高中物理竞赛运动学

运动学一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动: ①微元法问题：如图所示，以恒定的速率v 1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v 2是多少？设在∆t （∆t →0）的时间内物体由B 点运动到C 点，绳子与水平面成的夹角由α增大到α+∆α，绳子拉过的长度为∆s 1，物体运动的位移大小为∆s 2。

因∆t →0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v 平= v 即=∆s /∆t ，∆s 1与∆s 2有什么关系？ 如果取∆ACD 为等腰三角形，则B D =∆s 1，但∆s 1≠∆s 2cos α。

如果取∆ACD '为直角三角形，则∆s 1=∆s 2cos α,但D 'B ≠∆s 1。

②普通量和小量；等价、同价和高价有限量（普通量）和无限量∆x →0的区别.设有二个小量∆x 1和∆x 2，当121→x x ∆∆, ∆x 1和∆x 2为等价无穷小，可互相代替，当→21x x∆∆普通量, ∆x 1和∆x 2为同价无穷小，当∞→21x x ∆∆（或012→x x∆∆）, ∆x 2比∆x 1为更高价无穷小。

在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。

如当α→0时，AB 弧与AB 弦为等价，α（圆周角）和θ（弦切角）为同价。

如图∆OAB 为等腰三角形，∆OAD 为直角三角形，OA =OB =OD +BD =OD 。

OAADOA AB OD AD OA AD ====ααα,tan ,sin ，即ααα==tan sin （等价）。

22sin 2cos 122ααα==-，比α更高价的无穷小量。

回到问题①：因为DD '为高价无穷小量，绳子拉过的长度∆s 1=BD =BD '，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。

（v2=v 1/cos α）例：如图所示，物体以v 1的速率向左作匀速运动，杆绕O 点转动，求 （1）杆与物体接触点P 的速率？（v 2=v 1cos α） （2）杆转动的角速度？（ω=v 1sin α/OP ）。

1. 细杆M 绕O 轴以角速度为ω匀速转动,并带动套在杆和固定的AB 钢丝上的小环C 滑动,O 轴与AB 的距离为d ，如图所示.试求小环与Ａ点距离为X 时，小环沿钢丝滑动的速度.（答案：ωdd x 22+） 解:设t 时刻小环在C 位置,经∆t 时间(∆t 足够小),小环移动∆x ,由于∆t 很小,所以∆α也很小,于是小环的速度v =∆x /∆t ,根据图示关系,CD =OC ⨯∆α,α∆cos COx =，22d x OC +=,从上面关系得 ωωωαωα∆αα∆∆∆d d x d x d d x d x OC t OC t x v 22222222)/(cos cos cos +=++=+====.2. 用微元法求：自由落体运动，在t 1到t 2时间内的位移。

（答案：21222121gt gt -） 解：把t 1到t 2的时间分成n 等分，每段为∆t ,则nt t t 12-=∆,且看成匀速。

则v 1=gt 1+g ∆t ,∆s 1=( gt 1+g ∆t )∆t , v 2=gt 1+2g ∆t ,∆s 2=(gt 1+2g ∆t )∆t ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ v n =gt 1+ng ∆t ,∆s n =(gt 1+ng ∆t )∆t ,s =∆s 1+∆s 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆s n =21222121212121212)()(2)1(gt gt t t g t t gt nn t g t ngt -=-+-=++∆∆.若v 1=gt 1,∆s 1=gt 1∆t ,v 2=gt 1+g ∆t ,∆s 2=(gt 1+g ∆t )∆t ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅v n =gt 1+（n -1）g ∆t ,∆s n =[gt 1+（n -1）g ∆t ]∆t ,s =∆s 1+∆s 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆s n =21222121212121212)()(2)1(gt gt t t g t t gt nn t g t ngt -=-+-=-+∆∆也可用图象法求解。

3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m 的A 点处时,速度是v 1=2cm/s.试问蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2=2m 的B 点所需的时间为多少? （答案：75s ）解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O ,OA 连线即为x 轴正方向,则坐标x 处蚂蚁的速度可表示为xvL v 11=.将AB 连线分成n 等份,每等份n L L x )(12-=∆.当n很大时,每小段的运动可看成是匀速运动.每小段对应的速度为1111L v L v =，xL v L v ∆+=1112，⋅⋅⋅⋅⋅⋅x n L v L v n ∆)1(111-+=。

])3()2()([11111121+++++++=++=x L x L x L L v L xv xv xv xt n∆∆∆∆∆∆∆得7522))((2)(]2)1([1121221121122111111=-=+-=+=-+=v L L L v L L L L L L L n v L x n x L v L xn ∆∆∆s解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度xL v v 111=, 即x L v v 1111=，1/v -x 的图象如图所示。

蚂蚁运动的时间t 为如图梯形的面积，t =11212212112122))(1(L v L L L L L v L v -=-+=75s. 二.运动的合成与分解1.相对运动4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t 时间才发现丢失,汽艇立即调头航行,并在丢失点下游s 距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 . （答案：s /2t ）以地为参照物,水速为v 1,船速为v 2,船调头后追上救生圈的时间为t ', 对船(v 2+v 1)t '=(v 2-v 1)+v 1(t '+t )t ，得t '=t ,所以v 1=s /2t . 或以水为参照物,则救生圈静止,t '=t ,所以v 1=s /2t5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v 0射出很多的小球,问(1)这些小球在空间下落时会不会相碰?(2)经t 时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少? （答案：不会相碰；2v 0t ）解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系,则小球都以v 0的速度作匀速直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最远的二个小球间的距离等于球面的直径,即d =2v 0t .6. 一只气球以10m/s 的速度匀速上升,某时刻在气球正下方距气球为10m 的地方有一个石子以v 0的初速度竖直上抛(取g =10m/s 2),石子要击中气球,则v 0应满足什么条件?（答案：)21(100+>v m/s ）解法1:设气球的速度为v ,开始相距为h ,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气球,否则石子不能击中气球,速度相等时所用的时间t =(v 0-v )/a ---(1),则好击中时的位移关系为v 0t -21gt 22=vt +h ---(2)解得石子的初速度至少)21(1020+=+=gh v v m/s.解法2:以气球为参照物,则初速度v 1=v 0-v ,未速度v 2=0,所以(v 0-v )2=2gh , 解得石子的初速度至少)21(1020+=+=gh v v m/s.2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。

求下列各图中v 1和v 2的关系.答案依次是：A :v 1=v 2cos α;B:v 1=v 2cos α;C:v 1cos θ=v 2cos α;D:v 2=v tan α; 7. 如图所示，AB 杆的A 端以匀速v 沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求此时：（1）杆上与半圆周相切点C 的速度大小。

（2）杆转动的角速度。

（3）杆上AC 中点的速度大小。

（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。

[答案：（1）θcos v ；（2）θθsin tan Rv ；（3）；4sin cos 22θθ+v ；（4）θθsin tan v ]解：把A 的速度分解成沿杆的速度θcos 1v v =，和垂直杆方向速度θsin 2v v =。

（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C 的速度大小θcos 1v v v C ==。

（2）A 点对C 点的转动速度为θsin 2v v =，所以杆转动的角速度为θθθθθωsin tan cot sin sin R vR v AC v ===。

（3）4sin cos )2(222221θθ+=+=v v v v AC （4）在相同时间内，杆转过的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也为θθωsin tan Rv=， 杆与半圆周相切的切点的速度大小θθωsin tan v R v C=='。

8. 如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M ，滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。

某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率M v 。

解：A v R ω=，A v 沿绳BA 的分量cos M A v v ϕ=由正弦定理知sin sin OAB H Rα∠=由图看出2OAB πϕ∠=+ 由以上各式得sin M v H ωα=3.运动的合成与分解:在船渡河中，水地船水船地v v v+=。

推广乙丙甲乙甲丙v v v +=9. 当骑自行车的人向正东方向以5m/s 的速度行驶时,感觉风从正北方向吹来,当骑自行车的人的速度增加到10m/s 时,感觉风从正东北方向吹来.求风对地的速度及的方向.（答案：25m/s ，方向正东南）V 风对地=V 风对人+V 人对地，得V 风对地=25m/s ，方向正东南10. 如图所示,质点P1以v 1的速度由A 向B 作匀速直线运动,同时质点P 2以v 2的速度由B 向C 作匀速直线运动,AB =L ,∠ABC =α,且为锐角,试确定何时刻t ,P 1、P 2的间距d 最短,为多少?（答案：ααcos 2)cos (21222121v v v v v v L t +++=；ααcos 2sin 2122212v v v v Lv d ++=） 解:以A 为参照物,v BA =v B 地+v 地A 。