对数运算与对数函数

对数运算与对数函数

已知底数和指数求幂的运算称为指数运算.如求23=？那么当已知底数和幂，求指数的 运算则称为对数运算.指数运算与对数运算互为逆运算.

【对数运算的相关问题】

1.定义. 若a b =N(a>0且a ≠1,N >0)，则称b 是以a 为底N 的对数.记作b=log a N ，其中a 叫做底

数，N 叫做真数.

2指数式与对数式的互化

如图1.10—1所示.

②互换规则：底数不变，指数 与对数互换，幂与真数互换. 3.对数恒等式：①

. ②

.

证明:①设log a N=b (1)，则a b =N (2)，将(1)代入(2)得. ②设a b =N(3)，则b=log a N(4)，将(3)代入(4)得.此结论说明任何一个实数b 都

可以用一个对数表示.

说明：为什么零与负数无对数？为什么要求指数、对数的底数 a >0且a ≠1？

由a b =N ，N >0说明b=log a N 中的真数必须大于0.∴ 零与负数无对数. 又∵ 由1b

=1知b 的取值是无法确定的,再如在实数范围内是无意义的.故底数a >0且a ≠1.

例1.化简下列各式：(1). (2)

.

解: (1)原式=31

×=3×6=18. (2)原式=.

4.对数运算性质 如果 (1).

(2)=

.

(3)

．

5.换底公式及推论 ①换底公式：.

②推论1：

.

a b =N b=log a N ? 指数式← →对数式 底数

指数 对数 幂 真数 ①.指数式与对数式 的互化. 图1.10—1

③推论2：．

例2.已知f(x)是R上以2为周期的奇函数，当x∈[0,1]时f(x)=2x，求f(log0.523)的值. 解：∵f(x)是R上以2为周期的奇函数，

∴f(log0.523)=f()=f(-log223)=-f(log223-4)= -f(),

又∵当x∈[0，1]时f(x)=2x，∴f(log0.523)= .

例3.求值.

(1).

(2)lg52++lg5lg20+lg22.

解:(1)法1.原式=lo()=lo2= lo()3=3.

法2.原式=

(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22=2(lg2+lg5)+(lg2+lg5)2=3.

例4.(1)已知log189=a，18b=5. 求log3645.

(2)若26a=33b=62c..求证：3ab-2ac=bc.

(3)若.求的值.

解:(1)法1.由log189=a,得a=log18

又由18b=5,得b=log185, ∴log3645=

法2. log189=a,得，

再由b=log185=

∴log3645=

(2)设26a=33b=62c.=k>0，则6a=log2k，∴6log k2，

同理，3log k 3，2log k 6，∴

(3)由

说明：(1)第一题的解法2更具有一般性.其一般方法是将底数、真数、幂都分解成质因数幂的

形式，以其中一个质因数3为底，求出以另两个质因数2和5为真数的对数，再将所求式都换成以3为底的对数，化简即可.对于此题我们也可以都转换为以2或5为底，同样可行.读者不妨试试.

(2)在利用对数的运算性质进行变形时，要注意从左到右会使真数的取值范围缩小，而

从右到左则会使真数的取值范围扩大.因此，在变形时要注意保持其等价性， 如上述(3).

想一想①：

1.设a 、b 同号，且a 2-2ab -9b 2=0，求lg(a 2+ab -6b 2)-lg(a 2+4ab+15b 2)的值．

2.化简(1) (lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5. (2)(log 25+log 4)(log 52+log 25).

3.若a ，b ，c 是不为1的正数，a x =b y =c z 且 1x +1y +1

z

=0. 求证: abc=1.

【对数函数的图像及性质】

1.定义：形如y=log a x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是{x|x >0,x ∈R},值域为R.

请问，下列函数中哪些是对数函数：(1)y=log 2(x+1)；(2)y=2log 3x ； (3)y=log 4x+1；； (4)y=log 4x 2； (5)y=log x x .； (6)y=log (2a -1)x(a>

)

答案：只有(6)是对数函数.

2.对数函数与指数函数的关系：它们互为反函数，其图像关于直线y=x 对称.

3.图像与性质列表

a>1 0

图像

定义域 x ∈(0，+∞) 值 域 y ∈(-∞，+∞) 性 质

(1)过定点(1，0)

(2)对称性,既不是中心对称图形，也不是轴对称图形.

(3)单调性 (0，+∞)是增函数. (0，+∞)是减函数.

说明：

1.函数y=log a x 与函数y=lo

的图像关于x 轴对称，且a 的值越大图像越靠近x 轴(越陡).

2.在同一直角坐标系中若给出了多条对数函数的图像，确定其底数大小时，可作直线y=1， 其底数大小从左向右依次增大.

y x

y

o

1

x

o 1

例5.求证：函数f(x)=log a x(0

证明:设任意的x 1，x 2∈(0，+∞),且x 1

，由00,即f(x 1)>f(x 2).

