线性规划的数学模型
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
线性规划问题的数学模型的三个要素
线性规划是指在给定目标函数的限制条件下，寻求最优解的算法。
它
是一种数学规划技术，可以解决计算机分配资源、生产计划、优化交
通等等问题。
这主要得益于线性规划问题的数学模型，该模型主要包
括以下三要素：
首先是决策变量。
线性规划问题中，决策变量包括每个变量实际的值，它可以是实数，也可以是整数或二进制数。
通常，决策变量与自变量
一起，构成模型参数的一部分。
其次是目标函数，它是求解线性规划问题时必须解决的关键因素。
在
实践中，目标函数用来表示问题的优化目标。
常见的优化目标如最大
化利润、最小化成本和最小化时间等。
最后是约束条件。
约束条件是模型参数的限定，它可以在线性规划上
添加不变和变量之间的关系，如“最大化”或“最小化”之类的要求。
约束条件可以是等式约束条件或不等式约束条件，它们在确保模型正确运
行的同时，具有重要的理论意义。
因此，线性规划问题的数学模型的三个主要要素是决策变量、目标函
数和约束条件，它们构成了求解线性规划问题的基本结构。
线性规划
可以用比特位的例子来表示：可以用决策变量的计算结果来表示比特
位的值，而目标函数则会计算出整个比特位的价值，而约束条件则可
以让解出来的比特位符合一定条件，比如总容量最大化。
只要把决策
变量、目标函数和约束条件组合起来，就可以求得线性规划问题的最
优解，因此，它们是线性规划的基本要素，不可或缺。
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
线性规划问题的数学模型
工地 砖厂
运价
A1
A2
B1
B2
B3
50
60
70
60
110
160
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2
解：设 xi j表示由砖厂Ai 运往工地 Bj 砖的数量（i=1,2； j=1,2,3)
运量
工
地
B1
B2
B3
发量
砖厂
A1
x11
x12
x13
23
A2
x21
x22
x23
27
收量 17 18 15 50
⑵ 存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件 都可以用一组线性等式或不等式来表示。
⑶ 都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为 决策变量的线性函数（称为目标函数）。按所研究问题的不 同，要求目标函数值最大化或最小化。
我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问
题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划 数学模型。
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15
解：
x2 x1 + x2 = -2
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
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16
第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
4.配料问题
5.布局问题
6.分配问题
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1
（二）线性规划问题的数学模型
线性规划的数学模型和基本性质
月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
线性规划概念与数学模型
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面，只要先画出该半平面的边 界，然后确定是哪个半平面。
怎么画边界
?
怎么确定 半平面
以第一个约束条件（工时）
x1+2 x2 8 为例 说明约束条件的图解过程。
如果全部的劳动工时都用来生产甲 产品而不生产
乙产品，那么甲产品的最大可能产量为8吨，计算
D
条件的边界－－
4
Q4
Q3
直线CD，EF: E
3
F
4x1 =16,4x2 =12
2
Q2 4x2 = 12
1
Q1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
C
x1+4x2 = 8
4x1=16
三个约束条件及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非负条件的点的
集合，即可行域。在这个区域中的每一个点都对应着一个可
目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6, 箭头表示使两种产品的总 利润递增的方向。
5
l3
A4
E
B
3
l1 l2 2
1
1
2
D
F 4x1=12
Q2 4,2
x1+2x2 = 8
A
3
4
5
6
7
8
9
B
4x1=16 C
1 1
1 1
1 1
B1 1
4 , B2 1
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线性规划的数学模型及其标准形式
线性规划问题是工作和生活中最常见的问题，也是运筹学中最简单和最基础的问题。
因此，研究现线性规划在经济中的应用问题必须对线性规划的概念和数学模型的掌握和了解是十分必要的。
下面让我们对线性规划的数学模型加以介绍。
线性规划的数学模型
在许多实际问题中总是存在着已知量和未知量，若将这些量之间的依赖关系用数学式子表示出来，那么就称这些式子为实际问题的数学模型，或者说数学模型就是描述实际问题共性的抽象的数学形式，线性规划的数学模型包含两个组成部分，一是目标函数，二是约束条件，目标函数是一个由欲达到最优目的的有关量所构成的关系式，根据研究的目标是最大还是最小，在目标函数前面冠以“max ”或“min ”；约束条件是欲达到预期目的所受到的现实客观环境的制约，将这种制约用不等式或不等式表示，即为约束条件，以后减记..s t ；是“subject to “的缩写。
研究数学模型有助于认识这类问题的性质和寻求它的一般解法，但线性规划问题涉及到的实际问题是非常广泛的，我们只能先从其中某些典型的实际问题开始，不能面面俱到，但这些问题的做法都是类似的，下面我们通过例题研究线性规划的数学模型。
例 1 某工厂有生产甲，乙两种产品的能力，且生产一吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦，生产一吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦，该厂仅有工人12人一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进12吨，并且还知道生产一吨甲产品可盈利80（百元），生产一吨乙产品可盈利90（百元）。
那么，这个工厂在一个月中应如何根据现有条件安排这两种产品的生产，使之获得最大盈利？建立数学模型。
解：设1x ，2x 分别表示一个月生产甲，乙两种产品的数量，则最大盈利为：
1280S x x =+
工日的约束为1234300x x +≤，原料小麦的约束为120.350.2521x x +≤，那么该问题的数学模型即为：
12121212m ax 8090,..
