2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足，则z在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，集合，若，则m的取值范围是A. B. C. D.3.已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则C的标准方程为A. B. C. D.4.设，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为科学研究发现v与成正比．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为则当时，其耗氧量的单位数为A. 2670B. 7120C. 7921D. 80106.某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为A.B.C.D.7.在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛获奖名次不重复甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种8.若，，，则A. B. C. D.9.已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为A. 10B. 5C.D.10.已知抛物线C：的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则直线AF的斜率为A. B. C. D.11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是A. ACB. AFC. BFD. CF12.函数，若存在唯一整数使得，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______．14.排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为______．15.已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为______．16.用表示函数在闭区间I上的最大值，若正数a满足，则______；a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，且．求的通项公式；若，记数列的前n项和为，求证：．18.直四棱柱被平面所截得到如图所示的五面体，，．求证：平面；若，求二面角的余弦值．19.一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分即获得分．设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．20.已知椭圆E：，过左焦点F且斜率大于0的直线l交E于A、B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线交x轴于点D．若点G的纵坐标为，求直线GD的方程；若，求的面积．21.已知函数，其中．讨论函数的单调性；若函数存在两个极值点，其中，且的取值范围为，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数，，曲线C的参数方程为参数．求曲线C在直角坐标系中的普通方程；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求．23.已知函数．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若时，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数z满足，，它在复平面内对应点的坐标为，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.答案：D解析：解：，，，，解得，的取值范围是．故选：D．根据得出，从而得出，进而得出，解出m的范围即可．本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，则可以设其方程为，又双曲线C经过点，则有，解可得：，则双曲线的标准方程为：；故选：D．根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为，将点代入双曲线方程，解得的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．4.答案：B解析：【分析】本题考查了倍角公式和简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．由，可得或，即可得到最终答案．【解答】解：由，即或，即或，“”是“”的必要不充分条件，故选：B．5.答案：C解析：解：v与成正比，比例系数设为k，可得，当时，，即有，即，则当时，，即，则，可得，故选：C．由题意可设，当时，，求得k，再由，结合对数的换底公式和对数的定义，计算可得所求值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查对数的换底公式和对数的定义，考查运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体，如图所示：设外接球的半径为r，则：，所以．故：．故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法及应用，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：A解析：解：根据题意，第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好，则甲不能为第五名，据此分2种情况讨论：若甲是第一名，则第五名可以为乙和丙，有2种情况，剩下三人有种情况，此时有种可能情况；若甲不是第一名，则甲有3种情况，同时第五名必须为丙，第一名为乙，剩下2人有种情况，此时有种可能情况；则一共有种可能情况，故选：A．根据题意，分析可得则甲不能为第五名，据此按甲的名次分2种情况讨论，若甲是第一名和若甲不是第一名，求出每种情况下的可能数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及合情推理的应用，属于基础题．8.答案：C解析：解：因为，因为，，故，所以．故选：C．由对数函数单调性可知，，，然后结合对数的运算性质先比较的大小即可判断．本题主要考查了利用对数函数的单调性及对数的运算性质比较对数式的大小，属于基础试题．9.答案：C解析：解：由是正项等比数列的前n项和可知，，因为，则，，结合二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值．故选：C．由已知结合数列的和与项的关系进行化简，然后结合二次函数的性质可求．本题主要考查了等比数列的性质及二次函数的性质的简单应用，属于中档试题．10.答案：D解析：解：，F，B三点共线，为圆F的直径，则．由抛物线定义知，在中，可得．则，直线AF的斜率．故选：D．由题意画出图形，由已知可得三角形ADB为直角三角形，再由抛物线定义结合圆的性质求得，从而求得AF的倾斜角，斜率可求．本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.答案：B解析：解：，M分别为BC，AC的中点，，则，又，，而，平面MOF，，CF与平面MOF所成的角分别为和，相等为，根据直线与平面所成角的定义可知，AC与平面MOF所成的角为，故只有AF与平面FOM所成的角不为定值．故选：B．由题意证明平面MOF，可得BF，CF，AC与平面OFM所成的角，由已知可得都为定值，由此得到答案．本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.答案：B解析：解：由，可得，令，易知函数在单调递增，在单调递减，且，作出函数的图象如图所示：恒过定点，且，，存在唯一整数使得，当时，存在唯一的整数使得命题成立．故选：B．通过半分离法，将问题转化为函数与直线图象之间的关系，再通过数形结合求解即可．本题考查不等式解的整数根问题，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，通过利用半分离法，将问题转化为两个函数图象之间的关系问题，再利用数形结合思想是解决本题的关键，属于中档题．13.答案：解析：解：，由正弦定理可得：，又，解得，．故答案为：．由正弦定理化简已知等式可得：，根据已知可求得，进而根据余弦定理可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：解析：解：排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：．故答案为：．中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，由此能求出中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：因为，所以，又，所以，令，则，当且仅当即时取等号，故答案为：．由平面向量的数量积得：因为，所以，又，所以，由重要不等式得：令，则，当且仅当即时取等号，得解．本题考查了平面向量的数量积及重要不等式，属中档题．16.答案：1解析：解：如图是函数，的图象，若，在上单调递增，所以，，此时，，这与已知，矛盾．所以，，所以，故正确答案是：1．显然时，，这与已知，矛盾．所以，即，所以．又已知，，即，因为当时，，或sin2a，所以，故正确答案为：1，通过数形结合，分类讨论结合正弦性质找出解题思路．本题考查了三角函数的图象和性质．属于高档题．17.答案：解：解法一：当时，，当时，，为等差数列，且时，，，，即，解法二：，，为等差数列，，，成等差数列，，即，，；时，，时，为常数，等差数列的首项为1，公差为2，，；证明：由知，，故，，，．解析：解法一：求出首项，通过当时，，求解通项公式．解法二：求出首项，第二项，结合为等差数列，，，成等差数列，推出，；验证为常数，然后求解即可．由知，，化简，利用裂项相消法求解即可．本题考查数列的递推关系式，数列通项公式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18.答案：解法一：证明：在直四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，分，，平面BCE同理可证平面，分平面平面，分平面BCE，平面分解：平面平面，平面平面，平面平面，，和CE与平面ABCD所成角相等，即；，，，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于ABCD的直线为z轴，如图建系，1，，1，，1，，0，，，，，分设为平面的一个法向量，则，令，则，设为平面的一个法向量，则，令，则，则，由图知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．解法二：证明：直四棱柱，则平面ABCD，平面ABCD，，，，平面BCE，，，且BC，AD同面，，平面，平面，平面．解：平面平面，平面平面，平面平面，，和CE与平面ABCD所成角相等，即，，，，取的中点为M，连接AM，则，平面，平面，，，平面，过点M作的垂线，垂足为N，连接MN，由题意得，为二面角的平面角，，，则，所以二面角的余弦值为．解析：法一：推导出，，从而平面BCE，同理可证平面，平面平面，由此能证明平面，推导出，AD和CE与平面ABCD所成角相等，即，以D为坐标原点，DA 为x轴，DC为y轴，过D垂直于ABCD的直线为z轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：推导出，，从而平面BCE，，，，由此能证明平面．推导出，AD和CE与平面ABCD所成角相等，即，取的中点为M，连接AM，则，平面，过点M作的垂线，垂足为N，连接MN，由题意得，为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为．X可能的取值为0，1，2，3，，，，．所以X的分布列为：X0123P摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分即获得分．设每轮游戏得分为则Y的取值为，20，200，由知，Y的分布列为：Y20200PY的数学期望为．这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了．解析：每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．设每轮游戏的得分为则Y的取值为，20，200，求出Y的分布列和数学期望，从而得到获得分数Y的期望为负，多次游戏之后大多数人的分数减少了．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概率、n次独立重复试验事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由椭圆的方程可得左焦点，由题意设直线l的方程：，且，设，，直线l与椭圆联立，整理可得：，所以，，，所以AB的中点G的纵坐标，由题意可得，，解得：或，当时，AB的中点G坐标，所以AB的中垂线方程为：，即，当时，AB的中点G坐标，所以AB的中垂线方程为：，即；由可得：弦长，AB的中点G的坐标为：，所以AB的中垂线的方程为：，令，可得，即，所以D到直线AB的距离，，由题意可得，，解得：，所以，，所以解析：由椭圆的方程可得左焦点F的坐标，设直线l方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出弦AB的中点，由AB的中点G的纵坐标可得参数的值，进而求出弦AB的中垂线的方程；由的过程可得中点G的坐标，及中垂线GD与x轴的交点D的坐标，进而求出及弦长的值，由可得参数的值，进而求出，的值，进而求出三角形的面积．