2019高一下学期数学期中考试试卷
高一下学期数学期中考试试卷【一】第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为()A．B．C．D．2．计算的值等于()A．B．C．D．3．已知数列成等比数列,则=()A．B．C．D．4．等于()A．－1B．1C．22D．－225．如图,三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于()A．米B．米C．米D．200米6．若为锐角，且满足，，则的值为()A．B．C．D．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为()A．B．C．D．8．在中，＝(分别为角的对边)，则的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于()A．B．C．或D．或10．若，且，则的值为()A．B．C．D．11.设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得值，求该数列首项的取值范围()A．B．C．D．12．在锐角三角形中，,,分别是角,,的对边,,则的取值范围为()A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数,则的值为.14．等差数列的前项和为,若,则等于.15．已知内角的对边分别是,若,，则的面积为.16．已知数列满足：,若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项和.18．(本题满分12分)（1）设为锐角，且,求的值；（2）化简求值：.19．(本题满分12分)已知函数（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知中,角的对边分别为,若,求.20．（本小题满分12分）已知数列前项和（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（本小题满分12分）的内角的对边分别为,且（1）证明：成等比数列；（2）若角的平分线交于点,且,求.22．（本小题满分12分）已知数列满足，,数列满足,,对任意都有（1）求数列、的通项公式；（2）令.求证:.【答案】一．选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分.1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.D10.A11.C12.B12.【解析】由条件根据余弦定理得：是锐角，.即又是锐角三角形，，即,.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.214.1815.16.16.【解析】：由得，，易知，则，可得，则，由得>，则恒成立，的最小值为3，则的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题满分10分)解：（1）设数列公差为d,……………………………………………1分成等比数列…………………………………2分∴（舍）或,…………………………………………………3分∴………………………………………………………………………5分（2）令………………………………6分………………………………7分……………………………………8分……………………………………9分…………………………………10分18．(本题满分12分)解：（1）为锐角，………………………………1分为锐角，………………………………2分………………………………3分…………………………………………4分………………………………………………5分……………………………………………………6分（2）原式=………………………………………………7分…………………………………………………8分……………………………………………………10分………………………………………………12分19．(本题满分12分)解：（1）…………………………………………1分=…………………………………………3分的最小正周期……………………………4分要使函数的单调递增………………………………………5分故函数的单调递增区间………………6分（2）…………………………………7分………………………………………8分………………………………………………9分在中，由正弦定理得：，即………………………10分,即…………………………………12分20．(本题满分12分)解：（1）数列前项和为当时, …………………………………………………………………1分……………………………………………………………………3分当时,，不满足…………………4分∴的通项公式为………………………………6分（2）当时,=………………………8分当时,………………………………………………9分……………………10分………………………………………………………………11分……………………………………………………………………12分21．(本题满分12分)解：（1）因为，所以化简可得……………………………………………………1分由正弦定理得，，又因a、b、c均不为0………………………………3分故成等比数列.…………………………………………………………4分（2）由，得，又因为是角平分线，所以，即，化简得，，即.…………………………………………………………6分由（1）知，，解得，……………………………………7分再由得，（为中边上的高），即，又因为，所以.…………………………8分在中由余弦定理可得，，…………10分在中由余弦定理可得，，即，求得.……………12分（说明：角平分线定理得到同样得分）（2）另解：同解法一算出.在中由余弦定理可得，，……………10分在中由余弦定理可得，，即，求得.……………12分(说明：本题还有其它解法，阅卷老师根据实际情况参照上述评分标准给分。
) 22．(本题满分12分)解：（1）当时，，().()……2分又,也满足上式，故数列的通项公式().……………………3分由，知数列是等比数列，其首项、公比均为∴数列的通项公式……………………………4分（2）∵①∴②…………………………5分由①②,得………………6分……………………………………………………8分……………………………………………………9分又,∴…………………………………………………10分又恒正.故是递增数列,∴.………………………………………………………………………12分【二】第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为()A．B．C．D．2．计算的值等于()A．B．C．D．3．已知数列成等比数列,则=()A．B．C．D．4．等于()A．－1B．1C．22D．－225．如图,D，C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于()A．米B．米C．米D．200米6．若为锐角，且满足，，则的值为()A．B．C．D．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为()A．B．C．D．8．在中，＝(分别为角的对边)，则的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于()A．B．C．或D．或10．若，且，则的值为()A．B．C．D．11．设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得值，求该数列首项的取值范围()A．B．C．D．12．在锐角三角形中,,,分别是角,,的对边,=,则的取值范围为()A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数,则的值为.14．等差数列的前项和为,若,则等于.15．已知内角的对边分别是,若,，则的面积为.16．已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本题满分10分)已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项和.18．(本题满分12分)（1）设为锐角，且,求的值；（2）化简求值：.19．(本题满分12分)已知函数（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知中,角的对边分别为,若,求.20．（本小题满分12分）已知数列前项和（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（本小题满分12分）的内角的对边分别为,且.（1）证明：成等比数列；（2）若角的平分线交于点,且,求.22．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有.（1）求数列、的通项公式；（2）令.若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.【答案】一．选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分.1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.D10.A11.C12.B12.【解析】由条件可得，，即根据余弦定理得：是锐角，.即又是锐角三角形，，即,.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.214.1815.16.16.【解析】：由得，，易知，则，可得，则，由得>，则恒成立，的最小值为3，，则的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题满分10分)解：（1）设数列公差为d,……………………………………………………1分成等比数列……………………………………2分∴（舍）或,……………………………………………………3分∴…………………………………………………………………………5分（2）令……………………………………6分……………………………………7分…………………………………………8分…………………………………………9分………………………………………10分18．(本题满分12分)解：（1）为锐角，………………………………1分为锐角，………………………………2分………………………………3分…………………………………………4分………………………………………………5分……………………………………………………6分（2）原式=………………………………………………7分…………………………………………………8分……………………………………………………10分………………………………………………12分19．(本题满分12分)解：（1）…………………………………………1分=…………………………………………3分的最小正周期……………………………4分要使函数的单调递增………………………………………5分故函数的单调递增区间………………6分（2）………………………………………………7分……………………………………………8分………………………………………………9分在中，由正弦定理得：，即…………………………………………11分,即………………………………12分20．(本题满分12分)解：解：（1）数列前项和为当时, ……………………………………………………………………1分…………………………………………………………………………3分当时,，不满足…………………4分∴的通项公式为……………………………………6分（2）当时,=……………………8分当时,…………………………………………………9分…10分…………………………………………11分…………………………………………12分21．(本题满分12分)解：（1）因为，所以化简可得……………………………………………………1分由正弦定理得，，又因a、b、c均不为0……………………………3分故成等比数列.…………………………………………………………4分（2）由，得，又因为是角平分线，所以，即，化简得，，即.……………………………6分由（1）知，，解得，……………………………………7分再由得，（为中边上的高），即，又因为，所以.…………………………8分在中由余弦定理可得，，…………10分在中由余弦定理可得，，即，求得.……………12分（说明：角平分线定理得到同样得分）（2）另解：同解法一算出.在中由余弦定理可得，，……………10分在中由余弦定理可得，，即，求得.……………12分(说明：本题还有其它解法，阅卷老师根据实际情况参照上述评分标准给分。
甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题-f85bfe93a44a472d85fc7d5daa44c04e
绝密★启用前 甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420 C ．0660 D ．0280 2．将八位数(8)135化为二进制数为（ ） A ．()21110101 B ．()21010101 C ．()21011101 D ．()21111001 3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 4．采用系统抽样方法从 人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为 ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 .抽到的 人中，编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ，其余的人做问卷 .则抽到的人中，做问卷 的人数为 A ． B ． C ． D ． 5．用秦九韶算法计算多项式654324342579f x x x x x x x =++++-+（）在x=4时的值时，V 的值为（ ）……外……………○…………订……○…………线…………※※在※※装※※订※※线※※内※※答※ ……内……………○…………订……○…………线…………A ．322 B ．80 C ．19 D ．223 6．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ） A ．2-或2 B ．2- C ．D ．或2 7．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <8．在[]2,3-上随机取一个数x ，则(1)(3)0x x +-≤的概率为A ．25 B ．14 C ．35 D ．459．一名小学生的年龄和身高（单位：cm ）的数据如下表：由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为ˆy =8.8x+ˆa ，预测该学生10岁时的身高为（ ）10．已知2tan α•sin α=3，-2π＜α＜0，则sin α=（ ） A B ．-C ．12 D ．12- 11．函数 的值域是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．……○…※※……○…第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 14．888与1147的最大公约数为_____________.153(2)2παπ<<16．与02018-角终边相同的最小正角是______三、解答题17．已知角α的终边经过点(P m ，且13cos α=-．（1）求m 的值；（2）求22cos sin 2sin cos αααα-+⋅的值．18．（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 19．前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y=bx+a ；（2）已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）参考公式：b =1221ni ii n i i x y nxy x nx ==--∑∑，a y bx =-$$．……装…………○……○…………线………_____姓名：___________班_________……装…………○……○…………线………6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[60，65）的人数为200．根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求体重在[60，65）内的频率，并补全频率分布直方图； （2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？ （3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数． 21．某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽取了10个学生的成绩，成绩的茎叶图如下： （1）根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值x 及方差2s （2）若规定成绩不低于90分的等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀的学生中，随机抽取2人，求这两个人恰好都来自甲班的概率． 22．（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为 、 ，求 为整数的概率？ （2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？参考答案1．C【解析】【分析】根据与α终边相同的角可以表示为{}0360,k k Z ββα=⋅+∈这一方法，即可得出结论．【详解】与0420-角终边相同的角为：00360420()n n Z ⋅-∈，当3n =时，0003360420660⨯-=．故选：C ．【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，考查了数学运算能力.当然本题也可以采用这样的方法来解：让0420-与选项中的四个角作差，如果差是0360的整数倍，就说明这两个角的终边相同.2．C【解析】【分析】进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K 取余法转化为二进制数，选出正确选项．【详解】135（8）=1×82+3×81+5×80=93（10）．利用“除2取余法”可得93（10）=1011101（2）．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义分析即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意；对于C、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件，对于D、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查互斥事件与对立事件，注意理解互斥事件和对立事件的定义．4．C【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k ＝， 因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…， 第n 组号码为9＋(n －1)×30＝30n －21，由451≤30n －21≤750， 得，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)． 考点：系统抽样.5．A【解析】x=4时,,,,,故选择A6．B【解析】【分析】 这个程序框图功能可以转化为数学表达式：21(0)1(0)x x y x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，分类讨论，当 1y =时，求出x 的值.【详解】 这个程序框图功能可以转化为数学表达式：21(0)1(0)x x y x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，当0x ≥时，221120x x x x x -=⇒=⇒=≥∴=； 当0x <时，112202x x x x x -=⇒=⇒=±<∴=-；故选：B.【点睛】 本题考查了程序框图的功能、分段函数求自变量取值问题，考查了分类讨论思想、数学运算能力.7．C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.8．D【解析】解不等式(x ＋1)(x －3)≤0得－1≤x≤3，所以所求概率P ＝3(1)3(2)-－－－＝45. 9．B【解析】 试题分析：由表格数据可知678915118126136144,131424x y ++++++====，所以中心点为15,1312⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入回归方程得65a =，当10x =时ˆ153y =，该学生10岁时的身高为153考点：回归方程10．B【解析】【分析】由2tan sin 3αα⋅=，．整理可得（2cos α-1）（cos α+2）=0，结合范围-1＜cos α＜1，解得cosA=12，则sin α可求. 【详解】由2tan sin 3αα⋅=．整理可得：2sin 2α=3cos α，即：（2cos α-1）（cos α+2）=0，∵-1＜cosA ＜1，解得：cosA=12，由题02πα-<<，则sin α=故选B.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，，属于中档题．11．C【解析】【分析】因为角的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.【详解】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，；当角终边在第二象限时，；当角终边在第三象限时，；当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.12．A【解析】甲、乙、丙三人随意坐下有种结果，乙坐中间则有，乙不坐中间有种情况，概率为，故选A.