初等几何研究A卷
第 1页 共 2页 初等几何研究 A 卷
天水师范学院 2011—2012学年第1学期
数统学院 数学与应用数学专业 2008级 《初等几何研究》考试试题
一、选择题（每小题2分，共16分）
1.（ ）发明了坐标系.
A:高斯 B:笛卡尔 C:费马 D:欧拉 2. （ ）属于非欧几何.
A:罗氏几何 B:拓扑几何 C:射影几何 D:解析几何 3.（ ）不属于公理化体系选取和设置的要求. A:相容性 B:互斥性 C:独立性 D:完备性 4.下面不属于合情推理的是（ ）. A:类比 B:猜想 C:归纳 D:推理 5.直观性公理化时期代表作品是（ ）.
A:《几何基础》 B:《数学原本》 C:《几何原本》 D:《欧氏几何》 6.范·希尔几何思维水平2指（ ）.
A:直观化 B:描述分析 C:形式推理 D:前认知水平 7.相似图形的面积比等于其相似比的( ) A:一倍 B:二倍 C:平方 D:立方 8.下列作图方法中属于变换法的是( ).
A:交轨法 B:代数法 C:三角形奠基法 D:位似法
二、填空题（每小题5分，共25分）
1. 几何学是研究几何图形的刻画,性质,判定, , 的学科.
2.三大尺规作图不能问题指, , ,倍立方.
3.几何问题证明一般思路 , .
4.三视图指 , ,左视图 .
5.面积分割原理： .
三、计算题（每小题10分，共20分）
1. 如图，四边形ABCD 中,A ∠=60°,B ∠=D ∠=90°,AB=200 m, CD=100m,求AD 、BC 的长.
2.如图,过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD,设PA=AB=a,求二面角B-PC-D 的大小.
P
D
C
B A
专业 级 班 姓名 学号
密封线内不要答题
A
C
B
D
四、证明题(每小题12分，共24分）
1.如图,设P是△ABC的A
平分线上的任一点，过C引CE∥PB交AB的延长线于E,过B引BF∥PC交AC的延长线于F，求证：BE=CF.
P
D C
B
A
F
E
2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD,E.F分别为AB,SC的中点.
求证:EF∥平面SAD. 五、论述题(共15分）
结合立体几何几何教学中存在的问题,对立体几何教学提出相应的建议.
A E
B C
F
S
D
第2页共2页初等几何研究A卷
初等几何研究试卷2
第 1 页 （共 2 页） 2 一、填空题（本大题共7题，每空3分，共24分） 1、等边ABC ?外接圆周上一点P 与三顶点的连线中PA 最长，则PA 、PB 、PC 之间的关系是 。 2、ABC ?中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，则BC 边上的中线AM 长为 。 3、ABC ?中，AB ＝AC ，E 、D 分别是AB 、AC 上的点，且BC ＝BD ＝EA ＝ED ，则A ∠的度数是 。 4、等腰梯形ABCD 中，AD CB ，5AB DC ==，:1:2AD BC =，中位线9EF =，则这个等腰梯形的高是 ，面积是 。 5、已知AT 是圆O 的切线，ABC 是割线，OD AC ⊥，并且12AT =，36AC =，2OD =，则半径OC = 。 6、四边形ABCD 中，4AB BC ==，60B ∠=，7CD =，则AD 的取值范围是 。 7、到两定点A 、B 的距离的平方差为常量K 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，垂足为N ，则AN ＝ 。 二、计算题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 1、梯形ABCD 的下底AB 在平面α上，上底高出平面40cm ，已知AB ：DC=5：3，求两对角线交点到平面α的距离. 2、AB 与圆O 相切于A ，D 点在圆O 内，DB 与圆O 相交于C ，若3BC DC ==， 2OD =，6AB =，求圆O 的半径. 三、证明题（本大题共5题，第1小题6分，第2、3、4小题每题10分, 第5小题12分,共48分） 1、已知F 是P ∠的平分线上一点，过F 任作两直线AD 、BC 分别交P ∠的一边于A 、C ， 交另一边于B 、D ，求证： AC BD =PA PC PB PD ??.（6分）
初等几何研究综合测试题(十八).doc
《初等几何研究》综合测试题（十八） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1 -卜列命题是假命题的是（） A.直角的补角是直角； B.钝角的补角是锐角; C.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D.过直线外的一点到直线上点的连线中，垂线段最短。 2.命题“同角的余角相等”的题设是（） A.同角； B.余角； C.等角的余角； D.同角的余角 3.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（） ? ? A.设这个角是45°,则它的余角为45°,但45°=45°； B.设这个角为30°,则它的余角为60°，但30°<60°; C.设这个角为50°,则它的余角为40°,但50°>40°; D.设这个角为60°,则它的余角为30°,但60°>30°. 4.下列说法错误的是（） ? ? A.到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上； B.一条直线上有一点到己知角的两边的距离相等，这条直线平分已知角； C.到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角； D.已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角。 5.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60° ”，先应假设这个三角形中有（） A.每一个内角都小于6。°； B.有一个内角小于60°； C.有一个内角大于60°； D.每一个内角都大于60°。 6.如图1所示，直线BD与直线CE相交于点O,且NA0E=90°,则匕A0B的余角是（） A.ZBOC； B. ZAOE； C. ZAOD； D? ZB0C 与ZEODo 7.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向 相同，这两次拐弯的角度是（） A?第一次向左拐30°,第二次向右拐30°；\ B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130° : \
初等几何研究综合测试题(十三)
