2002年高考数学试题

2002年高考数学试题
（文史类答案）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

DCDBC BBCDA DB
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

（13）1995 2000；（14）)0,0(，)1,1(；（15）1008；（16）○
2，○5。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）本小题主要考查正弦函数的基本概念、基本性质等基础知识，考查读图识图能力和基本的运算技能。

满分12分。

解：（Ⅰ）由图示知，这段时间的最大温差是
201030=-（C ）………2分
（Ⅱ）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴
614221-=⋅ωπ，解得8
πω=………5分 由图示，10)1030(2
1=-=A 20)1030(21=+=b ………7分 这时20)8sin(10++=ϕπ
x y
将6=x ，10=y 代入上式，可取43πϕ=
………10分 综上，所求的解析式为
20)4
38sin(10++=ππx y ，]14,6[∈x 。

………12分 （18）本小题主要考查等差数列求和等知识，以及分析和解决问题的能力。

满分12分。

解：（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有
7052
)1(2=+-+n n n n ………3分 整理得0140132=-+n n
解得7=n ，20-=n （舍去）
第1次相遇是在开始运动后7分钟。

………6分
（Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有
70352
)1(2⨯=+-+n n n n ………9分 整理得0706132=⨯-+n n
解得15=n ，28-=n （舍去）
第2次相遇是在开始运动后15分钟。

（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，已经空间想象能力和逻辑推理能力。

满分12分。

（Ⅰ）解：∵PB ⊥面ABCD
∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影
又DA ⊥AB ，
∴PA ⊥DA
∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角，∠PAB 60=………3分 而PB 是四棱锥ABCD P -的高，a AB PB 360tan =⋅=
∴锥V 323
3331a a a =⋅=………6分
（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形， 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则⊿ADE ≌⊿CDE ， ∴AE =EC ，∠CED = 90，故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角。

………8分
设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，
∴a AD AE OA a =<<=22………10分 在⊿AEC 中，AEC ∠cos EC
AE OA EC AE ⋅⋅⋅-+=2)2(2
22 2
)2)(2(AE OA AE OA AE -+=0< 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于 90。

………12分
（20）本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查运算能力和逻辑思维能力。

满分12分。

解：（Ⅰ）3)2(=f ，7)2(=-f
由于)2()2(f f ≠-，)2()2(f f -≠-
故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数。

………4分
（Ⅱ）)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2
,12,322x x x x x x ………6分 由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为4321=
⎪⎭⎫ ⎝⎛f ………10分
故函数)(x f 在),(+∞-∞内的最小值为4
3。

………12分 （21）本小题主要考查直线方程、点到直线的距离等基础知识，以及运算能力。

满分14分。

解：设点P 的坐标为),(y x ，由题设有
2||||=PN PM 既2222)1(2)1(y x y x +-⋅=
++ 整理得01622=+-+x y x ………○
1………4分 因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN
所以∠PMN = 30，直线PM 的斜率为3
3± 直线PM 的方程为)1(33+±
=x y ………○2………8分 将○
2式代入○1式整理得0142=+-x x 解得32+=x ，32-=x
代入○
2式得点P 的坐标为 )31,32(++或)31,32(+--；)31,32(--+或)31,32(--
………12分
直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ………14分
（22）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力。

满分12分，附加题4分。

解：（Ⅰ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。

………4分
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的4
1，有一组对角为直角。

余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。

………8分
（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有锥柱V V >………9分
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为4
3。

现在计算它们的高： 锥h 223321⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-=36=，柱h 30tan 21=36= 所以柱锥V V -4331
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=柱锥h h 43639
6⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=024322<-= 所以，锥柱V V >。

………12分
（Ⅲ）（附加题，满分4分）
如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形。

以新作的三角形为直三棱柱的的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。