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.13．15【解析】试题分析：应从高一年级学生中抽取名学生,故应填.考点：分层抽样及运用．视频14．37【解析】利用辗转相除法： 1147除以888，余数为259 888除以259，余数为111 259除以111，余数为37 111除以37，余数为0所以888与1147的最大公约数为37 15．2sin α-【解析】 【分析】利用公式222cos sin (1cos )(1cos )si 1n ααααα=+-=-、，对原式进行化简，最后根据α的取取值范围，化简绝对值. 【详解】=(1)(1)2sin sin sin cos cos ααααα-+===+=，32sin 02παπα<<∴<∴原式2sin α=-，故答案为：2sin α-. 【点睛】本题考查了同角的正弦值与余弦值平方和为1这一公式、完全平方式的算术平方根的性质、以及一个角正弦值正负性问题. 16．0142 【解析】 【分析】把02018-写成002018360k α-=⋅+，其中使得k Z ∈且00360,α<<求出α即可.【详解】解：00020186360142-=-⨯+，即与02018-角终边相同的最小正角是0142，故答案为：0142． 【点睛】本题主要考查终边相同角的求解，结合定义进行转化是解决本题的关键，比较基础．17．（1）1-；（2 【解析】 【分析】（1）角α的终边经过点(P m ，所以可以得到cos m OP α=，而13cos α=-，所以可以求出m 的值；（2）由（1）可以求出tan α的值，然后把22cos sin 2sin cos αααα-+⋅写成分母为1的形式，再用221=cos sin αα+进行代换，最后分子、分母同除以2cos α，求出代数式的值. 【详解】（1）因为已知角α的终边经过点(P m ，且13cos α=-13=-，求得1m =-；（2）由（1）可得，tan α=-原式=22222cos sin sin cos cos sin αααααα-++=22121tan tan tan ααα-++=79--．【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.18．（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】 【分析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，根据扇形周长公式和扇形面积公式，列出等式，联立求出扇形的圆心角；（2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l ,通过扇形的周长为40，可以得到等式，这样可以用l表示r ，用r 的代数式表示出扇形的面积，利用二次函数的性质，求出当扇形的面积最大时，扇形的的半径和圆心角的大小. 【详解】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ， 则由题意可得：2128,42r r r αα+=⋅⋅=． 联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积21(10)1001002S lr r ==--+≤． 当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2lrα==， ∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【点睛】本题考查了扇形周长、面积公式、二次函数的最值，考查了数学运算能力. 19．(1)0.70.35y x =+(2)比改造前降低了19.65吨标准煤 【解析】 【分析】（1）根据题中的数据和所给出的公式求出ˆˆ,b a 后可得线性回归方程；（2）结合（1）中的方程，当100x =时可得70.35y =，用90减去该值后即为所求． 【详解】 （1）由题意得()()113456 4.5, 2.534 4.5 3.544x y =+++==+++=， 413 2.543546 4.566.5i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221345686ii x==+++=∑,∴414221466.54 4.5 3.566.5630.7864 4.58681ˆ4i i i i i x y xy b x x==--⨯⨯-====-⨯--∑∑，∴ 3.5ˆˆ0.7 4.50.35a y bx=-=-⨯=． 故所求的回归方程为0.70.5ˆ3yx =+． （2）在方程0.70.5ˆ3y x =+中，当100x =时，70.35y =（吨），所以可预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降9070.3519.65-=（吨）. 【点睛】解答类似问题时注意两点：一是在求线性回归方程时，由于要涉及到大量、复杂的运算，所以在解题时要注意计算的准确性，为此要合理运用条件中给出的一些中间数据．二是书写公式、符号时要注意规范、正确，注意通过回归方程求出的值只是一个估计值． 20．(1)0.04(2) 三段人数分别为3，2，1 (3)61.75 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65）内的频率，由此能补全的频率分布直方图；（2）设男生总人数为n ，由2000.2n=，可得n=1000，从而体重超过65kg 的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数；（3）利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数 试题解析：（1）体重在内的频率补全的频率分布直方图如图所示.（2）设男生总人数为， 由，可得体重超过的总人数为在的人数为，应抽取的人数为，在的人数为，应抽取的人数为，在的人数为，应抽取的人数为.所以在，，三段人数分别为3，2，1.（3）中位数为60kg ，平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)考点：1.众数、中位数、平均数；2.分层抽样方法；3.频率分布直方图 21．(1) 86，54.8.(2)17. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平均数计算公式及方差计算公式得86x =，254.8s =（Ⅱ）甲、乙两个班级等级为优秀的学生分别有3个和4个，利用列举法得抽取2人基本事件数为21，而两个人恰好都来自甲班的事件数为3个，因此所求概率为31217= 试题解析：（Ⅰ）()17281818385878790931018610x =+++++++++=， ()()()()()()()()()()2222222222217286818681868386858687868786908693861018610s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦()119625259111164922554.810=+++++++++=. （Ⅱ）记甲班获优秀等次的三名学生分别为：123,,A A A ， 乙班获优秀等次的四名学生分别为：1234,,,B B B B .记随机抽取2人为事件A ，这两人恰好都来自甲班为事件B . 事件A 所包含的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}12131112131423,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A B A B A A {}21,,A B {}{}{}{}{}{}{}{}{}222324313233341213,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B B B B B{}{}1423,,,,B B B B {}{}2434,,,B B B B 共21个，事件B 所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A 共3个， 所以()31217P B ==. 考点：茎叶图，古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 22．（1）；（2）【解析】 【分析】（1）分别求出基本事件总数及 为整数的事件数，再由古典概型概率公式求解； （2）建立坐标系，找出会面的区域，用会面的区域面积比总区域面积得答案． 【详解】（1）所有的基本事件共有4×3=12个，记事件A ={ 为整数}，因为 ，则事件A 包含的基本事件共有2个， ∴p （A ）= ；（2）以x 、y 分别表示两人到达时刻，则 ．两人能会面的充要条件是 ． 建立直角坐标系如下图：∴P=阴．∴这两人能会面的概率为．【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．。
2019-2020学年北京四中高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年北京四中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）1.某客运汽车公司为了了解客车的耗油情况，先采用系统抽样方法按1:10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为1，2，...，200，则其中抽取的4辆客车的编号可能是()A. 3，23，63，102B. 31，61，87，127C. 103，133，153，193D. 57，68，98，1082.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，E，F分别为BB1，CC1的中点，M为线段AA上一点，设MA1=x，x∈[0,1]，给出下面几个命题：①△MEF的周长L=f(x)，x∈[0,1]是单调函数，当且仅当x=0时，△MEF的周长最大；②△MEF的面积S=g(x)，x∈[0,1]满足等式g(x)=g(1−x)，当且仅当x=12时，△MEF的面积最小；③三棱锥C1−MEF的体积为定值．其中正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33.我国已公布加快“5G”建设，某种“5G”信号发射器所发出的信号覆盖区域是一个椭圆及其内部．如图一个广场为矩形，AB=2，AD=4，在广场中心O处安装“5G”发射器，信号履盖区域釣边界是恰与广场四边均相切釣．在广场内任取一点，则该点能收到该“5G”号的概率为()A. 27π B. π4C. 310π D. π54.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2=b2+bc，sinC=2sinB，则tan A的值为()A. √3B. √33C. √32D. 135.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.后来，柏拉图学派的泰阿泰德(Tℎeaetetus)证明出正多面体总共只有上述五种.如图就是五种正多面体的图形.现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片(除画有的图形不同外没有差别)，若从这5张不同的卡片中任取2张，则取到画有“正四面体”卡片的概率为()A. 15B. 25C. 35D. 456.在空间中，不同的直线m，n，l，不同的平面α，β，则下列命题正确的是l()A. m//α，n//α，则m//nB. m//α，m//β，则α//βC. m⊥l，n⊥l，则m//nD. m⊥α，m⊥β，则α//β7.已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边，如果a=1，b=√3，∠B=60°，那么∠A等于()A. 150°B. 30°C. 150°或30°D. 60°8.用1，2，3组成无重复数字的三位数，且这些数被2整除的概率为()A. 15B. 14C. 13D. 359.为了了解范县一中2500名男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为()A. 300B. 160C. 80D. 6010.在△ABC中，若b2tanC=c2tanB，则△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形11.在△中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是()A. B. C. D. 212.将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m，n，则函数y=23mx3−nx+1在[√22,+∞)上为增函数的概率是()A. 12B. 512C. 712D. 2313.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则3log38771用算筹可表示为()A. B.C. D.二、单空题（本大题共9小题，共39.0分）14.某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为人，则样本容量为________．15.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选______参加比赛．16.在△ABC中，已知AB=4，且tanAtanB=34，则△ABC的面积的最大值为______ ．17.若集合，，，则满足条件的实数的取值集合为．18.如图，在△ABC中，BC=2，AB=√6，∠ACB=2π3，点E在边AB上，且∠ACE=∠BCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转π6，并在所得射线上取一点D，使得CD=√3−1，连接DE，则△CDE的面积为______．19.对于函数，f(x)=3sin(2x+π6)及g(x)=tan(x+π6)，给出下列命题①f(x)图象关于直线x=−π12对称；②g(x)图象关于(π3,0)成中心对称；③g(x)在定义域内是单调递增函数；④f(x)图象向左平移π6个单位，即得到函数y=3cos2x的图象；⑤由f(x1)=f(x2)=0，得x1−x2必是π2的整数倍．其中正确命题的序号为______ ．20.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)：零件数x(个)1020304050加工时间y(分钟)6268758189由最小二乘法求得回归方程ŷ=0.67x+a，则a的值为______ ．21.先后抛两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则y=2x的概率为______．22.已知：c−bc−a =sinAsinC+sinB，求B=______．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）23.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中．(Ⅰ)求的长；(Ⅱ)求点到平面的距离．24.某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲维修的元件数3546463784乙维修的元件数4745545547(Ⅰ)从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；(Ⅱ)试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．(只需写出结论)；(Ⅲ)由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．25.一胸针图样由等腰三角形OAB及圆心C在中轴线上的圆弧AB构成，.为了增加胸针的美观程度，设计师已知OA=OB=1，∠ACB=2π3准备焊接三条金丝线CO，CA，CB，且AC长度不小于OC长度．设∠AOC=θ．(1)试求出金丝线的总长度L(θ)，并求出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，金丝线的总长度L(θ)最小，并求出L(θ)的最小值．26.已知△ABC中，向量m⃗⃗⃗ =(−1,√3),n⃗=(cosA,sinA)；且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=1．(1)求角A；(2)若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=√3，求△ABC的面积的最大值．27.设某试验成功的概率是p，p∈(0,1).现在将该试验独立重复4次，证明：恰好有2次成功的概率为C42p2(1−p)2．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查系统抽样，在系统抽样中分段间隔相同是解题关键，属于基础题目．解：用系统抽样抽出的4辆客车的号码从小到大成等差数列，对照四个选项知，只须选项C中的四个数：103，133，163，193成等差数列中的部分项，故选C．2.答案：C解析：解：如图，取A1A的中点为H，EF的中点为G，依题意可得MG始终垂直EF，且ME=MF．对于①，∵EM=FM=√12+(12−x)2，△MEF的周长L=f(x)=√2+2√1+(12−x)2，x∈[0,1]不是单调函数，当且仅当x=0、1时，△MEF的周长最大，故错；对于②，△MEF的面积S=g(x)=12×EF×MG=√22×(√22)(12−x∈[0,1]满足等式g(x)=g(1−x)，当且仅当x=12时，△MEF的面积最小，故正确；对于③，三棱锥C1−MEF的体积为V C1EFM =V M−EFC1=13×s EFC1×ℎ，h是点M到面BCC1B1的距离，为定值，故三棱锥C1−MEF的体积为定值，正确．故选：C．取A1A的中点为H，EF的中点为G，依题意可得MG始终垂直EF，且ME=MF.即可表示，△MEF的周长、面积，从而判定①②，利用等体积法判定③．本题考查了空间点、线、面位置关系，空间距离，体积的计算，属于中档题．3.答案：B解析：解：由题意可得椭圆的标准方程为：x24+y2=1.即a=2，b=1．∴椭圆的面积=πab=2π．∴该点能收到该“5G”号的概率=2π2×4=π4．故选：B．由题意可得椭圆的标准方程为：x24+y2=1.即a=2，b=1.可得椭圆的面积=πab，利用几何概率计算公式即可得出．本题考查了几何概型的求概率公式、椭圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：∵sinC=2sinB，∴由正弦定理，得c=2b代入a2=b2+bc，得a2=b2+2b2=3b2，可得a=√3b∴b2+a2=4b2=c2，可得△ABC中∠C=90°因此，tanA=ab=√3故选：A根据正弦定理，结合sinC=2sinB得c=2b，代入题中平方关系式算出a2=3b2，得到b2+a2=c2，可得△ABC是以C为直角的直角三角形，再结合正切在直角三角形中的定义，即可算出tan A的值．本题给出三角形中的边的平方关系和角的正弦之间的关系，求tan A的值．着重考查了正弦定理、勾股定理的逆定理和正切函数在直角三角形中的定义等知识，属于中档题．5.答案：B解析：解：现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片(除画有的图形不同外没有差别)，从这5张不同的卡片中任取2张，基本事件总数n=C52=10，取到画有“正四面体”卡片包含的基本事件个数m=C11C41=4，则取到画有“正四面体”卡片的概率为P=mn =410=25．故选：B．从这5张不同的卡片中任取2张，分别求出基本事件总数和取到画有“正四面体”卡片包含的基本事件个数，由此能求出取到画有“正四面体”卡片的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：试题分析：由线面位置关系逐个判断即可：选项A，可得m//n，m与n相交或m与n异面；选项B，可得α//β或α与β相交；选项C，同一个平面成立，在空间不成立；选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行．选项A，由m//α，n//α，可得m//n，m与n相交或m与n异面，故错误；选项B，m//α，m//β可得α//β或α与β相交，故错误；选项C，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；选项D，由垂直于同一条直线的两个平面平行可知结论正确．故选D7.答案：B解析：解：△ABC中，由于a=1，b=√3，∠B=60°，故由正弦定理可得1sinA =√3sin60°，求得sinA=12.由于a<b，∴A<B，∴A=30°，故选：B．由条件利用正弦定理求得sinA=12，再由a<b，可得A<B，从而确定A的值．本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，属于基础题．8.答案：C解析：解：根据题意，由1，2，3组成无重复数字的三位数有123、132、213、231、321、312，共6个，其中可以被2整除即偶数的有132、312，有2个，则这些数被2整除的概率为26=13；故选：C．根据题意，列举由1，2，3组成无重复数字的三位数，进而找出其中可以被2整除即偶数的个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．。
2019年潍坊市高一数学下期中试卷(及答案)
A．1
B．2
C．3
D．4
12．若圆 x2 y2 2x 4 y 0 的圆心到直线 x y a 0 的距离为 2 ，则 a 的值为( ) 2
A．-2 或 2
B． 1 或 3 22
C．2 或 0
D．-2 或 0
二、填空题
13．经过两条直线 2x 3y 1 0 和 3x y 4 0 的交点，并且平行于直线
【考点定位】点线面的位置关系
3．A
解析：A 【解析】
分析：将三棱锥的外接球转化为以 AP, AB, BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球
半径，进而可得结果.
