托马斯微积分课件8.6 Power Series
Chapter 8 Infinite Series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
上页
下页
返回
结束
Example 2. A Geometric Series
Solution.
From the aspect of approximation.
目录 上页 下页 返回 结束
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
2 n
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. A Geometric Series
Analysis.
1) As a formula for the sum of the right series. 2) From the aspect of approximation.
目录
n 1
n 1
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例4. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
Apply the ratio test,
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. If If If the original series convergence. the original series divergence.
S ( x)
1,
x0
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例5.
的和函数 .
解: 由Example 3可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
故有 因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !
S ( x)
e x S ( x) 0
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
Apply the ratio test,
unless x = 0.
目录
上页
下页
返回
结束Βιβλιοθήκη 目录上页下页返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
x
x
(0 x 1 及
机动 目录 目录 上页 上页
)
下页 下页 返回 返回 结束 结束
S ( x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) lim 1, x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
x [1, 0) (0 ,1)
目录 上页 下页 返回 结束
8.6
Power series (幂级数)
目录
上页
下页
返回
结束
Consider the Geometric series
x 1.
1 We obtain its sum function as 1 x.
That is to say,
1 1 x x x , x 1. 1 x
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. If If the original series convergence. the original series divergence.
If
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. We consider the series
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
例3.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n
x x 1 x
S ( x) C e x
x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
机动 目录 目录 上页 上页 下页 下页 返回 返回 结束 结束
Exercises
P668 4, 5, 12, 21, 38, 39, 42, 38, 39.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
3） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
Therefore, for any x in real, the series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
4） Solution. We consider the series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
上页
下页
返回
结束
Example 2. A Geometric Series
Solution.
From the aspect of approximation.
目录 上页 下页 返回 结束
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
2 n
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. A Geometric Series
Analysis.
1) As a formula for the sum of the right series. 2) From the aspect of approximation.
目录
n 1
n 1
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例4. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
Apply the ratio test,
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. If If If the original series convergence. the original series divergence.
S ( x)
1,
x0
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例5.
的和函数 .
解: 由Example 3可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
故有 因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !
S ( x)
e x S ( x) 0
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
Apply the ratio test,
unless x = 0.
目录
上页
下页
返回
结束Βιβλιοθήκη 目录上页下页返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
x
x
(0 x 1 及
机动 目录 目录 上页 上页
)
下页 下页 返回 返回 结束 结束
S ( x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) lim 1, x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
x [1, 0) (0 ,1)
目录 上页 下页 返回 结束
8.6
Power series (幂级数)
目录
上页
下页
返回
结束
Consider the Geometric series
x 1.
1 We obtain its sum function as 1 x.
That is to say,
1 1 x x x , x 1. 1 x
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. If If the original series convergence. the original series divergence.
If
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. We consider the series
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
例3.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n
x x 1 x
S ( x) C e x
x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
机动 目录 目录 上页 上页 下页 下页 返回 返回 结束 结束
Exercises
P668 4, 5, 12, 21, 38, 39, 42, 38, 39.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
3） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
Therefore, for any x in real, the series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
4） Solution. We consider the series
合集下载
微积分基本公式PPT学习教案
第12页/共62页
例9. 设 f (x, y) xy et2 dt, 求 0
x y
2 f x2
2 2 f xy
y x
2 f y 2
.
解：令 (s) s et2 dt, 则 '(s) es2 , f (x, y) (xy) 0
于是
f (xy) '(xy) xy' ex2y2 y
e x x2 y2
2x3 yex2y2
最终结果 2ex2 y2
第14页/共62页
例5 .
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
x3
0 sin t 2dt '
lim 2x
x0 (x3 )'
lim
x0
s in(2 x ) 2 3x 2
(2 x )'
2 3
lim
x0
sin 4x x2
2
8 3
b( x)
f (t)dt
的导数 F( x) 为
a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
dx a( x)
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证 F( x) 0 b( x) f (t)dt
a(x) 0
b( x) f (t )dt
a( x)
f (t)dt,
202
1
1 1 (2 2 1 1) 1
2
2
第20页/共62页
例10 计算
2
f (x)dx, 其中
0
2x,
f
(
x)
5,
0 x1 1 x 2
解
2
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
托马斯微积分
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 9
Figure 2.40: Example 3 shows how to find equations for the tangent and normal to the curve at (2, 4).
