初等几何研究A卷
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天水师范学院 2011—2012学年第1学期
数统学院 数学与应用数学专业 2008级 《初等几何研究》考试试题
一、选择题（每小题2分，共16分）
1.（ ）发明了坐标系.
A:高斯 B:笛卡尔 C:费马 D:欧拉 2. （ ）属于非欧几何.
A:罗氏几何 B:拓扑几何 C:射影几何 D:解析几何 3.（ ）不属于公理化体系选取和设置的要求. A:相容性 B:互斥性 C:独立性 D:完备性 4.下面不属于合情推理的是（ ）. A:类比 B:猜想 C:归纳 D:推理 5.直观性公理化时期代表作品是（ ）.
A:《几何基础》 B:《数学原本》 C:《几何原本》 D:《欧氏几何》 6.范·希尔几何思维水平2指（ ）.
A:直观化 B:描述分析 C:形式推理 D:前认知水平 7.相似图形的面积比等于其相似比的( ) A:一倍 B:二倍 C:平方 D:立方 8.下列作图方法中属于变换法的是( ).
A:交轨法 B:代数法 C:三角形奠基法 D:位似法
二、填空题（每小题5分，共25分）
1. 几何学是研究几何图形的刻画,性质,判定, , 的学科.
2.三大尺规作图不能问题指, , ,倍立方.
3.几何问题证明一般思路 , .
4.三视图指 , ,左视图 .
5.面积分割原理： .
三、计算题（每小题10分，共20分）
1. 如图，四边形ABCD 中,A ∠=60°,B ∠=D ∠=90°,AB=200 m, CD=100m,求AD 、BC 的长.
2.如图,过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD,设PA=AB=a,求二面角B-PC-D 的大小.
P
D
C
B A
专业 级 班 姓名 学号
密封线内不要答题
A
C
B
D
四、证明题(每小题12分，共24分）
1.如图,设P是△ABC的A
平分线上的任一点，过C引CE∥PB交AB的延长线于E,过B引BF∥PC交AC的延长线于F，求证：BE=CF.
P
D C
B
A
F
E
2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD,E.F分别为AB,SC的中点.
求证:EF∥平面SAD. 五、论述题(共15分）
结合立体几何几何教学中存在的问题,对立体几何教学提出相应的建议.
A E
B C
F
S
D
第2页共2页初等几何研究A卷。
初等几何研究综合测试题(十八).doc
《初等几何研究》综合测试题（十八）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1 -卜列命题是假命题的是（）A.直角的补角是直角；B.钝角的补角是锐角;C.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补;D.过直线外的一点到直线上点的连线中，垂线段最短。
2.命题“同角的余角相等”的题设是（）A.同角；B.余角；C.等角的余角；D.同角的余角3.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（）• •A.设这个角是45°,则它的余角为45°,但45°=45°；B.设这个角为30°,则它的余角为60°，但30°<60°;C.设这个角为50°,则它的余角为40°,但50°>40°;D.设这个角为60°,则它的余角为30°,但60°>30°.4.下列说法错误的是（）• •A.到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上；B.一条直线上有一点到己知角的两边的距离相等，这条直线平分已知角；C.到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角；D.已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角。
5.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60° ”，先应假设这个三角形中有（）A.每一个内角都小于6。
°；B.有一个内角小于60°；C.有一个内角大于60°；D.每一个内角都大于60°。
6.如图1所示，直线BD与直线CE相交于点O,且NA0E=90°,则匕A0B的余角是（）A.ZBOC；B. ZAOE；C. ZAOD； D・ ZB0C 与ZEODo7.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是（）A・第一次向左拐30°,第二次向右拐30°；\B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130° : \I珀c.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°；D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°.8.如图2所示，在平行四边形ABCD中，E是AD±一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论中错误的是（）一力A. ZAEF=ZDEC; B・FA：CD = AE：BC；\ /\C. F A: A B = F E： E C；D. A B = A C. / \二、判断题（本题5小题，每小题2分，共10分）/ \ '1.如果两个相等的角有公共顶点，且有一条边互为反向延长线，则这两个角一定是对顶角（）图22.一个角的余角的2倍和它的补角的1/2互为补角，则这个角的度数是36° o （）3.若两条直线同垂直于第三条直线，则这两条直线平行。
精品《初等几何研究》练习题
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。
3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。
4、欧氏平行公理是：。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。
10、解作图问题的常用方法有：、、、等。