详解：因为 PA 平面 AB ， AB, BC 平面 ABC ， PA BC ， PA AB, AB BC ，
所以三棱锥的外接球，就是以 AP, AB, BC 为长宽高的长方体的外接球，
此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意；
当
2
a
0 ，即 a
2 时，直线 ax
y
2a
0 化为
2
x
a
2
y
a
1，
a
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 2 a 2 a ，解得 a 1； a
综上所述，实数 a 2 或 a 1．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直
图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形
状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为 AC 的中点，即
2018-2019学年江苏省南通中学高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
数学试卷
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
【解析】
【分析】
由 ，都有 ，可得 ，再根据等差数列的性质即可判断.
【详解】 等差数列 的公差 ， ，都有 ，
，
.
故选： .
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.
12.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运动， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由
又 所以 .
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得 ，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
19.设 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大值及此时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有最大值为
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 的最大值以及取最大值时 的值.
20.已知向量 ， 且 .
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2） ；
【解析】
试题分析：
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 这个结论．
2019-2020学年辽宁省六校高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年辽宁省六校高一（下）期中数学试卷一、单选题（共8道，每题5分，共40分，每题4个选项，只有一个符合题目要求）1. 已知复数z 满足z(1−i)2＝1+i （i 为虚数单位），则|z|为（ ） A.12B.√22C.√2D.1【答案】 B【考点】 复数的模 【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，代入复数模的计算公式求解． 【解答】解：由z(1−i)2＝1+i ，得z =1+i (1−i)2=1+i −2i=(1+i)⋅i −2i 2=−12+12i ，∴ |z|=√(−12)2+(12)2=√22． 故选B ．2. 不等式tan x ≥−√3的解集是（ ） A.{x|−π3+kπ≤x ≤π2+kπ,k ∈Z} B.{x|−π3+kπ≤x <π2+kπ,k ∈Z} C.{x|−π3+2kπ≤x ≤π2+2kπ,k ∈Z}D.{x|−π3+2kπ≤x <π2+2kπ,k ∈Z}【答案】 B【考点】 三角函数线 【解析】根据正切函数的单调性解不等式． 【解答】令f(x)＝tan x ，则f(x)的单调增区间为(−π2+kπ, π2+kπ)，k ∈Z ． 又f(−π3+kπ)＝f(−π3)=−√3，k ∈Z ，∴ 当−π3+kπ≤x <π2+kπ，k ∈Z 时，tan x ≥−√3．3. 设tan α，tan β是方程x 2−3x +2＝0的两个根，则tan (α+β)的值为（ ） A.−3B.−1C.1D.3【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由tan α，tan β是方程x 2−3x +2＝0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tan α+tan β及tan αtan β的值，然后将tan (α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tan α+tan β及tan αtan β的值代入即可求出值． 【解答】∵ tan α，tan β是方程x 2−3x +2＝0的两个根， ∴ tan α+tan β＝3，tan αtan β＝2， 则tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=31−2=−3．4. 已知△ABC 的外心是边BC 的中点，AB →=(k, 1)，AC →=(2, 3)，则k 的值为（ ） A.5B.−5C.32D.−32【答案】 D【考点】平面向量的基本定理 【解析】由△ABC 的外心是边BC 的中点可得A 为直角，即AB ⊥AC ，然后结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【解答】由△ABC 的外心是边BC 的中点可得A 为直角，即AB ⊥AC ， ∵ AB →=(k, 1)，AC →=(2, 3)， 所以AB →⋅AC →=2k +3＝0， 故k =−32．5. 已知角θ的终边过点P(−4k, 3k) (k <0)，则2sin θ+cos θ的值是( ) A.25 B.−25C.25或−25 D.随着k 的取值不同其值不同【答案】【考点】 三角函数 终边相同的角【解析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可． 【解答】解：∵ 角θ的终边过点P(−4k, 3k)，(k <0)， ∴ r =√(−4k)2+(3k)2=5|k|=−5k ， ∴ sin θ=3k−5k =−35， cos θ=−4k−5k =45，∴ 2sin θ+cos θ=2×(−35)+45=−25.故选B ．6. 下列函数中，周期为π，且在(π4, π2)上单调递减的是（ ）A.y ＝sin x cos xB.y ＝sin x −cos xC.y ＝tan (x +π4)D.y ＝|cos 2x|【答案】 A【考点】三角函数的周期性 【解析】由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论． 【解答】对于A ，由于y ＝sin x cos x =12sin 2x 的周期为2π2=π，且在(π4, π2)上单调递减，故满足条件．对于B ，由于y ＝sin x −cos x =√2sin (x −π4)的周期为2π，故不满足条件．对于C ，由于y ＝tan (x +π4)的周期为π，在(π4, π2)上，x +π4∈(π2, 3π4)，故函数单调递增，故不满足条件．对于D ，函数y ＝|cos 2x|的最小正周期为π2，函数在区间(π4, π2)上单调递增，故不满足条件．7. 棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ） A.12 B.13C.23D.34B【考点】棱台的结构特征【解析】根据面积比等于相似比的平方，可得棱台上下底面的相似比，再由相似即可推出棱台、棱锥的高之比．【解答】不妨设该棱台为三棱台ABC−A1B1C1，原棱锥为P−A1B1C1，棱台和棱锥对应的高分别为OO1和PO1．由题意知，POPO1=AOA1O1=ABA1B1=√49=23，∴OO1PO1=13．8. 一船沿北偏西45∘方向航行，看见正东方向有两个灯塔A，B，AB＝10海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60∘，另一灯塔在船的南偏东75∘，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5√2海里C.10海里D.10√2海里【答案】D【考点】解三角形【解析】根据题意作出对应的三角形，结合三角形的边角关系即可得到结论．【解答】如图所示，∠COA＝135∘，∠ACO＝∠ACB＝∠ABC＝15∘，∠OAC＝30∘，AB＝10，∴AC＝10．△AOC中，由正弦定理可得10√2sin135=OCsin30，∴OC＝5√2，∴v=5√212=10√2，∴这艘船的速度是每小时10√2海里，二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），其中错误的是（）C.若a // b ，b // α，则a // αD.若a // α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a // b【答案】 A,B,C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】对于A ，a // α或a ⊂α；对于B ，a 与b 相交、平行或异面；对于C ，a // α或a ⊂α；对于D ，由线面平行的性质得a // b ． 【解答】由a ，b 表示直线，α表示平面，知：对于A ，若a // b ，b ⊂α，则a // α或a ⊂α，故A 错误；对于B ，若a // α，b // α，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误； 对于C ，若a // b ，b // α，则a // α或a ⊂α，故C 错误；对于D ，若a // α，a ⊂β，α∩β＝b ，则由线面平行的性质得a // b ，故D 正确．已知△ABC ，则下列命题是真命题的有（ ） A.若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形 B.若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形 C.若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是钝角三角形D.若cos (A −B)cos (B −C)cos (C −A)＝1，则△ABC 是等边三角形【答案】 B,C,D 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定ABCD 的结果． 【解答】对于选项A:sin 2A ＝sin 2B ，里哟用诱导公式，整理得2A ＝2B 或2A ＝π−2B ，所以A ＝B 或A +B =π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误．对于选项B:sin A ＝cos B ，整理得sin A ＝sin (π2−B)，故A +B =π2，则C =π2，所以△ABC为直角三角形，故正确．对于选项C:cos A cos B cos C <0，必有一个负值，假若为A ，则cos A <0，所以π2<A <π，故△ABC 为钝角三角形，故正确．对于选项D ：由于|cox|≤1，所以cos (A −B)＝cos (B −C)＝cos (C −A)＝1，故A −B ＝B −C ＝C −A ，整理得A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形．故正确．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a →,b →满足AB →=a →，AC →=a →+b →，则下列结论正确的是（ ）A.|b →|=2 B.a →⊥b →C.a →⋅b →=2 D.(2a →+b →)⊥BC →【答案】 A,D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos 60∘=a →(a →+b →)，可求得a →⋅b →的值，从而判断选项B 和C ； 对|AC →|＝|a →+b →|，两边平方可求得|b →|的值，从而判断选项A ；(2a →+b →)⋅BC →=(2a →+b →)⋅(AC →−AB →)，代入所得数据计算其结果可判断选项D ． 【解答】∵ △ABC 是边长为2的等边三角形，∴ AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos 60∘＝2×2×12=2． ∵ AB →=a →，AC →=a →+b →，∴ AB →⋅AC →=a →(a →+b →)=a →2+a →⋅b →=4+a →⋅b →=2， ∴ a →⋅b →=−2，即选项B 和C 错误．∵ AC →=a →+b →，∴ |AC →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+|b →|2=2，∴ |b →|＝2，即选项A 正确．对于选项D ，(2a →+b →)⋅BC →=(2a →+b →)⋅(AC →−AB →)＝(2a →+b →)⋅b →=2a →⋅b →+b →2=2×(−2)+4＝0，∴ (2a →+b →)⊥BC →，即选项D 正确．关于函数f(x)=3sin x cos x +3√3sin 2x −3√32+1，下列命题正确的是( )A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍B.y =f(x)的图象关于点(3π4,1)对称C.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos (2x −5π6)+1π【答案】 C,D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的对称性【解析】首先把函数的关系式，利用三角函数的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的周期，对称轴，对称中心的应用求出结果． 【解答】解：f(x)=3sin x cos x +3√3sin 2x −3√32+1=32sin 2x +3√3(1−cos 2x)2−3√32+1 =32sin 2x −3√32cos 2x +1 =3sin (2x −π3)+1．A ，T =2π2=π，由于只有sin (2x −π3)=0时，函数f(x)=1，x 1−x 2=π2，所以x 1−x 2是π2的整数倍，故选项A 错误； B ，当x =3π4时，f(3π4)=3sin (3π2−π3)+1=−12，故选项B 错误； C ，利用诱导公式f(x)=3sin (2x −π3)+1=3cos (2x −5π6)+1，故选项C 正确；D ，当x =−π12时，f(−π12)=3sin (−π6−π3)+1=−3+1=−2，故选项D 正确． 故选CD ．三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）已知|a →|＝|b →|＝5，向量a →与b →的夹角为2π3，则|2a →+b →|＝________． 【答案】5√3【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由平面向量数量积的定义可求得a →⋅b →的值，而|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+4a →⋅b →+b →2，代入相关数据即可得解．【解答】由题意知，a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos2π3=5×5×(−12)=−252．→→√→→2√→2→→→22252已知△ABC 中，a ＝2，c =√6，A ＝45∘，则b ＝________． 【答案】√3±1 【考点】 余弦定理 【解析】由已知结合余弦定理即可直接求解． 【解答】由余弦定理可得，cos A =√22=b 2+c 2−a 22bc=22√6b，整理可得，b 2−2√3b +2=0， 解可得，b =√3±1．一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________；该四面体的体积为________． 【答案】 3π,13【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】由题意画出图形，求出正四面体的高，利用勾股定理进一步求得其外接球的半径，可得表面积，再由三棱锥的体积公式求四面体的体积． 【解答】 如图，由题意，四面体P −ABC 为正四面体，且棱长为√2．设底面三角形ABC 的外心为G ，连接AG 并延长，交BC 于D ， 则AD =√(√2)2−(√22)2=√62，∴ AG =23AD =√63． PG =√PA 2−AG 2=√2−23=2√33．设四面体的外接球的半径为R ，则R 2=(2√33−R)2+(√63)2，解得R =√32． ∴ 球的表面积为4π×(√32)2=3π；该四面体的体积为V =13×12×√2×√2×√32×2√33=13．函数f(x)=2sin(2x−π6)−m，若f(x)≤0在x∈[0,π2]上恒成立，则m的取值范围是________；若f(x)在x∈[0,π2]上有两个不同的解，则m的取值范围是________．【答案】m≥2,1≤m<2【考点】三角函数的最值【解析】将f(x)≤0化为m≥2sin(2x−π6)，求出当x∈[0,π2]时，2sin(2x−π6)的最大值，即可求得m的取值范围；将f(x)在x∈[0,π2]上有两个不同的解转化为函数y＝2sin(2x−π6)x∈[0,π2]与y＝m的图象有两个交点，再根据函数y＝2sin(2x−π6)，x∈[0,π2]的图象即可求得答案．【解答】因为f(x)≤0可化为m≥2sin(2x−π6)，当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6, 5π6]，2sin(2x−π6)∈[−1, 2]，所以2sin(2x−π6)的最大值为2，所以m≥2．因为f(x)在x∈[0,π2]上有两个不同的解，等价于函数y＝2sin(2x−π6)x∈[0,π2]与y＝m的图象有两个交点，函数y＝2sin(2x−π6)，x∈[0,π2]的图象如图所示：由图可知，1≤m<2．故答案为：m≥2，1≤m<2．已知|a →|＝2|b →|＝2，且向量a →在向量b →的方向上的投影为−1．求： （1）a →与b →的夹角θ；（2）(a →−2b →)⋅b →． 【答案】向量a →在向量b →的方向上的投影为−1， ∴ |a →|cos θ＝−1， ∴ cos θ=−12， 由0≤θ≤π，可得θ=2π3，(a →−2b →)⋅b →=a →⋅b →−2b →2=|a →|⋅|b →|⋅cos θ−2×12＝2×1×(−12)−2＝−3． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）由向量的投影可得|a →|cos θ＝−1，计算即可得到；（2）运用向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】向量a →在向量b →的方向上的投影为−1， ∴ |a →|cos θ＝−1， ∴ cos θ=−12， 由0≤θ≤π，可得θ=2π3，(a →−2b →)⋅b →=a →⋅b →−2b →2=|a →|⋅|b →|⋅cos θ−2×12＝2×1×(−12)−2＝−3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且√3b cos C =2a sin B −√3c cos B ． （1）求角B ；（2）若sin A ＝3sin C ，求bc ．由正弦定理可得√3sin B cos C=2sin A sin B−√3sin C cos B，所以√3sin B cos C+√3sin C cos B=2sin A sin B，所以√3sin(B+C)=2sin A sin B，即√3sin A=2sin A sin B，在△ABC中，sin A≠0，所以sin B=√32，所以B＝60∘或120∘，因为△ABC为锐角三角形，所以B＝60∘．由正弦定理得：a＝3c，又由余弦定理：cos B=cos60=12=a2+c2−b22ac，代入a＝3c，可得bc=√7．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求sin B，进而可求B，（2）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解．【解答】由正弦定理可得√3sin B cos C=2sin A sin B−√3sin C cos B，所以√3sin B cos C+√3sin C cos B=2sin A sin B，所以√3sin(B+C)=2sin A sin B，即√3sin A=2sin A sin B，在△ABC中，sin A≠0，所以sin B=√32，所以B＝60∘或120∘，因为△ABC为锐角三角形，所以B＝60∘．