34300,0.350.2521,,0
S x x s t x x x x x x =++≤+≤≥
例 2 假定市场上可以买到各种不同的食品，且第j 种食品每单位售价j c （元）。
现在要求考虑m 种基本营养成分，若要保证良好健康，对第i 种营养成分，每人每天不能少于i b 个单位。
最后假定第j 种食品每单位含有ij a 个单位的第i 种营养。
在满足保证良好健康的起码营养要求的条件下，来确定最经济的饮食，建议这一问题的数学模型。
解：设i x 为购买第j 种食品的单位数，设S 为购买食品的总费用。
于是，这问题的数学模型为：
11221
11112211211222
22
1122
m i n ..
0(1,2,,)
n
n n j
j
j n n n
n m m m n n m
j S c x c x c x c
x s t a x a x a x b a x a x a x b
a x a x a x
b x j n ==+++=+++≥+++≥+++≥≥=∑
以上这些是从实际问题中建立起的数学表达式，如果约束条件是由一些线性不等式或线性方程组成，而且目标函数是欲求未知变量线性函数的一类条件机制问题，则通称为线性规划问题。
性规划问题的数学模型，在模型的约束条件中除了非负约束外，还存在着“≥”，“ ≤”和“=”三种情况，特别是遇到“≥”，“ ≤”号时，在研究线性规划问题的性质和求和问题过程中都会带来困难，所以必须将各种形式的线性规划问题化为等价的标准形式，下面我们来了解化为等价的标准型的数学模型。
形如：
112211112211211222221122m in ..
0(1,2,,)
n n
n n n n m m m n n m
j S c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j n =++++++=+++=+++=≥=
这种形式称为线性规划的标准形式。
其中,,i j ij b a a 均为常数（实数），且0i b ≥（如不然，可将那个等式遍乘-1）。
j x 是要确定的实数。
所谓线性规划问题的标准形式（标准型）应具备以下四点： （1） 目标函数是求最小值（也可以把目标函数定为求最大值）；
（2） 在约束条件中，除了非负约束用“≥”号外，其它所有约束条件均用等式
（或方程式）表示；
（3） 每个约束方程的常数项均是非负的(0)i b ≥； （4） 所有未知量受非负限制。
下面我们了解一下将线性规划模型转化为标准型的基本方法。
①若目标函数为求最大值，即maxZ ，责令f=Z ，将原问题转化为在相同约束条件下的minf 。
②约束条件中具有不等式约束'ij j i i a x x b +≤∑，则引入新变量x 1使不等式约束条件转化为下列两个等式的约束条件，即
''
,0ij
j i i i a
x x b x +=≥∑ 称变量'
i x 为松弛变量。
③若约束条件中具有不等式约束ij j i a x b ≥∑，则引入新变量''i x ，使不等式约束条件转化为下列两个等式的约束条件，即
'''',0ij
j i i i a
x x b x -=≥∑ 称变量x i ，，
为剩余变量。
④若约束条件中出现j j x h ≥（j h ≠0），则引入新变量i j j y x h =-替代原问题中的变量j x ，于是问题中原有的约束条件j j x h ≥j 。
就化为新约束条件i y ≥0. ⑤若变量j x 的符号不受限制，则可引进两个新变量'i y 和''i y ，并以'''j i i x y y =-带
入问题的目标函数和约束条件消去j x ，同时在约束条件中增加'i y ≥0，''i y ≥0两个约束条件，称变量'i y 和'i y 为自由变量。
建立数学模型便于研究对线性规划问题中的应用，可以解决很多不必要的麻烦，在实际问题中有很大的好处。
下面我们来介绍数学模型的实例。
例1 将线性规划
1212121212m ax 25..
23123743,0
x x s t x x x x x x x x ++≤-+≥-=≥
化为标准形式。
解：⑴令12(25)f x x =-+；
⑵引入变量34,x x ，并令234x x x =-，其中34,0x x ≥
⑶引入松弛变量x 5和剩余变量x 6,则原问题转化为标准形式，即
12
12451346124m in 25..
233123774223
f x x s t x x x x x x x x x x x =-+-+=-+--=-+=
j x ≥，j =1，2，3，4，5，6.
例 2 化
1212121212m in 97,..
45634728,0
S x x s t x x x x x x x x =++≥+≥+≥≥ 为标准型。
解：（1）令1297f x x =+
（2）依次引入剩余变量345,,x x x 得标准形式为：
1212312412512345m in 97..
45634728,,,,0
f x x s t x x x x x x x x x x x x x x =++-=+-=+-=≥
这是一些基本而又简单的数学模型，这对于了解线性规划有重要的意义，。