本题考查直线与椭圆的综合，及面积公式，和由角的正切的应用，属于中档题．21.答案：解：．令，则．当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．当，即时，由，得或；由，得，在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．由得，当时，有两极值点，其中由得，为的两根，所以，．所以．令，则，因为，所以在上单调递减，而，，所以，又，易知在上单调递增，所以，所以实数a的取值范围为．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解；结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用函数极值存在条件的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：直线l的参数方程为参数，，转换为直角坐标方程为：当时，，当时，．曲线C的参数方程为参数，转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程代入得到：，整理得：，所以，曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时故，所以，则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用三角函数关系式的变换和直线与椭圆位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，直线和椭圆的位置关系式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，中点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：当时，，由得．当时，原不等式可化为：，解之得：．当时，原不等式可化为：，解之得且，．因此的解集为：．当时，．由得，，，，，，的取值范围为．解析：Ⅰ将代入，分类讨论解不等式即可；Ⅱ利用绝对值不等式的性质进一步可得，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．。
2020年高考模拟试卷福建省厦门市高考(理科) 数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知A＝{x||x|≤1}，B＝{x|（x﹣）2≤0}，则A∩∁R B＝（）A．[﹣1，1]B．∅C．[﹣1，）∪（，1]D．（﹣1，1）2．设z＝﹣i+3，则+||＝（）A．i﹣3+B．i+3+C．﹣i+3+D．﹣i﹣3+3．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．B．C．D．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．1105．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，给出以下四个结论：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）的最大值为2；（3）当f（x）取到最小值时对应的x＝0；（4）f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．正确的结论是（）A．（1）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设a＝e，b＝4e﹣2，c＝2e﹣1，d＝3e，则a，b，c，d的大小关系为（）A．c＞b＞d＞a B．c＞d＞a＞b C．c＞b＞a＞d D．c＞d＞b＞a 8．函数f（x）＝sin x•|cos x|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π9．已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D 都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法﹣﹣二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y＝f（x），若y1＝f（x1），y2＝f（x2），y3＝f（x3），x1＜x2＜x3，则在区间[x i，x3]上f（x）可以用二次函数f（x）＝y1+k1（x﹣x1）+k2（x﹣x1）（x﹣x2）来近似代替，其中，，．若令x1＝0，，x3＝π，请依据上述算法，估算的近似值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x 12．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项为．14．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有种．15．已知圆O：x2+y2＝1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，若圆N上存在点Q，过点Q 作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点．动点Q在正方形D1DAA1（包含边界）内运动，且QB∥面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝sin x（cos x﹣sin x）+．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a cos2B＝a cos B﹣b sin A，求f（A）的取值范围．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O ⊥平面ABC．（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．19．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率．（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3，……，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，（x i﹣）2＝289.8，（t i﹣）2＝1.6，（x i﹣）（y i﹣）＝1469，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，其中t i＝，＝t i．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．20．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，点B（﹣1，0），过B的直线l 与圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）记f（x）的极值点为x0，求证：x1+x2＞2ef（x0）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m＞1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数．[选修：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|3x+1|﹣m．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若当x≠时，不等式f（x）+＞0恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x||x|≤1}，B＝{x|（x﹣）2≤0}，则A∩∁R B＝（）A．[﹣1，1]B．∅C．[﹣1，）∪（，1]D．（﹣1，1）【分析】化简集合A，B，求出结果．解：已知A＝{x||x|≤1}＝[﹣1，1]，B＝{x|（x﹣）2≤0}＝{}，则A∩∁R B＝[﹣1.）∪（，1]，故选：C．2．设z＝﹣i+3，则+||＝（）A．i﹣3+B．i+3+C．﹣i+3+D．﹣i﹣3+【分析】由已知求得与|z|，则答案可求．解：由z＝﹣i+3，得，|z|＝，则+||＝3+i+，故选：B．3．中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会．来自109个国家的9300余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表．从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据分层抽样求出22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．再根据组合知识和概率公式即可求出．解：中国和巴西获得金牌总数为154，按照分层抽样方法，22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个．故从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为＝故选：C．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．110【分析】由题意可得（a1﹣12）2＝（a1﹣4）（a1﹣16），解方程后代入等差数列的求和公式可得．解：由题意可得（a1﹣12）2＝（a1﹣4）（a1﹣16），解得a1＝20，∴S10＝10a1+d＝200﹣90＝110故选：D．5．已知函数f（x）＝e x+e﹣x，给出以下四个结论：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）的最大值为2；（3）当f（x）取到最小值时对应的x＝0；（4）f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．正确的结论是（）A．（1）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）是偶函数，再利用导数求出函数f （x）的单调区间以及最值即可．解：∵函数f（x）＝e x+e﹣x，x∈R，∴f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），∴函数f（x）是R上的偶函数，故（1）正确，∵f'（x）＝e x﹣e﹣x＝e x﹣＝，令f'（x）＝0得，e x＝1，x＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，且f（0）＝2，画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，∴函数f（x）的最小值为2，故（2）错误，（3）正确，（4）错误，故选：C．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】分别取C1D1、CC1中点E．F，由题意知平面EFM平行于平面A1BD，平面α过点M，平面α平行于平面A1BD，平面EFM与平面α是同一个平面，由此能求出体积较小的几何体的体积．解：分别取C1D1、CC1中点E．F，由题意知平面EFM平行于平面A1BD，又平面α过点M，平面α平行于平面A1BD，∴平面EFM与平面α是同一个平面，∴体积较小的几何体等于V＝×1＝．故选：C．7．设a＝e，b＝4e﹣2，c＝2e﹣1，d＝3e，则a，b，c，d的大小关系为（）A．c＞b＞d＞a B．c＞d＞a＞b C．c＞b＞a＞d D．c＞d＞b＞a 【分析】可以得出，然后根据e≈2.7，e2≈7.39，e3≈20.09即可得出a，b，c，d的大小关系．解：，，∵e≈2.7，e2≈7.39，e3≈20.09，∴4e2＞9e＞e3＞16，∴c2＞d2＞a2＞b2，∴c＞d＞a＞b．故选：B．8．函数f（x）＝sin x•|cos x|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π【分析】直接利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的应用求出结果．解：f（x）＝sin x•|cos x|＝，所以函数的最小正周期为2π，函数的最大值为．故．故选：C．9．已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D 都有•＝|+|＝4，则||的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，2）C．[2，2]D．[2，2）【分析】由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设，分别讨论D与E、A点重合时的情况．解：因为|+|＝||＝4，所以AB＝4，又因为E为斜边AB中点，所以CE＝AE＝BE＝2，由已知可得AB＝4，CE＝AE＝BE＝2．设．当D与E重合时，＝2×2cosθ＝4，符合题意；当D与A重合时，∠BDC＝θ，CD＝4cosθ，代入＝4，得2×4cosθ•cosθ＝4，此时θ＝．故θ∈[0，]．此时由＝4，得2CD cosθ＝4，即CD＝，结合θ∈[0，]．可得．故选：C．10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法﹣﹣二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y＝f（x），若y1＝f（x1），y2＝f（x2），y3＝f（x3），x1＜x2＜x3，则在区间[x i，x3]上f（x）可以用二次函数f（x）＝y1+k1（x﹣x1）+k2（x﹣x1）（x﹣x2）来近似代替，其中，，．若令x1＝0，，x3＝π，请依据上述算法，估算的近似值是（）A．B．C．D．【分析】函数y＝f（x）＝sin x在x＝0，x＝，x＝π处的函数值分别为y1＝f（0）＝0，y2＝f（）＝1，y3＝f（π）＝0，利用k1＝，k＝，，可得f（x）＝x﹣x（x﹣）＝﹣x2+x，代入即可得出．