由正弦定理得：a＝3c，又由余弦定理：cos B=cos60=12=a2+c2−b22ac，代入a＝3c，可得bc=√7．已知−π2<x<0，sin x+cos x=15．（1）求sin x−cos x的值；（2）求sin2x+2sin 2x1−tan x的值．【答案】∵已知−π2<x<0，∴cos x>sin x，∵sin x+cos x=15，平方可得1+2sincos x=125，∴2sincos x=−2425，∴sin x−cos x=−√(sin x−cos x)2=−√1−2sin x cos x=−√1+2425=−75．sin2x+2sin2x 1−tan x =2sin x cos x+2sin2x1−tan x=2sin x⋅cos x⋅(cos x+sin x)cos x−sin x=−2425⋅1575=−24175．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sin x−cos x=−√(sin x−cos x)2的值．（2）由题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果．【解答】∵已知−π2<x<0，∴cos x>sin x，∵sin x+cos x=15，平方可得1+2sincos x=125，∴2sincos x=−2425，∴sin x−cos x=−√(sin x−cos x)2=−√1−2sin x cos x=−√1+2425=−75．sin2x+2sin2x 1−tan x =2sin x cos x+2sin2x1−tan x=2sin x⋅cos x⋅(cos x+sin x)cos x−sin x=−2425⋅1575=−24175．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，作如图棱锥P−ABCD，其中点P在侧棱DD1所在直线上，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．（1）证明：PA // 平面BDE；（2）求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．【答案】证明：连接AC交BD于O，连接EO．∵ABCD是正方形，∴O为AC中点；又∵E为PC的中点，∴OE||PA．又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA||平面BDE；过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的的几何体是以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体．由题意知侧棱PD⊥底面ABCD，∵AD⊂底面ABCD，∴PD⊥AD，∵PD＝4，DA＝DC＝3．∴PA＝5，则DH=125，∴几何体体积V=13×π×(125)2×5=48π5．【考点】直线与平面平行棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】（1）连接AC交BD于O，连接EO，由三角形中位线定理可得OE||PA，再由直线与平面平行的判定得到PA||平面BDE；（2）过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的的几何体是以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体．求解三角形可得PA，DH的值，再由圆锥体积公式求解．【解答】证明：连接AC交BD于O，连接EO．∵ABCD是正方形，∴O为AC中点；又∵E为PC的中点，∴OE||PA．又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA||平面BDE；过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的的几何体是以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体．由题意知侧棱PD⊥底面ABCD，∵AD⊂底面ABCD，∴PD⊥AD，∵PD＝4，DA＝DC＝3．∴PA＝5，则DH=125，∴几何体体积V=13×π×(125)2×5=48π5．在△ABC中，cos A=13．（1）求sin 2B+C 2+cos 2A 的值；（2）若a =√3，求S △ABC 的最大值． 【答案】∵ 在△ABC 中，cos A =13．∴ sin 2B+C 2+cos 2A =12[1−cos (B +C)]+(2cos 2A −1)=12(1+cos A)+(2cos 2A −1)=−19；∵ a =√3，cos A =13，可得sin A =√1−cos 2A =2√23， ∴ 由余弦定理可得：3＝b 2+c 2−23bc ，∴ 可得：b 2+c 2＝3+23bc ≥2bc ，解得：bc ≤94， ∴ S △ABC =12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24． 所以△ABC 面积S 的最大值等于3√24． 【考点】三角函数中的恒等变换应用 余弦定理【解析】（1）原式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后把cos A 的值代入计算即可求出值； （2）将a ，cos A 的值代入，利用余弦定理可得到b ，c 的关系式，再由基本不等式及三角形面积公式即可求最大值． 【解答】∵ 在△ABC 中，cos A =13． ∴ sin 2B+C 2+cos 2A =12[1−cos (B +C)]+(2cos 2A −1)=12(1+cos A)+(2cos 2A −1)=−19；∵ a =√3，cos A =13，可得sin A =√1−cos 2A =2√23， ∴ 由余弦定理可得：3＝b 2+c 2−23bc ，∴ 可得：b 2+c 2＝3+23bc ≥2bc ，解得：bc ≤94， ∴ S △ABC =12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24． 所以△ABC 面积S 的最大值等于3√24．已知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象相邻对称轴之间的距离是π2，若将f(x)的图象向右移π6个单位，所得函数g(x)为奇函数． （1）求f(x)的解析式；（2）若函数ℎ(x)＝f(x)−35的零点为x 0，求cos (π6−2x 0)；（3）若对任意x ∈[0, π3]，f 2(x)−f(x)−a ＝0有解，求a 的取值范围．【答案】知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象相邻对称轴之间的 距离是 12⋅2πω=π2，∴ ω＝2，f(x)＝sin (2x +φ)．若将f(x)的图象向右移π6个单位，所得函数g(x)＝sin (2x +φ−π3)为奇函数， ∴ φ−π3=0，∴ φ=π3，故 f(x)=sin (2x +π3)． 由已知方程f(x)−35=0 的解为x 0． 即sin (2x 0+π3)=35，所以cos (π6−2x 0)＝cos (2x 0−π6)＝cos (2x 0+π3−π2)=sin (2x 0+π3)=35．t =sin (2x +π3)，∵ 0≤x ≤π3，∴ π3≤2x +π3≤π，∴ 0≤sin (2x +π3)≤1,0≤t ≤1；要是f 2(x)−f(x)−a ＝0有解，即a ＝t 2−t 在[0, 1]上有解；∵ 0≤t ≤1；∴ −14≤t 2−t ≤0，解得−14≤a ≤0，所以，a ∈[−14,0]．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】（1）由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式．（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．（3）t =sin (2x +π3)，利用正弦函数的定义域和值域，求得t 的范围，从而得到a 的范围． 【解答】知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象相邻对称轴之间的距离是12⋅2πω=π2，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x+φ)．若将f(x)的图象向右移π6个单位，所得函数g(x)＝sin(2x+φ−π3)为奇函数，∴φ−π3=0，∴φ=π3，故f(x)=sin(2x+π3)．由已知方程f(x)−35=0的解为x0．即sin(2x0+π3)=35，所以cos(π6−2x0)＝cos(2x0−π6)＝cos(2x0+π3−π2)=sin(2x0+π3)=35．t=sin(2x+π3)，∵0≤x≤π3，∴π3≤2x+π3≤π，∴0≤sin(2x+π3)≤1,0≤t≤1；要是f2(x)−f(x)−a＝0有解，即a＝t2−t在[0, 1]上有解；∵0≤t≤1；∴−14≤t2−t≤0，解得−14≤a≤0，所以，a∈[−14,0]．。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___9.（填空题，4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则T nn的最小值___ ．10.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，若S10=100，S100=910，S110=___ ．11.（填空题，4分）设函数f（x）= {|sinx|，x＜02x，x≥0，函数g（x）= {lg(−x)，x＜0x2，x≥0，则方程f（x）=g（x）根的数量为___ 个．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √3216.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π317.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定19.（单选题，3分）已知函数f(x)=−2tan(π2x+π3)，下列说法中错误的是（）A.函数f（x）的定义域是{x|x≠2k+13，k∈Z}B.函数f（x）图象与直线x=2k+13，k∈Z没有交点C.函数f（x）的单调增区间是(−53+2k，13+2k)，k∈ZD.函数f（x）的周期是220.（单选题，3分）函数y=cos（2x+ π3），x∈[0，π2]的值域为（）A.[0，1]B.[-1，12]C.[- √32，12]D.[- 12，12]21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1]22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π23.（单选题，3分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ 2π3），则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C224.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π325.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+127.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28.（单选题，3分）已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为x= π，则函数g（x）11=sinx-acosx的一条对称轴可以为（）A.x= 9π22B.x= 13π22C.x= 10π11D.x= 13π1129.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30.（单选题，3分）已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，a nb n =2n+33n−1，则S11T11=（）A. 1517B. 2532C.1D.231.（单选题，3分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在m∈N+满足S2mS m =9，a2ma m=5m+1m−1，则数列{a n}的公比为（）A. √2B.2C.3D.432.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞033.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1＜0，给出下列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.435.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π）=13-94√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用反正弦函数的计算法则即可求解结论．【解答】：解：因为2arcsin（54 x-2）= π3，所以sin[arcsin（54 x-2）]= 12，即54 x-2= 12，所以x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反三角函数的应用，反三角函数的运算法则，考查计算能力，是基础题．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差．【解答】：解：a6=17，即为a1+5d=17，a3，a11，a43成等比数列，可得a3a43=a112，即为（a1+2d）（a1+42d）=（a1+10d）2，化为2d=3a1，解得a1=2，d=3，故答案为：3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用等比数列的性质求得a2a5与a3a4，再利用对数的运算法则求出结果．【解答】：解：∵a1a6=4，∴由等比数列的性质可得：a2a5=a3a4=4，∴log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2（a2a3a4a5）=log216=4．故填：4．【点评】：本题主要考查等比数列的性质与对数的运算，属于基础题．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．【正确答案】：[1]765【解析】：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出．【解答】：解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列．令100=2+7（n-1），解得n=15．∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和= 15×(2+100)2=765．故答案为：765．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由已知的等式，可得sinAsinBcosC=sin2C，然后根据正弦定理化简得出abcosC=c2，再由余弦定理求出cosC代入化简，即可求出m的值．【解答】：解：∵ cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，∴sinAsinBcosC=sinC•sin（A+B）=sin2C根据正弦定理上式可化简为：abcosC=c2①根据余弦定理可知cosC= a 2+b2−c22ab②由① ② 得a2+b2=3c2∵a2+b2=mc2∴m=3故答案为：3．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．【正确答案】：[1]120【解析】：由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，由此能求出S16．【解答】：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，S4=8，S8=24，由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，∴8，24-8，S12-24，S16-S12成等比数列，∴S12-24=32，S16-S12=64，解得S12=56，S16=120．故答案为：120．【点评】：本题考查等比数列的前16项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（35 sinx+ 45cosx）=5sin（x+θ），其中sinθ= 45，cosθ= 35．∵sinθ= 45，可知sin π4= √22≤45≤1=sinπ2，∴ π4≤θ≤π2对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x= π2−θ时，f（x）取最大值5，当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___【正确答案】：[1]18【解析】：根据三角形面积公式找到a，c的关系，结合基本不等式即可求得最小值．【解答】：解：根据题意，S△ABC= 12 acsinB= 12ac，因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，所以S△ABD= 12×BD×c×sin∠ABD=c，S△CBD= 12×BD×a×sin∠CBD=a，而S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12 ac=c+a，化简得2a+2c=1，则a+4c=（a+4c ）（ 2a + 2c ）=10+2a c+8c a ≥10+2 √2a c×8ca=18， 当且仅当a=2c ，即c=3，a=6时取等号，即最小值为：18． 故答案为：18．【点评】：本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于难题．9.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则 Tnn 的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，易知数列{a n }为等差数列． ∴a n =S n -S n-1=2n 2-12n-2（n-1）2-12（n-1）=4n-14， n≥4时，a n ＞0； n≤3时，a n ＜0．∴T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+…|a n |=-a 1-a 2-a 3+a 4+…a n ， ∴ T n ={−S n =−2n 2+12n ，n ≤3S n −2S 3=2(n 2−6n +18)，n ≥4，n≤3时， T nn=−2n 2+12nn=−2n +12 ，当n=3时， Tnn 的最小值为-2×3+12=6；n≥4时， Tnn =2(n 2−6n+18)n= 2(n +18n−6) ，∵n∈N *，n=4时， Tnn 的最小值为 2(4+184−6)=5 ．综上所述，则 Tnn 的最小值是5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，以及含绝对值的前n 项和的求解，做题时注意n 必须为正整数，属于中档题．10.（填空题，4分）在等差数列{a n }中，若S 10=100，S 100=910，S 110=___ ． 【正确答案】：[1]990【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10=100，S 100=910，利用求和公式可得：10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992d=910，解得a 1，d ，即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10=100，S 100=910， ∴10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992 d=910， 解得a 1= 1009100 ，d=- 150 ， S 110=110× 1009100 - 150 × 110×1092=990， 故答案为：990．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.（填空题，4分）设函数f （x ）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 ，函数g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___ 个． 