最新圆周角定理的练习题
中考数学专项练习圆周角定理(含解析)
0° 0 中考数学专项练习圆周角定理（含解析）是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，∠ CAB=40 D+ ∠ABD 的度数为〔 〕A. 100°B. 110°C. 120°D. 1502.A 、C 、B 是⊙O 上三点，假设∠ AOC=40°，那么∠ ABC 的度数是 ()A. 1 0°B.C.80°C 的外接圆，∠ OCB=40 °，那么∠ A 的度数等于A. 6B. 5C. 4，连接 BD ， O D. 3.如图，⊙ O 是△ A一】单项选择题 图，那么DD. 304.如图，EF是⊙ O的直径，把∠ A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙ O交于点P，点B与点O 重合．将三角板ABC 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠ POF＝x°，那么x 的取值范围是( )A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C.30≤x≤120D.60≤x≤1205.如图，圆心角∠ BOC=100°，那么圆周角∠ BAC 的大小是A. 50°B.100°C.130°D.200°6.以下各命题正确的选项是:〔〕A. 假设两弧相等，那么两弧所对圆周角相等B. 有一组对边平行的四边形是梯形.C. 垂直于弦的直线必过圆心 D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 10的圆，把刻度尺 CA 的 0刻度固定在 刻度尺可以绕点 O 旋转．从图中所示的图尺可读出 sin 〕B.C.D. 【二】填空题 8.如图， P 是⊙ 0 直径那么∠ A 的度数为10.如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CF ，那么以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 ___ ．.如图， AB 是⊙的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作DE ⊥AB ，交 O 于点 D ，E 两点，过点 D 作直径 DF ，连结 AF ，那么∠ DEA= AB 延长线上的点， PC 切⊙0于 C 、假设∠ P=40是半圆 的直径， ，那么 的大小是假设∠ BO ∠BCD ，那么弧 BD 的长为11 A. 半圆的圆 AOB 的o12. 如图，⊙ O的半径为6，四边形ABCD 内接于⊙ O，连接OB，OD，13. __________________________ 如图，AB 是⊙O的直径，C、D、E都是⊙ O上的点，∠ A=55°，∠B=70°，那么∠ E的度数是．14. _____________________________________ 如图，AD 和AC 分别是⊙ O的直径和弦，且∠ CAD=30°，OB⊥A D交AC于点B，假设OB=5，那么BC等于__________________________ ．O 的内接四边形ABCD 中，∠ A=105°，那么∠ BOD 等于【三】解答题16. 如图，在⊙ O 中，AC 与BD 是圆的直径，BE⊥ AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F形ABCD 是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；2〕求证：BE=CF．17. 如图，AB 是? O的直径，点C在? O上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠ COB=2∠PCB.〔1〕求证：PC是? O 的切线；〔2〕求证：BC= AB ；〔3〕点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，假设AB=4 ，求MN ·M C 的值.【四】综合题18. 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，P是⊙O 上一点．〔1〕操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠ P 的平分线；2〕说理：结合图②，说明你这样画的理由．〔1〕⊙D 的半径；〔2〕CE 的长． 【一】单项选择题【考点】垂径定理，圆周角定理 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由〝一条弧所 对的圆周角等于它所对的圆心角的一半〞解答 . 【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系 .【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在△ OCB 中， OB=OC 〔⊙ O 的半径〕，∴∠O BC=∠0CB 〔等边对等角〕；∵∠ OCB=40°，∠ C0B=180°﹣∠ OBC ﹣∠ 0CB ， ∴∠COB=100°； 又∵∠ A= ∠C0B 〔同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半〕 ， ∴∠ A=50 °， 应选 B 、【分析】在等腰三角形 OCB 中，求得两个底角∠ OBC 、∠0CB 的度数，然 后根据三角形的内角和求得∠ COB=100°；最后由圆周角定理求得∠ A 的 度数并作出选择．【考点】圆周角定理【考点】圆周角定理【解析】【分析】∠ BOC ，∠ BAC 是同弧所对的圆周角和圆心角，∠ B OC=2∠ BAC ，因为圆心角∠ BOC=100°，所以圆周角∠ BAC=50°.【点评】此题考查圆周角和圆心角，解此题的关键是掌握同弧所对的圆周 角和圆心角关系，然后根据题意来解答。
圆周角定理 专题练习
圆周角定理专题练习1.在圆周角定理中，已知∠CBO=45°，∠CAO=15°，求∠AOB的度数。
答案：B.60°。
2.在平面直角坐标系中，已知⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，），C（，6），求⊙A的半径。
答案：C.5.3.在圆周角定理中，已知点A,B,C在⊙O上，且∠A=50°，求∠BOC的度数。
答案：A.130°。
4.已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，求∠BCD的度数。
答案：A.116°。
5.已知圆心角∠BOC=78°，求圆周角∠BAC的度数。
答案：A.156°。
6.在圆周角定理中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，求∠XXX的度数。
答案：D.20°。
7.在圆周角定理中，已知AB是半圆的直径，点D是AC 的中点，∠ABC=50°，求∠DAB的度数。
答案：XXX°。
8.在圆周角定理中，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，求∠XXX的度数。
答案：D.40°。
9.已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，求⊙O的半径。
答案：B.5.10.在圆周角定理中，已知DC是⊙O直径，XXX⊥CD于F，连接BC，DB，判断下列结论错误的是：答案：B.AF=XXX。
11.在圆周角定理中，已知点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，求AE的长。
答案：B.5.12.在圆周角定理中，已知点A、B、C在⊙O上，且∠C=30°，求∠AOB的度数。
答案：XXX°。
13.在圆周角定理中，已知⊙O中∠BAC=∠CDA=20°，求∠ABO的度数。
答案：B.70°。
圆周角定理练习题
圆周角定理练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是它所对弧的中心角的度数的多少？A. 1/2B. 1/3C. 2倍D. 3倍2. 在圆中，如果一个圆周角的度数是30°，那么它所对的弧的中心角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°3. 已知圆的半径为5，圆周角为40°，求该圆周角所对的弦长。
A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题4. 若圆周角α的度数为60°，则它所对的弧的中心角的度数为______。
5. 在圆中，如果圆周角的度数是中心角度数的一半，那么该圆周角所对的弧长是半径的______倍。
6. 已知圆的半径为r，圆周角为θ，根据圆周角定理，该圆周角所对的弦长为______。
三、判断题7. 圆周角定理只适用于圆的内部角。
（对/错）8. 如果一个圆周角的度数是90°，那么它所对的弧的中心角的度数是180°。
（对/错）9. 圆周角定理同样适用于圆的外部角。
（对/错）四、简答题10. 解释圆周角定理的含义，并给出一个实际应用的例子。
11. 如何利用圆周角定理计算圆内接四边形的对角线长度？五、计算题12. 在半径为10的圆中，有一个圆周角为60°，求该圆周角所对的弧长。
13. 已知圆的半径为8，圆周角为120°，求该圆周角所对的弦长。
14. 一个圆周角的度数是45°，求它所对的弧的中心角的度数，并计算该圆周角所对的弦长，如果圆的半径为15。
六、证明题15. 证明：如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角的度数也相等。
16. 证明：在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧长也相等。
