B. 作线段AB∥CD
C. 连接A，B两点
D. 正数大于负数
2. 下列叙述中错误的是（ B ）
A. 所有的命题都有条件和结论
B. 所有的命题都是定理
C. 所有的定理都是命题
D. 所有的公理都是真命题
3. 下面命题中，是假命题的为（ C ） A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 B. 任意三角形的内角和都是180° C. 三角形的外角大于该三角形任意一个内角 D. 直角三角形中的两个锐角互余 4. “同位角相等，两直线平行”是 公理 ，“同旁内角互补，两直线平行” 是 定理 ，“两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称两条直线互相 垂直”是 定义 .（填“定义”“公理”或“定理”） 5. 下列命题： ①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等； ③若a=b，则 a2=b2；④角平分线上的点到角的两边的距离相等.逆命题是真命题的是：①④ .
【拓展训练】 9. 指出下面命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题，请举 出反例. 如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17. 命题的条件是已知一个等腰三角形，它的两条边长分别为5和7；结论是 这个等腰三角形的周长为17.是假命题. 反例：一个等腰三角形，它的两条边长分别为5和7，第三条边长是7的话， 满足已知条件，但是这个等腰三角形中哪些是命题:（打“√”) （1）动物都需要水（ √ ）; （2）猴子是动物的一种（ √ ）; （3）玫瑰花是动物（ √ ）; （4）美丽的天空（ ）; (5)三个角对应相等的两个三角形一定全等（ √ ）; （6）负数都小于零（ √ ）; （7）你的作业做完了吗（ ）; （8）所有的质数都是奇数（ √ ）.
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明平行线的性质课件
A. ∠1+∠2-∠3=90°
ห้องสมุดไป่ตู้
B. ∠2+∠3-∠1=180°
C. ∠1-∠2+∠3=180°
D. ∠1+∠2+∠3=180°
4. 如图，已知AB∥CD，∠BAD=∠BCD，那么AD∥BC吗？在下面横线上填空或
填写理由.
解： 因 为AB∥CD,所 以 ∠1 = ∠2 （ 两直线平行 ，内错角相等 ）.又因为
5. 如图，一束平行光线AB与DE射向一个平面镜后被反 射，它们的反射光线依次为BC，EF.求证：BC∥EF.（提示： 根据光的反射定理,可得∠1=∠2,∠3=∠4）
∵AB∥DE(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). ∵∠1=∠2,∠3=∠4(光的反射原理), ∴∠2=∠4(等量代换). ∴BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
4. 定理：平行于同一条直线的两条直线 平行 .
1. 如图,∠B=70°,∠DEC=100°,∠EDB=110°,则∠C等于（ C ）
A. 70°
B. 110° C. 80°
D. 100°
2. 如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是( D )
A. ∠EGD＝58°
B. GF＝GH
C. ∠FHG＝61°
D. FG＝FH
3. 如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= 65 °．
4. 看图填空：已知如图，直线a,b,c被直线l所截. ∵a∥b,b∥c, ∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）. ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∠ BAD=∠BCD( 已 知 ), 所 以 ∠ BAD-∠1=∠BCD-∠2( 等 量 代 换 ). 即 ∠ 3=∠4 ， 所 以
北师大版八年级数学上册 (平行线的判定)平行线的证明 教学课件
获取新知
小新用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？ 通过这个操作活动,得到了什么结论?
1.平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等,那么这两条直线平行.
2.简述：内错角相等，两直线平行
3.表达方式： 如图 ∵ ∠1=∠2 (已知) ∴a//b (内错角相等，两直线平行).
你认为“两条直线被第三条直线所截， 如果内错角相等，那么这两条直线平行” 这个命题正确吗？说明理由.
实验猜想
据说,人类知识的75%是在操作中学到的. 小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法 对吗？为什么？
通过这个操作活动,得到了什么结论?