【正确答案】：[1]7【解析】：分别作函数f （x ）与g （x ）的图象，转化为图象的交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】：解：作函数f （x ）=）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 与g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0的图象如下，，结合图象可知，y=|sinx|与y=lg （-x ）在（-∞，0）上有5个交点， 在[0，+∞）上，y=x 2与y=2x 有两个交点， 分别为（2，4），（4，16）；故方程f （x ）=g （x ）根的个数为7个； 故答案为：7．【点评】：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，注意基本初等函数的图象的作法及图象变换．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．可得：a2kb k =14+ 152k+1，进而得出结论．【解答】：解：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=n（7n+36）-（n-1）（7n+29）=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．a2k b k = 28k+292k+1=14+ 152k+1，只有2k+1=3，5，15，即k=1，2，7时，使得a2kb k为整数．故答案为：3．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由题意可得，化简，n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，解得即可．【解答】：解：由题意可得：S n=na1+ n(n−1)2d，a n＞0，√S n = √a1 +（n-1）d，可得：S n=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．∴na1+ n(n−1)2d=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，可得：a1=d2+2 √a1 d-d，a1=2d2+2 √a1 d- 32d．解得a1= 14，d= 12．∴S6=6× 14 + 12×5×6× 12=9．故答案为：9【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．【正确答案】：[1]1005【解析】：令a1=m，a201=n，将M=a201+a202+a203+…+a401转化为求关于m和n的式子最值，根据圆与直线的位置关系，求得32n−12m的最值，代入即可得结果．【解答】：解：∵a12+a2012≤10，令a1=m，a201=n，即m2+n2≤10，等差数列{a n}中，d= n−m200，M=a201+a202+a203+…+a401=（401-201+1）• a201+a4012=201a301=201（m+300d）=201（m+300 •n−m200）=201（m+ 3n2−32m）=201（32n−12m），令p= 32n−12m，则m-3n-2p=0，可得圆m2+n2=10上一点（m，n）也在直线m-3n-2p=0，即圆心到直线m-3n-2p=0的距离小于等于半径，∴ d=√12+(−3)2≤r=√10，解得p≤5，∴M=a201+a202+a203+…+a401≤201×5=1005．故答案为：1005．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了点到直线的位置关系，属于综合考查类题目，需要学生有综合分析的能力和转化的思想，属于中档题．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5= 5π3，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos 10π3 =- 12故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．16.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3【正确答案】：A【解析】：由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sinB和B的值．【解答】：解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A=B+C=π-A，解得A= π3；所以sinB= bsinAa = 2√3×√326= 12，又a＞b，所以B为锐角．所以B= π6．故选：A．【点评】：本题考查了正弦定理与等差数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}【正确答案】：D【解析】：运用等差数列的定义和通项公式，对选项一一判断差是否为常数，即与n无关，即可判断．【解答】：解：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），对于A，由λa n+1-λa n=λ（a n+1-a n）=λd为常数，则该数列为等差数列；对于B，由a n+1+b n+1-a n-b n=（a n+1-a n）+（b n+1-b n）=2d为常数，则该数列为等差数列；对于C，由a n+12-b n+12-（a n2-b n2）=（a n+1-a n）（a n+1+a n）-（b n+1-b n）（b n+1+b n）=d（2a1+（2n-1）d）-d（2b1+（2n-1）d）=2d（a1-b1）为常数，则该数列为等差数列；对于D，由a n+1b n+1-a n b n=（a n+d）（b n+d）-a n b n=d2+d（a n+b n）不为常数，则该数列不为等差数列．故选：D．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式，注意定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求得sinB 的值，再根据三角函数的有界性判断B 的值不存在，即三角形无解．【解答】：解：△ABC 中，a=15，b=24，A=60°， 由正弦定理得， 15sin60° = 24sinB ， ∴sinB= 85 sin60°= 85 × √32 ≈1.39＞1， ∴B 的值不存在，此三角形无解． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用正弦定理解三角形的应用问题，是基础题．19.（单选题，3分）已知函数 f (x )=−2tan (π2x +π3) ，下列说法中错误的是（ ） A.函数f （x ）的定义域是 {x|x ≠2k +13，k ∈Z} B.函数f （x ）图象与直线 x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C.函数f （x ）的单调增区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D.函数f （x ）的周期是2 【正确答案】：C【解析】：利用正切函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）=-tan （ π2 x+ π3 ），则 π2 x+ π3 ≠ π2 +kπ，k∈Z ；∴函数的定义域为{x |x≠2k+ 13 ，k∈Z}；故A 正确；B 正确；函数f （x ）的单调减区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z ，故C 错误； 函数f （x ）的周期是T= ππ2=2，故D 正确．所以说法错误的是：C ； 故选：C ．【点评】：本题主要考查正切函数的图象和性质，命题真假判断，属于中档题． 20.（单选题，3分）函数y=cos （2x+ π3 ），x∈[0， π2 ]的值域为（ ） A.[0，1] B.[-1， 12 ] C.[- √32 ， 12 ]D.[- 12，12]【正确答案】：B【解析】：先根据x的范围，求出2x+ π3的范围，再借助于余弦函数的性质即可求解结论．【解答】：解：∵x∈[0，π2]，∴2x+ π3∈[ π3，4π3]，∴y=cos（2x+ π3）∈[-1，12]．故选：B．【点评】：本题考查了余弦函数的定义域和值域的求法，属于基础题．21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1] 【正确答案】：D【解析】：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数．【解答】：解：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为y=π-arcsinx，x∈[-1，1]，故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π【正确答案】：C【解析】：由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A= π4 ，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径即可求△ABC 外接圆的面积．【解答】：解：∵△ABC 的面积为S ，且4S=b 2+c 2-4，a=2， ∴可得：4S=b 2+c 2-a 2，∴4× 12bcsinA=2bccosA ，可得：tanA=1， ∵A∈（0，π）， ∴A= π4 ，∴则△ABC 外接圆的半径R= a2sinA =2×√22= √2 ，∴则△ABC 外接圆的面积S=πR 2=2π． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．23.（单选题，3分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+ 2π3 ），则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2 【正确答案】：D【解析】：利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：曲线C2：y=sin（2x+ 2π3）=cos（2x+ π6），把C1：y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=cos2x的图象；再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos（2x+ π6）=sin（2x+ 2π3）的图象，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π3【正确答案】：B【解析】：由题意可得函数的半周期，代入周期公式求得ω，再利用正弦函数的单调性，结合φ的范围即可求得φ值．【解答】：解：对于函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2．∴ T 2 = π2，则T=π，∴ω= 2πT = 2ππ=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），又∵f（x）=2sin（ωx+φ）的图象关于直线x= π6对称，∴2× π6+φ=2kπ+ π2，k∈Z，可得φ=2kπ+ π6，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ= π6，故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题．25.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定【正确答案】：C【解析】：等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），求出a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=12，由a1，a2，a3是等比数列，解得m=-1，从而a n=3×2n-1．进而a n2=9×4n-1，由此能求出a12+a22+…+a n2．【解答】：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），∴a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=3（22+m）-3（2+m）=6，a3=S3-S2=3（23+m）-3（22+m）=12，∵a1，a2，a3是等比数列，∴ a22=a1a3，∴36=12（6+3m），解得m=-1，∴a n=3×2n-1．∴ a n2 =9×4n-1，=3（4n-1）．则a12+a22+…+a n2= 9(1−4n)1−4故选：C．【点评】：本题考查等比数列的各项的平方的和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+1【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的前n项和即可得出S n，再利用“裂项求和”即可得出数列 { 1S n}的前n项和．【解答】：解：∵S n=4n+ n(n−1)2×4 =2n2+2n，∴ 1 S n =12n2+2n=12(1n−1n+1)．∴数列 { 1S n }的前n项和= 12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)] = 12(1−1n+1) = n 2(n+1)．故选：A．【点评】：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键．27.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负【正确答案】：A【解析】：由函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，可得：f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵由列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据a1+a315=2a158＞0，可得f（a1）+f（a315）＜0．……，进而得出结论．【解答】：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，∴f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵数列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据 a1+a315=2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28.（单选题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π11 ，则函数g （x ）=sinx-acosx 的一条对称轴可以为（ ） A.x= 9π22 B.x= 13π22 C.x= 10π11 D.x=13π11 【正确答案】：B【解析】：利用辅助角公式分别将f （x ）和g （x ）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．【解答】：解：f （x ）= √a 2+1 （ √a 2+1sinx+√a 2+1cosx ），令cosθ=√a 2+1，sinθ=√a 2+1则f （x ）= √a 2+1 （sinxcosθ+cosxsinθ）= √a 2+1 sin （x+θ）， ∵f （x ）的一条对称轴为x= π11， ∴ π11+θ=kπ+ π2，即θ=kπ+ 9π22 ，k∈Z ， g （x ）=sinx-acosx= √a 2+1 （ √a 2+1sinx-√a 2+1cosx ）= √a 2+1 （sinxsinθ-cosxcosθ）=-√a 2+1 cos （x+θ）， 由x+θ=mπ，m∈Z ，得x=mπ-θ=mπ-kπ+ 9π22 =（m-k ）π- 9π22 ，m ，k∈Z ， 当m-k=1时，对称轴为x=π- 9π22 = 13π22 ， 故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．29.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸D.四尺五寸 【正确答案】：B【解析】：由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }， 则 {a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5解可得，d=-1，a 1= 272 ， 根据题意即求a 12= 272−11 =2.5 故选：B ．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础试题．30.（单选题，3分）已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ， a n b n=2n+33n−1 ，则 S11T 11=（ ） A. 1517B. 2532C.1D.2【正确答案】：A 【解析】：S 11= 11(a 1+a 11)2 =11a 6，同理可得：T 11=11b 6．即可得出 S 11T 11 = a 6b 6．【解答】：解：S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6， 同理可得：T 11=11b 6． ∴S 11T 11 = 11a 611b 6 = a 6b 6 = 2×6+33×6−1 = 1517． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.（单选题，3分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足 S 2m S m=9， a2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ）A. √2B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q．当公比q≠1时，∵存在m∈N+满足S2mS m=9，∴ a1(q2m−1)q−1a1(q m−1)q−1=9，∴q m+1=9，∴q m=8．又a2ma m = 5m+1m−1，∴ a1q2m−1a1q m−1= 5m+1m−1，即q m= 5m+1m−1=8，解得m=3．∴q3=8，解得q=2．q=1不满足题意．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞0【正确答案】：C【解析】：利用等比数列的性质直接求解．【解答】：解：由数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，知：在A中，若a1+a2＞0，则a1+a3可能小于0，例如等差数列-3，6，-12，24，……中，a1+a2=-3+6=3＞0，则a1+a3=-3-12=-15＜0，故A错误；在B中，若a1+a3＞0，则a1+a2可能小于0，例如等差数列3，-6，12，-24，……中，a1+a3=3+12=15＞0，则a1+a2=3-6=-3＜0，故B错误；＞0，在C中，∵a1＞0，∴当q＜0时，S2021= a1(1−q2021)1−q＞0，当0＜q＜1时，S2021= a1(1−q2021)1−q当q=1时，S2021=2021a1＞0，＞0，故C正确；当q＞1时，S2021= a1(1−q2021)1−q有可能小于或等于0，在D中，∵a1＞0，∴当q≠1时，S2020= a1(1−q2020)1−q=0，例如q=-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q＜0，故D错误．q＜-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1＜0，给出下a2020−1列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：B【解析】：由题意可得a2019＞1，a2020＜1，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．＜0，【解答】：解：∵a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故① 正确；a2019a2021= a20202＜1，∴a2019a2021-1＜0，故② 不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③ 正确；T4039=a1a2•…•a4038•a4039= a20204039＜1，T4038=a1a2•…•a4037•a4038= (a2019a2020)2019＞1，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④ 不正确．