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 8
Figure 2.39: The graph of y2 = x2 + sin xy in Example 2. The example shows how to find slopes on this implicitly defined curve.
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
Figure 2.40: Example 3 shows how to find equations for the tangent and normal to the curve at (2, 4).
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 8
Figure 2.39: The graph of y2 = x2 + sin xy in Example 2. The example shows how to find slopes on this implicitly defined curve.
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
微分方程差分方程(英文版)(托马斯微积分)
第10页
嘉兴学院
6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第11页
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
嘉兴学院
6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第12页
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
嘉兴学院
6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第21页
定义2
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 , 的方程，称为差分方程.
形式：F ( x, yx , yx1, , yxn ) 0 或G( x, yx , yx1, , yxn ) 0 (n 1)
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解,
那么
yx
Yx
y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
嘉兴学院
微积分教学资料——chapter8.1,8.2-文档资料
For example:
(1){1}: 1, 1 , 1 , 1 , n 23 n
(2){ (1)n1 1}: 1, 1 , 1 ,(1)n1 1 ,
n
23
n
(3){n (1)n }: 0, 3 , 2 , 5 n (1)n ,
n
234
n
(4){8}: 8,8,8,88
1 lim 0 n n 2
Theorem:
Example:
Find lim n3 n n n3 2n2 1
Solution:
1
lim
n3 n
1
lim
n2
1
n n3 2n2 1
n
1
2
1
n n3
The Sandwich Theorem for Sequences 'sænwidʒ]
n2
We should choose
N
1
2.Showing that this N works.
given 0, Let N 1
If
then
1 n2
0
n N,
Therefore , by the definition of a limit,
2
2
example
Find a formula for the general term an of the sequence assuming that the pattern of the first few terms continues.
1, 2 , 4 , 8 , 3 9 27
托马斯微积分 几何与多元微积分B上 - 副本
14.
2 2x 2x 2x csc , 2 csc ；13. e xy ( xy y 2 1) , e xy ( xy x 2 1) ； y y y y
； 15. 4
2 2z z x 2 x2 y ln y , x ( x 1 ) y , 2 2 x y 2z y x 1 ( x ln y 1) . xy
sin xy 11. lim ； x 0 x y 0
z x z 12.设 z ln tan ,则 ________; _________. x y y z z xy 13.设 z e ( x y ), 则 _______; ________. x y
x2 y2 z 14.曲线 4 ,在点(2,4,5)处的切线与正向 x 轴所成 y 4 的夹角是多少? 2 2 2 z z z x . 15.设 z y ,求 2 , 2 和 xy x y
参考答案
1. 0; 2. (ln 3)/2; 3. 3; 4. ½;5. 2;6. 1/24;
1).理解序列、子序列、有界序列的概念， 以及递归法定义序列。 2). 会判别序列的敛散性, 会求序列极限。
8.3 无穷级数 8.4 非负项级数 8.5交错级数、绝对收敛和条件收敛
1).理解常数项级数的概念、了解收敛级数的性质。 2). 对正项级数、交错级数会判断其敛散性。 3). 对任意项级数会判断绝对收敛与条件收敛。
7、函数 z
y 的定义域是______________. y 8、函数 z arcsin 的定义域是_______________. x y2 2x 9、函数 z 2 的间断点是________________. y 2x
x
2 2x 2x 2x csc , 2 csc ；13. e xy ( xy y 2 1) , e xy ( xy x 2 1) ； y y y y
； 15. 4
2 2z z x 2 x2 y ln y , x ( x 1 ) y , 2 2 x y 2z y x 1 ( x ln y 1) . xy
sin xy 11. lim ； x 0 x y 0
z x z 12.设 z ln tan ,则 ________; _________. x y y z z xy 13.设 z e ( x y ), 则 _______; ________. x y
x2 y2 z 14.曲线 4 ,在点(2,4,5)处的切线与正向 x 轴所成 y 4 的夹角是多少? 2 2 2 z z z x . 15.设 z y ,求 2 , 2 和 xy x y
参考答案
1. 0; 2. (ln 3)/2; 3. 3; 4. ½;5. 2;6. 1/24;
1).理解序列、子序列、有界序列的概念， 以及递归法定义序列。 2). 会判别序列的敛散性, 会求序列极限。
8.3 无穷级数 8.4 非负项级数 8.5交错级数、绝对收敛和条件收敛
1).理解常数项级数的概念、了解收敛级数的性质。 2). 对正项级数、交错级数会判断其敛散性。 3). 对任意项级数会判断绝对收敛与条件收敛。
7、函数 z
y 的定义域是______________. y 8、函数 z arcsin 的定义域是_______________. x y2 2x 9、函数 z 2 的间断点是________________. y 2x
x
微积分教学资料——chapter8.4-PPT精品文档38页
Or diverges:
(1).