11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26、．常用的几何变换有等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .28．请写出两条作图公法： .29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
《初等代数研究》试卷(A)和试卷(B)
铜仁学院2008级数学本科班 《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分 ）班级________________ 姓 名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。
2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1） 求证：;964)2(≤-a a （2） 求S=的最大值。
333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且 （1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。
初等几何研究期末试卷
试卷
秋季学期 考试时间： 120 分钟
课程名称 初等几何研究 A 卷□ B
一、证明题（每题10 分，共50分）
1 证明：有七条棱的多面体不存在。
2．rh
R
r
h R r 211,2
2
=
-
，证明：
高为底半径为的球作一外切圆锥，其
半径为
3．已知空间四边形OABC ，OA=OB ，CA=CB ，E ，F ，H ，G 分别为线段OA ，OB ，CA ，CB 的中点，证明：四边形EFHG 为矩形。
4．证明：除四面体外，不存在任何一个凸多面体它每个顶点和其余各顶点都有边相连.
5．证明四面体中，一个二面角的平分面将对棱所分成两线段的比等于夹这二面角的两个面的面积之比。
青岛大学师范学院_______课试卷
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系：班级_____ 姓名______ 学号_______
密 封 线 ———————————————————————————————————————————————————
二、计算题（每题10 分，共50分）
1 设一线段在互垂三平面上的射影分别为r1,r2,r3，求这线段的长。
2．利用“分割，近似，求和，取极限”的方法求球的表面积公式。
3．一平面截球面所得二部分的面积之差等于截面面积，求平面与球心的距离。
4．设四面体的三侧面积相等为S，求从底面上任意一点到三侧面的距离之和。
5．在定三角形ABC的边BC上求一点，从这点引其余二边的平行线，使与余二边交成的平行四边形的周长为定长。
初等几何研究综合测试题(十六)
《初等几何研究》综合测试题（十六）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.已知ABCD 为平行四边形，下列判断正确的是__________。
A.若∠A=90°，则ABCD 为正方形；B.若AB=BC ，则ABCD 为菱形；C.对角线互相平分垂直；D.以上都不对。
2. 下列判断正确的是_________。
A.任意两个等腰三角形都相似；B.任意两个直角三角形都相似； C ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形都相似； D.任意两个等腰直角三角形都相似。
3.如图，Rt AB C 中，CD 是斜边AB 上的高，DE ⊥AC 于E,AC:CB=4:5,则AE:EC 等于_______。
A.4:5；C.16:25；D.以上都不对。
4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于__________。
A.顶角的一半；B.底角的一半； C.90°减去顶角的一半；D. 90°减去底角的一半。
5.如图，圆锥的底面半径OA=3cm ，高SO=4cm ，则它的侧面积 为__________2cm .A.12π；B.15π；C.16π；D.20π.6. 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7.下列图形中，不一定为轴对称图形的是_________。
A.直角；B.线段；C.直角三角形；D.等腰直角三角形。
8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。
初等几何研究试题答案(4)
。
D B
C
L1
A
E'
E
证明：A.B.C 为 L1 上顺次取的三点，D、E 为 L2 上异于 L1 的两点 。 。 又∵∠AEC=90 , ∠ADB=90 ∴⊿ADB 的外接圆为以 AB 为直径所做的圆，记为⊙O1, ⊿AEC 的外接圆为以 AC 为直径所做的圆, 记为⊙O2. ∴作图可知⊙O1 是⊙O2 中，以 A 为切点的内切圆。 当 L2 向左移动时， 假设 L2 移动后交⊙O1、⊙O2 于点 D’,E’. 过⊙1 的圆心作线段垂直 AB 交⊙O1 于 F,交⊙O2 于 G. （1） 当 D 移至 F 时，AF﹤AD,AG﹤AE. ∵⊙O2 的半径大于⊙O2 的半径 ∴移动相同单位的距离，其所截线段 GF﹤DE ∴⊿ADE 的外接圆半径变小了。 （2） 当 L2 移过 AB 的中点时， 可知 AD﹥AD’,AE﹥AE’, 又∵D’O﹤OD, OE’ 6 证明：棱形 ABCD 两邻边 AB、BC 被其内切圆之任一切线所截的 线段 AM 和 CN 之积为定值。
A E M B F O N G C D
证明：连接 OM、ON（如图） 令∠AOE=∠1,∠EOM=∠2,∠MOF=∠2´,∠FON=∠3,∠NOG=∠3´,∠ GOC=∠1´ ∵A、C 关于点 O 对称 ∴∠1=∠1´ ∵AM、MN 都是⊙O 的切线 ∴∠2=∠2´ ∵NM、NC 都是⊙O 的切线 ∴∠3=∠3´ ∵∠1+∠2+∠2´+∠3+∠3´+∠1´=180° ∴∠1+∠2+∠3=∠1´+∠2´+∠3´=90° ∵∠NOM=∠2´+∠3=90°-∠1,且∠OAM=90°-∠1 ∴∠OAM=∠NOM ∵∠AMO=∠OMN ∠OAM=∠NOM
初等几何研究试题答案(1)(李长明版)
