托马斯微积分课件7.6 L'Hospital Rule
Solution.
tan xlnsin x lim sin x tan x e xlim 0 x 0
e
cot x x0 cot x csc x lim
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Example 12. Evaluate the limit
Solution.
x
lim x
1x
e
Chapter 7 Integration Techniques, L’Hospital
Rule, and Improper Integrals
7.1 Basic Integration Formulas
7.2 Integration by Parts
7.3 Partial Fractions 7.4 Trigonometric Substitutions 7.5 Integral Tables, CAS, and Monte Carlo Integration 7.6 L’ Hospital Rule
x sin x 1 cos x lim lim x x x 1
In fact, we have
x sin x lim x x
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Consider the limit
where
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Example 6. Evaluate the limit
1 ln x x x lim
e
1 x x lim
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Exercises
P584 5, 6, 16, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 31, 36.
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Consider the limit
where
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Example 4. Evaluate the limit
Solution.
x3 3x 2 lim 3 2 lim x x x x 1 x
lim
x
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Solution.
2 lim x 1 x ln 1 1 x lim x x ln 1 1 x x x
1 x t
t ln 1 t lim t 0 t2
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Consider the limit
7.7 Improper Integrals
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7.6
L’ Hospital Rule
(洛必达法则)
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Consider the limit
where
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Example 1. Evaluate the limit
Solution.
x3 3x 2 lim 3 2 lim x 1 x x x 1 x 1
Solution 1.
2 arctan x lim 2 arctan x x lim x x 1x
lim
x
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Example 6. Evaluate the limit
Solution 2.
x lim 2 arctan x x lim x 1 2 arctan x x
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Example 8. Evaluate the limit
Solution.
1 x sin x 1 lim lim x 0 sin x x x 0 x sin x
sin x lim x 0 2cos x x sin x
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Example 9. Evaluate the limit
1. 2. 3.
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Example 10. Evaluate the limit
Solution.
x 1
lim x
1 x 1
e
1 ln x x 1 x1 lim
e
1 x1 x lim
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Example 11. Evaluate the limit
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Example 7. Evaluate the limit
Solution.
ln x lim x ln x lim n x 0 x 0 x
n
xn lim x 0 n
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Consider the limit
where
or
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lim
x 1
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Example 2. Evaluate the limit
Solution.
1 cos x lim 2 lim x 0 x x x 0
1 cos x sin x cos x lim 2 lim lim x 0 x x x 0 2 x 1 x 0 2
Example 5. Evaluate the limit
Solution.
sec x lim lim x 2 1 tan x x 2
tan x lim x 2 sec x
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Example 6. Evaluate the limit
Solution.
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Example 3. Evaluate the one-sided limit
Solution.
sin x cos x lim 2 lim x 0 x 0 2x x
cos x sin x lim 2 lim x 0 2x x 0 x
sin x lim 2 x 0 x
tan xlnsin x lim sin x tan x e xlim 0 x 0
e
cot x x0 cot x csc x lim
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Example 12. Evaluate the limit
Solution.
x
lim x
1x
e
Chapter 7 Integration Techniques, L’Hospital
Rule, and Improper Integrals
7.1 Basic Integration Formulas
7.2 Integration by Parts
7.3 Partial Fractions 7.4 Trigonometric Substitutions 7.5 Integral Tables, CAS, and Monte Carlo Integration 7.6 L’ Hospital Rule
x sin x 1 cos x lim lim x x x 1
In fact, we have
x sin x lim x x
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Example 6. Evaluate the limit
1 ln x x x lim
e
1 x x lim
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P584 5, 6, 16, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 31, 36.
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where
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Example 4. Evaluate the limit
Solution.
x3 3x 2 lim 3 2 lim x x x x 1 x
lim
x
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Solution.
2 lim x 1 x ln 1 1 x lim x x ln 1 1 x x x
1 x t
t ln 1 t lim t 0 t2
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Consider the limit
7.7 Improper Integrals
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7.6
L’ Hospital Rule
(洛必达法则)
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Example 1. Evaluate the limit
Solution.
x3 3x 2 lim 3 2 lim x 1 x x x 1 x 1
Solution 1.
2 arctan x lim 2 arctan x x lim x x 1x
lim
x
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Example 6. Evaluate the limit
Solution 2.
x lim 2 arctan x x lim x 1 2 arctan x x
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Example 8. Evaluate the limit
Solution.
