哈工大材料力学杆件的强度与刚度计算分解
强度和刚度的计算公式
强度和刚度的计算公式强度和刚度是材料力学性能的两个重要指标，用于评估材料在受力作用下的变形和破坏性能。
强度指的是材料抵抗外力作用下发生破坏时所能承受的最大应力，常用于衡量材料的抗拉强度、抗压强度、抗弯强度等。
刚度指的是在给定应力下材料的变形程度，常用于表征材料的刚性和变形能力。
本文将介绍强度和刚度的计算公式和相关知识。
不同材料和应力状态下的强度计算公式有所不同，下面将分别介绍常见的三种情况。
1.抗拉强度（拉伸强度）抗拉强度是材料在受拉力作用下发生破坏时所能承受的最大应力。
计算公式为：σt=F/A其中，σt表示抗拉强度（拉伸强度），F表示施加在材料上的拉力，A表示材料的横截面积。
2.抗压强度抗压强度是材料在受压力作用下发生破坏时所能承受的最大应力。
计算公式为：σc=F/A其中，σc表示抗压强度，F表示施加在材料上的压力，A表示材料的横截面积。
3.抗弯强度抗弯强度是材料在受弯矩作用下发生破坏时所能承受的最大应力。
计算公式为：σb=M/S其中，σb表示抗弯强度，M表示施加在材料上的弯矩，S表示材料的截面模数。
刚度可以通过材料的弹性模量和几何参数来计算，下面介绍两个刚度的计算公式。
1.弯曲刚度弯曲刚度是指在给定弯矩作用下，材料发生弯曲时所产生的刚度。
计算公式为：EI=M/δ其中，EI表示弯曲刚度，M表示施加在材料上的弯矩，δ表示材料的弯曲变形。
2.剪切刚度剪切刚度是指在给定剪切力作用下，材料发生剪切变形时所产生的刚度。
计算公式为：G=τ/γ其中，G表示剪切刚度，τ表示施加在材料上的剪切力，γ表示材料的剪切应变。
以上是强度和刚度的计算公式的介绍，不同材料和材料状态下的计算公式可能略有差异。
同时，需要注意的是，材料的强度和刚度还受到其他因素的影响，例如温度、湿度、应力速率等。
因此，在实际计算中要综合考虑这些因素，以准确评估材料的强度和刚度。
第四章 杆件的强度与刚度
根据均匀连续性假设，横截面m—m上将有连续分 布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词
用来代表分布内力的合力(力或力偶)。现要求的内力
就是图(b)中的合力FN。因左段处于平衡状态，故列出
平衡方程。 ∑X ＝ 0 得 FN － F ＝ 0
F N＝ F
这种假想地将构件截开成两部分，从而显示并求
AB
FN1 50 103 N 6 0 . 87 10 Pa 2 -6 2 AAB 240 10 m 0.87MPa
BC
FN2 150103 N 6 1.110 Pa 2 -6 2 ABC 370 10 m 1.1MPa
可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面 上，其值为
ζmax＝1.1MPa（压） ●以后我们称应力较大的点为危险点，例如 本题中柱下段横截面上各点。
●如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的 最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直 杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下， 应加以比较后确定。
4.1.4 拉压杆的变形
杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变形是 沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形；与此同时， 垂直于轴线方向的横向尺寸也有所缩小或增大，称为横
M点处的切应力： = psin
应力的常用单位为Pa（帕），1Pa=1 N/m2。
工程实际中常采用帕的倍数单位：kPa（千帕）、
MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其关系为 1 kPa= 1×103Pa 1MPa= 1×106 Pa 1GPa= 1×109 Pa
2. 拉压杆横截面上的正应力
因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以 横截面上只有正应力ζ。 由于横截面上正应力的合力等于轴力，因此欲计
力学与结构—杆件的应力、强度和刚度
【例4.3】 矩形截面尺寸如图4.6所示。试计算矩形截面对形心轴z、y的惯性矩、 惯性半径、惯性积和抗弯截面模量。
3.11
第4章 杆件的应力、强度和刚度 截面的几何性质
解: (1) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩。取平行于z轴的微面积dA，
dA到z轴的距离为y，则
dA bdy
Iz
y2dA
微面积dA与坐标原点O的距离ρ的平方的乘积ρ2dA称为微面积dA对坐标原点O的 极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为
3.7
第4章 杆件的应力、强度和刚度 截面的几何性质
I
2dA
A
由于存在几何关系： 2 z2 y2
(4-4)
所以
I
2dA
A
z2dA
A
A y2dA Iz I y
解: 取坐标zoy，因为y为截面的对称轴，所以形心必在y轴上，