∴正确结论的序号是① ③ ．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据等差，等比数列的定义即可判断各选项的真假．【解答】：解：对于① ，设数列{a n}的首项为a1（a1≠0），公差为d，公比为q（q≠0），依定义有，2a2=a1+a3，即2a1q=a1+a1q2，解得q=1，所以① 正确；对于② ，若公差d＞0，等差数列{a n}是递增数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，若公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，所以d=0，即② 正确；）n，满足|a n|≤2020，但是数列{a n}不是常数列，所以③ 对于③ ，若等比数列{a n}，a n=（12错误；对于④ ，若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，设公比为q（q＞0），当0＜q＜1时，等比数列为递减数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＜1，当q＞1时，等比数列为递增数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＞2020，所以q=1，即④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查数列的定义，单调性的应用，以及无穷数列的性质应用，属于中档题．）=13-9 35.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π4√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：时f（x）的值，从而解得a的值；【解析】：（1）计算x= 9π4（2）根据f（x+π）=f（x），求得f（x）的一个周期为π，再结合反证法证明π是最小正周期；（3）根据f（x）的最小正周期为π，先分类讨论求出函数在一个周期内有多少个零点，进而分析判断求解．【解答】：解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，，得√2 a+4+9=13-9 √2，解得a=-9；令x= 9π4（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x），所以，π是函数f（x）的一个周期．下证π是 f（x）的最小正周期：（反证法），假设存在 0＜T＜π，使得 f（x+T）=f（x）对x∈R 恒成立，取 x=0，则 f（T）=f（0）=0，即 4sin2T+9-9（|sinT|+|cosT|）=0（*）)，t∈[1，√2]，则sin2T=t2-1令t=sinT+cosT=√2sin(T+π4；于是（*）式即 4（t2-1）+9-9t=0，解得 t=1 或t=54，由 t=1，可解得T=π2由t=54可解得T=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或T=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当T∈(π2，π)时，4sin2T+9-9（sinT-cosT）=0 令t=sinT−cosT=√2sin(T−π4)，t∈(1，√2]，则sin2T=1-t2，于是（*）式即 4（1-t2）+9-9r=0，解得 t=1 （舍）或t=−134（舍）∴T 的可能值为T=π2或T=arcsin5√28−π4或T=3π4−arcsin5√28，检验：① T=π2时，f(π4)=13−9√2，f(−π4)=5−9√2≠f(π4)，∴ T=π2不是 f（x）的周期，② T=arcsin5√28−π4时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18cosT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=arcsin5√28−π4不是 f（x）的周期；③ T=3π4−arcsin5√28时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18sinT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=3π4−arcsin5√28不是 f（x）的周期；假设不成立，故π是 f（x）的最小正周期．（3）当x∈[0，π2]时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx+cosx）令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，t∈[1，√2]，则sin2x=t2-1于是 f（x）=0⇒4t2-9t+5=0，得 t=1 或t=54∈[1，√2]由 t=1，可解得 x=0 或x=π2，由t=54，可解得x=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或x=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当x∈(π2，π)时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx-cosx）令t=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，t∈(1，√2]，则sin2x=1-t2，于是 f（x）=0⇒4t2+9t-13=0，得 t=1 或t=−134∉(1，√2]，∴f（x）=0 在x∈(π2，π)无解综上，f（x）=0 在[kπ，kπ+π2](k∈Z)上有4个根，在[kπ，kπ+π）（k∈Z）上有4个根，在[kπ，kπ+π]（k∈Z）上有5个根，而 2020=4×505，∴f（x）=0 在[0，1009π2]内有2020个根，在[0，505π]内有2020个根，在[0，505π]内有2021个根由题意，1009π2＜nπ4⩽505π⇒2018＜n⩽2020，又n∈N*∴n=2019 或 n=2020．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，分别令n=1，n=2，运用等差数列的通项公式可得a1，d，由等差数列的求和公式可得所求和；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式和等差数列的性质，可得q=1，求得b n，进而得到所求和；（3）设数列{a n}的公比为q1，数列{b n}的公比为q2，分别令n=1，2，3，运用等比数列的通项公式和性质，转化为a1，q1的方程，将上式中的a1看做常数，q1为变量，方程（*）的根或是相等的实根，或其中一个为0，求得首项和公比，运用等比数列的通项公式，化简整理，可得所求项．【解答】：解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，可得b1-a1=2，b2-a2=4，T1=4S1，即b1=4a1，解得a1= 23，b1= 83，T2=4S2，即b1+b2=4（a1+a2），即83 +4+a2=4（23+a2），解得a2= 43，即d=a2-a1= 23，可得a n= 23 + 23（n-1）= 23n，则S30= 12×30×（23+ 603）=310；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，b n-a n=2n，a1=1，可得a n=q n-1，b n=2n+q n-1，则q=1，（若q≠1，则{b n}不为等差数列）则b n=2n+1，T30= 12×30×（3+61）=960；。
2019-2020学年湖北省武汉六中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 132.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=03.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000，则这个数列的第n项a n为（）4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a nA.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+15.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √226.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n7.（单选题，5分）数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A. 13B. 512C. 12D. 7128.（单选题，5分）若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.012.（单选题，5分）在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，则边c的取值范围是（）A. √5＜c＜3B. √3＜c＜√5C.1＜c＜√3或√5＜c＜3D. √3＜c＜√5或√5＜c＜313.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗的夹角为60°，| a⃗ |=2，| b⃗⃗ |=1，则| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．14.（填空题，5分）已知a⃗，b⃗⃗为单位向量，且a⃗• b⃗⃗ =0，若c⃗ =2 a⃗ - √5b⃗⃗，则cos＜a⃗，c⃗＞=___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= √7，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ．16.（填空题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=___ ，S5=___ ．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？18.（问答题，12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB= 35，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-21．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．19.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n-1=0（n≥2），a1= 12．（1）求证：{ 1S n}是等差数列；（2）求a n的表达式．20.（问答题，12分）已知a⃗ =（cosx，2cosx），b⃗⃗ =（2cosx，sinx），f（x）= a⃗• b⃗⃗．（1）把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，求f（x）的值．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 13【正确答案】：B【解析】：根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2λ=-6，解可得λ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则有2λ=-6，解可得：λ=-3；故选：B．【点评】：本题考查向量平行的坐标表示方法，掌握向量的坐标计算2.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=0【正确答案】：D【解析】：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】：解：因为向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），a⃗⊥ b⃗⃗，所以2（x-1）+2=0，解得x=0．故选：D．【点评】：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．3.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000【正确答案】：B【解析】：由a n+1=a n+2n，可得a n+1-a n=2n，利用“累加求和”、等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】：解：∵a1=2，a n+1=a n+2n，∴a n+1-a n=2n，∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2= 2×n(n−1)2+2=n2-n+2．∴a100=1002-100+2=9902．故选：B．【点评】：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，则这个数列的第n项a n为（）A.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+1【正确答案】：C【解析】：取倒数，推出数列{ 1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，1 a n+1=1a n+2，可得数列{ 1a n}是等差数列，首项为1，公差为2，所以1a n=1+(n−1)×2=2n−1，所以a n= 12n−1，故选：C．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．5.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √22【正确答案】：D【解析】：利用向量的数量积以及向量的垂直关系，推出向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量即可．【解答】：解：由| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），得a⃗•（a⃗ - b⃗⃗）=0，a⃗• b⃗⃗ = a⃗• a⃗=1，所以向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗b⃗⃗|b⃗⃗|=√2=√22，故选：D．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．6.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n【正确答案】：D【解析】：由1+2+22+…+2n-1= 1×(1−2n)1−2=2n-1可知，数列的前n项和为：（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=21+22+23+…+2n-n= 2(1−2n)1−2−n =2n+1-2-n【解答】：解：∵1+2+22+…+2n-1=1×(1−2n )1−2=2n -1 ∴数列的前n 项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1） =（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n -1） =21+22+23+…+2n -n =2(1−2n )1−2−n =2n+1-2-n 故选：D ．【点评】：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．7.（单选题，5分）数列{a n }、{b n }满足a n •b n =1，a n =n 2+3n+2，则{b n }的前10项之和等于（ ） A. 13 B. 512 C. 12 D. 712【正确答案】：B【解析】：先求出数列{b n }的通项公式，然后写出数列{b n }的前10项之和，利用裂项的方法求和即可．【解答】：解：∵a n •b n =1 ∴b n = 1n 2+3n+2 = 1(n+1)(n+2) ∴s10=12×3+13×4+ + 110×11+111×12 =（ 12 - 13 ）+ (13−14) + +(110−111) +(111−112) = 12- 112 = 512故选：B ．【点评】：本题考查了数列的求和对于通项公式为 1(n+1)(n+2) ，一般采取裂项的方法求前n 项和，属于基础题．8.（单选题，5分）若在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形【正确答案】：C【解析】：由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．【解答】：解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0，∴A-B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形，故选：C．【点评】：本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）【正确答案】：C【解析】：由条件推出A为锐角，从而判断△ABC的形状，通过a＞b＞c，推出A的范围．【解答】：解：△ABC中，由a＞b＞c，说明A最大，由a2＜b2+c2，故A为锐角，故△ABC的形状是锐角三角形，因为A最大，所以A＜π2，A∈（π3，π2）故选：C．【点评】：本题主要考查三角形的形状的方法，勾股定理（或余弦定理）的应用，属于中档题．10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c【正确答案】：B【解析】：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化简，整理后把sin（A+C）=sinB代入，利用正弦定理化简即可得到结果．【解答】：解：把acos2C2 +ccos2A2= 32b，化简得：a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC+sinB=3sinB，即sinA+sinC=2sinB，则由正弦定理化简得，a+c=2b．故选：B．【点评】：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.0【正确答案】：C【解析】：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．【解答】：解：∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∵角平分线CD 把三角形面积分成3：2两部分， ∴由角平分线定理得：BC ：AC=BD ：AD=2：3， ∴由正弦定理 BCsinA = ACsinB 得： sinAsinB = 23 ， 整理得： sinAsin2A = sinA2sinAcosA = 23 ， 则cosA= 34 ． 故选：C ．【点评】：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.（单选题，5分）在钝角三角形ABC 中，a=1，b=2，则边c 的取值范围是（ ） A. √5 ＜c ＜3 B. √3 ＜c ＜ √5C.1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3D. √3 ＜c ＜ √5 或 √5 ＜c ＜3 【正确答案】：C【解析】：题中已知△ABC 是钝角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c 的变化范围．【解答】：解： ① ∵当∠C 是钝角时，有∠C ＞90°， ∴c ＞ √a 2+b 2 = √5 ， 又a+b ＞c ，可得c ＜1+2=3， ∴可得边c 的取值范围是（ √5 ，3）； ② 当∠B 是钝角时，有∠B ＞90°，∴b 2＞a 2+c 2，可得4＞1+c 2，解得c ＜ √3 ， 又c ＞b-a=1， ∴1＜c ＜ √3 ，综上，边c 的取值范围是1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3．【点评】：考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，属于基础题．13.