七、应用题17. 在一个半径为7的圆中，有一个圆周角为80°，求该圆周角所对的弦长，并计算该弦所对的圆心角的度数。
18. 如果在一个圆中，有一个圆周角的度数是圆心角度数的1/3，求这个圆周角的度数，如果圆心角的度数是120°。
圆周角的专项练习30题(有答案)ok
圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。
圆周角定理经典训练卷(含答案)
圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。
中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案
圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 / 31。
圆周角定理练习题
圆周角定理练习题一、选择题1. 在圆中，若弦AB的长是8cm，弦CD的长是6cm，且AB与CD 平行，则圆周角ACB的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在半径为5cm的圆中，若一个圆周角所对的弧长是10π cm，则这个圆周角的度数是（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°3. 下列关于圆周角的说法，错误的是（）A. 圆周角等于其所对弧的一半B. 同弧或等弧所对的圆周角相等C. 圆周角定理是圆内接四边形的性质D. 圆周角等于圆心角的一半二、填空题1. 在圆中，若一个圆周角是40°，则它所对的弧是______。
2. 在圆中，若一个圆心角是80°，则它所对的圆周角是______。
3. 在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的______相等。
三、解答题1. 在圆中，已知弦AB的长是10cm，弦CD的长是8cm，且AB与CD平行。
求圆周角ACB和CDB的度数。
2. 在半径为6cm的圆中，已知一个圆周角是120°，求它所对的弧长。
3. 在圆中，已知一个圆周角是60°，求它所对的圆心角的度数。
4. 证明：在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等。
5. 画出圆，并在圆中作出一个圆周角和一个圆心角，使它们相等。
标出角的大小。
四、判断题1. 在同一个圆中，所有的圆周角都相等。
（）2. 如果一个圆周角是直角，那么它所对的弧一定是半圆。
（）3. 圆周角定理表明，圆周角的度数是圆心角度数的一半。
（）4. 任何圆的直径所对的圆周角都是直角。
（）5. 如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角一定相等。
（）五、作图题1. 在圆中，作一个圆周角，使其度数为45°，并标出它所对的弧。
2. 在圆中，作一个圆心角，使其度数为135°，并标出它所对的圆周角。
圆周角定理
圆周角定理1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=°．2．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=°．3．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD=．4．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D 与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=度．5．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=°．6．如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=．7．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=度．8．如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=．9．如图，AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，则∠BED=．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC=．11．如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于M，若∠AOC=100°，则∠AMO=°．12．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=36°，∠AMD=73°，则∠B的度数是．13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=65°，则∠ACB的度数是度．14．如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAO=65°，则∠ACB的度数是．15．如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB，AC于点D，E，连接OD、OE．若∠A=70°，则∠DOE=°．参考答案与试题解析一．填空题（共15小题）1．（2017•白银）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=58°．【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出∠AOB，再利用圆周角定理确定∠C．【解答】解：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．故答案为58．【点评】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解决和圆有关的题目时往往要添加圆的半径．2．（2017•扬州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=50°．【分析】连接CO，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC的度数．【解答】解：连接CO，∵∠B=40°，∴∠AOC=2∠B=80°，∴∠OAC=（180°﹣80°）÷2=50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（2017•自贡）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD=4．【分析】只要证明AD=BC，在Rt△BCD中求出BC即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴==，∴=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=•=4，∴AD=BC=4．故答案为4．【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4．（2017•随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=35度．【分析】首先利用垂径定理证明，=，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC=AOC=35°．【解答】解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴=，∴∠AOC=∠COB=70°，∴∠ADC=AOC=35°，故答案为35．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．5．（2017•南京）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC=27°．【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案为：27．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．6．（2017•株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=80°．【分析】连接EM，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，进而求出∠AMD=70°，于是得到结论．【解答】解：连接EM，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，∴∠EOM=2∠EAM=80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（2017•包头）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=20度．【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵∠BAC=BOC，∠ACB=AOB，∵∠BOC=2∠AOB，∴∠ACB=BAC=20°．故答案为：20．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题关键．8．（2017•重庆）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=32°．【分析】根据AO=OC，可得：∠ACB=∠OAC，然后根据∠AOB=64°，求出∠ACB 的度数是多少即可．