4 三角有理函数积分
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分欢迎纠错常用极限，导数，级数秒杀必背积分表实数部分秒杀必背积分表三角部分基本三角公式sec 2 x − tan 2 x = 1 csc 2 x − cot 2 x = 1 ∫ sec x d x = l n ∣ sec x + tan x ∣ + C ∫ csc x d x = l n ∣ csc x − cot x ∣ + C ∫ tan x d x = − ln ∣ cos x ∣+ C ∫ cot x d x = ln ∣ sin x ∣ +C \sec^2x-\tan^2x=1\\\ \\ \csc^2x-\cot^2x=1\\\ \\ \int \sec x dx=ln|\sec x+\tan x|+C\\\ \\ \int \csc x dx=ln|\csc x-\cot x|+C\\\ \\ \int \tan xdx=-\ln |\cos x |+C\\\ \\ \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\\ \\sec2x−tan2x=1 csc2x−cot2x=1 ∫secxdx=ln∣secx+tanx ∣+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C ∫tanxdx=−ln∣cosx ∣+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 +C ∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C ∫ a r c c o t x d x = π 2 x − ∫arctan x d x \int \arcsin x dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arctan x dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\\\ \\ \int arccot xdx=\frac{\pi}{2}x-\int \arctan x dx∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2ln(1+x2)+C ∫arccotxdx=2πx−∫arctanxdx简单积分策略∫ sin n x cos m x d x m ， n 至少一奇数，凑偶数项 m ， n 均为偶数，倍角降幂 s e c 偶凑 t a n ， s e c 奇凑 s e c \int\sin^nx \cos^m xdx\\\ \\ m，n至少一奇数，凑偶数项\\m，n均为偶数，倍角降幂\\\ \\ sec偶凑tan，sec奇凑sec ∫sinnxcosmxdx m，n至少一奇数，凑偶数项m，n均为偶数，倍角降幂sec偶凑tan，sec奇凑sec三角有理函数积分① 若 R ( − sin x , cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d cos x ② 若 R ( sin x , − cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d sin x ③ 若 R ( − sin x , −cos x ) = R ( sin x , cos x ) ，凑 d tan x ∫ 0 π 2 f ( cos x , sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( sin x , cos x ) d x ∫ 0 π x f( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ∫ 0 π x f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π2 ∫ 0 π f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x = ∫ 0 π x f ( sin x ) d x ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 ( 1 − x ) m x n d x 三角有理函数积分\\ ①若R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)，凑d\cos x\\ ②若R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)，凑d\sin x\\ ③若R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)，凑d\tan x\\\ \\ \\\ \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x,\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sinx,\cos x)dx\\\ \\ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx\\\ \\ \int_0^\pixf(|\cos x|) dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(|\cos x|)dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx =\int_0^\pi xf(\sin x) dx\\\ \\ \int_0^1x^m(1-x)^ndx = \int_0^1(1-x)^mx^ndx 三角有理函数积分①若R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dcosx②若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dsinx③若R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，凑dtanx ∫02πf(cosx,sinx)dx=∫02πf(sinx,cosx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx=π∫02πf(cosx)dx ∫0πxf(∣cosx∣)dx=2π∫0πf(∣cosx∣)dx=π∫02πf(cosx)dx=∫0πxf(sinx)dx ∫01xm(1−x)ndx=∫01(1−x)mxndx三角秒杀积分∫ 0 π sin θ d θ = 2 ∫ 0 π 2 sin n θ cos θ d θ = ∫ 0 π 2 sin θ cos nθ d θ = 1 n + 1 ∫ 0 π sin 2 θ d θ =∫ 0 π cos 2 θ d θ = π 2 ∫ 0 π sin 3 θ d θ = 3 4 ; ∫ 0 π cos 3 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 4 θ d θ = ∫ 0 π cos 4θ d θ = 3 π 8 ∫ 0 π sin 5 θ d θ =16 15 ; ∫ 0 π cos 5 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 6 θ d θ = ∫ 0 π cos 6 θ d θ = 5 π 16 \int_0^\pi \sin \theta \space d\theta=2\\\ \\ \int_0^{\frac \pi 2}\sin^n \theta \cos \theta\space d\theta =\int_0^{\frac \pi 2}\sin \theta \cos^n \theta \space d\theta =\frac{1}{n+1}\\\ \\ \int_0^\pi \sin^2 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^2\theta\space d\theta=\frac \pi 2\\\ \\ \int_0^\pi\sin^3\theta\space d\theta=\frac 3 4 \space ; \space\int_0^\pi \cos^3 \theta\space d\theta=0\\\ \\\int_0^\pi \sin^4 \theta\space d\theta=\int_0^\pi\cos^4 \theta\space d\theta=\frac {3\pi} 8\\\ \\\int_0^\pi \sin^5\theta\space d\theta=\frac {16} {15} \space ; \space \int_0^\pi \cos^5 \theta\spaced\theta=0\\\ \\ \int_0^\pi \sin^6 \theta\spaced\theta=\int_0^\pi \cos^6 \theta\space d\theta=\frac {5\pi} {16}\\\ \\ ∫0πsinθdθ=2 ∫02πsinnθcosθdθ=∫02πsinθcosnθdθ=n+11 ∫0πsin2θdθ=∫0πcos2θdθ=2π∫0πsin3θdθ=43 ; ∫0πcos3θdθ=0 ∫0πsin4θdθ=∫0πcos4θdθ=83π∫0πsin5θdθ=1516 ; ∫0πcos5θdθ=0 ∫0πsin6θdθ=∫0πcos6θdθ=165π∫ 0 π 2 sin n θ d θ = { ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 4 ⋅ 2 n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ， n 为奇整数 ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 n ( n −2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 π 2 ， n 为偶整数\int_0^{\frac \pi 2}\sin^n\theta d\theta=\left\{ \begin{array}{c} \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)(n-4)\cdots5\cdot3}，n为奇整数\\\ \\ \frac{(n-1)(n-3)\cdots5\cdot3\cdot1}{n(n-2)(n-4)\cdots4\cdot2}\frac{\pi}{2}，n为偶整数 \end{array} \right. ∫02πsinnθdθ=n(n−2)(n−4)⋯5⋅3(n−1)(n−3)⋯4⋅2，n为奇整数n(n−2)(n−4)⋯4⋅2(n−1)(n−3)⋯5⋅3⋅12π，n为偶整数其他积分{ ∫ e a x sin b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e ax ) ′ ( sin b x ) ′ e a x sin b x ∣ + C ∫ e a x cos b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣( e a x ) ′ ( cos b x ) ′ e a x cos b x ∣ + C \left\{ \begin{array}{c} \int e^{ax}\sin bx\spacedx=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\sin bx) ' \\ e^{ax} & \sin bx\\ \end{vmatrix}+C\\\ \\ \int e^{ax}\cos bx\space dx=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\cos bx) ' \\ e^{ax} &\cos bx\\ \end{vmatrix}+C \end{array} \right.∫eaxsinbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(sinbx)′sinbx∣∣∣∣+C ∫eaxcosbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(cosbx)′cosbx∣∣∣∣+C一些公式诱导公式唯几一个有负号的 cos （π / 2 + α ） = −sin α tan （π / 2 + α ） = − cot α cot （π / 2 + α ） = − tan α 唯几一个有负号的\\\cos（π/2+α）=-\sin α\\\tan（π/2+α）=-\cotα\\\cot（π/2+α）=-\tanα 唯几一个有负号的cos （π/2+α）=−sinαtan（π/2+α）=−cotαcot（π/2+α）=−tanα sin ( w ( π − x ) ) = sin w x , w 为奇数 sin ( k ( π − x ) ) = − sin k x , k 为偶数 \sin (w(\pi-x))=\sin wx,w为奇数\\\sin(k(\pi-x))=-\sin kx,k为偶数sin(w(π−x))=sinwx,w为奇数sin(k(π−x))=−sinkx,k为偶数 sin ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n − 1 2 , n ∈ 1 , 3 , 5 ⋯ cos ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n 2 , n ∈ 2 , 4 , 6 ⋯\sin(\frac n 2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n-1}2},n\in 1,3,5\cdots\\\ \\ \cos(\frac n2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n}2},n\in2,4,6\cdots sin(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n−1,n∈1,3,5⋯cos(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n,n∈2,4,6⋯积化和差和差化积。
有理函数的积分积分表的使用
一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
高等数学 第四节 有理函数的积分
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
几种典型函数的积分举例
① 比较系数法
x2 2 x 2 x3 1
A Bx C 2 x 1 x x 1
等式两端同时乘以x3 1 ，得到
x 2 2 x 2 A x 2 2 x 2 Bx C x 1
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例4.6. 计算不定积分
解.
x
2
2x 2
2
x2
2
dx.
原式
x2 2 x 2 2 x 2
x
2
2 x 2
dx
2x 2
x
x2 2x 2
2
2x 2
dx 2
x
2
2x 2
2
dx
1 1 2 d x d x 2x x2 2 x 2 x2 2 x 2 2
4 1 B 1 5. 5 2 11 1 2 1 1 1
2 于是，B . 5
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例4.4. 将
解.
x 1 x
x
x
2
1
分解为部分分式之和.
2
③ 拼凑法
2 2
x 1 x2 1
x
x 1 x 2 1
1 tan x 5
C
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例4.5. 计算不定积分
x2 dx. 2 x 2x 3
1 2x 2 1 2 2 解. 原式 dx 2 x 2x 3 1 2x 2 3 2 2 dx x 2x 3
有理函数及三角函数有理式的积分
有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。
有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。
1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。
2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。
三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。
由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。
1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。
2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。
3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。
总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。
第四节有理函数的积分
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
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2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
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16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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5
【方法2】特殊值法(赋值法)