解：函数y＝f（x）＝sin x在x＝0，x＝，x＝π处的函数值分别为y1＝f（0）＝0，y2＝f（）＝1，y3＝f（π）＝0，故k1＝＝，k＝＝﹣，＝﹣，故f（x）＝x﹣x（x﹣）＝﹣x2+x，即sin x≈﹣x2+x，∴≈﹣×+×＝，故选：D．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x【分析】设A，B的坐标，由题意可得由d1，d2，d3的值，再由d1，d2，d3构成等差数列可得A，B纵坐标的值，联立双曲线与抛物线的方程可得A，B的纵坐标之和，可得a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．解：由题意抛物线的准线方程为：y＝﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的性质可得：d1＝y1+，d2＝p，d3＝y2，由d1，d2，d3构成等差数列可得2d2＝d1+d3，即2p＝y1++y2，所以可得y1+y2＝p联立双曲线与抛物线的方程可得：，整理可得a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，所以y1+y2＝，所以可得＝p，即a2＝2b2，所以渐近线的方程为y＝x＝±x，故选：A．12．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣【分析】令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，求导后再利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得答案．解：令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成tlnt﹣a（t2﹣1）＝0，即，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，，若a＝0，则f（t）＝lnt在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＜0，则f′（t）＞0，f（t）在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＞0，记h（t）＝﹣at2+t﹣a，则函数h（t）开口向下，对称轴，过（0，﹣a），△＝1﹣4a2，当△≤0 即1﹣4a2≤0，即时，f′（t）≤0，f（t）在（0，+∞）单调递减，f （1）＝0，此时符合题意；当△＞0 即1﹣4a2＞0，即时，设h（t）＝0有两个不等实根t1，t2，0＜t1＜t2，又h（1）＞0，对称轴，所以0＜t1＜1＜t2，则f（t）在（0，t1）单调递减，（t1，t2）单调递增，（t2，+∞）单调递增，由于f（1）＝0，所以f（t2）＞0，取，，记令，则，所以f（t0）＜0，结合零点存在性定理可知，函数f（t）在（t1，t2）存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0 或，故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项为216x2y2．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得（2x+3y）4的展开式中二项式系数最大的项．解：在（2x+3y）4的展开式中，通项公式为T r+1＝•24﹣r•3r•x4﹣r•y r，故第r+1项的系数为•24﹣r•3r，故当r＝2时，二项式系数最大，故当r＝2时，展开式中二项式系数最大的项为•24﹣r•3r•x4﹣r•y r＝216x2y2，故答案为：216x2y2．14．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有9种．【分析】根据题意，a老师不能监考A班，则a老师可以监考B、C、D班，据此分3种情况讨论，求出每种情况下的监考方式数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①、当a老师监考B班时，b老师有3种情况，剩下的两位老师有1种情况，此时有3种不同的监考方式，②，当a老师监考C班时，同理此时有3种不同的监考方式，③、当a老师监考D班时，同理此时有3种不同的监考方式，则有3+3+3＝9种不同的监考方式；故答案为：915．已知圆O：x2+y2＝1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，若圆N上存在点Q，过点Q 作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是[，]．【分析】根据题意，由切线的性质分析可得Q轨迹是圆x2+y2＝4，进而可得圆x2+y2＝4与圆N有公共点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆O的方程为x2+y2＝1，其半径为1，圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1，其圆心为（a﹣2，a），半径为1，圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则∠AQO＝30°，在Rt△PAO中，OQ＝2，故点Q轨迹是圆x2+y2＝4，此时圆x2+y2＝4与圆N：（x﹣a+2）2+（y﹣a）2＝1有公共点，则有1≤≤3，变形可得：0≤2a2﹣4a+3≤8，解可得：≤a≤，即a的取值范围为[，]；故答案为：[，]．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3．点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点．动点Q在正方形D1DAA1（包含边界）内运动，且QB∥面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为．【分析】取DC中点E1，取A1G＝1，延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I．说明面BGE∩面D1DAA1＝GI，点Q的轨迹是线段GI．然后求解即可．解：由于QB∥面D1NT，所以点Q在过B且与面D1NT平行的平面上．取DC中点E1，取A1G＝1，则面BGE1∥面D1NT．延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I．显然，面BGE∩面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI．易求得GI＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f（x）＝sin x（cos x﹣sin x）+．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足a cos2B＝a cos B﹣b sin A，求f（A）的取值范围．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调递减区间．（2）由正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得（cos B﹣sin B）（cos B+sin B﹣1）＝0，进而可求B＝，可求范围＜A＜，利用正弦函数的性质即可求解f（A）＝sin （2A+）的取值范围．解：（1）＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）由正弦定理得sin A cos2B＝sin A cos B﹣sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos2B＝cos2B﹣sin2B，即（cos B﹣sin B）（cos B+sin B）＝cos2B﹣sin2B，（cos B﹣sin B）（cos B+sin B﹣1）＝0，得：cos B﹣sin B＝0，或cos B+sin B＝1，解得B＝，或B＝，∵△ABC为锐角三角形，A+C＝，∴，解得＜A＜，∴＜2A+＜，﹣＜sin（2A+）＜，∴f（A）＝sin（2A+）的取值范围为（﹣，）．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O ⊥平面ABC．（1）证明四边形BB1C1C为矩形；（2）求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的性质可得BC⊥AA1，进而得到BC⊥BB1，由此容易得证；（2）建立空间直角坐标系，求出直线AA1的方向向量及平面A1B1C的法向量，利用向量公式得解．解：（1）证明：连接AO，因为O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵A1O⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴A1O⊥BC，又∵AO∩A1O＝O，∴BC⊥平面AA1O，∴BC⊥AA1，∵BB1∥AA1，∴BC⊥BB1，又∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴四边形BB1C1C为矩形．（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），在Rt△AOB中，，Rt△AA1O中，，A1（0，0，2），∴，，，设平面A1B1C的法向量是n＝（x，y，z），由得即，可取n＝（2，1，﹣1），设直线AA1与平面A1B1C所成角为θ，则，，∵，∴，即直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值为．19．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率．（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）（i＝1，2，3，……，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，（x i﹣）2＝289.8，（t i﹣）2＝1.6，（x i﹣）（y i﹣）＝1469，（t i﹣）（y i﹣）＝108.8，其中t i＝，＝t i．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【分析】（1）由已知得μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可得P（ξ＜265），设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），由P（X ≥1）＝1﹣P（X＝0）求解；（2）求出与，可得y关于x的回归方程为，取x＝49求得y值得答案．解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（265＜ξ＜295）]＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝（1﹣0.9974）＝0.0013，设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.9871＝0.0129，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129．（2）由，，，，有，且，所以y关于x的回归方程为，当x＝49时，年销售量y的预报值千元．所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．20．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，点B（﹣1，0），过B的直线l 与圆A交于点C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E．（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．【分析】（1）利用已知条件判断E的轨迹是椭圆的一部分，设出方程，转化求解即可（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，利用韦达定理以及弦长公式求解三角形的面积，转化求解四边形的面积的最大值即可．解：（1）因为，又因为|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|+|EA|＝|ED|+|EA|＝|AD|＝4＞|AB|＝2，所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，所以y≠0，所以点E的轨迹τ的方程为．（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以△＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0，，，所以，∵，∴S△GHN＝2S△OHG，设四边形OHNG的面积为S，则＝，令，再令，则在[1，+∞）单调递增，所以m＝1时，y min＝4，此时t＝0，取得最小值4，所以．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2（1）求a的取值范围；（2）记f（x）的极值点为x0，求证：x1+x2＞2ef（x0）．