初等几何研究试题答案(1)(李长明版)初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4∵DF=CE∴△ACE≌△AFD∴AD=AE在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=12BD, 求证:BD 平分∠ABC.证明:延长AE,BC 交于点FAED BCA 90 ADE BDC CBD CAFACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD11AE BD AE AF22ABEE BE BE ABF BD ABC∠=∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠=︒=∴∆≅∆∴==∴=⊥∴∠∠又又又平分即平分3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2α,求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°－2α)-α=180º－3α∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60º证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、ADC∵∠DBC=90º, ∴CD是直径,则∠CAD=90º由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º∴∠BDC=60º又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2∵DE∥AB ∴∠1=∠3∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD和△FCE是等腰三角形∴AF=DF,EF=CF∴AC=DE同理可证BC=DE∴AC=BC∴△ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证:△ABC 是正三角形．DBC证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等∴S △OFB =S △OEC即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21(CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC故△ABC 是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.BDC证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++⨯=++⨯ CD OC OD BC OB OC ∴++=++ OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++-- 2222DF CF BH CH ⇒+=+22DC BCDC BC⇒=⇒=∴四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形.证明:连结O1 、O2,分别作O1 、O2到AC的垂线,垂足分别为P 、M ∵在△ABC中,BO是☉O1 、☉O2的公切线∴BO⊥O1 O2又∵☉O1 、☉O2半径相同,且都与AC相切∴O1 O2‖AC∴BO⊥AC BD⊥AC∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3在对顶三角形△AOB与△COD中∴周长C△AOB=C△COD∴AO+BO+AB=CO+DO+CD又∵OP=OQ=OM=ON∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)∴2AB=2CD∴AB=CD同理AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形10. 在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自C 作CG⊥DE于G,证明:EF=DG.证明:设O,M分别是BC,FG的中点,所以OM∥BF,因为BF⊥FG, 所以OM⊥FG,又因为∠BEC=∠BDC=90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上,因为OM⊥DE,所以OM平分ED,所以FM-EM=MG-MD即EF=DG.11. △ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K.求证:直线IM 平分线段AK.I OML KHG FEDCB A证明:作出∠A 的旁切圆O,设它与BC 边和AB,BC 的延长线分别切于D,E,F,（如图）连接AD 交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A 为中点成位似,则:IL ⊥BC,即K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化MI 平分AK, ∴M 平分DK ∴BD=KC后者利用圆I 与圆O 两条外公切线相等 ∴EG=FH∴BD+BK=CD+CK则反推过去,得到IM平分线段AK.12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,A H⊥BC于H,AH交MI 于E,求证:AE与内切圆半径相等.B证明:如图所示作△ABC的内切圆,∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC∴KL是直径,又∵M为BC的中点,I为内心,则A L∥ＭＩ又∵A H⊥BC∴A H∥LK又∵点E点I分别都在AH、LK上∴A E∥LI∴四边形AEIL为平行四边形∴A E＝LI命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP证明:利用矩形的中心设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点,延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG.∴NM平分∠PNQ14. 给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A 作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.证明:如图所示,过C 作圆的切线交OB 延长线于D. ∵OD,OA,CD 都是圆的切线,且A C ∥CD ∴四边形ACDO 是等腰梯形,∠DOA=∠D ∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK ∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO ∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直角∆ABC 的两直角边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB.D证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.∵∆ABC是等腰直角三角形∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°又∵CE=CE' ∴∆BCE'≌∆ACE∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴∆BHE∽∆ACE∴∠BHE=∠ACB=90°∵DL∥CK∥E'B及DC=CE'∴KL=LB.16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证:作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM∴DN=CM、AN=BC∴△ADN≌△BMC∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2∴∠3=∠4∴A、C、N、D共圆（视角相等）∴∠5=∠7（同弧AD）∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM1∠BDC,求证:△ABC是等17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-2腰的.证明:延长CD使得BD＝DE,并连结AE1∠BDC∵∠ADB＝90°－2∴2∠ADB＋∠BDC＝180°又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180°∴∠ADB＝∠ADE又∵BD＝DE,AD＝AD∴△ADB≌△ADE∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE又∵∠ACD＝60°∴△ACE为正三角形∴AC＝AE∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平行四边形`过的二顶A、B,⊙O 2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另一交点,求证△AMD的外接圆半径也是r.证明: 设O为MB的终点连接CO并延长⊙O1于E则由对称知O为CE的中点∵O平分MBO平分CE∴MEBC是平行四边形∴∴ME∥BC∥AD∴MEAD亦是平行四边形∴△MAE≌△AMD∴△AMD的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,求证:∠BAC=∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB.∴A,E,D,F四点共圆.∴∠DAE=∠DFE.又∠ABC=∠ADE=∠AFE.∴A,B,C,F四点共圆.∴∠BAC=∠BFC.又∠DFE=∠BFC.∴∠BAC=∠DAE.20. 在锐角△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高（D为垂足）,求证:BD 平分∠MDN.证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥AC 于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N＝∠B＝∠NCN’∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n又∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC∴△ADM∽△CDN∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n∴BD平分∠MDN21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线.证明:连结DF、FE、DE∵C F⊥AB AD⊥BC∴B、D、H、F共圆∴∠1＝∠3∵AD⊥BC BE⊥AC∴B、D、E、A共圆∴∠2=∠3∴∠2=∠1∴AD平分∠EDF同理,CF平分∠EFDBE平分∠FED即证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线22.已知AD是△ABC的高,P是AD上任意一点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF.证:过E 、F 两点分别作EH 、FG,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EIFG EH =又∵GDHDPJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴PJEP FJ EI = ∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠ADE 即DA 平分∠EDF23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,BCADE F IJ P求证:ABC是正三角形.