哈勃定理

宇宙膨胀与宇宙学距离傅承启一、引言距离是宇宙学中最重要最基本的概念和参数，宇宙的结构、运动和演化，都与天体距离紧密相关，今天关于暗宇宙、宇宙膨胀加速的结论也都来自天体距离的测量。

然而，由于宇宙的膨胀、光速的有限性和相对论性效应，给宇宙学距离的定义、测定和研究带来了混淆和麻烦。

许多学者定义了各种宇宙学距离，比如哈勃距离、固有距离、光度距离等等，但是在很多场合下会出现同名而不同定义，或者同定义却不同名的情况，造成宇宙学距离概念的混淆。

此外，很多人往往还会产生一些错觉，比如已知宇宙的大小为137亿年，我们能不能见到距离更远的星系？星系的退行速度能不能大于光速？等等之类的问题。

凡此种种都涉及宇宙学距离的定义，也即从观测测定了红移后，究竟怎样计算星系的各种宇宙学距离和它们的退行速度。

遗憾的是，迄今各种教材对这些宇宙学距离都没有给出完整而确切的定义，更没有清晰说明它们的物理含义，以及为什么要定义那么多的宇宙学距离，甚至有些文章给出的宇宙学距离的定义彼此矛盾，这些都有必要澄清和统一。

常常提到宇宙学距离种类很多，但提得最多的有5种宇宙学距离：哈勃距离D H (Hubble distance)，固有距离Dp (proper distance)，角直径距离D A （angular diameter distance ），光度距离D L （luminosity distance ），和自行距离D m （proper motion distance ）。

除此之外，还有不少文献用到共动距离(co-moving distance)、光行距离D ltt （light travel distance ）、坐标距离D d （coordinate distance ）等等[1~3]，本文将予以一一澄清，给出它们的定义以及相互关系，并讨论宇宙学距离、退行速度与宇宙学模型之间的关系。

二、 各种宇宙学距离的定义已经证明满足宇宙学原理的时空度规必定为罗伯逊－沃尔克度规（以下称RW 度规），这使得宇宙的时空仅包含两个未知量：宇宙尺度因子R(t)和宇宙曲率k 。

为了定义各种宇宙学距离，下面假定星系发射辐射的时刻为t 1（对应红移z=z 1），今天的时刻为t 0（对应红移z=0）。

1、哈勃距离D H哈勃距离的定义为光在哈勃时间t H （哈勃常数H 0的倒数1 / H 0）内经过的距离，即：0/H c D H （1）假如宇宙从诞生起一直以今天的膨胀速度膨胀的话，那么宇宙诞生时的第一束光走过的距离就是哈勃距离。

现今的哈勃常数取H 0＝71 km/sec Mpc ，所以t H = 137 亿年，D H ＝ 4.225 Gpc （即137亿光年），这就是美国威尔金森微波背景各向异性探测卫星（WMAP ）于2003年公布的宇宙年龄和宇宙大小，它并不代表宇宙的真正年龄，也不代表宇宙的真正大小。

在宇宙学中往往令c= t H =D H =1，即以它们为单位，本文将不采用这种简化方式。

2、坐标距离D cd共动坐标是随宇宙一起膨胀因而相对宇宙静止的坐标。

坐标距离是共动坐标上两个不同时空点之间的坐标差，它与宇宙膨胀无关，因此不随宇宙膨胀变化。

它相当于用一把与宇宙同样膨胀的尺子测量到的天体距离。

形象地说，坐标距离就相当于两张不同比例尺的地图上测量到的距离并按地图比例尺进行了换算，所以坐标距离不会因比例尺的变化而改变。

在RW 度规中，根据零测地线可以定义坐标距离元：2222221)(ϕθd r d r Krdr t R cdt dD cd ++-== （2） 通常设定坐标使d θ＝d ϕ＝0，于是坐标距离的定义为：⎰-=10211)(r cd kr dr r D （3）其中r 1为对应辐射发射时刻星系的共动径向坐标。

