§4.4 质心 质心运动定理
物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
质心运动定理
质心运动定理质心运动定理，也称为质心定理或重心定理，是指在一个系统中，质心的运动轨迹与被控制的物体或系统所受的力的性质有关系。
简言之，就是一个物体或系统中质心位置的变化量与作用在系统上的合力的大小和方向成正比。
质心运动定理是物理学中一个非常基本的定理，其具体表述为：一个物体或系统中的质心所受的外力F，可以完全等效于作用在系统上质量为整个系统质量的质点上，该质点运动的加速度与整个系统的质心所受的加速度相等，即：F = MA其中F为作用在系统上的合力，M为整个系统的质量，A为整个系统的质心所受的加速度。
质心运动定理的意义非常重要，它为研究物体或系统的运动提供了很有用的计算工具。
在实际应用中，质心运动定理可以用于分析和预测物体或系统的运动轨迹、速度和加速度等。
此外，质心运动定理还被广泛应用于机器人控制、流体动力学、宇航学和机械设计等领域。
为更好地理解质心定理的实际意义，以下我们将介绍一些具体的应用场景：1. 火箭的运动轨迹计算火箭运动轨迹计算是质心运动定理的典型应用之一。
在火箭发射过程中，产生的反推力会使火箭向上加速，而重力则会使其向下偏转。
此时，可以用质心运动定理来计算火箭的运动轨迹。
火箭的运动可以看作是由两个质点组成的系统：一个是火箭自身，另一个是喷气口所排出的燃料。
如果将整个系统看作一个质点，它所受的外力就是火箭发射过程中的反推力。
根据质心运动定理，可以将这个质点的运动加速度确定为整个系统的质心运动加速度。
然后，我们可以根据质心位置的变化率来计算火箭在空间中的位置和速度。
如果将质心坐标系与地球坐标系对齐，就可以得到火箭的运动轨迹。
2. 物体保持平衡在某些情况下，我们需要确定一个物体的重心位置，才能使其保持平衡。
例如，在建筑工地上，建筑工人需要确定装满土壤的草坪车的重心位置，才能确保它不会侧翻。
我们可以通过质心运动定理来计算草坪车的重心位置。
首先，我们需要将草坪车看作一个较大的系统，将其质心位置确定在车身的中心。
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
质心 质心运动定律
d yC F F − yλg = lλ 2 dt 2 2 d yc 1 dy 2 d y y = ( ) + y 2 而 c 2 dt l dt dt yC 2 dy d y o 考虑到 v = ， =0 2 dt dt 2 2 d yC v 得到 F − yλg = lλ = lλ ⋅ 2 dt l 2 ∴ F = λyg + λv
v 求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得 m'aC =
v d(∑ pi )
i =1
n
dt
11
质心
n
质心运动定律
v n v dpi ex = ∑ Fi 根据质点系动量定理 ∑ i =1 dt i =1 n v in （因质点系内 ∑ Fi = 0 ）
v ex F v dvC v = m' = m'aC dt
y
d o
O
H 52.3 C
o
d
H
x
52.3
o
4
质心
质心运动定律
解
n
yC=0
i i
xC
∑m x = ∑m
i =1 i
mH d sin 37.7 o + mO × 0 + mH d sin 37.7 o = mH + mO + mH
−12
xC = 6.8 × 10 m v v −12 rC = 6.8 ×10 mi
i =1
n
i i
m' m' m' 对质量连续分布的物体： 对质量连续分布的物体： 1 1 1 ydm z C = ， xC = xdm y C = ， ∫ zdm m' m' ∫ m' ∫
4.4 质心 质心运动定理
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
质心运动定律
质心运动定律
质心运动定律指的是质点系统的质心在受到外力的作用下运动
的规律。
根据牛顿第二定律，质心所受的合外力等于质点系统的总质量乘以质心的加速度。
因此，质心的运动可以看做是一个单独的质点在受力下的运动。
质心运动定律有以下几个特点：
1.质心的运动是质点系统中所有质点运动的平均化结果。
2.质心的运动状态与质点系统中的相对位置、互相作用力等无关。
3.质心的运动方向与受力方向相同或相反，具体取决于系统所受的合外力方向。
质心运动定律在工程、物理、天文学等领域有着广泛的应用。
例如，在火箭发射时，需要控制火箭的质心位置以保证火箭的稳定性。
在天文学中，质心运动定律常常被用于研究行星、恒星等天体的运动规律。
- 1 -。
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