【分析】（1）问题等价于函数的图象与直线y＝a有两个交点，利用导数研究F（x）的性质即可得出a的取值范围；（2）先由题意得，再构造函数可知，进而把所证不等式转化为，再通过换元，构造新函数利用导数得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），令f（x）＝0，则，依题意，函数的图象与直线y＝a有两个交点，由得，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）单减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F （x）单增，且F（1）＝﹣1，当x→0时，F（x）→+∞，当x→+∞时，F（x）→0，如下图所示，由图可知，实数a的取值范围为（﹣1，0）；（2）由（1）知，﹣1＜a＜0，且由得，∵函数f（x）＝lnx+ax+1有两个零点x1，x2，∴，∴，不妨设x1＞x2，则，令函数，则，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减，∴h（x）max＝h（e）＝0，∴h（x）≤0，即，∵，，∴，∴，即，∴要证x1+x2≥2ef（x0），即证，即证，即证，即证，令x1＞x2，再令，即证，令，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，即，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m＞1，求曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数．【分析】（1）因为曲线C1的参数方程为利用平方关系可得曲线C1的普通方程．将变换T：，即代入x2+y2＝1，可得曲线C2的普通方程．（2）因为m＞1，所以C3上的点A（0，﹣m）在椭圆E：外．当x＞0时，曲线E的方程化为y＝mx﹣m，代入，得（4m2+1）x2﹣8m2x+4（m2﹣1）＝0，由△＞0，可得方程有两个不相等的实根x1，x2，利用根与系数的关系即可判断出结论．又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x＜0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点．解：（1）因为曲线C1的参数方程为所以曲线C1的普通方程为x2+y2＝1，将变换T：即代入x2+y2＝1，得，所以曲线C2的普通方程为．（2）因为m＞1，所以C3上的点A（0，﹣m）在椭圆E：外．当x＞0时，曲线E的方程化为y＝mx﹣m，代入，得（4m2+1）x2﹣8m2x+4（m2﹣1）＝0，（*）因为△＝64m4﹣4（4m2+1）•4（m2﹣1）＝16（3m2+1）＞0，所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，又，，所以x1＞0，x2＞0，所以当x＞0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x＜0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，综上，曲线C2与曲线C3：y＝m|x|﹣m的公共点的个数为4．[选修：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|3x+1|﹣m．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若当x≠时，不等式f（x）+＞0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）m＝5时f（x）＞0等价于|x﹣2|+|3x+1|﹣5＞0，利用分段讨论法去掉绝对值，解不等式即可；（2）利用分离常数法得出，构造函数，求出[g（x）]min即可得出结论．解：（1）当m＝5时，f（x）＞0等价于|x﹣2|+|3x+1|﹣5＞0，等价于或或等价于或或等价于x＜﹣1或1＜x＜2或x≥2，等价于x＜﹣1或x＞1，所以不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．（2）由条件，当时，不等式，即恒成立，令，则因为＝，且，所以[g（x）]min＝8，所以m＜8，即实数m的取值范围是（﹣∞，8）．。
2020年福建省厦门市高考数学质检试卷2(二)(5月份) (含答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学质检试卷2（二）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2.复数z=4+3i1+2i的虚部为()A. iB. −iC. 1D. −13.过点(3,2)的双曲线C的渐近线方程为x±y=0，则C的方程为()A. x2−y2=1B. x2−y2=5C. y2−x2=1D. y2−x2=54.从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知样本中最小的编号为007，则样本中最大的编号应该为()A. 382B. 483C. 482D. 4835.函数在[−π2,π2]上的图象为()A. B.C. D.6.箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球，则摸到1号球的概率为()A. 15B. 25C. 825D. 9257.若，，则a，b满足的关系为( )A. a>1,b>1B. 0<a<1,b>1C. a>1,0<b<1D. 0<a<1,0<b<18.α,β∈(0,π2)，且α，β的终边关于直线y=x对称，若sinα=35，则sinβ=()A. 35B. 45C. 7√210D. 3√3+4√2109.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作直线l与C交于A，B两点．若|AB|=10，则△OAB重心的横坐标为()A. 43B. 2C. 83D. 310. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )A. 531B. 1031C. 9D. 1011. 如图，在三棱锥O −ABC 中，OA =OB =OC =1，∠AOB =90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 中点，则OD 与平面OBC 所成的角为( )A. π4B. π3C. π2D. 3π412. 已知函数f(x)=(x −3)e 2x ，则( ) A. f(x)在x =3处取得极小值B. f(x)没有极值C. f(x)在x =52处取得极小值D. f(x)在x =52处取得极大值 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=2，e ⃗ 为单位向量，当向量a ⃗ ，e ⃗ 的夹角为2π3时，a ⃗ +e ⃗ 在a ⃗ 上的投影为______ ． 14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．三人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙三人的预测结果有且只有一个正确，则可判断获得第一名的是________． 15. 从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有中______ .(用数字作答)16.如图，在平面四边形ABCD中，△ACD的面积为√3，AB=2，BC=√3−1，∠ABC=120°，∠BCD=135°，则AD=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知首项都是2的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)满足a n b n+1−a n+1b n+3b n+1b n=0．}为等差数列．(1)求证：数列{a nb n(2)若b n=2n，求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F为CD的中点．(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；(Ⅱ)若∠CAD=60°，求二面角F−BE−D的余弦值．19.已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F(1,0).椭圆上一动点P(x0,y0)(不是顶点)满足k PA⋅k PB=−12．(1)求椭圆的方程；(2)设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定值．21. 已知函数f(x)=2x 2+alnx(a ∈R)．⑴讨论函数f(x)的单调性；⑴若g(x)=f(x)−4x +2存在两个极值点，且x 0是函数g(x)的极小值点，求证：g(x 0)>12−ln222. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．23. 已知函数f(x)=｜x −1｜−｜x +a ｜，a ∈R ．(1)若a =2，解不等式f(x)≥1；(2)若x∈(2,4)时，｜f(x)｜<｜2x+a−1｜，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|(x+1)(x−2)<0}，即B={x|−1<x<2}，又A={x|x<0}，∴A∪B=(−∞,2)，故选：B．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合B，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，则复数z=4+3i1+2i的虚部为：−1．故选D．3.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的标准方程的求法，考查了双曲线的性质，属于基础题.根据条件可求出a=b，故可设C的方程为x2−y2=λ，将点(3,2)代入求出λ的值，即可求出答案．【解答】解：∵双曲线C的渐近线方程为x±y=0，∴a=b，设C的方程为x2−y2=λ，又∵点(3,2)在双曲线C上，则解得λ=5，故C的方程x2−y2=5，。
福建省厦门双十中学2020届高三数学5月热身卷 理 新人教A版
福建省厦门双十中学高三数学（理）热身卷一、选择题：本大题共10小题-每小题5分-共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数z 满足(13)1i z i =+，则z =（ ）A ．2-B 2C 2D ． 2 2．已知直线过定点（－1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆122=+y x 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 设等差数列{}n a 的前n 项和146,11,6n S a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.94．若1()2nx x -的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）A ．164-B ．132C ．164D ．11285．设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90°，KL ＝1，则1()6f 的值为( )A. 43-B. 14-C. 12- D. 436．设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2210101x y x y ⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB u u u r u u u r g取得最小值时，点B 的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.无数个 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友l 本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种8．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧 则该几何体的体积为（ ） A ．63π+ B ．23π+ C ．362π+D ． 322π+ 9．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，且满足()()sin sin sin sin sin sin =-++-++AB BB A A ，则点O 在（ ）．A .AB 边上 B .AC 边上 C .BC 边上D .ABC ∆内心10．设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：①若1,m =则{}1S =； ②若1,2m =-则114n ≤≤； ③若1,2n =则202m -≤≤． 其中正确的命题的个数为（ ）A.①B.①②C.②③D.①②③二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清-模棱两可均不得分．11．输入x=2，运行下面的程序输出的结果为 。
福建省厦门市2020年5月高考模拟考试理科综合试题及答案(word版)