实际上可观测的是星系红移z ，因此根据弗里德曼方程和光子零测地线方程，由（3）式可得坐标距离与红移的关系：⎰=100)(z H cdz E dz R D D （4） 其中ΛΩ++Ω++Ω=23)1()1()(z z z E k m ， Ωm .、Ωk 、ΩΛ分别为宇宙物质密度参数、宇宙曲率密度参数和宇宙真空能密度参数[4] ， 而R 0是今日的宇宙尺度因子。

利用（3）式可以得到用坐标距离D cd 表示的径向共动坐标r 1：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=H k cd k HD R D n R D r 001sin （5） 其中sin n 函数的定义为：当Ωk <0时取sin 正弦函数，当Ωk >0时取sinh 双曲正弦函数，当Ωk =0时则有 cd D r =1。

显而易见，径向共同坐标r 1不同于坐标距离，只有在平直宇宙（Ωk =0）下才等于坐标距离。

3、共动距离D c共动距离，顾名思义，是随宇宙一起膨胀的宇宙学距离。

各种文献关于共动距离的定义有所不同，这里取文献[4]的定义：⎰⎰-==10102001)()(rt t c kr dr R t R cdt R r D （6） 显然，比较（3）与（6）可以发现，共动坐标是用今天的宇宙学尺度R 0 度量的坐标距离：cd c D R D 0= （7）利用（7）式可以方便地转换坐标距离和共同距离。

4、固有距离D p固有距离是宇宙学距离中最常见的一种定义，通常问一个星系的距离多少时就是指它的固有距离。

固有距离定义为两个星系在同一原时（又称宇宙时，即相对宇宙静止的观测者的时间）测量到的两个星系之间的距离。

从定义所见，固有距离与时间（原时，以下同）有关，不同的时间，固有距离也不相同。

实际上，由于宇宙在膨胀，技术上无法做到“同时”，也即无法测量固有距离。

为了测量我们（A ）到星系Z 的固有距离，必须在A 与Z 之间安排一系列的观测者，这些观测者之间的宇宙学距离如此之小，以致可以忽略宇宙膨胀的影响，然后约定在某个时刻t 测量彼此间的间隔，这些间隔之和即为Z 星系的固有距离。

实际上，这种办法是不可行的。

真正能够测量的是星系Z 的红移z ，因此，必须找到红移z 与固有距离的关系。

考虑到固有距离的“同时性”定义，因此，根据RW 度规可引出固有距离的定义：⎰-=1021)()(r p krdr t R t D （8） 仿照（3）、（4）式及 (1+z)=R 0 / R 得到对应红移z 的时刻星系的固有距离： ⎰+=10)()1()(z H p z E dz z D z D (9) 上式可计算星系在某时刻t （对应红移z ）的固有距离D p (z)。

比较（6）与（8）式，得到固有距离与共同距离及坐标距离的关系：cd c p D zR z D z D +=+=11)(0 （10） 特别是当t=t 0时，即该星系今天离开我们的固有距离0p D ，也有人简称为现在距离的，显然有：cd c p D R D D 00==即一个星系今天的固有距离即等于共动距离。

红移为z 的星系今天离开我们的距离就是今天的固有距离，所以，固有距离完全可以大于宇宙大小137亿光年。

5、角直径距离D A对于一个静止的宇宙，如果测量到星系的张角和距离，就可以得到星系的线直径，它等于星系距离与张角的乘积。

但是，对于膨胀宇宙，这个关系一般不再成立。

不过，可以假定一个距离，使这种关系依然成立，这个距离称为角直径距离。

由此，只要我们找到角直径距离与星系红移的关系，那么，根据星系红移的观测，就可以求得角直径距离，从而获得星系的线直径。

这就是为什么要引进角直径距离的理由。

由此也可见，角直径距离一般不是星系的真实距离。

对于一个径向坐标为r 1的星系，在RW 度规中考察星系直径两端的零测地线，选择坐标使0=ϕd ，则星系在发射辐射t 1时刻的线直径为：θd r t R d A 11)(= （11）于是，根据上面所说的角直径距离的定义，角直径距离为：11)(r t R D A = （12） 考虑到(5) 式，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ+=H k c k H A D D n z D D s i n )1(1 （13） 对于平直宇宙，)()1(111z D z D D p c A =+=-，即角直径距离是星系在发射时刻t 1的固有距离。

