复变函数与积分变换期末、考研重点复习试题

工程数学（数值计算）习题课
[例15-1] 求0122
=+-x x 的Newton 迭代法格式为： ，收敛阶为： 。

[解]（1）
2
21
221-+--=+k k k k k x x x x x ，（2）收敛阶为： 1（线性收敛） 。

[例15-2] 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。

（1）x =(co s x +sin x )/4； （2）x =4–2x
2
ln )
4ln(1n n x x -=
+
[例21] 设f (x )=(x 3a )2，
（1）写出解f (x )=0的Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。

f (x )=(x 3-a )2f '(x )=6x 2(x 3-a )
1'
()
,0,1,2,()
k k k k f x x x k f x +=-
=L
321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k k
x a a
x x x k x x a x +-=-=+=-L
25()66a x x x ϕ=
+'35()63
a x x ϕ-=- 3*a x ='*335511
()()163632
a x a ϕ-=
-=-=<0≠
[例22] 用牛顿法求f (x )=x 3–3x –1=0在x 0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x =1.）。

[解]：因为f (x )=x 3–3x –1=0，所以f '(x )=3x 2–3
由牛顿公式可得：
取初值x 0=2，计算结果见下表：
故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。

[例25] 用快速弦截法求x 3–3x –1=0在x 0=2附近的实根，设取x 1=，算到四位有效数字为止。

[解]：设f (x )=x 3–3x –1，由快速弦截公式：
即：3
)
(12
1
12111-++++=
----+k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x 0=2，x 1=计算结果见下表：
故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。

[例32] 给出数据点：0134
19156i i
x y =⎧⎨=⎩
（1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式L 2(x )，并计算x =的近似值2(1.5)L 。

[解]：（1）由Lagrange 插值得：2
220
()()-1.66679.6667 1i i i L x y l x x x ===++∑
于是：2(1.5)
11.75L =
[例33] 已知f (0)=1，f (1)=2，f (2)=4，求f (x )的二次插值多项式。

[解]：
[例38] 给定正弦函数表如下：
x sin x
[解]：用二次插值选取x 0=，x 1=，x 2=，按抛物线插值公式有：
计算得：≈，（准确值=……）
[例40] 已知函数e -x 的下列数据
用逐步插值方法求x =的值。

[解]：当x=，按逐步插值公式
计算结果见下表：
故≈，（准确值）
[例48-1] 计算积分
⎰
1
5
.0dx x ，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为：（ ） ；梯
形公式的代数精度为：（ 1 ） 。

[例49] 证明求积公式))()((12
)())()((2)(''
2a f b f a b b f a f a b dx x f b
a
---+-≈⎰
的代数精度
是3。

[50] Find the constants 01,c c and 1x so that the quadrature formula （求积公式）
10110
()(0)()f x dx c f c f x ≈+⎰
has the highest possible degree of precision (代数精度).
Solution. Making 10110
()(0)()f x dx c f c f x =+⎰
hold for each 2()1,,f x x x =
gives
01112111,
1/2,1/3
c c c x c x +=== Solving the equations for 01,c c an
d 1x yields 011/4,3/4c c == and 12/3x =.
Since
1333
011
1/42/90x dx c c x =≠=•+⎰
, we see that the quadrature formula 10
132
()(0)()443
f x dx f f ≈
+⎰
has the degree of precision 2.
[例53] 分别用梯形公式和辛卜生公式计算积分
⎰+1
024dx x x
，
（n =8），并比较结果。

[解]：由复化梯形公式：)]()(2)([21
1
1
b f x f a f h T n k k n ++=∑-=
和复化辛卜生公式：)]()(2)(4)([61
112
12
b f x f x f a f h S n k k n k k n +++=∑∑-==-
则125.08011=-=
h ，25.04
12=-=h 所以1114.07822.18218≈⨯⨯=
T ，1116.06774.26
25
.04≈⨯=S 计算结果见下表：
注释：⎰+1
02
4dx x x 的精确解为111572.04
5
ln 21=。

[例57]
用龙贝方法求积分
要求误差ε<10-5。

[解]：按公式
再按公式
计算，结果见下表：
即：
故：
（准确值为0842701）
[例62] 取步长h =用改进的欧拉格式解初值问题
⎩⎨
⎧=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
试将计算结果与准确解相比较。

[解]：改进的欧拉格式是：⎪
⎩⎪
⎨⎧+=++=++=++)
(5.0)(1.0)(1.011c p i p i i c
i i i p y y y y x y y y x y y
计算结果见下表：
本问题有解析解：y =2e x -x -1，按此解析式子算出的值列在上表的第
6列，以便和改进欧拉计算结果作比较。

此题也可按整理后的格式（只有3次乘法）y i +1=++1+计算。

[例63]
Use Euler ’s method to approximate the solution for the initial-value problem ：
21(),23,(2)1,dy
t y t y dt
=+-≤≤=with 0.5h =.
[Solution ] The Euler ’s scheme is given by
021(2)1,
[1()].
i i i i w y w w h t w +===++-
Using 0100.5,2, 2.5h t t t h ===+= gives
221000[1()]10.5[1(21)]2w w h t w =++-=++-=
222111[1()]20.5[1(2.52)] 2.625w w h t w =++-=++-=
[例65] 取步长h =用四阶龙格-库塔格式求解
⎩⎨
⎧=≤≤+=1
)0(1
0)1/(3'y x x y y
[解]：四阶龙格-库塔格式是：
y i +1=y i +(K 1+2K 2+2K 3+K 4)/6
其中：K 1=3y i /(1+x i )，K 2=3(y i +/+x i )，K 3=3(y i +/+x i )，K 4=3(y i +/+x i )。

计算结果见下表：
[例71] 用塞德尔迭代法（迭代五次）解方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+---=-+--=--+--=---34
1085121045432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 并与准确解x 1=1，x 2=2，x 3=3，x 4=4相比较。

[解]：收敛的塞德尔迭代格式为：
取初始值：
0)0(1=x ，0)0(2=x ，0)0(3=x ，0)
0(4=x
计算结果见下表：
[例75] 用Gauss 消去法解方程组：⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++96.05.696.00.502.036.05.40.20.61.31.150.0z y x z y x z y x
[解]：用Gauss 消去法求解如下表：
故方程组的解为：x =，y =1，z =2。