厦门市2020届高三 生物学科答案及评分标准 一、选择题：（每题6分，共36分） 1~6：ACDBCD 二、非选择题：共54分 29.（10分，除标注外，每空1分） （1）单位时间内固定的CO2量 单位时间内制造的有机物量 （2）光照强度 光 ATP、[H]（或ATP、NADPH，全部答对才给分） （3）气温升高导致气孔部分关闭，CO2吸收量减少（2分，答出一点给1分） ① （4）适当提高光照强度；适当增大CO2浓度（具体为：合理密植、通风、施用有机肥等（注：同质 化的答案只给1分，例如答“合理密植”和“通风”就只能得1分） 30.（8分） （1）神经递质（1分） 毛细血管舒张（1分） （2）低温刺激使毛细血管收缩，导致体内热量不能及时散出，不能达到降低体温的目的（3分，每 点1分） （3）喝淡盐水可补充机体随汗液流失的水和无机盐，以维持机体水盐平衡（3分，答出关键词“补充 水”、“补充无机盐”和“维持水盐平衡”各得1分） 31.（8分） （1）太阳能和工厂、村庄排放污水中有机物的化学能等（2分，答出一点给1分） （2）抵抗力（1分） （3）偏小（1分） （4）使群落演替按照不同于自然演替的速度和方向进行（2分） （5）直接和间接（2分，答出一点给1分） 32.（13分） （1）亲本中的雌果蝇在减数分裂过程发生了差错，两条X染色体不分离，产生了含XbXb的卵细胞， 与含Y的精子结合（2分，答出“XbXb的卵细胞”和“含Y的精子”各得1分） （2）XbXb（1分） XbXbY（2分）XbY :Xb:XbXb:Y=2:2:1:1（2分） （3）①让该白眼雌果蝇与红眼雄果蝇杂交，观察后代的表现型及比例（2分） ② 红眼雌果蝇:白眼雄果蝇=1:1（或雄果蝇全为白眼或雌果蝇全为红眼）（2分）红眼雌果蝇:白眼雌果蝇:红眼雄果蝇:白眼雄果蝇=4:1:1:4（或雄果蝇中出现红眼或雌果蝇中出现白眼）（2 分） 37.（15分）（1）青蒿素不易挥发，不能随水蒸气蒸馏出来(或水蒸气蒸馏法适用于蒸馏挥发性物质，而青蒿素 不易挥发）（2分）（2）易溶于有机溶剂（2分）乙醚（1分）青蒿素在60℃以上易分解，应选择低沸点的萃取剂（2分） （3）水浴（1分）防止有机溶剂挥发（2分） （4）探究青蒿素的浓度与细胞增殖抑制率的关系（2分）在培养瓶中加入等量的不含青蒿素的培养液，在相同且适宜的条件下继续培养（3分，答出“不含青蒿素”得2分，答出“相同条件培养”得1分） 38.（15分）（1）①显微注射（1分）动物体细胞的全能型一般不能表现出来（2分） ②性别鉴定（2分）③向小鼠体内注射现成的（标准的/纯化后的）抗凝血酶Ⅲ蛋白（1分，答“注射转基因 牛奶中的抗凝血酶Ⅲ蛋白”不给分）；提取免疫小鼠的B淋巴细胞与骨髓瘤细胞融合，经多次筛选获得能产生特异性抗体的杂交瘤细胞（1分）；对杂交瘤细胞扩增培养获取大量的单克隆抗体（1分）。
高考专题福建省厦门市高三5月适应性考试数学(理)试题(解析版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈-2.“d c b a >>,”是“a c b d +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3.已知{2,3}a ∈，{1,2,3}b ∈，执行右边程序框图，则输出的结果共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种4.已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+ 内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有（ ）A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人5.设()f x 是周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，()(2)f x x x =-，则(5)f -等于 （ ） A. 1 B.1- C.3 D.3- 【答案】B 【解析】6.甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是（ ） A ．16 B ．12 C ．8 D ．67.数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n ∏，且(1)(2)n n n +∏=，则5S 等于（ ） A ．31B ．62C ．124D ．1268.在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：①0)(=-⋅AC AB AD ； ②AD AC AB 2≥+； ③B AB ADAD AC sin =⋅；其中结论正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39.如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+10.已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是（ ） A.3224+ B.32C.2D.38 【答案】A第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.把函数sin 2y x 的图象向右平移3个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为 ．12.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是 ．13.已知函数2 21,0,(),0.x x x x f x e x ⎧-++>=⎨≤⎩则满足()1f x ≤的实数x 的取值范围是 .14.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥02,2,0y ax y x 表示区域为D ，且圆422=+y x 在D 内的弧长为2π，则实数a 的值等于 ．15.A 、B 两地相距1千米，B 、C 两地相距3千米，甲从A 地出发，经过B 前往C 地，乙同时从B 地出发，前往C 地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为14()1v t t =+和2()v t t =（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C 地 ④甲追上乙后，先到达C 地 其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分13分） 已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =，4B π=，又2AC =，求BC 边的长．223sin cos 21x x cos x =-+ 3sin 2cos 2x x =- -------------------3分17.（本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，090,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF 平面AEFD ，如图2. （Ⅰ）求证：//AB 平面DFC ；（Ⅱ）当三棱锥ABE F -体积最大时，求平面ABC 与平面AEFD 所成的锐二面角的余弦值.∵)3,0,0(),1,0,2(),0,1,2(C B A ， ∴)3,1,2(),2,0,2(-=-=CA CB ， ---------10分18.（本小题满分13分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值.的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将OM OQ ∙进行转化，变成OC OQ ∙，再利用配方法求最值.=0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分19.（本小题满分13分）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B ，乙线路是A-E-F-G-H-B ，其中CD 段，EF 段，GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在2(,1)3上变化，y 在1(0,)2上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据． （Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．堵车时间（单位：小时） 频数[0,1] 8 (1, 2] 6 (2, 3] 38 (3, 4] 24 (4, 5]24CD 段EF 段GH 段堵车概率 x y41 平均堵车时间 (单位：小时) a21（表2）20.（本小题满分14分）已知函数cos ()(0)xf x x x =>，()sin (0)g x x ax x =->. （Ⅰ）函数cos ()(0)xf x x x=>的零点从小到大排列，记为数列{}n x ，求{}n x 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设点P 是函数()x ϕ与()x ω图象的交点，若直线l 同时与函数()x ϕ，()x ω的图象相切于P 点，且 函数()x ϕ，()x ω的图象位于直线l 的两侧，则称直线l 为函数()x ϕ，()x ω的分切线.探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 存在分切线？若存在，求出实数a 的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．35(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，②∵2()(1)sin10g x x xπ--+=-≤在(0,)+∞上恒成立，21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知在矩阵M对应的变换作用下，点A(1,0)变为A′(1,0)，点B(1,1)变为B′(2,1)．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，3M ，并猜测n M （只写结果，不必证明）．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin 32πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）． （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=，222a b c ++的最小值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式|4||1|x x M +--≥.试题解析：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：()()()22222221119a b ca b c ++++≥++=，------1分。
2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)
D. 12
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几 何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
7. 已知 a＞b＞0，x=a+beb，y=b+aea，z=b+aeb，则（ ）
A. x＜z＜y
B. z＜x＜y
C. z＜y＜x
D. y＜z＜x
8. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，2Sn=an+1an，则 S20=（ ）
A. y=
B. y=
C. y=±2x
D. y=
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 在等比数列{an}中，a2=1，a3a5=2a7，则 an=______．
14. （1+ ）（1-2x）5 的展开式中 x2 的系数为______．
15. 已知函数 f（x）=ex-e-x-1，则关于 x 的不等式 f（2x）+f（x+1）＞-2 的解集为______ ．
∴E（ ， ）
=（3， ）， =（ ， ）
故选：D．
6.【答案】B
= =12．
【解析】解：根据三视图知，该几何体是圆锥体的一部分，如图所示；
则底面圆的半径为 OA=2，圆心角为∠AOB= ，高为 OP=3； 所以该锥体的体积为：V= • • •22•3= ． 故选：B． 根据三视图知该几何体是圆锥体的一部分，结合图中数据求得该锥体的体积． 本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．
则：
．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】【分析】
从八卦中任取两卦，基本事件总数 n= =28，利用列举法求出这两卦的六根线中恰有三