由（13）式可见，角直径距离随着红移变大，会出现极大值，因此红移很大时，角直径距离将变小。

在某些文献中，有的研究者引进角大小距离（angular size distance ）的物理量, 必须注意，它与角直径距离完全不同，不能混淆。

如Peebles [5]采用的角大小距离即为本文的自行距离。

6、自行距离D m自行是天体本征运动在天空平面上的投影。

在两个不同时间历元测量到的天体位置的张角除以相应的历元差，即为自行。

如果已知天体的距离，那么距离与自行的简单乘积可以得到天体的横向移动速度。

许多活动星系核超光速喷流的现象就是这样发现的。

喷流亮结的移动速度等于星系距离与亮结夹角的乘积。

但是，对于膨胀宇宙这个关系同样一般不再成立。

不过，可以假定一种距离，使这种关系依然成立，我们称这个距离为自行距离。

由此，只要我们找到自行距离与星系红移的关系，那么，根据星系红移就可以求得自行距离，从而获得亮结的线速度。

这就是为什么要引进自行距离的理由。

当然，自行距离一般不是星系的真实距离。

在RW 度规中考虑两个亮结的零测地线，于是0==ϕd dr ，对于r 1处的亮结之间的线距离为：θd r R d m 10= （14）于是，根据定义，自行距离为：10r R D m = (15)显然，)1(1z D D A m +=。

同样，对于平直宇宙，0p c m D D D ==，即亮结的自行距离即为今天的固有距离。

7、光度距离D L光度距离的定义与角直径距离和自行距离类似。

对于静止宇宙，测量到星系的视星等m （或辐射流量F ）和距离d ，就可以得到星系的光度L 或绝对星等M ，它满足辐射流量24/d L F π=的关系式或者距离模数25/log 5+=-Mpc d M m 。

但是，对于膨胀宇宙，这个关系一般也不再成立。

不过，可以假定一个距离d L ，使这些关系依然成立，我们称这个距离为光度距离d L 。

由此，只要找到光度距离与星系红移的关系，那么，根据星系红移的观测，就可以求得光度距离，从而获得星系的光度。

这就是为什么要引进光度距离的理由。

同样，光度距离一般不是星系的真实距离。

由于宇宙膨胀，星系发射的辐射今天分布在21204r R π的球面上，另外接收的时间间隔比发射时的间隔增大（1+z 1）倍，红移又使光子能量减弱（1+z 1）倍，故接收到的辐射流量减少（1+z 1）2倍，因此，今天接收到的辐射流量为212021)1(4/r R z L F +=π于是光度距离定义为：110)1(r z R D L += （16）从（12）、(15)、(16)式可见角直径距离、自行距离和光度距离的相互间的关系为：211)1()1(z D z D D A m L +=+= （17）8、光行距离D lit光行距离的定义为：光自被星系发射到今天被接收到为止走过的距离，即)(1001t t c cdt D t t lit -==⎰ （18）与（2）～（4）类似，根据零测地线方程可得：⎰+=1)()1(z H lit z E z dz D D (19)三、不同宇宙学模型下的宇宙学距离由上可见，宇宙学距离与宇宙学的密度参数 Ωm .、Ωk 、ΩΛ有关，也即与宇宙学模型有关，不同的宇宙学模型得到的宇宙学距离是各不相同的。