1 x sin x 1 lim lim x 0 sin x x x 0 x sin x
sin x lim x 0 2cos x x sin x
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Example 9. Evaluate the limit
1. 2. 3.
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Example 10. Evaluate the limit
Solution.
x 1
lim x
1 x 1
e
1 ln x x 1 x1 lim
e
1 x1 x lim
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Example 11. Evaluate the limit
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Example 7. Evaluate the limit
Solution.
ln x lim x ln x lim n x 0 x 0 x
n
xn lim x 0 n
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lim
x 1
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Example 2. Evaluate the limit
Solution.
1 cos x lim 2 lim x 0 x x x 0
1 cos x sin x cos x lim 2 lim lim x 0 x x x 0 2 x 1 x 0 2
Example 5. Evaluate the limit
Solution.
sec x lim lim x 2 1 tan x x 2
tan x lim x 2 sec x
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Example 6. Evaluate the limit
Solution.
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Example 3. Evaluate the one-sided limit
Solution.
sin x cos x lim 2 lim x 0 x 0 2x x
cos x sin x lim 2 lim x 0 2x x 0 x
sin x lim 2 x 0 x
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托马斯微积分第13版第七章答案
(b)
(c)
df dx x 1
2, dx
df 1 x 1
1 2
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CHAPTER 7 TRANSCENDENTAL FUNCTIONS
7.1 INVERSE FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES 1. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 2. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 3. Not one-to-one since (for example) the horizontal line y 2 intersects the graph twice. 4. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 5. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 6. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 7. Not one-to one since the horizontal line y 3 intersects the graph an infinite number of times. 8. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 9. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 10. Not one-to one since (for example) the horizontal line y 1 intersects the graph twice. 11. Domain: 0 x 1, Range: 0 y 12. Domain: x 1, Range: y 0
托马斯微积分课件4.6 Substitution in Definite Integrals
(定积分换元法)
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Proof. Let F denote any antiderivative of f
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Solution 1.
Solution 2.
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Example. Evaluate the integrals
Solution.
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Example. Evaluate the area of the shade region.
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Example. Evaluate the area of the shade region.
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Exercises
P371 1(a), 4(a), 5(a), 6(a), 8(a), 12, 15. P372 19, 24.
Step 2. Select some number in each subinterval, and then obtain many rectangles.
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Step 3. Take the sum of above products.
Step 4. Take the limitation of Riemann sum.
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Example. Evaluate the integrals
托马斯微积分
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 10
Figure 2.43: The balloon in Example 3.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 7
Figure 2.31: sin (x°) oscillates only /180 times as often as sin x oscillates. Its maximum slope is /180. (Example 9)
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 16
Figure 2.43: The balloon in Example 3.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 7
Figure 2.31: sin (x°) oscillates only /180 times as often as sin x oscillates. Its maximum slope is /180. (Example 9)
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 16
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
托马斯微积分课件3.1 Extreme Values of Functions
Chapter 3 Applications of Derivatives
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
f t 8t t 4 4 2 t 3
1. Critical point t 3 2 2. Endpoint t 2,1
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Example 7. Find the absolute maximum and minimum values of on the interval
x0
A Critical Point
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x0
A Critical Point
So, critical points need not give extreme values.
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Example 1.
用输油管把离岸12英里的一座油井和沿岸往下 20英里处的炼油厂连接起来(参见附图)。如果 水下输油管的铺设成本为每英里50000美元， 而陆地输油管的铺设成本为每英里30000美元 。水下和陆地输油管怎么样组合才能使连接费 用最少？
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
f t 8t t 4 4 2 t 3
1. Critical point t 3 2 2. Endpoint t 2,1
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Example 7. Find the absolute maximum and minimum values of on the interval
x0
A Critical Point
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x0
A Critical Point
So, critical points need not give extreme values.
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Example 1.