2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <6}，B ={x|2<x <7}，则A ∩(∁R B)=( )A. (2,6)B. (2,7)C. (−3,2]D. (−3,2)2. 复数z 的共轭复数z −满足(2+i)z −=|3+4i|，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 某学校有男运动员100名，女运动员有50名，用分层抽样的方法从这150名运动员中抽一个容量为12的样本，那么应该抽男运动员( )A. 4人B. 6人C. 8人D. 10人4. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 8的值为( )A. 16B. 15C. 14D. 135. 函数f(x)=xe x +2，x ∈[0,6]的最小值为( )A. 0B. 2C. 1e +2D. 6e 6+26. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱长为底面边长的2倍，E 点为AD 的中点，则三棱锥D −BEC 1的体积为( )A. 83 B.4 C. 43 D. 87. 设a =3x 2−x +2，b =2x 2−x −1，则a 与b 的大小关系为( )A. a >bB. a =bC. a <bD. 与x 有关8. 已知函数f(x)=asinx −√3cosx 的一条对称轴为x =−π6，若f(x 1)·f(x 2)=−4，则|x 1+x 2|的最小值为( )A. π3B. π2C. 2π3D. 3π49. 已知AB 为圆C 的弦，C 为圆心，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. 2 C. √3D. −√310.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y=f(x)在x=x1，x=x2，x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1)，y2=f(x2)，y3=f(x3)，则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：f(x)≈y1+k1(x−x1)+k2(x−x1)(x−x2)，其中k1=y2−y1x2−x1，k=y3−y2x3−x2，k2=k−k1x3−x1.若令x1=0，x2=π2，x3=π，请依据上述算法，估算sinπ5的值是()A. 1425B. 35C. 1625D. 172511.已知双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为()A. 4x±3y=0B. 3x±4y=0C. 16x±9y=0D. 9x±16y=012.若函数f(x)=ax3−5ax2−｜x｜有四个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (−254,0) B. (−1,−425) C. (−∞,−254) D. (−∞,−425)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x−1x)n展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为______ ．14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，则共有分配方案的种数为______．15.已知圆C1：(x−1)2+(y−2)2=9，C2：(x+3)2+(y−1)2=1，则两圆的外公切线段长等于______ ．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则当点M满足条件________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2A=asinB．(1)求A；(2)求cos(B+π6)+sin(C+π3)的最大值．18.如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD:DC:BC=1:1:√2.求直线PB与平面PDC所成角的大小．19.某产品的广告费用x万元与销售额y万元之间的对应数据如下：x24568y1030405070(1)画出上表数据的散点图(2)求出样本中心，(3)已知b̂=2.5，求y关于x的回归方程(â=y−−b̂x−)(4)已知x =10万元时，求销售收入y ．20. 已知定点A(−2,0)，B(2,0)，M 为动点，且满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为−14．(Ⅰ)设动点M 的轨迹为曲线N ，求曲线N 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线与曲线N 交于两个不同的点C ，D ，直线CA ，DA 分别与直线x =−4交于点E ，F ，求S △ACDS△AEF的最大值．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2+x 有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(1)若x 2−x 1=14，求实数a 的值； (2)若−325<a <−19，求f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的取值范围．22.平面直角坐标系中，已知曲线C1：x2+y2=1。
厦门市2020届高中毕业班5月质量检查(理科)数学试卷参考答案
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厦门市达标名校2020年高考五月大联考数学试卷含解析
厦门市达标名校2020年高考五月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724- B ．524-C ．524D ．7242．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．163．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>4．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥6．已知函数f(x)＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )A ．12⎛⎝ B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12e ⎛ ⎝⎭7．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>8．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D9．要得到函数3sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度10．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --11．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1312．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届福建省厦门市高三第一次质量检查(一模)数学试题(理科)(解析版)
厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}260A x N x x =∈+-≤，{}R 13B x x =∈-≤≤，则A B =I （ ） A. {}12x x -≤≤B. {}0,1,2C. {}13x x -≤≤D. {}0,1,2,3 【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再进行交集运算，即可得答案；【详解】Q {}{}2600,1,2A x N x x =∈+-≤=， ∴{}0,1,2A B ⋂=.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，求解时注意x ∈N 这一条件的应用.2.若复数z 满足11z i -+=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A. ()()22111x y +++=B. ()()22111x y ++-= C. ()()22111x y -+-=D. ()()22111x y -++= 【答案】D【解析】【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入11z i -+=中，再利用模的运算，即可得答案； 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，代入11z i -+=得：()()22111x y -++=，故选：D.【点睛】本题考查复数模的运算、复数对应点的轨迹方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题. 3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若37a =，880S =，则6a =（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11 【答案】C【解析】【分析】根据37a =，880S =求得1,a d 的值，再代入通项公式，即可得答案； 【详解】Q 37a =，880S =，∴11127,3,872,880,2a d a d a d +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⨯=⋅+=⎩⎪⎩∴61513a a d =+=，故选：C.【点睛】本题考查等差数列基本量运算，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4.A 、B 两名同学6次的跳高成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为A x ，B x ，标准差分别为A σ，B σ，则（ ）A. >A B x x ，A B σσ<B. <A B x x ，A B σσ<C. >A B x x ，A B σσ>D. <A B x x ，A B σσ>【答案】A【解析】【分析】根据图形中的数据，易得A 同学的平均值较高，且数据比较集中，即可得答案；【详解】根据图形中的数据知A 同学只是第3次成绩低于B 同学，可直观看出A 同学的平均成绩较高，故A B x x >；由于B 同学的成绩波动较大，所以A B σσ<；故选：A.【点睛】本题考查统计中的平均数与标准差，考查数据处理能力，属于基础题.5.1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方()3a 与它的公转周期（单位：秒）的平方()2T 之比是一个常量，即32a k T=，24GM k π=（其中k 为开普勒常数，M 为中心天体质量，G 为引力常量）．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为（ ）A. 150年B. 200年C. 250年D. 300年【答案】C【解析】【分析】地球轨道的半长轴长和运行周期可求得k 的值，再进一步利用公式计算冥王星的运行周期. 【详解】由题意得：321.51k =， ∴3332222360 1.560(365243600)(365243600) 1.5T T ⨯⨯⨯=⇒=⨯⨯， 365225436000T ⨯⨯≈⨯（秒）∴250T ≈年.故选：C.【点睛】本题考查数学文化，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意对时间单位的理解，可减少计算量.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A. 3-B. 12-C. 13D. 2【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图可知S 是一个周期数列，求出当2020i =时，对应S 的值，即可得答案；【详解】1,3i S ==-，212,42i S -===-， 1123,332i S ===， 434,223i S ===， 5,3i S ==-，L L2020,2i S ==，2021i =，输出2S =，故选：D.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，求解时注意何时终止循环.7.如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M ，N 在正视图上的对应点分别是A 、B ．则在此圆锥的侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 1B. 2C. 2D. π 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知几何体的直观图为圆锥，则圆锥的侧展图如图所示，再根据三视图中的数据，即可得答案；【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥， Q 圆锥的底面周长为122ππ⨯=，∴圆锥侧展图的圆心角为π，由三视图可得，点,A B 在侧展图的位置，如图所示，Q 1OA OB ==，OA OB ⊥，∴2AB =.故选：B.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离，考查空间想象能力、运算求解能力.8.在直角ABC V 中，90A =︒，6AB =，8AC =，D 是ABC V 的内心，则BD =u u u r（ ） A. 2134AB AC -+u u u r u u u r B. 2134AB AC -u u u r u u u r C. 2133AB AC -+u u u r u u u r D. 2133AB AC -u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】根据图形的特点建立直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用平面向量基本定理的坐标运算，即可得答案；【详解】以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则(6,0)B ，(0,8)C ，Q 90A =︒，∴10BC =，设内切圆的半径为r ，则11(6810)68222r r ⋅++⋅=⋅⋅⇒=， ∴(2,2)D ，∴(6,0),(0,8),(4,2)AB AC BD ===-u u u r u u u r u u u r ， 设BD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴2,46,328,1,4x x y y ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∴2134BD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、三角形的内切圆半径求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；③()f x 的最大值为2；④()f x 的周期为2π． 