《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。 A.1cm； B.2cm； C.3cm； D.4cm。 2.n边形对角线条数是__________。 A.； B.； C.； D.。 3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。 A.； B.； C.； D.. 4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是 _________。 A.5； B.6； C.3； D.4. 5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。 A. ； B.1.5r； C. ； D.2r。 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。 A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； C.圆的切线垂直于过切点的半径； D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。 A.MA=MB ,NA=NB ； B.MA=MB,MN⊥AB； C.MA=NA，BM=BN； D.MA=MB,MN平分AB。 8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形， 现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。 A.在AC、BC两边高线的交点处； B.在AC、BC两边中线的交点处； C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处； D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。
初等几何研究试题答案(2)李长明版
初等几何研究试题答案（II ） 二、关于和、差、倍、分线段（角） 1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明： BD+AD=BC 。 D ' B C A 43 2 1 证：在BC 上取点D , ,使BD , =BD,连结DD , 0100A ∠=且 BD 平分∠ABC 00120,40C ∴∠=∠= 又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠ 0240∴∠= 即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴= 又03180A ∠+∠= ∴点A 、D 、D ， 、B 四点共圆且14∠=∠ ∴DD , =AD
BC=BD , +CD , =BD+AD 已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC 解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得 FO=2EO.连结BO 、DO 。 由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED, ∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC 为等腰直角三角形 ∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC P Q A B C F E O P D
3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ′、B ′、C ′和D ′. 求证：A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+D ′A ′ 证明：（方法一） ∵X 、A ′、A 、D ′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ′D ′=∠XAD ′ 又∵∠XAD ′=∠XBC(圆周角） 同理∠XA ′B ′=∠XBC,即∠XA ′D ′=∠XA ′B ′ 同理可得∠XB ′A ′=∠XB ′C ′,∠XC ′B ′=∠XC ′D ′, ∠XD ′C ′=∠XD ′A ′ ∴X 是四边形A ′B ′C ′D ′的内心。 ∴A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+A ′D ′ (方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆 C A B A ′ C ′ D B ′ D ′ X
初等几何研究试题答案(李长明版)
初等几何研究试题答案（I） 、线段与角的相等 1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O 0于F, 求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩 若DF二CE则 / DBA M CBA. 证明:⑴连接AC AE AF、AD 在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF 在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD 由A C、B、E四点共圆得/仁/2 由A D B、E四点共圆得/ 3二/4 所以△ ACE^A AFD ??? DF=CE (2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4 v DF=CE ? △ACE^A AFD
??? AD=AE 在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA 2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD, 2 求证:BD平分/ ABC. 证明：延长AE,BC交于点F 7 AED "BCA =90 ADE "BDC ?CBD =/CAF 又7 ACF BCA = 90 AC 二BC ?ACF 三BCD . AF = BD 1 1 又、:AE BD . AE AF 2 2 又ABEE _ BE ■ BE平分ABF 即BD平分.ABC 3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-
求证：/ BAC 2 CAD h DAE. 证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ?D ???/ DBC=90, ? CD 是直径，则/ CAD=90 证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形 且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=. :丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3? ??? A B 、D E 共圆 同理A C D E 共圆 ? h BAC h CAD h DAE 4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半 径
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
初等几何研究试卷5