用输油管把离岸12英里的一座油井和沿岸往下 20英里处的炼油厂连接起来(参见附图)。如果 水下输油管的铺设成本为每英里50000美元， 而陆地输油管的铺设成本为每英里30000美元 。水下和陆地输油管怎么样组合才能使连接费 用最少？
简约清新AIMS积分制管理培训PPT
刘XX
Andykong
通过这两天在群艺听李老师的传业授道以及来自群艺团队的现场分享，更加坚定了我们回到公司，一定要把这么好的方法
杜XX
Andykong
Enterprise Management
企业家学习AIMS积分制感言
Enterprise Management
超过100000家企业的共同选择
通过参加积分制管理落地实操班，3天时间可以掌握全套的方法，并现场制定出企业积分制管理实施方案，学完回去就能实践运用。实操班终身免费复训，另提供入驻企业落地咨询服务。
集团高级执行副总裁，兼北北事业群总裁。2005年3月，北北加入北北任广州研发部总经理，并带领团队将 北北 邮箱建设成为中国最大的邮件服务商，后升任公司副总裁。2012年9月，北北升任集团高级副总裁，全面负责北北、邮箱等产品及团队的管理工作，同时参与北北重大创新项目的管理和评审工作。2014年5月，北北升任集团高级执行副总裁，全面负责北北事业群的管理工作。加入北北之前，北北于1997年独立开发了Beimail，是中国第一代互联网软件开发者。2000年加入博大公司任副总裁，从事企业邮箱领域工作。北北于1994年毕业于华中科技大学电信系，获硕士学位。
Enterprise Management
培训讲师介绍
ceo
当小图
北北浏览器支持不同终端用户快捷上网，手机浏览器自主研发的X5内核在速度、流量节省、稳定性
CEO &am快捷上网，手机浏览器自主研发的X5内核在速度、流量节省、稳定性
Photography
留不住人才
私营企业缺乏留人的砝码，员工想来就来想走就走，剩下老板面对“烂摊子”
无健康的企业文化
传统企业管理只考虑员工“做事”，没有管“做人”，越是能力强的员工在公司越是不好管
Andykong
通过这两天在群艺听李老师的传业授道以及来自群艺团队的现场分享，更加坚定了我们回到公司，一定要把这么好的方法
杜XX
Andykong
Enterprise Management
企业家学习AIMS积分制感言
Enterprise Management
超过100000家企业的共同选择
通过参加积分制管理落地实操班，3天时间可以掌握全套的方法，并现场制定出企业积分制管理实施方案，学完回去就能实践运用。实操班终身免费复训，另提供入驻企业落地咨询服务。
集团高级执行副总裁，兼北北事业群总裁。2005年3月，北北加入北北任广州研发部总经理，并带领团队将 北北 邮箱建设成为中国最大的邮件服务商，后升任公司副总裁。2012年9月，北北升任集团高级副总裁，全面负责北北、邮箱等产品及团队的管理工作，同时参与北北重大创新项目的管理和评审工作。2014年5月，北北升任集团高级执行副总裁，全面负责北北事业群的管理工作。加入北北之前，北北于1997年独立开发了Beimail，是中国第一代互联网软件开发者。2000年加入博大公司任副总裁，从事企业邮箱领域工作。北北于1994年毕业于华中科技大学电信系，获硕士学位。
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培训讲师介绍
ceo
当小图
北北浏览器支持不同终端用户快捷上网，手机浏览器自主研发的X5内核在速度、流量节省、稳定性
CEO &am快捷上网，手机浏览器自主研发的X5内核在速度、流量节省、稳定性
Photography
留不住人才
私营企业缺乏留人的砝码，员工想来就来想走就走，剩下老板面对“烂摊子”
无健康的企业文化
传统企业管理只考虑员工“做事”，没有管“做人”，越是能力强的员工在公司越是不好管
托马斯微积分课件2.6 Implicit Differentiation
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p 1 p q q 1
qy
q 1
y px
p 1
p 1 q 1 y px qy
p x q
p p 1 p q
p x q
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p 1 q
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Exercises
P204 19, 20, 32, 33, 40, 43. P205 46. P206 56.
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2.6
Implicit Differentiation
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2.6.1 Implicitly Defined Functions 2.6.2 Derivatives of Higher Order 2.6.3 Rational Powers of Differentiable Functions
12 x 6 y y y y 0
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2.6.3
Rational Powers of Differentiable Functions
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பைடு நூலகம்
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Let y x p q , we have
yq x p .
px q x p p 1 p q 1 q x x q
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隐函数求导方法
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
微积分英文课件PPT (7)
numbers c where f (c) 0 or f (c) does not exist.
Definition:
A critical number of a function f is a number c in the domain of f such that either f (c) 0 or f (c) does not exist.
Example Find the absolute maximum and minimum values of the function
f (x) x3 3x2 1
1 x4
2
Solution: Since f is continuous on the given closed
interval, we can use the Closed Interval Method:
f (x) 0
For example:
f (x) x3 at x 0
2)There may be an extreme value even when f (c) does not exist.