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说明
• 质心的加速度及其动力学规律 dP 质点系动量定理 F 外 dt
质点系动量
P mv c
dv c F外 m mac dt
说明
外力 质心运动状态 内力
m
水平纸面
物体质心运动和一个相同受力条件下同质量质点的运动相同 水平纸面
o
x
ydm yc M
R sin 0 M
M
d 0.64 R
x Rcos y R sin
xc
xdm
M
R cos 0 M
M
d 0
二. 质心运动定理
• 质心的速度
rc
m r ii m
d r i m i drc mi ri miv i d dt vc ( ) dt m dt m m mv c miv i P 质点系动量 P mv c
f maC
质心运动距离 1 S aC t 2 0.4 2
aC
f
例 人从船头到船尾，船长 l 。 求 人和船各移动的距离
x人 '
x人
解 质心静止 xc xc
mx人 Mx船 初态 xc mM Mx船 mx人 末态 xc mM
x船 ' x船
M ( x船 ' x船 ) m( x人 ' x人 )
三. 质心系与质点系动能
z
z m i
S
m2 2 1 1 2 r c S系 Ek miv i mi (v ' i V ) S m1 2 2 V 2 1 y mi (v ' i V 2 2v ' i2 V ) 2 x o 2 2 1 Ek ' miV miv ' i V y 2 x 质点系质量 m mi 2 2 1 P' miv' i S’系中动能、动量 Ek ' miv ' i 2 2 1 2 cm 如果S系为质心系，动量P=0，V v c 则 Ek Ek mv c 2
1 m1m2 1 2 2 ( )u u 2 m1 m2 2
m1m2 折合质量 m1 m2
两质点在质心系中的动能 Ekcm —— 相对动能
§4.4 质心 质心运动定理
一. 零动量系 、质心
1. 零动量系 ——质心系
S系 S 系
z m i z S x S
m2
P miv i P' miv' i mi (v i V ) miv i mV
L
L
L
例 一柔软绳长 l ，质量m，一端着地开始自由下落. 求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力N为多少？ 解 取整个绳为研究对象
y l y dy N
质心运动定理
y2 m 质心高度 yC 0 ydm 0 ydy 2l l dyC y dy vC 质心速度 dt l dt dv dy g v 2 g(l-y) 自有落体 dt dt dv C d y v 2 y dv ( v) 质心加速度 aC dt dt l l l dt y y y 2 g (1 ) g 2 g 3 g l l l m N 3 g (l y ) N mg maC l
质点系动量等于总质量与质心速度的积
说明
• 质心的加速度及其动力学规律 dP 质点系动量定理 F 外 dt
质点系动量
P mv c
dv c F外 m mac dt
说明
质心运动状态只取决于外力，与内力无关
水平纸面
质心
运动 状态 只取 决于 外力 ，与 内力 无关
§4.4 质心 质心运动定理
一. 质心位置
坐标 o
i i
m1 C
m2
mx x m mz z m
c i c i
yc
my m
i i
x
i
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
z
i i
mi
位矢
rc
r mi r i
m
ri
i
rc
m2
质量连续分布的系统
y2 m 质心高度 yC 0 ydm 0 ydy 2l l dyC y dy vC 质心速度 dt l dt dv dy g v 2 g(l-y) 自有落体 dt dt dv C d y v 2 y dv ( v) 质心加速度 aC dt dt l l l dt y y y 2 g (1 ) g 2 g 3 g l l l m N 3 g (l y ) N mg maC l
x人船 x人岸 x船岸 l
ml mM
x船岸
x人岸
Ml mM
三. 零动量系 ——质心系
S系 S 系
z P miv i S P' miv' i mi (v i V )
mi
z S
m1
m2
miv i mV
rc
m2
yc zc
mi yi
m m
o
r1
m1
y
mi z i
x
对于质量连续分布的系统
rc
r dm m
例 已知一半圆环半径为 R，质量为m
y d
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
0.64R
C
dm
M M Rd d dm dl R
质量相等的两个碎片，其中一个 碎片垂直自由下落，到发射点的距离为L.
