变上限积分函数理解水平调查研究
积分上限函数及其应用探究
求极限方面的灵活运用。
关键词：积分上限函数；辅助函数；积分不等式；可微性
积分上限函数的应用
(一)构造辅助函数证明积分等式与不等式
例1 （杨格（Young）不等式）设函数
调递增的连续函数，且
，
是严格单
综上所述，结论成立。
(二)利用变上限积分函数性质求极限
因此，结论成立。 例3（拉格朗日（Lagrange）中值定理）设函数 间 上连续，在开区间( )
中所描绘的情境，并辅之以与之相应的背景音，帮助学生更好 地理解和记忆相应的古诗词。
三、引导学生进行角色扮演 角色扮演是不少小学生私下里很喜欢玩的游戏，无论是在 虚拟的游戏中，还是在现实生活中。针对小学生的这一特点， 教师不妨引导他们基于课文阅读进行角色扮演，这样做，一来 可以有效地活跃课堂氛围，提高阅读教学的趣味性；二来还可 以加深学生对相应课文的印象，深化学生对相应课文的理解与 认识，从而能提高小学语文阅读教学的有效性。需要注意的 是，并不是所有的课文都适合用角色扮演的方式来开展。在具 体的教学中，教师应尽量选择故事性较强的课文让学生进行演 绎，如《鲁班造伞的传说》《水滴石穿》《守株待兔》等等。 四、鼓励学生进行课外阅读 相比较于课外浩如烟海的图书，小学语文课本上的课文 加在一起也不过就是沧海一粟。因此，在实际的小学语文教学 中，教师除了要重视课内课文的教学以外，还必须积极鼓励学 生进行课外阅读，因为学生唯有将自己的目光投向课外，他们 才能看到更为广阔的天空，才能获得更好的发展。而且，学生 阅读能力的高低，与其阅读量是相辅相成的，换言之，学生如 能积极、主动地进行有效的课外阅读，那么随着时间的推移， 其阅读能力势必会因此获得显著提升，对小学语文阅读教学的 有效开展是十分有益的。不过，仅靠鼓励学生进行课外阅读是 远远不够的，因为教师并不能随时随地地对学生进行监督和督 促，对此，教师应为学生设立专门的课外阅读课，然后让学生 将自己喜欢的图书拿到教室里来阅读，在学生阅读的过程中， 教师要注意提醒他们“不动笔墨不读书”，即引导学生及时将自 己喜欢的语句摘抄到一个专门的本子上，并在阅读完一篇文章以 后，及时在本子上或者文章下方简单地批注上自己的感想，这 样，日积月累，学生的阅读理解能力必然会得到提升，学生还能 在不知不觉中积累下大量的语料素材，可谓一举两得。 五、结束语 综上所述，教师要想开展高效的阅读教学，除了要注意依 循“以生为本”的原则去设计教学内容以外，还必须要有意识 地鼓励学生多进行课外阅读，因为大量的课外阅读不仅能有效 锤炼学生的阅读能力，同时还能扩充学生的知识储备，增长学 生的见闻，从而有效助力小学语文阅读教学的高效开展。 参考文献： [1] 田春龙.小学语文阅读教学的实践和创新策略研究 [J].现代教育科学，2015(06):160-161. [2] 赵培香.关于小学语文阅读教学方法的研究及启示 [J].黑龙江教育学院学报，2015，34(01):85-87.