【解答】解：∵AO=OC，∴∠ACB=∠OAC，∵∠AOB=64°，∴∠ACB+∠OAC=64°，∴∠ACB=64°÷2=32°．故答案为：32°．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，以及圆的特征和应用，要熟练掌握．9．（2017•广东模拟）如图，AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，则∠BED= 135°．【分析】由AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，可求得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，继而可得∠CBD=15°，由三角形内角和定理，即可求得答案．【解答】解：∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵AC=BC，∠ABC=75°，∴∠BAC=∠ABC=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=30°，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°，∴∠D=∠C=30°，∴∠BED=180°﹣∠CBD﹣∠D=135°．故答案为：135°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2017•新区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD ⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC=64°．【分析】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB为直径可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行线的性质可求∠BAC．【解答】解：∵∠BOD与∠BCD为所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD=2∠BCD=64°，∵AB为直径，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=64°，故答案为：64°．【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质．关键是利用圆周角定理求圆心角，利用平行线的判定与性质求解．11．（2017•潮南区模拟）如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于M，若∠AOC=100°，则∠AMO=50°．【分析】先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求∠B的度数，再由平行线的性质得出结论．【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=100°，∴∠B=50°，∵OM∥BC，∴∠AMO=∠B=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，并找到∠AMO与∠B 的关系，已知角与∠B的关系，从而求出角的度数．12．（2017•南昌三模）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=36°，∠AMD=73°，则∠B的度数是37°．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=36°，∠AMD=73°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=73°﹣36°=37°，∴∠B=∠C=37°，故答案为37°．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．13．（2017•重庆模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=65°，则∠ACB的度数是25度．【分析】根据△AOB是等腰三角形，由∠ABO=65°，可得∠AOB=50°，利用圆周角定理即可求解．【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠ABO=65°，∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∴∠ACB=∠AOB=×50°=25°，故答案为25°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2017•广元二模）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAO=65°，则∠ACB 的度数是25°．【分析】连接OB，求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠ACB的度数．【解答】解：连接OB，∵OA=OB，∠BAO=65°，∴∠OAB=∠OBA=65°，∴∠AOB=50°，∴∠ACB=25°，故答案为25°．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，求得∠AOB的度数是解答本题的关键．15．（2017•江都区三模）如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB，AC 于点D，E，连接OD、OE．若∠A=70°，则∠DOE=40°．【分析】连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=20°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．【解答】解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=70°，∴∠ABE=20°，∴∠DOE=2∠ABE=40°，（圆周角定理）故答案为：40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．。
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A
O· F
BDC
___________________________ _______________________
___________________________ _______________________
9.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点, 若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
___________________________ _______________________
A
O
D
B
C
___________________________ _______________________
12、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点 C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
_______________________
A ED
O
C
C
O
B
7.在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
___________________________ _______________________
8、如图，在⊙O中，AB为直径，⌒CB = ⌒CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
___________________________ _______________________
D
3.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
O.
X BA
B
A
B
A
C
4.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
___________________________ _______________________
5、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
10. 如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在 ⊙O上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直 径.
求证：∠BAE＝∠CAD
A
B
E
___________________________ _______________________
O DC
•11.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点， 且 ∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角） 和∠BAD的大小。
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
6、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。 ___________________________