（填空题，5分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1，则| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]2 √3【解析】：根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】：解：【解法一】向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，且| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1， ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)2= a ⃗2 +4 a ⃗ • b ⃗⃗ +4 b ⃗⃗2 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，∴| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=2 √3 ． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ +2 b ⃗⃗ ； 在△OAC 中，由余弦定理得| OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+22−2×2×2×cos120° =2 √3 ， 即| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=2 √3 ． 故答案为：2 √3 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14.（填空题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且 a ⃗ • b ⃗⃗ =0，若 c ⃗ =2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ，则cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论．【解答】：解： a ⃗•c ⃗ = a ⃗•(2a ⃗−√5b ⃗⃗) =2 a ⃗2 - √5 a ⃗•b ⃗⃗ =2， ∵ c ⃗2 =（2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ）2=4 a ⃗2 -4 √5 a ⃗•b ⃗⃗ +5 b ⃗⃗2 =9， ∴| c ⃗ |=3，∴cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞= a⃗⃗•c ⃗|a ⃗⃗||c ⃗| = 23 ． 故答案为： 23【点评】：本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a= √7 ，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ． 【正确答案】：[1]√217; [2]3 【解析】：由正弦定理得 √7sin60° = 2sinB ，由此能求出sinB ，由余弦定理得cos60°= 4+c 2−72×2c ，由此能求出c ．【解答】：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． a= √7 ，b=2，A=60°， ∴由正弦定理得： a sinA=b sinB ，即 √7sin60° = 2sinB， 解得sinB=2×√32√7=√217． 由余弦定理得：cos60°= 4+c 2−72×2c ，解得c=3或c=-1（舍）， ∴sinB=√217，c=3． 故答案为： √217，3．【点评】：本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.（填空题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，a n+1=2S n +1，n∈N *，则a 1=___ ，S 5=___ ．【正确答案】：[1]1; [2]121【解析】：运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1-S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】：解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1-S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】：本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，(a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) =0，展开即可得出．) =-16．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗ = |a⃗||b⃗⃗| cos120°= 4×8×(−12| a⃗+b⃗⃗ |= √a⃗2+b⃗⃗2+2a⃗•b⃗⃗ = √42+82+2×(−16) =4 √3．（2）∵ (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，∴ (a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) = ka⃗2−2b⃗⃗2 + (2k−1)a⃗•b⃗⃗ =0，∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0，化为k=-7．∴当k=-7值时， (a ⃗+2b ⃗⃗)⊥(ka ⃗−b ⃗⃗) ．【点评】：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosB= 35 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-21．（1）求△ABC 的面积； （2）若a=7，求角C ．【正确答案】：【解析】：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−21 ，把cosB 的值代入求出ac 的值，然后由cosB 的值和B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ac 和sinB 的值代入即可求出△ABC 的面积；（2）由（1）求出的ac 的值和a 的值，求出c 的值，再由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理求出b 的值，再由b ，sinB 以及c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，利用大边对大角，由a 大于c 得到角C 为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数．【解答】：解：（1）∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (π−B )=−accosB =−35ac =−21 ，∴ac=35，又∵ cosB =35 ，0＜B ＜π，∴ sinB =45 ， ∴ S △ABC =12acsinB =12×35×45=14 ； （2）由（1）知：ac=35，且a=7，∴c=5，则 b 2=a 2+c 2−2accosB =49+25−2×35×35=32 ，∴ b =4√2 ，由正弦定理得： bsinB=csinC，∴ sinC =csinBb=5×454√2=√22， 又∵a ＞c ，∴ C ∈(0，π2) ，∴ C =π4 ．【点评】：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，培养了学生分析问题，解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B ，不是角B ；第2问中由a ＞c ，利用大边对大角得到角C 为锐角．19.（问答题，12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n •S n-1=0（n≥2），a 1= 12 ． （1）求证：{ 1S n}是等差数列； （2）求a n 的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）本题关键是将a n =S n -S n-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可． （2）先求出S n ，利用S n 求a n ，必须分类讨论a n = {a 1 n =1S n −S n−1n ≥2，求解可得．【解答】：（1）证明：∵-a n =2S n S n-1，∴-S n +S n-1=2S n S n-1（n≥2），S n ≠0（n=1，2，3）． ∴ 1S n- 1Sn−1=2．又 1S 1= 1a 1=2，∴{ 1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列． （2）解：由（1）， 1S n=2+（n-1）•2=2n ，∴S n = 12n ．当n≥2时，a n =S n -S n-1= 12n - 12(n−1) =- 12n (n−1)[或n≥2时，a n =-2S n S n-1=-12n (n−1)]； 当n=1时，S 1=a 1= 12． ∴a n = {12(n =1)−12n (n−1)(n ≥2)【点评】：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S n 求a n ，注意分类讨论，属于基础题． 20.（问答题，12分）已知 a ⃗ =（cosx ，2cosx ）， b ⃗⃗ =（2cosx ，sinx ），f （x ）= a ⃗ • b ⃗⃗ ． （1）把f （x ）的图象向右平移 π6 个单位得g （x ）的图象，求g （x ）的单调递增区间； （2）当 a ⃗≠0⃗⃗，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线时，求f （x ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4]+1．再利用正弦函数的单调性即可得出：g（x）的增区间．（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，可得tanx=4．于是f（x）= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1，即可得出．【解答】：解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x= √2sin(2x+π4) +1．∴ f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4] +1=√2sin(2x−π12) +1．∴ g(x)=√2sin(2x−π12) +1．由2kπ−π2≤2x−π12≤ π2+2kπ，解得kπ−5π24≤x≤kπ+ 7π24，k∈Z．∴g（x）的增区间[kπ−5π24，kπ+7π24]，k∈Z．（2）∵当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，∴4cos2x-sinxcosx=0，∴tanx=4．∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1= 2+2×442+1= 1017．【点评】：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A- π6）的值．【解答】：解：（1）∵△ABC中，cosB= 45，B∈（0，π），∴sinB= 35，∵ AB sinC =ACsinB，∴AB= 6×√2 235=5 √2；（2）cosA=-cos（π-A）=-cos（C+B）=sinBsinC-cosBcosC=- √210．∵A为三角形的内角，∴sinA= 7√210，∴cos（A- π6）= √32cosA+ 12sinA= 7√2−√620．【点评】：本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）S n=10n-n2，n≥2时，a n=S n-S n-1，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．可得n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n．即可得出T n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=0，a6+a8=-10．可得a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1，d，可得a n．于是a n2n−1 = 2−n2n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】：解：（1）∵S n=10n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=10n-n2-[10（n-1）-（n-1）2]=11-2n，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．∴n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n=10n-n2．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n=2×（50-25）-（10n-n2）=n2-10n+50．综上可得：T n= {10n−n2，1≤n≤5n2−10n+50，(n≥6)．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=-10．∴a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1=1，d=-1，∴a n=1-（n-1）=2-n．∴ a n 2n−1 = 2−n2n−1．∴数列{ a n2n−1 }的前n项和H n=1+0- 122- 223+……+ 2−n2n−1．1 2 H n= 12+0- 123- 224+……+ 3−n2n−1+ 2−n2n．相减可得：12 H n=1- 12- 122123-……+ 12n−1- 2−n2n=2- 1−12n1−12- 2−n2n．化为：H n= n2n−1．（n=1时也成立）．【点评】：本题考查了数列递推关系、绝对值数列求和问题、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
深圳市高级中学2018-2019年高一下期中数学(理)试卷及答案
高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学命题人：李浩宾 审题人：张宏伟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ） A.21 B. 22C. 2D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =，则AC =（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则46a a +与52a的大小关系是（ ）A ．46a a +＞52aB ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ） A ．31010 B ．1010 C ．510 D ．5158．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ）A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 10．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）11．已知点P (),a b 在直线23x y +=上，则24a b +的最小值为 ． 12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________. 13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ．14．等比数列{}n a 的首项为12015a =，公比12q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积， 则当n = 时，()f n 有最大值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题满分12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：（1） 22150x x --< （2） 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．17．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<．18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．（本小题满分14分）已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>的距离为2105.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}nb 的前n 项和.（Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（III ）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由.高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10. ①④ 11. 12．4 13. 1214. 126612015()2⨯14.解112015()2n n a -=⨯-，(1)21()2015()2n n nf n -=⋅- ∵|(1)|2015|()|2nf n f n +=，∴当n ≤10时，|(1)|2015|()|2nf n f n +=＞1，∴ | f (11) |＞| f (10) |＞…＞| f (1) |； 当n ≥11时，|(1)|2015|()|2n f n f n +=＜1，∴ | f (11) |＞| f (12) |＞…∵(11)0,(10)0,(9)0,(12)0f f f f <<>>，∴()f n 的最大值为(9)f 或(12)f 中的最大者．∵126633031093612015()(12)1201522015()()11(9)222015()2f f ⨯==⨯=>⨯-，∴ 当n =12时，()f n 有最大值为12661(12)2015()2f =⨯．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求m 的值． 解：（Ⅰ）1. 22150x x --<的解集为5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3分2．23x ≥-的解集为()20,,3⎛⎤+∞-∞- ⎥⎝⎦ 7分（Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，则0,2是2122x x mx -+=的解．故 2122222m -+⋅=，解得1m =，所以1m = 12分 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．(1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = 5分 (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6cos 5AB AC A ABAC-∠===sin 5A ∠==12分 17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S . （III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．2503．在△ABC中，若a＝2，，，则B＝（）A．B．C．D．或4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A．30B．40C．50D．605．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是（）A．0B．C．0或D．或6．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内B．三条平行直线共面C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D．空间三点确定一个平面7．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或18．