For example: f (x) x at x 0
Fermat’s Theorem does suggest that we should at least start looking for extreme values of f at the
1) f is continuous on the closed interval [a,b]. 2) f is differentiable on the open interval (a,b). 3) f (a) = f (b) Then there is a number c in (a,b) such that
Definition:
A critical number of a function f is a number c in the domain of f such that either f (c) 0 or f (c) does not exist.
Example Find the absolute maximum and minimum values of the function
f (x) x3 3x2 1
1 x4
2
Solution: Since f is continuous on the given closed
interval, we can use the Closed Interval Method:
f (x) 0
For example:
f (x) x3 at x 0
2)There may be an extreme value even when f (c) does not exist.
For example: f (x) x at x 0
Fermat’s Theorem does suggest that we should at least start looking for extreme values of f at the
1) f is continuous on the closed interval [a,b]. 2) f is differentiable on the open interval (a,b). 3) f (a) = f (b) Then there is a number c in (a,b) such that
L'Hospital法则证明
x→x0
|1 −
g(������ 1 ) g(������ ) |< 1 +| 1 |< 2 g(x) g(x) | f(x1 ) − Ag(x1 ) | < ������ g( x )
综上，即得∀ε > 0, ∃������ > 0，使得当0 < ������ − x0 < ������时， f ( x) g(������ 1 ) f(x) − f(x1 ) f(x ) − Ag(x1 ) | − A| ≤ |1 − |∙ | − A| + | 1 | < 2������ + ������ = 3������ g( x ) g (x) g(x) − g(x1) g ( x) 由定义，得 f(x) f ′ (x) = lim =A ′ x→x0 g(x) x→x+ 0 g (x) lim +
0 0
infinitive
− and said that the conclusion is right when x → x0 、x → x0 、x → ∞ ∞
+∞、x → −∞、x → ∞. So is
infinitive form. In this paper,I proved
∞ ∞
infinitive
= |(1 −
≤ |1 −
g(������1 ) f(x) − f(x1 ) f(x1 ) − Ag(x1 ) |∙| − A| + | | g(x) g(x) − g(x1) g ( x)
f′ (x)
+ 因为， limx→x0 = A， 即对 ∀ε > 0， ∃δ1 > 0(δ1 < ������)， 使0 < ������ − x0 < δ1 时， g′ (x)
|1 −
g(������ 1 ) g(������ ) |< 1 +| 1 |< 2 g(x) g(x) | f(x1 ) − Ag(x1 ) | < ������ g( x )
综上，即得∀ε > 0, ∃������ > 0，使得当0 < ������ − x0 < ������时， f ( x) g(������ 1 ) f(x) − f(x1 ) f(x ) − Ag(x1 ) | − A| ≤ |1 − |∙ | − A| + | 1 | < 2������ + ������ = 3������ g( x ) g (x) g(x) − g(x1) g ( x) 由定义，得 f(x) f ′ (x) = lim =A ′ x→x0 g(x) x→x+ 0 g (x) lim +
0 0
infinitive
− and said that the conclusion is right when x → x0 、x → x0 、x → ∞ ∞
+∞、x → −∞、x → ∞. So is
infinitive form. In this paper,I proved
∞ ∞
infinitive
= |(1 −
≤ |1 −
g(������1 ) f(x) − f(x1 ) f(x1 ) − Ag(x1 ) |∙| − A| + | | g(x) g(x) − g(x1) g ( x)
f′ (x)
+ 因为， limx→x0 = A， 即对 ∀ε > 0， ∃δ1 > 0(δ1 < ������)， 使0 < ������ − x0 < δ1 时， g′ (x)
托马斯微积分课件3.6 Linearization and Differentials
Chapter 3 Applications of Derivatives
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
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3.6.1
Linearization
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Tangent at the point (1,1):
the tangent :
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f x0 x f x0 f x0 x
let x x0 x
f x f x0 f x0 x x0
Conditions: 1) f x0 , f x0
2) x -x0 = x 0
当 x 很小时, —————————————————————— x 1 x
x x
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Exercises
P293 7, 8(e). P294 13(a), 18, 20, 24, 33.
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
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3.6.1
Linearization
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Tangent at the point (1,1):
the tangent :
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f x0 x f x0 f x0 x
let x x0 x
f x f x0 f x0 x x0
Conditions: 1) f x0 , f x0
2) x -x0 = x 0
当 x 很小时, —————————————————————— x 1 x
x x
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Exercises
P293 7, 8(e). P294 13(a), 18, 20, 24, 33.