其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②B. ①④C. ①③④D. ②③④ 【答案】B【解析】【分析】对①，根据偶函数定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.【详解】对①，Q 函数的定义域为R 关于原点对称，且()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，故①正确； 对②，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos f x x x =+，则'()cos sin f x x x =-，Q '()0f x ≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不恒成立，∴()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数错误，故②错误； 对③，若()f x 的最大值为2，则cos 1,sin 1x x ==，显然不可能同时取到，故③错误；利用排除法，可选排除选项ACD.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意排除法的运用.10.已知点()1,2M ，点P 在抛物线28y x =上运动，点Q 在圆()2221x y -+=上运动，则PM PQ +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】 先根据圆外一点到圆上一点距离的最小值得PM PQ PM PF r +≥+-，再利用抛物线的定义，即可得答案；【详解】如图所示，过P 作准线的垂线交于N ， Q 11PM PQ PM PF r PM PF PM PN +≥+-=+-=+-，∴当,,P M N 三点共线时，PM PN +取得最小值3， ∴PM PQ +的最小值为2.故选：A.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值、抛物线的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意线段之间转换的应用.11.在四面体ABCD 中，2AB CD ==，5AC BD ==7AD BC ==α同时与直线AB 、直线CD 平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ） A. 338 B. 32 C. 538 D. 38【答案】B【解析】【分析】根据题意可得截面为平行四边形，求出异面直线,AB CD 所成的角，再代入三角形的面积公式，利用基本不等式可求得面积的最值.【详解】如图所示，在四面体ABCD 中，截面为EFGH ，由线面平行的性质定理可得//,////AB EF AB HG EF HG ⇒，同理可得：//EH FG ；∴四边形EFGH 为平行四边形；当,,,E F G H 分别为边的棱的中点时， Q 2222211(2)2()4AE BC AB AC AE +=+⇒=， Q G 为AD 中点，AE DE =，∴EG AD ⊥， ∴22117144EG AE AG =-=-=， Q 1EF FG ==，∴3EFG π∠=；设CF x =，则5EF x EF x AB AC =⇒=，5(5)5FG x FG x CD AC -=⇒=-， ∴334533(5)555x x S EF FG x x ⎛⎫+-=⋅⋅=⋅-⋅≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当52x =， ∴多边形截面面积的最大值为3， 故选：B.【点睛】本题考查线面平行性质定理的运用、截面的面积最值、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基本不等式求最值的运用.12.已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论错误的是（ ）A. 122x x +=B. 122x x e e e +>C. 1221ln ln 0x x x x +<D. 122e x x > 【答案】D【解析】【分析】对A ，分别作出函数2y x =-+，x y e =，ln y x =的图象，通过图象观察易得122x x +=成立；利用基本不等式可证B 成立；构造函数()ln x f x x=可证C 成立；构造函数()2ln g x x x =--可得21x e <<再利用函数ln y x x =的单调性，可证得D 不成立；【详解】对A ，如图，作出函数xy e =、ln y x =和y x =的草图，因为A ，B 关于C 对称，且1201x x <<<，因为()1,1C ，所以122x x +=，故A 正确；对B ，由基本不等式，121222x x x x e e e e ++≥=，因为12x x ≠，所以等号不成立，故B 正确；对C ，因为21212012x x x x +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，所以12101x x <<<，记()ln x f x x =， 则()21ln x f x x -'=，故01x <<时，()0f x '>，所以()ln x f x x=在()0,1上单调递增，所以()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1222121lnln ln 1x x x x x x <=-，即1221ln ln 0x x x x +<，故C 正确； 对D ，记()2ln g x x x =--，则()110g =>，132022g e e e ==<，则21x e <<()1222222ln x x x x x x =-=，易知ln y x x =在()1,e 上单调递增，故1222ln e x x x x e e =<=，故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且92n n S a =-，则3a =________． 【答案】43 【解析】【分析】根据递推关系令1,2,3n n n ===，即可求得3a 的值.【详解】当1n =时，1111923S a a a =-=⇒=，当2n =时，22122922S a a a a =-=+⇒=，当3n =时，3312334923S a a a a a =-=++⇒=， 故答案为：43. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.14.()6112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．（用数字作答） 【答案】128-【解析】【分析】 利用二项式定理求出612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项公式，再根据r 的取值，即可得答案； 【详解】Q 612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式61612(),0,,6r r r r T C r x -+==L 当0r =和1r =时，可得展开式中常数项为06156622128C C -=-， 故答案为：128-.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题. 15.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()2f x f x +-=，且当0x >时，()221f x x x =--+．若()234f m -≤，则实数m 的取值范围是________．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】由题意得函数()f x 关于(0,1)呈中心对称，由0x >的解析式可得函数在(0,)+∞单调递减，并求出()f x 的解析式，可得(1)4f -=，从而得到关于m 的不等式，即可得答案.【详解】Q ()()2f x f x +-=，∴()f x 关于(0,1)中心对称，当0x <时，设(,)x y 为图象上任意一点，则(,)x y 关于(0,1)对称点为(,2)x y --， ∴222()2()121y x x y x x -=----+⇒=-+，()()2f x f x +-=中，当0x =时，(0)1f =，∴2221,0,()1,0,21,0,x x x f x x x x x ⎧--+>⎪==⎨⎪-+<⎩所以()f x 在R 上单调递减，且(1)4f -=，∴()()23423(1)231f m f m f m -≤⇔-≤-⇔-≥-，解得m 1≥，故答案为：[)1,+∞.【点睛】本题考查函数的性质、利用函数的单调性解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且OP =，点M 满足12F M MP =u u u u r u u u r ，20OP MF ⋅=u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为________．【答案】2【解析】【分析】取1PF 另一三等分点N ，则有2//ON MF ，又M 是PN 中点，则有Q 是OP 中点，再由平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和，列出关于,a c 的方程，即可得答案；【详解】因为点M 满足12F M MP =u u u u r u u u r ，所以M 是1PF 一个三等分点，取1PF 另一三等分点N ，则有2//ON MF ，又M 是PN 中点，则有Q 是OP 中点，因为220OP MF OP MF FQ OP ⋅=⇒⊥⇒⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 所以22PF OF c ==，则12PF a c =+，Q 由平行四边形对角线平方和等于四边的平方和， ∴22221212224PF PF F F PO +=+，∴22222(2)2(2)46a c c c a ++=+⋅，化简得2e =．故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何知识的运用.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cossin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若6A π=，AB 边上的中线27CM =，求ABC V 的面积．【答案】（1）23B π=（2）43【解析】【分析】 （1）由正弦定理可得sin cossin sin 2A C A B A +=，再利用诱导公式和倍角公式，求得23B π=，即可得答案； （2）利用余弦定理求出4a =，再代入三角形的面积公式，即可得答案；【详解】（1）依题设及正弦定理可得，sin cossin sin 2A C AB A +=， 因为sin 0A >，所以cos cos sin 222A CB B π+-==， 所以sin 2sin cos 222B B B =， 又sin 02B >，所以1cos 22B =， 又022B π<<，所以23B π=，即23B π=. （2）因为23B π=，6A π=， 所以6C A B ππ=--=，故ABC V 为等腰三角形． 则c a =，2a BM =在MBC △中由余弦定理可得，2222cos MC BM BC BM BC B =+-⋅⋅， 即()2222272cos 223a a a a π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得4a =， 所以113sin 4443222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=V .【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.18.如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，E 、F 分别为AD ，BC 的中点．以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =．（1）求证：AF ⊥平面NEB ；（2）若3BE =N BE M --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）22． 【解析】【分析】 （1）记AF BE O =I ，连接NO ，证明,,AF BE AF NO ⊥⊥即可证明结论；（2）先证明NO ⊥平面ABFE ，再以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE 的法向量()0,1,1a =r ，平面NBE 的一个法向量()6,0OA =u u u r ，代入向量的夹角公式，即可求得二面角N BE M --的余弦值．【详解】（1）证明：记AF BE O =I ，连接NO ，可知四边形ABFE 是菱形，所以AF BE ⊥，且O 为AF ，BE 的中点，又NF NA =，所以AF NO ⊥，又因为NO BE O =I ，NO ，BE ⊂平面NEB ，所以AF ⊥平面NEB .（2）因为23BE =，所以3EO =，23NF =，所以226FO EF EO =-=， 所以226NO NF FO =-=，所以2229NO EO NE +==，所以NO BE ⊥，又由（1）可知：NO AF ⊥，且AF BE O =I ，AF ，BE ⊂平面ABFE ，所以NO ⊥平面ABFE ，以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,6,0A ，()3,0,0B -，()3,0,0E，()0,6,0F -，()0,0,6N ，Q OM ON NM ON AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ()()0,0,63,6,0=+--()3,6,6=--所以()3,6,6M --，所以()0,6,6BM =-u u u u r ，()23,0,0BE =u u u r ， 设(),,a x y z =r是平面MBE 的法向量，则 0660000230y z x a BM y z a BE x ⎧⎧-+==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩u u u u v v u u u v v ，取1y =，得()0,1,1a =r ， 又平面NBE 的一个法向量为()0,6,0OA =u u u r ， 所以62cos ,226a OA a OA a OA⋅===⨯⋅u u u r r u u u r r u u u r r ， 所以二面角N BE M --的余弦值为22．【点睛】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等.19.已知椭圆22:12x C y +=，A 为C 的上顶点，过A 的直线l 与C 交于另一点B ，与x 轴交于点D ，O 点为坐标原点．（1）若2AB =，求l 的方程； （2）已知P 为AB 的中点，y 轴上是否存在定点Q ，使得0OP DQ ⋅=u u u r u u u r ？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）:12l y x =±+（2）存在()0,2Q 【解析】【分析】（1）对直线的斜率进行讨论，当斜率不存在时显然不满足，当直线斜率存在时，设出直线方程，代入弦长公式求出斜率的值，即可得答案；（2）利用中点坐标公式求得2221,2121k P k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据0OP DQ ⋅=u u u r u u u r 求出，DQ 的方程，即可得到定点坐标.【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，:0l x =，2AB =，舍去；②当直线的斜率存在时，:1l y kx =+，0k ≠， 联立方程22122y kx x y ⎧=+⎨+=⎩，化简得()222140k x kx ++=， 解得0x =或2421k x k -=+，所以222412,2121k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以240212k AB k -=-=+，化简得4244150k k +-=，解得232k =或252k =-（舍去），即k =所以:1l y x =+.（2）①:1l y kx =+，由（1）得2221,2121k P k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，1,0D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以12OP k k=-，又因为0OP DQ ⋅=u u u r u u u r ，所以OP DQ ⊥，所以2DQ k k =， 所以1:222DQ l y k x kx k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 即存在定点()0,2Q 满足条件．②:0l x =，则O ，P 重合，()0,2Q 也满足条件综上，存在()0,2Q 满足条件．【点睛】本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.20.小明和爸爸玩亲子游戏，规则如下：袋中装有3个大小相同的球，1个白球，2个红球，每次摸出一个球，记下颜色后放回，若摸出白球，则下一次由原摸球人继续摸球；若摸出红球，则下一次由对方摸球，规定摸球m 次，最后一次由谁摸球就算谁获胜．第一次由小明摸球．（1）求前3次摸球中小明恰好摸2次的概率；（2）设第n 次()n m ≤由小明摸球的概率为n P ，则11P =．（ⅰ）求4P ；（ⅱ）在19m =与20m =之中选其一，小明应选哪个？（只写结果，不必说明理由！）【答案】（1）23（2）（ⅰ）1327（ⅱ）选19次． 【解析】【分析】（1）设事件A ={前3次摸球中小明恰好摸2次球}，事件i B ={第i 次由小明摸球}，利用相互独立事件的概率计算，即可得答案；（2）（ⅰ）第4次由小明摸球有4种情况，分别计算概率，即可得到4P 的值：（ⅱ）由（ⅰ），猜测192012P P >>，所以选19次. 【详解】（1）设事件A ={前3次摸球中小明恰好摸2次球}，事件i B ={第i 次由小明摸球}，所以()()()()1231231231231222233333P A P B B B B B B P B B B P B B B =+=+=⨯+⨯=. （2）第4次由小明摸球有以下情况：则4,1111133327P =⨯⨯=， 则4,2122433327P =⨯⨯=， 则4,3221433327P =⨯⨯=， 则4,4212433327P =⨯⨯=， 所以44,14,24,34,41327P P P P P =+++=. （ⅱ）由（ⅰ），猜测192012P P >>，所以选19次. 【点睛】本题考查概率的性质和概率与数列的综合应用等知识；考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算素养；考查统计与概率、或然与必然思想等.21.已知函数()ln 1f x a x x =+-，()31g x x =-． （1）若直线:1l y x =-+与曲线()y f x =相切，求实数a 的值；（2）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）2a =-．（2）当1a ≥-时，()h x 有1个零点；当1a <-时，()h x 有2个零点．【解析】【分析】（1）设切点()00,P x y 利用切点既在曲线上又在切线上，导数的几何意义，可得方程组0011,ln 11,a x a x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩消去0x 得ln 10222a a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭（*），利用导数解方程，即可得答案； （2）对x 分三种情况考虑，即01x <<、1x =、1x >，可得01x <<时无零点，1x =时一个零点，1x >时，()0g x >，()h x 的零点即为()f x 的零点，再利用零点存在定理，即可得答案；【详解】（1）依题意，()1a f x x'=+， 则曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程为()0001a y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 又000ln 1y a x x =+-，代入整理得001ln 1a y x a x a x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，此直线与:1l y x =-+重合，得0011,ln 11,a x a x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩消去0x 得ln 10222a a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭（*）， 记()ln 1r x x x x =-+-，则()ln r x x '=-，当01x <<时，()0r x '>，()r x 单调递增；当1x >时，()0r x '<，()r x 单调递减；所以()()10r x r ≤=，当且仅当1x =时取等号．由（*）式可知02a r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12a -=，即2a =-． （2）①当01x <<时，()310g x x =-<，所以()()0h x g x ≤<，无零点，②当1x =时，()()110f g ==，从而()10h =，故1x =为()h x 的一个零点，③当1x >时，()0g x >，则()h x 的零点即为()f x 的零点，令()10a x a f x x x+=+=='，得x a =-， （ⅰ）若1a -≤，即1a ≥-时，()0x a f x x +'=>， 从而()f x 在()1,+∞上单调递增，进而()()10f x f >=，又()()10g x g >=，所以()0h x >，此时()h x 在()1,+∞上无零点.（ⅱ）若1a ->，即1a <-时，因为()f x 在()1,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，因为()10f =，()()10f a f -<=，故()f x 在()1,a -上无零点.另外，由（1）可知()110r r x ⎛⎫≤=⎪⎝⎭恒成立，即ln 1x x ≤-对0x >恒成立， 则()()()2ln 42ln 2221a a a =-≤--，所以()()()22224ln 44122141210f a a a a a a a a =+-≥⨯--+-=-->，故存在()20,4x a a ∈-，进而存在()0,x a ∈-+∞，使得()00f x =，即()00h x =， 此时()h x 在()1,+∞上存在唯一零点.综上可得，当1a ≥-时，()h x 有1个零点；当1a <-时，()h x 有2个零点．【点睛】本题考查函数的单调性、导数几何意义及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x =-，曲线C 的方程为22(1)1x y -+=，动点P 到原点O 的距离与到l 的距离相等．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程和P 点轨迹的极坐标方程；（2）若Q 是曲线C 上一点，且4OP OQ =u u u r u u u r ，求||OP ．【答案】（1）2cos ρθ=，21cos ρθ=-.（2）4 【解析】 【分析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，代入圆的方程2220x y x +-=，即可得到圆的极坐标方程；对点P 在y 轴右侧时，P 在y 轴，y 轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到21cos ρθ=-； （2）因为4OP OQ =u u u r u u u r，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=，求出cos θ的值，即可得答案； 【详解】（1）由22(1)1x y -+=得，2220x y x +-=.因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2cos ρθ=，即为C 的极坐标方程. 当P 在y 轴右侧时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，作y 轴的垂线，垂足为N ，设l 与x 轴的交点为R ， 因为点P 到原点距离与到l 距离相等，所以||||||||||OP PN MR OR OM ===+.在RT OPM V 中，||||cos cos OM OP θρθ==，所以2cos ρρθ=+.因为0θ≠，所以21cos ρθ=-. 当P 在y 轴或y 轴左侧时，满足21cos ρθ=-. 综上，P 点轨迹的极坐标方程为21cos ρθ=-. （2）因为4OP OQ =u u u r u u u r ，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=.又122,2cos 1cos ρρθθ==-，所以28cos 1cos θθ=-， 解得1cos 2θ=，所以2||4112OP ==-. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()f x x a x b x c =+++++．（1）若a ，b ，0c >，()01f =，证明：13ab bc ac ++≤； （2）若1a b ==，对于任意的(,2]x ∈-∞-，()4f x ≥恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）0c ≤或4c ≥【解析】【分析】（1）由已知得()01f a b c =++=，两边平方再利用基本不等式，即可得答案；（2）对于任意的(],2x ∈-∞-，()4f x ≥恒成立，取()24f -≥得到c 的范围，进而验证0c ≤或4c ≥符合题意.【详解】（1）由已知得，()01f a b c a b c =++-=++=，所以()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ ()()()22222212222a b b c a c ab bc ac ⎡⎤=++++++++⎣⎦ ()12222222ab bc ac ab bc ac ≥+++++ ()3ab bc ac =++ . 所以13ab bc ac ++≤. （2）当1a b ==时，()21f x x x c =+++，因为对于任意的(],2x ∈-∞-，()4f x ≥恒成立，所以()2224f c -=+-+≥，解得0c ≤或4c ≥，①当0c ≤时，()()2132f x x x c x c =+++=-++在(],2x ∈-∞-为减函数，所以()()min 244f x f c =-=-+≥，即0c ≤，②当4c ≥时，()()2,22132,x c c x f x x x c x c x c ⎧--+-<≤-⎪=+++=⎨-++≤-⎪⎩在(],2x ∈-∞-为减函数， 所以()()min 24f x f c =-=≥，即4c ≥，综上所述，0c ≤或4c ≥.【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法．。