第 1 页 （共 2 页） 5 一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分） 1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做 ； 2、在ABC ?中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是 ； 3、已知ABC ?的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ?的面积S= ； 4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60o，如果PO=6，那么圆的半径等于 ； 5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ； 6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为 ； 7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2 AC AB CB =?，则点C 称为线段AB 的 ； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为 ； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为 ，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC 交于点P,求:BE EP 的值。 2、已知Rt ABC ?所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24， 到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。 三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分） 1、 圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的 切线FG ，G 为切点，证明EF=FG. 2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。 C E
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案 一.填空题 1.①射线(或半直线),②。 2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。 3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。 4.①平移,②旋转,③轴对称、 5. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、 10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、 17.1 =??ZB AZ YA CY XC BX (或－1)、 18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、 20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。 24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题 1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型; 2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A ''); ②当C B A ?时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、
初等几何分析综合测试题(三)
《初等几何研究》综合测试题（三） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形______________ 。 A. 一定全等； B. 一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2. 在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有 A.1 种； B.2 种； C.3 种； D.4 种。 3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC 则图中面积相等的三角形共有______________ A.1 对； B.2 对； C.3 对； D.4 对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有 O A.1 种； B.2 种； C.3 种； D.4 种。 5. 如图，在V ABC 中，DE//BC ，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC 等于 ________________ 。 A. 3:5 ；B . 3:2; C . 2:3 ；D . 2:5。 6. O O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm , CD=48cm , AB、CD 的距离为22cm，则O O的半径是______________ 。 A.15cm ； B.20cm ； C.25cm ； D.30cm 。 7. 在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C. 互相平行（或在同一条直线上）且相等； D. 以上都不对。 8. 下列关于平移的说法中正确的是 ____________ 。 A. 原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B. 平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C. 以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D. 以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 角的大小与边的长短有关。（） 2. 一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。（） 3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。（） 4. 两直线被第三条直线所截，内错角相等，则同旁内角一定互补。（） 5. 平面上4条直线必定有6个交点。（）
初等几何研究试题标准答案()(李长明版)
初等几何研究试题答案()(李长明版)
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初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD
∴AD=AE 在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1 2 BD, 求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11 AE BD AE AF 22 ABEE BE BE ABF BD ABC ∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分 3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,
初等几何研究试题答案(1)(李长明版)
初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE 在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=1 BD, 2 求证:BD平分∠ABC. 证明:延长AE,BC交于点F