解:设AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m)m(a+n)=n(c+m)m(b+n)=n(a+m)即ma=ncmb=namc=nb三式相加得m=n所以a=b=c即△ABC是正三角形24.H为 ABC的垂心,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,一个以H为心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC` AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在∆KRH 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ） =r 2+AH ·(AK-HK)在∆ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC ∴AK=KA`∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA`同理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`BCHDE FRS T QK C `A `B ` A25、在锐角三角形ABC中,AD、BE、CF是各边上的高,P、Q分别在线段DF、EF上,且∠PAQ与∠DAC同向相等.求证:AP平分∠FPQC证明:作出△APQ的外接圆,延长PF交圆于R,分别连结R A、RQ 由图可知,AQPR内接于圆1∠DFE∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=2由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE∴FC∥RQ∴AF⊥RQ FR=FQ∴AF垂直平分RQ∴∠ARQ=∠AQR又AQPR内接于圆∴∠APQ=∠ARQ ∠APR=∠AQR∴∠APQ=∠APR∴AP平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠∆∆BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三角形，证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F. ∵︒=∠=∠45D A,DE AE =∴且︒=∠90AED又︒=∠45B︒=∠∴45ECBDBAC DEB S AEC S EBEC =∴∆≅∆∴=∴。
初等几何A卷
《初等几何研究》考试A 卷一、单项选择题（本题共5个小题,每小题2分，共10分） 1.条件:||p x x =,条件2:q x x ≥-,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“若 ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是( )A. 若a=0或b=0,则ab=0B.若0ab ≠,则0a ≠或0b ≠C.若 0a ≠或0b ≠,则0ab ≠D. 若 0a ≠且0b ≠,则0ab ≠3.在空间中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一条直线的两直线平行;(2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形;(4)自一点向一条已知直线引垂线有且仅有一条。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.A B C ∆的顶点与一点O 所连的直线依次交对边所在直线于点X,Y,Z,则( ) A.1X BYCZ AX C YA Z B = B. 1B XC YA ZX C YA Z B =-C.1X BYCZ AX C YA Z B =- 或1B XC YA ZX C YA Z B = D.以上都不对5.两个正数之和为常数,则其乘积当两变数相等时为( )A.最小B.最大C.最小或最大D.不能达到最小或最大二、填空题（本题共10个小题,每小题2分，共20分）1、 称为绝对几何命题。
2、三角形任一顶点到垂心的距离 外心到对边的距离。
3、三角形中，大边上的角平分线较4、直角三角形中，斜边与其上的高之和 两条直线边之和。
5、三角形外接圆周上任一点在三边（所在直线）上的射影6、“凡直角皆相等”的否命题为 。
7、不能经有限次数使用直尺和圆规完成作图的问题称为 。
8、设直线12//a a ,则关于12,a a 的两个轴反射的乘积是一个 。
9、在作图题中,可以先作成图形的一个三角形从而奠定了全部图形的基础,这种作图法称为 。
10、设三角形两角的平分线相等,则此三角形必为 。
吉林师范成人教育《初等几何A》期末考试复习题及参考答案
吉林师范成人教育期末考试试卷
《初等几何》A卷
年级专业姓名分数
题号一二三四五六总分分数
一、单项选择题(每小题3分，共30分)
6．若线束S的四直线a,b,c,d被任何一条直线，截于四点A，B，C，D，且(AB，CD)＝2，则(ab，dc)=( )。
7．无穷远点关干二次曲线的极线称为二次曲线的( )．
A．半径 B．直径
C. 渐近线 D．切线
8．( )与欧几里得第五公设等价．
A．三角形内角和等于二直角 B．三角形内角和小于二直角
C. 三角形内角和大于二直角 D．不可判定
9．当C在A，月之间时，(A月C)( )．
A．等于零 B，小于零
C. 大于零 D，无穷大
10，设二次曲线厂与无穷远直线J∞相交于两点T l，T2，那么以交点T1，T2为切点的切线
是二次曲线厂的( )．
A．切线 D．直径．
C. 半径 D．渐近线
二、计算题(每小题10分，共40分)。
初等几何研究综合测试题(三)
初等几何研究综合测试题(三)《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图__________。
第3题图A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD 相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在V ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。