另一个碎片水平抛出，他们同时落地，试问第二个碎片落地点在何处？ 解：
L
L
L
例 一柔软绳长 l ，质量m，一端着地开始自由下落. 求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力N为多少？ 解 取整个绳为研究对象
y l y dy N
质心运动定理
质心系
z m i S V x
m1 m2
y
y
V vc
Ek E
cm k
0
x ——科尼希定理
质点系 动能
质心系 中动能
1 mv c2 2
随质心平 动的动能
Ek E
cm k
1 mv c2 2
m1
讨论：两质点在质心系中的动能
v1
v2
m2
质心系 mv1 mv 2 0
m mi
V
m1
y
o
x
其中质点系质量
y
各个质点的位矢以其质量为 权重的平均，既是质点系的 质心
mi dri d mi V ( r i ) m m dt dt m 零动量系中任意固定点的位矢 miri Vdt m 常矢量r0
如果在S系中质点系动量P=0，则
解得
相对速率为 u v1 v 2
m1 v2 u m1 m2
m2 v1 u m1 m2
在质心系中的动能
E
cm k
1 1 1 m2 1 m1 2 2 2 m1v1 m2v 2 m1 ( u ) m2 ( u)2 2 2 2 m1 m2 2 m1 m2
人相对船的位移
Mx船岸 mx人岸
x人船 x人岸 x船岸 l
ml mM
x船岸
x人岸
Ml mM
例 设有一质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，他飞行到最高点时爆炸成
质量相等的两个碎片，其中一个 碎片垂直下落，到发射点的距离为L.
另一个碎片水平抛出，他们同时落地，试问第二个碎片落地点在何处？ 解：
例 两个同质量的小球，一个静止。
求 弹性斜碰后二者速度的夹角？ 解 在质心系（零动量系）中，质点系统的动量为0
v0
1
v0/2
2
v0/2
C
v0
C
质心系 v0
1
2
v0/2
v0/2
督促
质心系 v0/2
C
v0/2 v0/2 v0/2 v0/2 v0/2
v0/2
地面系
v0
1
v0/2
2
v0/2
C
v0
C
在质心系（零动量系）中，动量为0
miv i
mi rc ri m
drc vc V dt
质点系在质心系中动量 P=0
例 两物体被长度为l0的弹簧连接，静止在光滑水平面上，子 弹以v0速度入射，并停留在第一个物体中。 求 两物体运动方程 v0 m1 m2 光滑
水平方向不受外力，质心匀速直线运动，因此质心系为惯性系 在质心系中，两物体振动
y
y
例 人从船头到船尾，船长 l 。 求 人和船各移动的距离
x人 '
x人
解 质心静止 xc xc
mx人 Mx船 初态 xc mM Mx船 mx人 末态 xc mM
x船 ' x船
M ( x船 ' x船 ) m( x人 ' x人 )
人相对船的位移
Mx船岸 mx人岸
例 水平桌面上有一张纸，上面放一个m=0.5kg的均质圆盘， 将纸右拉，会有f=0.1N的力作用在圆盘上. 。 求 2s内圆盘 质心移动的距离 S 解 质心运动定理
f maC
质心运动距离 1 S aC t 2 0.4 2
aC
f
例 设有一质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，他飞行到最高点时爆炸成