即。故zc 只 需0 确定yc。 该截面可视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组合而成。
矩形Ⅰ的面积 矩形Ⅱ的面积
A1
A2
8 1.5 12cm2
110 10cm2
，形心纵坐标 ，形心纵坐标
yc1 1 8 / 2 yc2 0.5cm
5cm 。
3.3
Sy
A dSy
zdA
A
第4章 杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内 力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模 量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆 件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。
材料力学-杆件强度计算
x x
Iz Iy
tan
12 1
从式(12-1’)可看出，只要 Iz I y ，则 ，即荷载作
用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲与平面弯曲的区别之一。
对于圆截面，正方形截面及正多边形，形心主惯性矩Iz=Iy， 此时 ，说明是平面弯曲，荷载作用面与中性轴垂直。
b. 强度条件
max
材料力学
组合变形时杆件的强度计算
解组合变形的一般步骤（见框图）
一、斜弯曲
（一）平面弯曲与斜弯曲的区分
平面弯曲： ① 外力作用平面必须通过截面的弯曲中心（S）。 ② 外力作用平面必须通过或平行截面的任一主形心惯性平面。
斜弯曲： ① 外力作用平面必须通过截面的弯曲中心（S）。 ② 外力作用平面不通过也不平行截面的任一主形心惯性平面。 ③ 外力作用平面与中性轴不垂直。
max
min
N A
My Wy
Mz Wz
12 5
例2 构件受偏心压力如图示，已知P=100KN, a=0.2m, b=0.4m, ey=0.05m, ez=0.2m, 5MPa, 10MPa ，试确定中性 轴位置并校核构件的强度。
解（一）外力简化（见图）
P 100KN
ba
b2 12
0.0133m 2
ay
iz2 ey
0.0667m
az
i
2 y
ez
0.0665m
中性轴见图示位置
（四）校核危险点的强度
由于各横截面上的内
力相同，可取底截面来计 算。中性轴位置确定后， 离中性轴最远的点就是危 险点。图中A点为拉应力 最大，B点为压应力最大。
max
A
N A
My Wy
二、拉（压）与弯曲、偏心压缩（拉伸）
杆件的刚度计算
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
纯弯曲 1
M EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
非纯弯曲
1
( x )
M ( x ) EI
17
第二节
1
梁的变形及刚度计算
M ( x ) EI
( x )
ds ( x ) d , 且 1
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
x
qL2／50
0 qL2／50
33
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有
尽可能大的弯曲截面系数WZ ,比值WZ／A越大，截面越经
20
第二节
梁的变形及刚度计算
(b )
EI y Pl Px
（3） 积分
EI y Plx
Pl 2
P 2
x C
2
(c )
EIy
x
2
P 6
x Cx D
3
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0
yA 0
y
M
( x ) dx C
M
( x ) dx C dx D
积分常数 或 y 1 M ( x ) dxdx Cx D EI C和D的值可 用数学语言描述：它 通过梁支承处已知的变形条件来 们是弯矩M（x）的函数 确定，这个条件称为边界条件。
材料力学刚度计算公式
材料力学刚度计算公式材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的学科。
而材料的刚度则是材料力学中非常重要的一个参数，它描述了材料对外力的抵抗能力。
在工程设计和材料选择中，刚度的计算是至关重要的，因此我们需要了解材料力学刚度的计算公式。
首先，我们需要了解什么是刚度。
刚度是指材料在受力作用下产生的变形与受力的关系。
通俗地说，刚度就是材料对外力的抵抗能力。
刚度越大，材料在受力作用下的变形就越小，反之亦然。
在材料力学中，刚度通常用弹性模量来描述。
弹性模量是描述材料在受力作用下的弹性变形能力的参数，它是刚度的重要指标之一。
弹性模量的计算公式如下：E = σ/ε。
其中，E为弹性模量，单位为帕斯卡（Pa）；σ为材料受力时的应力，单位为帕斯卡（Pa）；ε为材料受力时的应变，无单位。
除了弹性模量，刚度还可以用切变模量来描述。
切变模量是描述材料在受力作用下的剪切变形能力的参数，它也是刚度的重要指标之一。
切变模量的计算公式如下：G = τ/γ。
其中，G为切变模量，单位为帕斯卡（Pa）；τ为材料受力时的剪切应力，单位为帕斯卡（Pa）；γ为材料受力时的剪切应变，无单位。
在实际工程中，材料的刚度往往需要同时考虑拉伸和剪切的影响，因此我们可以用弹性模量和切变模量来综合描述材料的刚度。