由定义知函数f(x)=log a x(0

例6.对于函数f(x)=lo (x 2-2ax+3)，解答下述问题：

(1)若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；

(3)若函数在[-1，+∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数的定义域为(-∞，1)(3，+∞)，求实数a 的值；

解:(1)由已知x 2-2ax+3>0对任意的x ∈R 恒成立，令u(x)= x 2-2ax+3，则函数y=f(x)的图像恒

在x 轴的上方，∴ < 0,.

(2)若函数y=f(x)的值域为R ，则u(x)= x 2-2ax+3必须取遍所有的正数，

由于u(x)=x 2-2ax+3轴至少有一个交点. ∴≥0,(3)由函数在内有意义， ∴ u (x)=x 2-2ax+3>0对任意的 x ∈恒成立，即u (x)=x 2-的图像在上恒在x 轴的上方. 如图1.11—2.∴

.

(4)若函数的定义域为，即不等式x 2-2ax+3>0的解为 ∴

u(x)= x 2-2ax+3的两个零点为1和3，由韦达定理知a=2.

想一想②：

1.函数y=log a (x+2)+3必过定点 .

2.若函数f(x)=ln(a x -a -x )(a>1)，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.

4.对数函数单调性的应用

①比较大小

例7.(1)比较大小：①log 316与4log 52； ②lo

与lo

； ③0.42，log 20.6，20.75.

(2)已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，(x 0且x ≠1)，比较f(x)与g(x)的大小. 解:(1)① ∵ log 316>log 39=2，而4log 52=log 524=log 5164log 52. ②∵ lo > lo

，lo

< lo

=1， ∴ lo

> lo

. 或 由lo

=log 23>log 22=1，lo =log 32

> lo

.

③∵ 0<0.42=0.16<1，log 20.6<0，而20.75>1. ∴ log 20.6<0.42<20.75.

y

x o

-1 · 图1.10—2

y

x

o

-1 ·

(2)∵f(x)-g(x)=1+log x3-2log x2=log x.①当0g(x).

②当1时，>1，∴f(x)>g(x).

综上所述知，当0时，f(x)>g(x).

当1

②求函数的值域或最值

例8.(1)已知2lo.求函数y=的最值.

(2)求函数f(x)=lo g2(x-1)+g2(p-x)的值域.

解:(1)由2lo，.

又∵y=(log2x-1)(log2x-2)=log22x-3log2x+2，

∴y min=(x=)；y max=2(x=8).

(2)此函数的定义域由给定.由于函数的定义域不能为空集，

∴

，

(1)当1，即时，上单调递减，

∴，值域为.

(2)当1<，即p>3时，值域为.

(3)当，即p<-1时，不满足p>1.

综上所述知，当时，值域为；

当p>3时，值域为.

③讨论函数的单调性

例9.(1)若函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，则a∈( ).

A.(1,2).

B.(0，1).

C.(0，2).

D.[2,+∞).

(2)求函数y=log2(x2-x-2)的单减区间.

解:(1)令f(x)=log a u，u=2-ax>0，∵函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，且a>0, ∴u=2-ax是x的减函数，则f(x)=log a u是u的增函数，∴ a>1.

又∵f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]有意义，∴故应选A.

(2)令y=log2u，u= x2-x-2>0，∵y=log2u是u的增函数，∴当u= x2-x-2>0单减时，

函数y=log2(x2-x-2)的单减. 故函数y=log2(x2-x-2)的单减区间为(-∞,-1).

④解不等式

例10.(1)若log a<1,则实数a的取值范围是.

(2)设a＞0且a≠1，解不等式

解:(1)原不等式可化为log a1时，

当0

(2)令log a x=t，则得当0

4-t2<1-2t , t2-2t-3＞0, (t+1)(t-3)＞0, t<-1，或t>3,

从而log a x<-1或log a x>3，解得x>或x

当a>1时，则有4-t2>1-2t, t2-2t-3<0,(t+1)(t-3)<0, -1

从而 -1

综上所述知，当01时，x∈(). 想一想③：

1.若log a >1，求实数a 的取值范围.

2.函数f(x)=log 0.5|x 2+2x -3|的单增区间是( ).

3.解不等式log (x+1)(x 2-x -2)>1.

【与图像、方程有关的综合问题】

例11.(1)若定义在R 上的偶函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x ∈[0，1]时，f(x)=x.则函数

y=f(x)-log 3|x|的零点个数为( ).

A.4.

B.3.

C.2.

D.1. (2)若方程x+log 2x=5与x+2x =5的根分别为，则=( ). (3)对于函数f(x)=log 2(x -1)，当x 1，x 2均大于1时，你能得出[f(x 1)+f(x 2)].