两圆与的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．49．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0 10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．一组数据：6，8，9，13的方差为．14．已知两点M（0，2），N（2，﹣2），以线段MN为直径的圆的方程为．15．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）16．平面四边形ABCD的对角线AC，BD的交点位于四边形的内部，已知AB＝1，BC＝2，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，则BD的最大值为．四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，，且C 为锐角．求：（1）sin A的值；（2）△ABC的面积．18．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3．（1）证明：EF∥平面A1ADD1；（2）求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．19．已知直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0（k∈R），圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0．（1）求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PC上的点，且EF∥底面ABCD．（1）求证：EF∥AC；（2）若PC⊥底面ABCD，，∠ABC＝60°，求证：EF⊥PB．21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定．如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′，YY′，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA＝30mile，OB＝10mile，后来军舰甲沿XX′的方向，乙军舰沿Y′Y的方向，同时以40mile/h的速度航行．（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由．22．已知圆O：x2+y2＝1和点M（﹣1，﹣4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．解：∵直线y＝x+1的斜率为，∴直线y＝x+1的倾斜角α满足tanα＝，∴α＝60°故选：B．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量＝总体个数×抽取比例计算n值．解：分层抽样的抽取比例为＝，总体个数为3500+1500＝5000，∴样本容量n＝5000×＝100．故选：A．3．在△ABC中，若a＝2，，，则B＝（）A．B．C．D．或【分析】先利用正弦定理求得sin B的值，进而求得B．解：∵＝，∴sin B＝•sin A＝×＝，∴B＝或，∵a＞b，∴A＞B，∴B＝．故选：A．4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A．30B．40C．50D．60【分析】样品为三等品的频率为（0.0125+0.0250+0.0125）×5＝0.25，又已知样本容量为200，可解得样本中三等品的件数．解：样本为三等品的件数为200×（0.0125+0.0250+0.0125）×5＝50；故选：C．5．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是（）A．0B．C．0或D．或【分析】利用一般式下两直线垂直的判定方法即：L1：A1x+B1y+C1＝0，L2：A2x+B2y+C2＝0，若L1⊥L2，则A1A2+B1B2＝0，带入求解即可．解：因为直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则（a+2）•3a+2a•（﹣1）＝0，解得：．故选：C．6．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内B．三条平行直线共面C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D．空间三点确定一个平面【分析】利用平面的基本性质及其推论直接求解．解：对于A，线段AB在平面α内，则直线AB一定在平面α内，故A错误；对于B，三条平行直线不一定共面，比如正方体AC1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故B错误；对于C，两平面有一个公共点，则这两相平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；对于D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D错误．故选：C．7．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．解：﹣2+a＝0，即a＝2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为2x+y＝0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；﹣2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为+＝1，它在两坐标轴上的截距为＝2﹣a，解得a＝1；综上所述，实数a＝2或a＝1．故选：D．8．两圆与的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由两圆的半径和圆心距，判断两圆外切，有3条公切线．解：圆的圆心为C1（0，0），半径为r1＝1，圆的圆心为C2（﹣3，0），半径为r2＝2；且|C1C2|＝3，r1+r2＝3，所以|C1C2|＝r1+r2，所以两圆外切，公切线有3条．故选：C．9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0【分析】先根据题意求出AB的垂直平分线，再根据AC＝BC，可知三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，即AB的垂直平分线即为所求．解：线段AB的中点为（2，1），，∴线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0，故选：D．10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝AB＝AC＝BC＝2．利用cos＜，＞＝即可得出．解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝AB＝AC＝BC＝2．则A（0，﹣1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，﹣2），∴cos＜，＞＝＝＝．另解：分别取棱AB，BB1，B1C1的中点，连接，利用余弦定理即可得出．故选：D．二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形【分析】利用三角形的内角和以及正弦定理，三角方程转化求解判断选项的正误即可．解：因为三角形中，A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin（π﹣B﹣C）＝sin（B+C），所以A正确；cos A＝cos[π﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C），所以B不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即有2R sin A＞2R sin B，故sin A＞sin B，所以C正确；sin2A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D不正确；故选：AC．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形【分析】利用直线与平面平行的判定判断A；利用反证法说明B错误；通过证明线面垂直，得到线线垂直说明C正确；找出平面AQP截正方体所得截面说明D正确．解：如图，∵P，Q分别为棱BC和CC1的中点，∴PQ∥BC1，∵PQ⊂平面AQP，BC1⊄平面AQP，∴BC1∥平面AQP，故A正确；若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，又A1D⊥AB，AB∩AP＝A，∴A1D⊥平面ABCD，与A1D与平面ABCD不垂直矛盾，故B错误；由A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，得BC1⊥平面A1B1C，得A1C⊥BC1，则A1C⊥PQ，即异面直线A1C与PQ所成角为90°，故C正确；平面AQP截正方体所得截面为APQD1，为等腰梯形，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．一组数据：6，8，9，13的方差为．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．解：一组数据：6，8，9，13的平均数为：＝（6+8+9+13）＝9，∴这组数据的方差为：S2＝[（6﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（13﹣9）2]＝．故答案为：．14．已知两点M（0，2），N（2，﹣2），以线段MN为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝5．【分析】根据题意，设MN的中点为O，由MN的坐标求出O的坐标以及MN的长，即可得要求圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案．解：根据题意，设MN的中点为O，则以线段MN为直径的圆的圆心为O，半径r＝，又由M（0，2），N（2，﹣2），则O（1，0），|MN|＝＝2，则r＝，则要求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝5；故答案为：（x﹣1）2+y2＝5．15．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为200m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）【分析】由题意，AB＝400m，AC＝200m，△BAC中，利用余弦定理，即可得出结论．解：从200m高的电视塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∴AB＝400m，AC＝200m，△BAC中，∠BAC＝45°，∴由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos45°＝4002+（200）2﹣2×400×200×＝80000；∴BC＝200（m）．故答案为：200．16．平面四边形ABCD的对角线AC，BD的交点位于四边形的内部，已知AB＝1，BC＝2，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，则BD的最大值为2+1．【分析】引入∠ABC＝α，先在△ABC中，利用α借助于正弦定理表示出AC，sin∠ACB．然后再在△BCD中利用余弦定理表示出BD，最后借助三角恒等变换求出BD的最值．解：如图，设∠ABC＝α，在△ABC中，因为AB＝1，BC＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosα＝5﹣4cosα，即．∴，即，∴，∴＝﹣sin∠ACB＝．所以在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝×＝．易知，当时，BD2最大值为，故BD的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，，且C 为锐角．求：（1）sin A的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求sin A，（2）由已知结合同角平方关系可求cos C，然后结合余弦定理可求b，代入三角形的面积公式即可求解．解：（1）在△ABC中，由正弦定理有：，解得；（2）因为，且C为锐角，所以，在△ABC中，由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，解得b＝2；所以△ABC的面积为．18．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3．（1）证明：EF∥平面A1ADD1；（2）求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．【分析】（1）连接BC1，则EF∥BC1，推导出四边形ABC1D1为平行四边形，从而BC1∥AD1，EF∥AD1，由此能证明EF∥平面A1ACD1．（2）连AD1C1D1⊥平面A1ADD1，从而∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角，由此能求出直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．解：（1）证明：连接BC1，在△BDC1中，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得：EF∥BC1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1所以EF∥AD1，EF⊄平面A1ACD1，AD1⊂平面A1ACD1，所以EF∥平面A1ACD1．（2）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连AD1C1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角由题意知：在Rt△AD1C1中，，即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为．19．已知直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0（k∈R），圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0．（1）求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．【分析】（1）将直线l方程整理：kx﹣y﹣4k+3＝0可化为：（x﹣4）k﹣y+3＝0，可得恒过直线x﹣4＝0和﹣y+3＝0的交点，及直线恒过定点．（2）由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，求出直线MC的斜率，进而可得直线l的斜率，再由过的点的坐标可得直线l的方程．【解答】（1）证明：直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0可化为：（x﹣4）k﹣y+3＝0，可得所以直线l过定点M（4，3）．（2）解：由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，因为直线MC的斜率为﹣1，所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PC上的点，且EF∥底面ABCD．（1）求证：EF∥AC；（2）若PC⊥底面ABCD，，∠ABC＝60°，求证：EF⊥PB．【分析】（1）由EF∥平面ABCD，利用线面平行的性质即可证明EF∥AC．（2）在三角形ABC中，由正弦定理得，解得∠BAC＝30°，可知AC⊥BC，又利用线面垂直的性质可知PC⊥AC，利用线面垂直的判定可证AC⊥平面PBC，利用线面垂直的性质可知AC⊥PB，又EF∥AC，即可证明EF⊥PB．解：（1）因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，所以由线面平行的性质定理，可得EF∥AC．（2）在三角形ABC中，因为，且∠ABC＝60°，由正弦定理可得，解得∠BAC＝30°．得∠ACB＝90°，即AC⊥BC；又PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故可得PC⊥AC，又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，可得AC⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，则AC⊥PB；又因为EF∥AC，得EF⊥PB，即证．21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定．如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′，YY′，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA＝30mile，OB＝10mile，后来军舰甲沿XX′的方向，乙军舰沿Y′Y的方向，同时以40mile/h的速度航行．（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）分情况分别利用余弦定理求得CD的长，进而利用二次函数的性质求得其最小值即可求得结论．解：（1）连结AB，在△ABO中，由余弦定理得所以：起初两军舰的距离为mile．（2）设t小时后，甲、乙两军舰分别运动到C，D，连结CD当时，＝；当时，同理可求得；所以经过t小时后，甲、乙两军舰距离（t＞0）因为＝；因为t＞0，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为20mile．又20≥20，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定．22．已知圆O：x2+y2＝1和点M（﹣1，﹣4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x＝﹣1，为圆O的切线；当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4＝k（x+1），通过圆心到直线的距离转化求解即可．（2）点M（﹣1，﹣4）到直线2x﹣y﹣12＝0的距离，圆被直线y＝2x﹣12截得的弦长，求出半径，然后求解圆的方程．（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，通过点P在圆M上，PQ为圆O的切线，推出（﹣2+2λ+2aλ）x+（﹣8+8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）＝0，然后转化求解λ，即可推出结果．解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x＝﹣1，为圆O的切线；当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣4＝0，∴圆心O到切线的距离为，解得，∴直线方程为15x﹣8y﹣17＝0综上切线的方程为x＝﹣1或15x﹣8y﹣17＝0．（2）点M（﹣1，﹣4）到直线2x﹣y﹣12＝0的距离为，∵圆被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8，∴，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+4）2＝36．（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，∵点P在圆M上，∴（x+1）2+（y+4）2＝36，则x2+y2＝﹣2x﹣8y+19，∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ2＝PO2﹣1＝x2+y2﹣1，PR2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2，∴x2+y2﹣1＝λ[（x﹣a）2+（y﹣b）2]，即﹣2x﹣8y+19﹣1＝λ（﹣2x﹣8y+19﹣2ax﹣2by+a2+b2），整理得（﹣2+2λ+2aλ）x+（﹣8+8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）＝0（*），若使（*）对任意x，y恒成立，则，∴，代入得，化简整理得36λ2﹣52λ+17＝0，解得或，∴或，∴存在定点R（1，4），此时为定值或定点，此时为定值．。