3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE. 证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形 且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α ∴A、B、D、E共圆 同理A、C、D、E共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o 证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD C ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC ∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD
初等几何研究试卷4
第 1 页 （共 2 页） 4 一、填空题（本大题共 8 题，每空 2 分，共 20分） 1、当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成证明，这种较单纯的反证法叫做 ； 2、设CM 是ABC ?的中线，则当1 2 CM AB > 时，C ∠是 角； ３、两个平行平面的距离等于12cm ，一条直线和它们相交成60，则这条直线夹在两平面间的线段长为 ； 4、一些作图题中，往往可先作成图形的一个三角形，其余部分可由此三角形陆续作出，这种作图方法称为 ，此三角形称为 ； 5、在ABC ?中，若AB AC >，CD BE 、分别是C ∠和B ∠的平分线，则CD 与BE 的大小关系是 ； 6、已知ABC ?的三边分别为3cm ，5cm ，6cm ，则ABC ?的内切圆半径r= ； 7、到两定点A 、B 的距离之比为定比k 的点的轨迹是 和 ； 8、设圆内接正五、六、十边形的边长分别为5a 、6a 、10a ，则它们之间的关系为 。 二、计算题（本大题共 2 题，每题8 分，共 16 分） 1、在直二面角的棱上有两点A 、B ，AC 和BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱 AB ，设8,6,24AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长。 2、设正方形ABCD 内接于O ，P 为DC 上一点，2 PA PC = = ，求P B P D ?的值。 三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分） 1、四边形ABCD 中，设AB CD =，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，证明直线MN 与AB 、CD 所成的交角相等。 2、证明：梯形两腰的中点，两对角线的中点，四点共线。 C
初等几何研究综合测试题(二十)
《初等几何研究》综合测试题（二十） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。 A.一定全等； B.一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O， 则图中面积相等的三角形共有___________。 A.1对； B.2对； C.3对； D.4对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 5.如图，在 ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。 A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。 6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。 A.15cm； B.20cm； C.25cm； D.30cm。 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1.正方形形既是中心对称图形又是轴对称图形。（√） 2.位似中心一定在两个图形之间。（×） 3.位似中心在连接两个对应点的线段之外的位似图形叫做外位似。（√） 4.两个位似图形对应点连线的交点个数为1或2。（×） 5.设点A与B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C关于x对称。（×） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于它的周角的11 12 ，则这个角的度数是________. 2. 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），
试卷3答案
玉溪师范学院2004—2005学年下学期期末试卷答案及评分标准 《初等几何研究》试卷3 一、 填空题（本题共7题，每空3分，共24分） 1、20AH M =； 2 、； 3、61?； 4、10； 5、3； 6 、 7 、,AB 的中点二、 计算题（本题共2题，每小题8分，共16分） 1、解：设平面α与β的交线为AC ，过H 作HD AC ⊥，连BD ，则由三垂线定理知 BD AC ⊥，于是30BDH ∠=?.———3分 在Rt BHD ?中，有2BD BH =————2分 在Rt BDA ?中 sin 2BD BAD BH AB ∠= == 60.BAD ∴∠=?———————————3分 2、解：在ABD ?中，使用余弦定理， 22222257313 cos 1225714 AD BD AB AD BD +-+-∠===???——2分 sin 1∠==——————————1分 因为A ∠与C ∠互补，所以A B C D 、、、共圆———1分 于是 11'∠=∠，245BDC ∠=∠=?，——————2分 在ABC ?中，使用正弦定理 sin 2sin 1BC AB ='∠∠ 3sin 45sin 1BC ?=∠，故BC =.————————2分 三、 证明题（本题共5题，第1、2小题每题8分，第3、4小题每题10分，第5小题12 分，共48分） 1、证明：在CDB ?与CDA ?中， BD DA =，CD 公用，AC BC > CDA CDB ∴∠>∠————————3分 在EDB ?与EAD ?中 BD DA =，ED 公用，CDA CDB ∠>∠ AE BE ∴>———————————3分
初等几何研究试题答案(5)李长明版
五、关于平行与垂直 1、I 是△ABC 的内心,AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于 D 、 E 和F. 求证:E F ⊥AD. 证明:已知I 是△ABC 的内心, ∴AD 、BE 和CF 是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线 ∴⌒BD =⌒CD ，⌒BF =⌒AF ，⌒AE =⌒CE ∴⌒BD +⌒BF +⌒AE =⌒CD +⌒AF +⌒CE ∴⌒DF +⌒AE =⌒DE +⌒AF ∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE ∴EF ⊥AD 2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS.