解:(1)∵ 当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，又y=f(x)是定义在R 上 的偶函数，且周期为2，故可得函数y=f(x)的图像， 如图1.10—3所示.由于函数y=f(x)-log 3|x|的零点即为 函数y=f(x)与y=log 3|x|图像交点的横坐标，结合图 像易知两图像有四个不同的交点.故应选A.

(2)由x+log 2x=5得log 2x=5-x.再由x+2x =5得2x

=5-x.

在同一直角坐标系中同时作出函数y=log 2x 、y=2x

、 y=5-x 的图像，如图1.10—4.其中为函数y=log 2x

与y=5-x 的图像交点的横坐标；为函数y=2x

与y=5-x

的图像交点的横坐标.由于函数y=log 2x 与y=2x

、的图像都关于直线y=x 对称，易求得 =5. (3)作出函数的图像，如图1.10—5所示.

对于任意的x 1、x 2由梯形中位线的性质，结合图像易

知

想一想④：

1.方程log 2(x+4)=3x 的根的个数为( ).

2.不等式log 2(-x)＜x+1的解集为( ).

3.类比上例(3)，对于f(x)=3x 你能得出怎样的结论.

习题1.10

1.若log 2[

]= log 3[

]= log 5[

]=0，则x 、y 、z 的大小关系是

( ).

A.z

B.x

C.y

D.z

，2]. B.[ 2-2

，2). C.( 2-2

，2]. D.( 2-2

，2).

3.已知函数y =lo (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围( ). A.a>1.

B.0≤a<1.

C.0

D.0≤a ≤1.

x

y o

图1.10—4

5

5

x

y

o 1 2 3 -2 -3 -1

图1.10—3

x

y o

x 1

x 2

2)()(21x f x f +2

21x x +

f(x 2f(x 1)

)

2

(21

x x

f +

4.函数y=(lo x)2－lo x2＋5在2≤x≤4

时的值域为．

5.已知lg2=a，lg3=b，将

用a ，b表示为.

6.已知函数f(x)=log2(x2-2)的定义域为[a，b]，值域为[1，log214]，求ab的值.

7.已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

8.设00且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．

9.已知函数f(x)=log a(a－a x)(a>1).求函数的定义域和值域.

10.在对数函数y=log2x的图像上(如图1.10—6)，有A、B、C

三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，

求△ABC面积的最大值．

11.设a，b，c分别是方程2x= 的实数根，则有( ).

A.a

B.c

C.b

D.c

12.设a=log54，b=(log53)2，c=log45. 则( ).

A.a

B.b

13.函数f(x)=ln(x-)的图像只可能是( ).

14.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图像是( ).

【参考答案】

想一想①：

1. -.

2.(1)1.(2)

3.略

想一想②：

1.(-1,3).

2.由已知函数f(x)=ln(a x-a-x)(a>1),当x∈(1，+∞)时是增函数，

∴ x∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，只需f(1)≥0即可. 由ln(a-a-1) ≥0， a-a-1≥1，解得a.

想一想③：

1. ().

2.(-∞,-3)，[-1,1).

3.x∈(3，+∞).

想一想④：

图1.10—6

。。。。

··

·

·

答案:1.2. 2. {x|-1＜x＜0}. 3..

习题1.11

1.由已知可得，x=，y=，z=.应选D.

2.由已知解得，∴选A.

3.D.

4..

5..

6.由x2-2＞0得x>或x<.当a

当b>a>,函数f(x)单减，可得，a=2，b= 4.从而ab=8.

7.由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，∴=10，a=10b．

又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，

对x∈R恒成立，由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0，即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴ f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3，

当x=－2时，f(x)min=－3．

8.解法1(作差法)|log a(1－x)|－|log a(1＋x)|=||－||

=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|).∵0

∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2), 由0

得，lg(1－x2)<0，∴－·lg(1－x2)>0，∴|log a(1－x)|>|log a(1＋x)|.

解法2(作商法)=|log(1－x)(1＋x)|,∵0

∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x).由01，0<1－x2<1.

∴ 0<(1－x)(1＋x)<1，∴>1－x>0,即0

∴ |log a(1－x)|>|log a(1＋x)|.

9.定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1).

10.由已知A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则

=

=log2log2log2，

因为a,所以()=().

11.A.在同一直角坐标系中同时作出函数y=2x，y=()x，y=lo，y=log 2x的图像即可知.

12.D.∵ b<(log54)2，∴ a-b>log54-(log54)2=log54(1-log54)>0,即a>b.

13. B.考虑定义域(-1，0)(1，+)，又函数u=x在定义域内为增函数，从而函数f(x)=ln(x-)

在定义域内的两个区间内分别为增函数.

14.D.法1.利用函数y=f(1-x)与函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称；

法2.y=f(x)