定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角 相等,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.
a
1
b
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的 且∠1=∠2. 求证：a∥b
a
证明：∵ ∠1=∠2，
∠1=∠3（对顶角相等），
b
∴ ∠2=∠3（等量代换）.
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的 且∠1与∠2互补. 求证：a∥b
证明：∵ ∠1与∠2互补（已知）， ∴ ∠1+∠2=180°（互补的定义）.
例1 如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，∠1+∠2 AB与CD平行吗？请说明理由.
导引：找出一对同位角，利用“同位角相等，两直线平行
解：AB∥CD. 理由如下： ∵∠1+∠2=180°（已知）， ∠2+∠3=180°（邻补角的定义）， ∴∠1= ∠3（同角的补角相等）. ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
北师大版八年级数学上第七章平行线的证明整章课件
要说明一个结论是否正确，仅靠验算是不够的，需 要进行有根有据的推理，利用我们已学过的数学知识， 可以判断一部分数学结论是否正确.
例4 先观察，再验证： （1）图7-1-2（1）中的两条线段a与b哪一条更长？ （2）图7-1-2（2）中的AB与CD平行吗？
（1）
（2）
图7-1-2
分析：（1）用直尺量；（2）用三角尺平推. 解：（1）a与b一样长.（2）AB与CD平行.
题型二 从特殊到一般解决规律探究问题
例5 观察下列等式： 12×231=132×21；13×341=143×31； 23×352=253×32；34×473=374×43； 62×286=682×26；…… 根据上述等式填空： （1）52×_2_7_5__=_5__7_2 ×25； （2）_6_3_×396=693× _3_6 .
解析：A.是证明的定义，故不符合题意；B.经过证明的真 命题叫作定理，故不符合题意；C.公理是公认的真命题， 不用证明，故符合题意；D.是演绎推理的要求，故不符合 题意.故选C.
公理是不需要推理证明的公认的真命题，定理是需要 用推理的方法来证明的真命题.
对公理、定理的概念理解错误 例4 下列命题是假命题的是（ C） A.定理都是命题 B.公理都是命题 C.命题都是定理 D.定义可作为推理的依据 解析：定理、公理都是命题，定义可作为推理的依据， 故A，B，D都正确，但命题有真有假，不一定是定理， 故C是假命题.故选C.
思路导图
北师大版八年级数学上册同步备课：第7章平行线的证明知识归纳
《第七章平行线的证明》知识归纳【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子,叫做命题. 要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明: 在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这种演绎推理的过程称为证明. 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确,必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等,两直线平行．判定方法2：内错角相等,两直线平行．判定方法3：同旁内角互补,两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内,如果两条直线没有交点（不相交）,那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质性质1：两直线平行,同位角相等；性质2：两直线平行,内错角相等；性质3：两直线平行,同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有：（1）若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题,叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.。
北师大版八年级数学上册-第七章平行线的证明(同步+复习)精品讲义课件
【例题】∠AOB是直角,∠BOC是一任意 角,OE平分∠AOC,OD平分∠BOC,则 ∠DOE的度数是一个常数,这个结论正确吗? 为什么? A
E O D 设∠BOC=α,证明∠DOE的大小与α无关即可. C B
【练习】
1 1 2 a1 1 2 3 2 3 1 1 3 a2 2 3 4 3 8 1 1 4 a3 3 4 5 4 15 依上述规律，a99 ? an呢？你能验证你的结论吗？
① ② 三角形一个外角等于不相邻两内角的和。 三角形一个外角大于任何一个不相邻的内角。
【例2】△ABC中，∠ABC的平分线与 △ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D， 且∠D=30°，求∠A的度数。
A D
B
每个定理的文字、符号、图形语言。 用来证明两直线平行。 补充：两直线都和第三条直线平行，这 两条直线平行。 定理1、2的证明。
【例题】
【练习1】
【练习2】
第四单元：平行线的性质
平行线的性质
性质与判定的区别—— 性质
公理：两直线平行，同位角相等。 定理1：两直线平行，内错角相等。 定理2：两直线平行，同旁内角互补。
第二单元：定义与命题
一．定义与命题
1. 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给出它们的定义。叫做 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。 命题的条件和结论：一般地，每个命题都由 条件和结论两部分组成。条件是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项。 命题可以写成“如果---那么---”的形式，其 中如果引出的部分是条件，那么引出的部分 是结论。 命题有正确的也有错误的。命题改写要熟练。
【练习】△ABC中，∠A=50°，高BE和CF 所在的直线相交于O点，求∠BOC的度数。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明平行线的判定课件
3. 如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则（ C ）
A. l3∥l4 C. l1∥l5
B. l2∥l5 D. l1∥l2
4. 看图填空： （ 1 ） 要 使 AB∥CD, 必 须 具 备 的 条 件 是 ∠ 2 =∠
4,其依据Leabharlann 是 内错角相等，两直线平行
；
(2)要使AD∥BC，必须具备的条件是∠ 1 =∠ 3 ，其依据是 内错角相等 ，
∵AC⊥CE， ∴∠ACE=90°. ∴∠1+∠2=90°. ∵∠A=∠1， ∴∠A+∠2=90°. ∴∠ABC=90°. 同理∠EDC=90°. ∴AB∥DE.
【基础训练】
1. 如图，∠1=∠2，则下列结论中正确的是（ C ）
A. AD∥BC
B. AB∥CD
C. AD∥EF
D. EF∥BC
2. 如图，下列四个图中∠1=∠2，不能判断a∥b的是（ C ）
8. 如图，已知∠AEM=∠DGN，∠1=∠2， 你认为EF∥GH吗？请证明.
∵∠AEM＝∠DGN（已知）， ∠DGN＝∠CGE（对顶角相等）， ∴∠AEM＝∠CGE. ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. ∴∠AEG＝∠CGN. ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠AEG-∠1＝∠CGN-∠2. ∴∠FEG＝∠HGN. ∴EF∥HG（同位角相等，两直线平行）.
3. 看图，完成下列证明： （1）∵∠1=∠4， ∴ AB ∥ CD ； （2）∵∠2=∠3， ∴ BC ∥ AD ； （3）∵∠BCD+∠ADC=180°， ∴ BC ∥ AD ； （4）∵∠ABC+∠BCD=180°， ∴ AB ∥ CD .
4. 如图，已知B,C,D三点在同一直线上，且∠A=∠1，∠E=∠2，AC⊥CE.求 证:AB∥DE.
北师大版数学八年级上册平行线的证明讲义
平行线的证明知识点一、定义、命题定义：一般地，对某一名称或术语的含义加以描述，作出明确规定的句子，就叫做该名称或术语的定义。
常用句式：········叫做···命题：一般地，对某一件事情作出判断的语句叫做命题。
命题包含条件和结论。
常用句式：如果······，那么······逆命题：条件与结论互换的命题脚逆命题。
公理：公认的真命题称为公理。
证明：演绎推理的过程称为证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。
例1、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 这个语句是（）A定理B公理C定义D只是命题跟踪训练1、“有一个角为直角的三角形是直角三角形”这个语句是（）A定理B公理C定义D只是命题例2、下列句子中，是定理的是（），是公理的是（），是定义的（）A、同位角相等，两直线平行B、两点确定一条直线C、无限不循环小数叫做无理数D、两直线平行，同位角相等跟踪训练2、下列语句中，是命题的是 ( )(A)直线AB和CD垂直吗(B)过线段AB的中点C画AB的垂线(C)同旁内角不互补，两直线不平行(D)连结A、B两点例3、下列各命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；条件：；结论：（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；条件：；结论：跟踪训练3、将下列命题改成“如果……,那么……”的形式，并指出条件和结论（1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（2）菱形的四条边都相等；（3）全等三角形的面积相等；例4、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（）A、0B、1个C、2个D、3个跟踪训练4、下列命题中，真命题有（）①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果a•b＝0，那么a＝b＝0；④如果a＝b，那么a3＝b3．A．1个B．2个C．3个D．4个对应练习一．选择题1．下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题的反例是（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝4D．x＝﹣4 2．下列命题中，假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形3．下列命题是真命题的是（）A．两个锐角的和还是锐角B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形4．下列语句中，是命题的是（）A．两个相等的角是对顶角B．在直线AB上任取一点CC．用量角器量角的度数D．直角都相等吗？5．下列命题中，是真命题的是（）A．形状相同的两个三角形是全等三角形B．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形C．面积相等的两个三角形是全等三角形D．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形知识点二、平行线的判定运用平行线的判定公理或定理时的三点注意1.位置关系:三线八角.2.数量关系:两个角要么相等,要么互补.3.判定两线:判定的是三线八角中的两条被截线.例1、如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=55°,下列条件中能判定AB∥CD的是( ) A.∠2=35° B.∠2=45° C.∠2=55° D.∠2=125°跟踪训练1、如图,直线a,b被直线c所截,下列条件能使a∥b的是( )A.∠1=∠6B.∠2=∠6C.∠1=∠3D.∠5=∠7例2.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是 ( )A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°跟踪训练2、如图,在下列条件中,不能判定直线a与b平行的是( )A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3=∠5D.∠3+∠4=180°变式训练1.如图,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于( )A.120°B.130°C.140°D.40°2. 如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,DE,EC,DB中,相互平行的线段有( )A.4组B.3组C.2组D.1组3.如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°,则∠4的度数是( )A.80°B.85°C.95°D.100°知识点三、平行线的性质平行线的性质图示文字叙述符号语言判定性质1两直线____ ，同位角____。
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第七章 平行线的证明
一、思维导图
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧的内角。
于任何一个和它不相邻：三角形的一个外角大推论角的和。
于和它不相邻的两个内：三角形的一个外角等推论。
等于定理：三角形的内角和三角形内角和定理条直线平行。
平行于同一条直线的两互补。
两直线平行，同旁内角等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同位角相平行线的性质平行。
同旁内角互补，两直线行。
内错角相等，两直线平行。
同位角相等，两直线平平行线的判定的例子。
，而不具有命题的结论反例：具备命题的条件分类：真命题、假命题部分组成。
结构：由条件和结论两句子。
定义：判断一件事情的命题平行线的证明21180二、考点聚焦
考点1 定义与命题
例1 下列四个命题中，真命题有 （ ）
①任意三角形的内角和为180°。
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c 不相交。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
变式1-1：对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例
是（）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β>∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β<∠α
D.两个角互为邻补角。
考点2 平行线的性质和判定
例2 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由。
变式2-1：如图，直线
l∥2l，∠A=125°，∠B=85°，
1
则∠1+∠2= （）
A.30°
B.35°
C.36°
D.40°
变式2-2：如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数。
考点3 三角形内角和定理
例3 如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）A.145° B.150° C.155° D.160°
变式3-1：如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= 。
三、真题精选
1.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）
A.15°
B.22.5°
C.30°
D.45°
2.已知：如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=∠3，
则∠2的度数为（）
A.50°
B.60°
C.65°
D.75°
3.下列图形中，由AB∥CD，∠1=∠2的是（）
4.如图，直线1l∥2l，∠1=20°，则∠2+∠3= 。
5.如图，点D在∠AOB的平分线上OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠1=25°，则∠AED的度数为。
6.如图，已知1l∥2l，直线l与1l，2l相交于C,D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放，若∠1=130°，则∠2= 。
7.如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数。
8.如图，AE与CD交于点O，∠A=50°，OC=OE,∠C=25°，求证：AB∥CD。