Q 证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴⌒ AP =⌒ PB ,⌒BQ =⌒ QC ,⌒CR =⌒ RD ,⌒ DS =⌒ SA ∴⌒ AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA =⌒PB +⌒BQ +⌒ RD +⌒ DS 又∵⌒ PQ +⌒RS =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒ DS , ⌒SP +⌒ RQ =⌒AP +⌒QC +⌒ CR +⌒ SA ∴⌒ PQ +⌒RS =⌒SP +⌒RQ ∴SQ ⊥PR 3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。 证明：设AC 和BD 相交于点O ， 作AE ⊥ BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，
连接AF，CE ∵对角线BD平分四边形ABCD的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形AECF为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。求证：EFGH是平行四边形。 G C H D Y E A F B X 证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC ∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形且E、G分别是AY、XC的中点 ∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF ∴△GCH≌△AEF ∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE ∵AB∥CD ∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH ∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形
西华师范大学2011级《初等几何研究》期末模拟试卷 1
西华师范大学学生试卷 年 月 日 第 期 共 页 考室 数学与信息学院2011级数学与应用数学专业 《初等几何研究》模拟试卷一 闭卷考试 时间120分钟 注意事项：1.满分：100分。保持卷面整洁，否则扣卷面 3分。 2.交卷时请将试题卷与答题卷一起交，否则扣分。 3.学生必须将姓名、班级、学号完整填写在规定的密封栏目内。否则视为废卷。 4.学生必须签到，否则出现遗漏概责任自负。 一、填空题（每小题4分，共28分） 1、如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，则它的最小角的取值范围是 ____________。 2、已知：如图， ABC 中，∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D , 若AB =2，BC =3，则DC 的长度是________。 3、在⊿ABC 中，E 是AB 的中点，D 是AC 上一点， 且AD:DC=2:3，BD 与CE 交于F ， 40ABC S ，则AEFD S 四边形=_______。 4、如图，∠A=∠C ，∠DEC=∠BFA ，AF=CE ，则图中两个全等的三角形是____________；判定这两个三角形全等的判定定理是_________；这两个全等三角形的对应边是 ___________。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 得分 得分 阅卷人 第2题图 B C A D 第2题图G F E B C A D 第3题图 第3题图 A C B D E F 第4题图
5、若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。 6、在ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ， 图中全等三角形的对数是_____。 7、一个多边形的每一个外角都等于036, 则这个多边形的内角和为_____________。 二、判断题（每小题2分，共12分） 1.如图1，直线a ，b ，c 在同一平面内，a//b ，a 与c 相交于P ，则b 与c 也一定相交。（ ） 2.若两条直线同平行于第三条直线， 则这两条直线平行。（ ） 3.若两条直线同垂直于第三条直线，则这两条直线平行。（ ） 4.如图2，AB//CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，则AE ⊥CE 。（ ） 5．任意两个直角三角形都相似。（ ） 6．互补两角有一条公共边，则这两个角的 平分线所组成的角一定是直角。（ ） 三、解答题（每小题10分，共60分） 得分 阅卷人 得分 阅卷人 第1题图O B C A D F E 第6题图 图2 A B C E D a b c 图1
初等几何研究试卷1
第 1 页 （共 2 页） 1 一、填空题（本大题共6题，每空3分，共24分） 1、已知G 为ABC ?的重心，并且,,AB c AC b BC a ===，则AG = . 2、若xy 和xz 平行于同一直线，则x y z 、、三点的位置关系是 . 3、若将ABC ?绕点A 按逆时针旋转90?，B 点变到E 点，C 点变到F 点，成为AEF ?，则 BC EF 、的大小关系为 ，BC 与EF 的夹角为 . 4、已知AB 是 O 的直径，AX 是切线，50AXB ∠=?，BX 交O 于点C ，则 B O C ∠＝ . 5、在ABC ?中，90,15,1ACB ABC BC ∠=?∠=?=，则AC 的长为 . 6、设正方形ABCD 内接于 O ，P 为AD 弧上一点 ，PA =，4PC =，则 PB = ，PD = . 二、计算题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 1、一点到平面上两点的连线长是51和30，这两线在平面上的射影比为5:2，求这点到平面的距离. 2、如图，在ABC ?中，M 是BC 边的中点，12,16,AB AC E F ==、分别在AC AB 、上，直线EF 和AM 相交于点G ，若2AE AF =，求:EG GF 的值. 三、证明题（本大题共5题，第1、２小题每题8分，第3、4小题每题10分,第5小题12分,共48分） 1、已知正方形ABCD 中，45,EBF E F ∠=?、分别在AD 和CD 上，求证： EF AE FC =+.（8分） 2、从平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点P 作两组对边的垂线，交 AB BC CD DA 、、、于E F G H 、、、，证明：//EF GH .（8分） F D
初等几何研究作业参考答案
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案 一．填空题 1．①射线（或半直线），②。 2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。 3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。 4．①平移，②旋转，③轴对称. 5． 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。 7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一. 10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11． 1=??ZB AZ YA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心 和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成 的点的集合。 14．连续.