1
n1 n(n1)
1
(2).
n1(n1)(n4)
Solution
(1).un
1 n(n1)
1 (n 1)2
1, n1
1
1
n1 n 1
diverges so n1 n(n 1)
diverges
1
(2).un
(n1)(n4)
is convergent.
Example:
Converges Diverges
Note:
Note:
The Comparison Test
proof
(i) let
n
sn ai
i
n
t n bi
i
t bn n 1
Since both series have positive terms,
8.4 Series of Nonnegative Terms
Series of Nonnegative Terms
an,an 0
S1S2 Sn
Corollary of Theorem 5
A seriesanwith nonnegative terms is convergent iff
lim n
n
an
Then
(a)the series converges if 1
(b)the series deverges if 1 or is infinite (c)the test is inconclusivtion:
and therefore converges by the Monotonic
《微积分英文版》课件
Properties: Continuity, differentiation, integrity, etc
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero
《微积分发展简史》PPT课件
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的发展
4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极
值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使 f(a+e)与f(a)逼近,即：
f(a+e)～f(a) 这里所提到的“e”就是后来微积分学当
中的“ x ”
微积分的发展
5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一
出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率
为
．如果是在区间[a,b]上，由[0,b]
上的面积减去[0,a]上的面积,便得到
b
ydx zb za
a
微积分的严格化
自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了 突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然 科学的各个方面，建立了不少以微积分方法 为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方 程、积分方程、变分法等等形成了数学的三 大分支之一的“分析”。微积分应用于几何 开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理 学上，就有了分析力学；于天文上就有了天 体力学等。但是微积分的基础是不牢固的， 尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一 会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人 们对他们的理论的怀疑与批评。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
微积分英文版课件
极限和连续性的关系：极限是连续 的必要条件，但不是充分条件
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
连续性：函数在某点或某区间上的 连续性
极限和连续性的应用：在微积分中， 极限和连续性是解决许多问题的基 础
导数：函数在 某一点的斜率， 表示函数在该
点的变化率
微分：函数在 某一点的增量， 表示函数在该
点的变化量
定义：含有两个未知函数 及其导数的方程
形式：ax^2+bx+c=0
解：通过求解特征方程得 到
应用：广泛应用于物理、 工程等领域
高阶微分方程：含有未知函数及其高阶导数的方程 线性微分方程组：含有未知函数及其导数的线性方程组 求解方法：包括积分法、幂级数法、拉普拉斯变换法等 应用领域：广泛应用于物理、化学、工程等领域
级数的形式
应用：在微积 分、数学分析、 物理等领域有
广泛应用
例子：泰勒级 数在求解微分 方程、积分方 程、傅里叶变 换等方面有重
要应用
感谢您的观看
汇报人：PPT
物理概念：力、速度、加速度、质量、能量等
几何概念：直线、平面、曲线、曲面、体积、面积等
物理和几何的结合：力与运动的关系、力与能量的关系、力与几何形状的关系等
微积分在物理和几何中的应用：微积分在力学、光学、电磁学等领域的应用，以及在几何学、 拓扑学等领域的应用。
微积分基本概念
极限：函数在某点或某区间上的极 限值
微积分在物理中 的应用：微积分 在物理中的应用 广泛，如力学、 电磁学、热力学 等
微积分在工程中 的应用：微积分 在工程中的应用 广泛，如建筑、 机械、电子等
微分方程
定义：含有一个未 知函数和一个未知 函数的导数的方程