在这种情况下，我们可以使用泊松比来描述材料的刚度。
泊松比是描述材料在受力作用下的体积变形能力的参数，它与弹性模量和切变模量之间存在着数学关系。
泊松比的计算公式如下：ν = -ε_t/ε_l。
其中，ν为泊松比，无单位；ε_t为材料受力时的横向应变，无单位；ε_l为材料受力时的纵向应变，无单位。
综上所述，材料力学刚度的计算公式主要包括弹性模量、切变模量和泊松比。
这些公式可以帮助工程师和科研人员准确地描述材料的刚度特性，为工程设计和材料选择提供重要参考。
因此，我们需要深入理解这些公式的物理意义和数学关系，从而更好地应用于实际工程中。
强度和刚度计算公式
强度和刚度计算公式一、强度的计算公式1.抗拉强度：抗拉强度是指材料在拉伸时能够承受的最大应力，用来表示材料的抗拉能力。
计算公式：抗拉强度=最大拉伸力/材料的横截面积2.抗压强度：抗压强度是指材料在受到压缩力时能够承受的最大应力，用来表示材料的抗压能力。
计算公式：抗压强度=最大压缩力/材料的横截面积3.抗剪强度：抗剪强度是指材料在受到剪切力时能够承受的最大应力，用来表示材料的抗剪能力。
计算公式：抗剪强度=最大剪切力/材料的横截面积4.硬度：硬度是指材料抵抗局部表面压力之能力，常用于描述材料的耐磨性和耐刮擦性能。
计算公式：硬度=施加力/物体的接触面积二、刚度的计算公式刚度是指物体在受力时产生的弹性变形程度，刚度越大，变形程度越小，表明物体越难弯曲或变形。
1.弹性模量：弹性模量是描述材料刚度的重要参数，指的是材料在弹性范围内的应力和应变的比值。
计算公式：弹性模量=应力/应变2.柔度：柔度是指物体的变形能力，是刚度的倒数。
计算公式：柔度=1/刚度三、应用举例1.工程材料选择：根据不同的工程应用需求，可以对不同材料的强度和刚度进行计算比较，从而选择合适的材料。
2.结构设计：在构建各类结构时，需考虑结构的强度和刚度，通过计算公式可以确定合理的结构尺寸和材料使用。
3.建筑材料评估：对于已有建筑材料，可以通过强度和刚度的计算公式评估其是否符合使用要求，以及进行材料性能对比。
4.机械设计：在机械设计中，强度和刚度是制定零件尺寸和材料选择的重要依据。
综上所述，强度和刚度的计算公式及其应用在工程和材料科学中具有重要意义。
工程师和科研人员需要根据具体需求灵活应用这些公式，确保所设计和使用的材料和结构具备足够的强度和刚度。
强度和刚度计算公式
强度和刚度计算公式强度和刚度是两个常用的工程术语，它们分别用于描述材料的抵抗力和刚性。
强度指材料抵抗外部应力导致的变形和破坏的能力，而刚度则是材料受力后的变形程度。
在工程设计和结构计算中，需要根据材料的强度和刚度来确定材料是否适用于特定的应用场景。
强度的计算公式：强度是指材料抗力的大小，通常使用应力来描述。
应力是单位面积上的力，用公式表示为：σ=F/A其中，σ表示应力，F表示施加在材料上的力，A表示材料的横截面积。
应力的单位通常是帕斯卡(Pascal)，也可以是兆帕(Megapascal)或牛顿/平方毫米(N/mm²)。
不同类型的材料有不同的强度计算公式。
下面是一些常见的材料的强度计算公式：1.弹性体的强度计算公式：弹性体指的是可以在外力作用下发生弹性变形并恢复原状的材料，如金属、橡胶等。
弹性体的强度可以通过杨氏模量计算，公式为：σ=E*ε其中，σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。
应变是材料在外力作用下发生的相对变化，由材料的形变与原始形状之比计算得出。
2.基本材料的强度计算公式：基本材料一般指混凝土、砖块等非金属材料。
这些材料的强度可通过试验测量得到，通常表示为最大抗压强度或抗拉强度。
公式为：σ=P/A其中，σ表示应力，P表示施加在材料上的力，A表示材料的横截面积。
刚度的计算公式：刚度是指材料在承受力时的变形程度，通常使用应变来描述。
应变是材料单位长度上的变化量，用公式表示为：ε=δL/L₀其中，ε表示应变，δL表示单位长度的变化量，L₀表示初始长度。
刚度的计算公式与强度计算公式有所不同，由于刚度与材料的物理性质和各向异性有关，因此无法用简单的公式表示。
在实际计算中，通常使用杨氏模量来表示材料的刚度。
杨氏模量可通过试验测量得到，是衡量材料刚度的重要指标。
杨氏模量的公式为：E=σ/ε其中，E表示杨氏模量，σ表示应力，ε表示应变。
总结：强度和刚度是两个重要的工程术语，用于描述材料的力学性能。
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FN2
B
F
3）各杆应满足强度条件
N1
F
A1 sin
, N 2
A2
F
tan
F [ ], F [ ]
A1 sin
A2 tan
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
A
FN1
例12-3 已知①,②杆的材料相同,
① FN2
B
许用应力为[σ],CB杆长为l。强问： 角为多大时，结构的重量最轻？
1）校核强度 2）设计截面
max
FN max A
A
FN max
3）确定载荷
FNmax A
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
B
A 例12-1 已知钢杆AB为圆杆,直径d=12mm,
[σ]钢=160MPa,木杆AC为正方形,边长为
a=80mm,[σ]木=10MPa,F=36kN.
作业：11-1，11-3，11-11 作业：12-1，12-3，12-4，12-7
060531
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算
例12-5 图示外伸梁， [σ] =170MPa， [τ] =100MPa 。截面为22a 工字钢。
A [σ]钢=160MPa,木杆AC为正方形,边长为
a=80mm,[σ]木=10MPa,F=36kN。
F
试校核支架强度.
解: 1.内力分析 2.强度条件
C
FN AB
FN AC
3.重新选择钢杆截面
[ A]钢
d2
4
FN AB
[ ]钢
F d 4FNAB ＝ 4 27 103 ＝14.6mm [ ]钢 160106
＝0.92mm,
取d
10mm
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
A
例12-3 已知①,②杆的材料相同,
①
许用应力为[σ],CB杆长为l。强问：
角为多大时，结构的重量最轻？
②
B
解：1）求各杆内力，截取结点B
C
l
FN1
F
FN1
F
sin
,
FN 2
F
tan
2）求各杆应力
Tn 7024
780103 120 7024
13325
(马力)
若: G 80GPa,[] 0.5o m 试校核轴的刚度条件： []
T780 103
80109 0.4304
180
0.166 /
m
32
满足刚度要求。
第12章 杆件的强度与刚度计算
F
②
B
解： 3）各杆应满足强度条件
C
l
F
杆长
l
l1 cos ,l2 l
两个杆的总体积为
V F l F l
[ ]sin cos [ ]tan
F [ ], F [ ]
A1 sin
A2 tan
4）在满足强度条件时， 各杆的最小面积为
A1
[
F
] sin
C
FN AB
FN AC
解: 1.内力分析
FNAB 27kN FNAC 45kN ()
2.强度条件
钢 239MPa [ ]钢
F 木 7MPa [ ]木
钢杆不满足强度条件，故结
构不满足强度条件。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
B
例12-1 已知钢杆AB为圆杆,直径d=12mm,
F
试校核支架强度.
解: 1.内力分析
F3 3
C
FN AB
tan
F 4
36 27kN 4
F5 5
FN AB
FN AC
sin
F 4
36 45kN() 4
2.强度条件
F 钢
FN AB
d2 /
4
27 103 4
0.0122
239MPa
FN AC
木
FN AC a2
45103 0.082
7MPa [ ]木
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
B
A
例12-1 已知钢杆AB为圆杆,直径d=12mm,
[σ]钢=160MPa,木杆AC为正方形,边长为
F
a=80mm,[σ]木=10MPa,F=36kN。
试校核支架强度.
F G
RB B
RA
RB
5 2
F
40kN ()
2. 求内力, 作n-n截面。
取左侧为分离体。
RA A
RA
H I nJ
C
FN DI
HI
K
L d
1
MA
0, FNDI
6 F 3 0, FNDI
F 2
8kN
RB 3. 求DI杆直径。
4FNDI ＝
[ ]钢
4 8103 120 106
,
A2
[
F
] tan
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
A
FN1
① FN2
例12-3 已知①,②杆的材料相同,
B
许用应力为[σ],CB杆长为l。强问： 角为多大时，结构的重量最轻？
F
②
B
解： 体积最小时，重量也最小
C
l
F
化简后得
sin2 2cos2 0,
令 dV 0,
d
dV
d
d
d
Fl
[ ]
1
sin cos
1
tan
tan2 2 tan-1 2 54o44'
Fl
[ ]
4cos 2 sin2 2
1 sin2
0
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-3 扭转杆件的强度与刚度计算
例12-4 已知某万吨轮主机至螺旋桨的传动轴的直径D=430mm,轴
的最大切应力不能超过50MPa。
问：当转速n=120rpm时，轴所传递的功率是多少马力？
解：由题意轴能承受的最大扭矩为
T
Wt
50 106
16
4303 109
780KN
m
而
Mx
T
7024
Ps n
Ps
取d＝15mm
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
A
F C
F EFF
D
F
例12-2 已知钢木桁架（屋架）如图。
F G
4m B
F=16kN，钢杆：[σ]钢=120MPa,
试求钢拉杆DI杆的直径。
HI JKL
解：1. 求支反力
RA A
3m6 18m
F F nD C
E
F
F F
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度条件与刚度条件
强度条件
y
[ ]
刚度条件
[ ]
x xy ri [ ] (i 1, 2, 3, 4)
[]
Δ为广义位移
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆的强度计算
[ ]
强度条件可以解决以下问题：