15．答案不惟一. 16．①不过，②圆. 17．1=??ZB AZ YA CY XC BX （或－1）. 18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤ 讨论. 19．①相容，②独立，③完备. 20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向 量. 23．相等。 24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理 式表出． 二．问答题 1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；
初等几何研究综合测试题(一)
《初等几何研究》综合测试题（一） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.在V ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。 A.4；B.5；C.6；D.7. 2.已知：如图，V ABC 中，∠BAC=90°, AD ⊥BC 于D, 若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。 A. 83； B.23； C.43； D.53 。 3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。 A.有两个内角相等的三角形； B.有一个内角是45°的直角三角形； C.有一个内角是30°的直角三角形； D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。 4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。 A.一组对边平行，另一组对边相等； B.两组对边分别平行； C.对角线互相平分； D.一组对边平行且相等。 5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。 A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。 6.下列语句正确的是________。 A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。 B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。 C.圆的一部分叫做弧。 D.能够互相重合的弧叫做等弧。 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； a b c 图1 第1题图 B 第2题图 B
初等几何研究第一章习题的答案(3)
三、关于比例相似形 1.从.KBCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂 线，垂足为 E 、 F 、 G H,求证: (j )EFG H 是 Q (ii) ZEFGH S Z ^ABCD. 证明:(1) V AEIBD DH 丄 AC ??? A 、D E 、H 四点共圆(视 角相等) ???∠ OEH ∠ OAD 同理 ∠ OGF ∠OCB 又 V AD// BC ?∠ OAD ∠ OCB ?∠ OEH ∠ OGF ? EH// GF 同理EF // GH ?四边形EFGH 为平行四边形 EFGH 与」BCD 对角线夹角相等且对角线又 成比例 ? ^EFGH S^BCD 3.已知：AD 是厶ABC 的中线，过C 的一直线分别交 AD 、AB 与E 、F 。求证：AE ?BF=2A F ED 证明：延长CF 至点H,使得CE=El 连结BH V 点D 是BC 上的中点 ? DE >△ CBH 的中位线 即 DE // BH a DE= - BH V DE// BH 2 ?∠ CED ∠ CHB ∠ AEF ∠ AFE=∠ BFH ? △ AFE sA BFH OE OH (H)V △ OE SA OAD OA OD EG 二 ￡H ? AC BD
AE AF ?竺=AF ,且BH=2ED ?AE ?BF=2A?ED BH BF 4.直线I与□ ABCD勺边AB AD和对角线AC依次相交于E、F和G求证：型?如=M AE AF AG 证明：连结BF、BE、CF 禾口CE, V AB AE F F C E A A S S -F F B E A A S S AD= S ADE= S ACE AF S AEF S AEF
初等几何研究综合测试题(四)
《初等几何研究》综合测试题（四） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是________。 A.等腰三角形； B.锐角三角形； C.直角三角形； D.钝角三角形。 2.在棱形、矩形、等腰梯形和直角梯形中，对角线相等的四边形有_________ A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。 3.等腰梯形的一角为45°，高为2m，中位线为6m，则上底长为_______. A.8m； B.4m； C.2m； D.1m。 4.如图，如果梯形的两条对角线分中位线为3等分，那么梯形上、下底之比为________。 A.1:2； B.1:3； C.2:3； D.3:5。 5.如果ad=bc(abcd≠0)，那么下列比例中错误的是_______. A.a b c d =；B. c a d b =；C. a d c b =；D. b d a c =。 6.下列不正确的命题是_________。 A.弦切角所夹的为等弧，则弦切角相等。 B.弦切角的度数等于它所夹弧度数一半。 C.弦切角等于它夹弧所对圆心角的一半。 D.弦切角相等，则它们所夹的弧也相等。 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1.若两条直线同垂直于第三条直线，则这两条直线平行。（） 2.有两边和一角对应相等的两个三角形全等。（） 3.两条对角线分别平分两组对角的四边形是棱形。（） 4.两条对角线互相垂直且有一条对角线平分一组对角的四边形是棱形。（） 5.由三条线段首尾连接围成的封闭图形叫做三角形。（） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1.如图，∠AOB=90°，∠AOC为锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的度数是__________. .页脚
初等几何研究第一章习题的答案(1)
初等几何研究试题答案 一、线段与角的相等 P491 1. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD 在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE 在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA 2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1 2 BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11 AE BD AE AF 22 ABEE BE BE ABF BD ABC ∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分 3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE. 证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三角形 且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α ∴A 、B 、D 、E 共圆 同理A 、C 、D 、E 共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4.设H 为锐角△ABC 的垂心,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD 是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥ AC