湘教版九年级数学下册知识点总结
湘教版九年级数学下册《第2章小结与复习》课件
例2 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,
则∠BAD的度数是（ B ）
A. 72° B.54°
C. 45° D.36 °
A B D C
例3 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d 分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位 置关系是（ D ） A．点A在☉O内部 C．点A在☉O外部 B．点A在☉O上 D．点A不在☉O上
点P在圆上；
点P在圆外.
d＞ r
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 直线与圆的 共点个数 公共点名称 直线名称
d＞ r 0个
d=r 1个 切点 切线
d＜ r 2个
交点
割线
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_______ 直径 所在的直
360 (1)正n边形的中心角为 n
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
a 2 R r ( ) . 2
2 2
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
1 1 S nar lr. 其中l为正n边形的周长. 2 2
考点一 圆的有关概念及性质
例1 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO
[注意] (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平
分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
[ 注意 ] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的
交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念 (1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆 心，称其为正多边形的中心. (2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边 形的边心距. (4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
湘教版九年级下册数学 第4章小结与复习
第4章小结与复习【学习目标】1．通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算． 2．掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题．3．通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用．【学习重点】解直角三角形及其应用．【学习难点】解直角三角形的实际应用．一、情景导入 生成问题【本章知识结构】【基础知识梳理】1．直角三角形的边角关系：在Rt △ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°，a 2＋b 2＝c 2；sin A ＝角A 的对边斜边，cos A ＝角A 的邻边斜边，tan A ＝角A 的对边角A 的邻边． 2．互余两角三角函数间的关系：sin A ＝cos (90°－A)；cos A ＝sin (90°－A)．3．同角三角函数间的关系：sin 2α＋cos 2α＝1；tan α＝sin αcos α． 4．解直角三角形的基本类型：(1)在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边，2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．(2)在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．二、自学互研 生成能力知识模块一 锐角三角函数的概念【例1】已知，如图，D 是△ABC 中BC 边的中点，∠BAD ＝90°，tan B ＝23，求sin ∠DAC. 解：过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE ＝∠BAD ＝90°，由tan B ＝23，得AD AB ＝23， 设AD ＝2k ，AB ＝3k ，∵D 是△ABC 中BC 边的中点，∴DE ＝32k ， ∴在Rt △ADE 中，AE ＝52k ，∴sin ∠DAC ＝DE AE ＝32k 52k ＝35. 知识模块二 解直角三角形【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a ＝5.求∠B 、b 、c.解：∵∠B ＝90°－∠A ＝60°，又∵tan B ＝b a，∴b ＝a·tan B ＝5·tan 60°＝5 3. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A ＝5sin 30°＝10. 知识模块三 解直角三角形的应用【例3】如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG ＝30°，在E 处测得∠AFG ＝60°，CE ＝8米，仪器高度CD ＝1.5米，求这棵树AB 的高度(结果保留两位有效数字，3≈1.732)．解：根据题意得：四边形DCEF 、DCBG 是矩形，∴GB ＝EF ＝CD ＝1.5米，DF ＝CE ＝8米．设AG ＝x 米，GF ＝y 米，在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝tan 60°＝AG FG ＝x y ＝3，在Rt△ADG中，tan∠ADG＝tan30°＝AGDG＝xy＋8＝33，二者联立，解得x＝43，y＝4.∴AG＝43米，FG＝4米．∴AB＝AG＋GB＝43＋1.5≈8.4(米)．∴这棵树AB的高度约为8.4米．【例4】如图，海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁的危险？解：过A作AC⊥BD于点C.在Rt△ACD中，根据题意得：∠ADC＝60°，∠DAC＝30°，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.∴AD＝BD＝12.∴AC＝AD·sin60°＝63≈10>8，所以没有危险．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一锐角三角函数的概念知识模块二解直角三角形知识模块三解直角三角形的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
湘教版中考数学知识点总结归纳Word版
初中数学知识点总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X 的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
湘教版九年级数学知识点
湘教版九年级数学知识点九年级是初中数学学习的最后一个阶段，也是数学知识的整合和拓展的重要阶段。
湘教版九年级数学以概念全面、题目难度适中和综合运用能力的培养为特点。
本文将介绍九年级数学的知识点，以帮助同学们更好地复习和理解。
一、有理数有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。
在九年级数学中，学生将进一步加深对有理数的理解，包括有理数的比较、绝对值、相反数等概念。
此外，还会学习有理数的加减乘除运算规律，并将其应用于实际问题的解决过程中。
二、代数式与方程代数式是用字母表示数的算式，方程是含有一个或多个未知数的等式。
九年级数学的代数式与方程学习主要包括代数式的计算、代数式的合并与展开、一元一次方程、一元一次方程组等。
通过学习代数式与方程，同学们将逐渐掌握解方程和运用代数式解决实际问题的能力。
三、图形的初步认识九年级数学的几何部分主要包括图形的初步认识和平面图形的性质。
同学们将学习到不同类型图形的名称、性质和特点，如三角形、四边形、圆等，并学会用不同方法计算图形的周长、面积等。
同时，还将学习到图形的平移、翻转和旋转等基本变换。
四、数列与函数数列是按照一定规律排列的一列数，函数是两个变量之间的对应关系。
九年级数学的数列与函数学习主要包括等差数列、等比数列和函数的概念与性质。
同学们将学习到数列的通项公式和部分和公式，并掌握用函数表示实际问题的解决方法。
五、统计与概率统计是对大量数据进行整理、分析和归纳，概率是可能性的度量。
九年级数学的统计与概率学习主要包括统计图和概率的概念与应用。
同学们将学会用直方图、折线图、饼图等表示数据，并能够计算简单的概率。
六、三角函数三角函数是角的函数关系，九年级数学的三角函数学习主要包括三角函数的定义、性质和应用。
同学们将学习到正弦函数、余弦函数和正切函数的概念与计算方法，并能够解决与实际问题相关的三角函数应用题。
以上是湘教版九年级数学的知识点概述。
同学们在学习过程中，要注重理论的掌握与应用能力的培养，通过大量的练习提高数学解题的能力。
最全最新湘教版初中数学九年级下册数学知识点大全 ppt课件
d=r
点P在圆上； 的距离与半径之间的关
系；反过来，也可以通
d＞r
点P在圆外. 过这种数量关系判断点
与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
d与r的关系 d＞r 公共点个数 0个 公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
第2章 圆
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
湘教版九年级数学下册全册知识点汇总
湘教版九年级数学下册全册知识点汇总二次函数二次函数及其图像二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
20年春湘教版九年级数学下册中考知识点梳理系统复习
(1)计算时，注意观察，善于运用它们的 逆运算解决问题.例：已知 2m+n=2,则 3×2m×2n=6.
（2）在解决幂的运算时，有时需要先化 成同底数.例：2m·4m=23m.
失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意 不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. 例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（2）代数意义：ab=1a,b 互为倒数
知识点三 ：科学记数法、近似数
（1）若|x|=a（a≥0），则 x=±a. （2）对绝对值等于它本身的数是非负数. 例：5 的绝对值是 5；|-2|=2；绝对值等于 3
的是±3;|1-|=-1. 例： -2 的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数有 ±1.
6.科学记
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.
2
4. 幂 运
算法 则
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n； (2)幂的乘方：(am)n＝amn； (3)积的乘方：(ab)n＝an·bn； (4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n (a≠0).
等.例：若代数式 1 有意义，则 x 的取值 x −1
因式
范围是 x＞1.
（1）双重非负性：
利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为 0 时，可得
2.二次根式的
性质
①被开方数是非负数，即 a≥0；
各个非负数均为 0.如 a +1 + b −1 =0，
②二次根式的值是非负数，即 a ≥0.
注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的 运用
湘教版数学九年级知识点
湘教版数学九年级知识点湘教版数学九年级是初中最后一个学年的数学学习阶段，内容涵盖了初中数学全面的知识点，包括数与代数、函数与方程、图形与坐标、数据和概率等方面。
下面将逐一列举和介绍这些知识点。
1. 数与代数数与代数是数学的基础，也是学习其他数学分支的前提。
这部分主要包括整数运算、有理数与小数运算、实数与乘法与除法的混合运算、幂、指数、根与0.001和10000等的单位换算、比例与比例的应用等内容。
2. 函数与方程函数是数学中一种重要的关系，通过对自变量和因变量之间的关系进行描述。
这部分主要学习函数的概念、函数的表达式与图像、函数的四则运算与复合函数、函数的应用等内容。
同时也会学习方程的概念、方程的解与解方程的方法，包括一元一次方程、一元二次方程、二次函数方程等。
3. 图形与坐标图形与坐标是几何与代数的结合，通过图形和坐标系进行几何的表示和计算。
这部分主要学习平面图形的性质和计算、平面图形的相似与全等、向量的概念与运算、坐标系与平面坐标、图形的投影与旋转等内容。
4. 数据和概率数据和概率是数学与实际生活的结合，通过数据的收集和概率的计算来描述和预测事件发生的可能性。
这部分主要学习统计与概率的基本概念、统计数据的整理与分析、概率的计算、事件的联合与互斥等内容。
通过学习湘教版数学九年级，学生可以全面掌握初中数学的基础知识，并能够运用所学知识解决实际问题。
数学是一门需要不断练习的学科，只有通过不断地练习和巩固，才能够真正掌握数学的精髓和运用。
希望同学们在学习数学的过程中，能够积极思考、勇于实践，不断提高自己的数学能力。
只有掌握好基础知识，才能够在高中和大学的学习中更上一层楼。
总结起来，湘教版数学九年级知识点包括数与代数、函数与方程、图形与坐标、数据与概率等方面的内容。
通过系统地学习这些知识点，同学们可以牢固掌握初中数学的基础知识，为将来的学习打下坚实的基础。
希望同学们在学习数学的过程中，持之以恒，不断提高自己的数学思维和解题能力，为未来的发展打下坚实的数学基础。
新湘教版九年级数学下二次函数知识点
2014新湘教版九年级数学下第一章 二次函数（一）二次函数1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的图像和性质1、二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的图像和性质：（2）2y ax c =+的图像和性质：（上加下减）（3）()2y a x h =-的性质（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．（4）二次函数()2y a x h k=-+的图象与性质（5）二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质2、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图：五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，2-32确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x 轴y 轴的交点，顶点.3、二次函数图象的平移： 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：平移规律： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”．4、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是a b x 2-=. ②配方法：将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.④抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；6、二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）二次项系数a ：二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，的a 的值越大，抛物线的开口越小． （2） 一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴的位置． 在0a >的前提下：当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=， 即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． 在0a <的前提下：当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，y 轴的左侧．ab 左同右异” 【或左(h <0)】（3）常数项c：决定了抛物线与y轴交点的位置．当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．（三）不共线三点确定二次函数的表达式1、用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标相同的两点，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达（1）关于x轴对称：2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y轴对称：2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称：2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．（5）关于点()m n，对称：()2y a x h k=-+关于点()m n，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．（四）二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系：函数cbxaxy++=2，当y=时，得到一元二次方程20ax bx c++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.（五）二次函数的应用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.的图象与x 轴有两个交点 y 为全体实数与x 轴有一个交点y ≥0与x 轴有无交点y>0的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解。
湘教版初三数学下册知识点
湘教版初三数学下册知识点九年级下册数学知识点归纳圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的根本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆〞定理4.垂径定理及其推论5.“等对等〞定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算初三下册数学知识点总结半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上假设有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
假设是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
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知识点总结
二次函数知识点
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B
（x₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-
b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-
b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
二次函数的图像与性质
不共线三点确定二次函数的表达式。