浅谈变上、下限积分函数的有关计算
临沧师范 高等专科学校学报
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浅谈变上 、下限积分函数 的有关计算
苏有菊 （ 师范 高等专科学校数理系 ，云南 临沧 临沧 ６７０） ７００
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论文
自贡市“四个一”评选活动参赛论文变上限函数的性质研究四川省自贡市荣县正紫中学龚艳茹荣县643111摘要：在介绍了变上限函数的基本概念的基础上，系统地归纳总结性研究了变上限函数的性质.首先讨论了变上限函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性、可微性、凹凸性等，获得了这些性质相关的若干命题和推论，给出了它们的严格证明，并用反例来分析这些结论的有关条件．其次，分别用一些典型实例，从函数单调性证明、解函数方程、积分等式证明、不等式证明，求解函数最值等角度说明了变上限函数性质的广泛应用．最后，讨论了上限为复合函数的变上限函数的有界性、周期性和奇偶性，并举例说明了这些性质的应用．通过对变上限函数性质的研究，一方面有利于学生深入了解此类函数的特性，提高用其性质解决一些微积分问题的能力，另一方面有利于开拓了学生视野，为学生进一步学习和参与科学研究提供一定的启迪或参考。
关键字：变限积分，变上限函数；函数性质；应用1.引言众所周知，初等函数都有自己的解析式，然非初等函数不一定都有具体解析式，如2x e、sin x x和1ln x等函数的原函数无法用初等函数来表示．尽管一些函数的原函数无法用初等函数来表示，但我们可以用变限积分去表达．由于这样的函数没有初等解析式，变限积分也仅仅是一个抽象符号，因而其性质是很难一眼看出，这就让人们较难把握它．但用变限积分表示的抽象函数在理论和应用上都有其独特的意义，因此有必要去研究．变上限积分，也称积分上限函数，是变限积分的一种特殊情况，它也是表达函数的一种重要方法，是导出微积分学基本定理——原函数存在性定理和微积分学基本分式——牛顿—莱布尼茨公式的重要工具．因此积分上限函数揭示了不定积分与定积分、微分与积分之间的内在联系，它既有与一般函数相似的初等性质，如单调性、有界性、奇偶性、周期性，也有独特的分析性质．在许多高等数学教材[1-3]中，对变上限函数的特性讨论，主要集中在关于变上限函数的连续性、可微性和可积性的讨论上，而这些教材几乎没有讨论变上限函数的其他性质．近十年来，有一些学者[4-9]分别对变上限函数的单调、有界性、奇偶性、周期性、凹凸性以及对变上限函数的复合函数的特性等性质中的某些性质进行了讨论，但这些讨论是零星的，相关的结论散见于不同一些刊物上．为此，本文在总结已有成果的基础上，对变上限函数的性质进行系统地归纳总结性研究，这些研究涉及变上限函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等．变上限函数是一元函数微积分中诞生的一类具有特殊形式的新函数．它主要是由被积分函数的性质，及积分上限的结构来决定，对它进行初等性质及分析性质的研究，有利于深入了解此类函数的特性，并广泛地用于解决一些微积分问题．2.变上限函数概念对于区间[,]a b 上的可积函数()f x ，设x 为[,]a b 上的任意一点，变上限的积分 ()xa f t dt ⎰显然存在，当x 在[,]ab 上任意变动时，对于每一个取定的x 值，()xaf t dt ⎰就有一个对应的值，这样就在([,])x a b ∈上定义了一个新函数()()x ax f t dt Φ=⎰([,])x a b ∈，称之为变上限积分函数．3 变上限函数的性质3.1 变上限函数的奇偶性命题1 设()f x 在[,]a a -上连续， ()()xa x f t dt -Φ=⎰，则()i 当()f x 为奇函数时，()x Φ为偶函数；()ii 当()f x 为偶函数时，()x Φ不一定为奇函数．()x Φ为奇函数的充要条件是 ()()0a aa f t dt -Φ==⎰．证明 ()i 若()f x 为奇函数，则()0xxf t dt -=⎰，所以- - ()()()()()()xxxxaaxax f t dt f t dt f t dt f t dt x ---Φ-==+==Φ⎰⎰⎰⎰．故知()x Φ为偶函数．()ii 若()f x 为偶函数，则()f x -=()f x ．而()x Φ-= ()()()()x aaaxxf t dt f t dt f t d t ------=-=-⎰⎰⎰．由()f x -=()f x ，原式得()x Φ-= ()()axf t d t ----⎰，令u t =-,则(,)u x a ∈有()x Φ-= ()ax f u du ⎰，而()()()()()()()a a xaaaaxa f t dt f t dt f t dt f t dt x x ---Φ===+=Φ+Φ-⎰⎰⎰⎰，于是知()x Φ为奇函数的充要条件是()0a Φ=．推论1 设 0()()xx f t dt ϕ=⎰，则()i 当()f x 为奇函数时，()x ϕ为偶函数；()ii 当()f x 为偶函数时，()x ϕ为奇函数． 3.2 变上限函数的可微性命题2 设()f x 在[,]a b 上连续，则()x Φ在[,]a b 内可导，且有()(())(),[,]xax f t dt f x x a b ''Φ==∈⎰．证明 对[,]a b 上任一确定的x ，当0x ∆≠且[,]x x a b +∆∈时，由积分第一中值定理，有1()(),[0,1]x xxf t dt f x x x x θθ+∆∆Φ==+∆∈∆∆⎰. 由于()f x 在点x 连续，故有 00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+=∆，所以()(())(),[,]xax f t dt f x x a b ''Φ==∈⎰.3.3 变上限函数的单调性命题3 设()f x 在[,]a b 上连续且不变号，则()x Φ为[,]a b 上的单调函数．证明 由命题2，()(())()xax f t dt f x ''Φ==⎰.于是若在[,]a b 上()f x 0>，则()x 'Φ0>，从而()x Φ在[,]a b 上严格单调递增；若在[,]a b 上()f x 0<，则()x 'Φ0<，即()x Φ在[,]a b 上严格单调递减．故()x Φ在[,]a b 上严格单调．注意：由()f x 在[,]a b 上单调，不能推得()x Φ在[,]a b 上单调．如()f x cos x =在[0,]π上单调递减，但 ()cos sin xa x tdt x Φ==⎰在[0,]π上却不具有单调性．3.4 变上限函数的有界性，连续性命题4 设函数()f x 在[,]a b 上可积，则()x Φ在[,]a b 上有界．证明 因为()f x 在[,]a b 上可积，从而有界，于是存在0M >，使得()f x M ≤，因此[,]x a b ∀∈，有()()()xxaax f t dt Mdt M b a Φ=≤≤-⎰⎰，这表明()x Φ在[,]a b 上有界．命题5 设函数()f x 在[,]a b 上可积，则()x Φ在[,]a b 上连续证明 因为()f x 在[,]a b 上可积，所()f x 在[,]a b 上有界．故存在常数0M >，使得()f x M ≤，于是[,]x a b ∀∈，有()()()()x xxx x x x f t dt M x +∆∆Φ=Φ+∆-Φ=≤∆⎰，从而当0x ∆→时，必有()0x ∆Φ→，这表明()x Φ在点x 处连续，据x 的任意性便知()x Φ为[,]a b 上的连续函数．命题6 设()f x 在[,]a b 上可积，则()x Φ也在[,]a b 上可积．证明 因为()f x 在[,]a b 上可积，所以由命题5知()x Φ必在[,]a b 上连续，从而知()x Φ在[,]a b 上必可积． 3.5 变上限函数的周期性命题7 设()f x 为(),-∞+∞上的以T 为周期的连续函数，且 0()0Tf x dx =⎰，则()x Φ仍为以T 为周期的周期函数．证明 先证明若()f x 为(),-∞+∞上的以T 为周期的连续函数，则对任何实数a ，有()()TTxaf x dx f x dx =⎰⎰．事实上，()a TTf x dx +=⎰0 ()()()T a TaaTf x dx f t dx f x dx +++⎰⎰⎰，对最后一个积分，若令x t T =+，则有()()()()a TaaTaf x dx f t T dt f t dt f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰，代入上式得()a Taf x dx +⎰()Tf x dx =⎰，现在()()()x Txaax T f t dt f t dt +Φ+==+⎰⎰ ()x Txf t dt +⎰()x =Φ 0()T f x dx +⎰()x =Φ． 于是知()x Φ仍为以T 为周期的周期函数．注意：由()f x 为周期函数，不能推得()x Φ仍为周期函数．如2()cos f x x =是周期函数．而20 01cos 211()cos sin 224xxt x tdt dt x x +Φ===+⎰⎰就不是周期函数．4 变上限函数的性质应用例1 设()f x 在(,)-∞+∞连续且()f x 单调减少，则 0()(2)()xF x x t f t dt =-⎰单调增加．证明 因为 0()(2)()()2()xxxF x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰，且()f x 在R 上连续，故()()()2()x F x f t dt xf x xf x '=+-⎰= 0()()xf t dt xf x -⎰，由积分中值定理，存在ξ介于0与x 之间，使()()()F x xf xf x ξ'=-=(()())0x f f x ξ->，故()F x 在R 上单调增加．例2 已知0x >，()f x 可导，且满足()f x 011()xf t dt x=+⎰，求()f x ． 解 0x ∀>，()f x 可导，对()f x 011()xf t dt x=+⎰两边关于x 求导， 21()()()xf x f x f t dt xx'=-+⎰，将()f x 的表达式代入可得1()f x x'=， 两边积分得()ln dxf x x c x==+⎰(0)x >． 5变上限积分所确定的复合函数的性质及应用定理1设函数()v x 在[,]a b 上有界，且()A v x B ≤≤，()f x 在[,]a b 上连续，则复合函数()F x = () A()v x f t dt ⎰在[,]a b 上有界．证明 设x 是[,]a b 中任一点，则由积分中值定理知()F x =()A()v x f t dt ⎰=()(())()[()]f v x A f v x A ξξ-≤+，其中(,())[,]A v x A B ξ∈⊂．因为()f x 在[,]A B 上连续．所以()f x 在[,]A B 上有界，即存在常数10M >，使得1()f x M ≤，从而1()f M ξ≤．又因为()v x 在[,]a b 上有界，所以存在数20M >，使得2()v x M ≤，取12[]M M M A =+，则()F x ≤()[()]f v x A ξ+≤12[]M M A M +=，其中[,]x a b ∈。
关于变限积分函数求导问题的研究与应用
＝
ｕ
一３
［ （ 一 ） 厂 ＿ （ — ）・ （ １—３ ｘ ）一 厂 （ ） ］ 厂 （ ）一（ １—３ ｘ ） （ — ） Ｉ ， — 。 ） ．
同 的 变 形 或 推 广 就难 以把 握 和 接 受 ． 为此 ， 我 们 有 必 要 对 变 限 积 分 函 数 的求 导 问题 进 行 较 深 入 、 较 系统的研究 ， 以便 对
解 ） ＝ 芸 （ Ｊ ． 一 ｆ ｔ ｆ （ ｔ ） ｄ ｆ ） ＝ 』 ） ｄ ｌ ＋
３ ｘ ・ ） 一 ３ ｘ ・ ） ＝ｆ ， （ ） ｄ ｔ ＋ ３ ｘ ３ ｆ （ ｘ ） 一 ３ ｘ Ｓ ｆ （ ｘ ） ．
当被 积 函 数 ＿ 厂 中 含 参变 量 ， 不 能 直 接 利 用 上 面 的变 限
导 数．
、
引 言
一
变 限 积分 函数 是 高 等 数 学 中 一 类 特 殊 形 式 的 函 数 ， 是 元 函 数微 积分 学 的 一 个 基 本 概 念 ， 是 定 积 分 基 本 公 式 的
解 令 —ｔ＝ “ ， 贝 ０ ｔ＝ —Ｍ ， 当 ｔ＝０ ， ｕ＝ ； 当 ｔ＝
下面看几个典型例子 ：
，ｘ３
求导公式 ， 并 用 实 例 给 出 了其 重 要 应 用 ， 对 学 生 学 习有 很 大
的指 导 作 用 和 应 用价 值．
【 关键词 】 变 限 积分 ； 求导； 应用
一
例１ 设 ） 连续 ， 求Ｆ （ ）＝ Ｊ （ — ） ， （ — ｔ ） ｄ ｔ 的
积 分 函数 的 导 数 定 理 ， 通 常可 以通过 变量代换 法 （ 例 １ ）或 者对被积函数进行分项法 （ 例 ２ ）求 解 ． 但 并 不 能 解 决 任 何 形 式 的含 参 变 量 的 变 限 积 分 函 数 求 导 问 题 ， 如 被 积 函 数 是
浅谈变限积分函数及其应用
浅谈变限积分函数及其应用
变限积分函数是指在某个变量限定条件下，另一个变量在某些数组范围内的积分函数。
可以用来求解某个变量在规定范围及其限定条件下的积分值。
它可以方便地描述一个复杂的积分问题，并且可以准确地求解复杂数学函数的积分问题，这是普通积分函数所不能做到的。
变限积分函数的应用十分广泛。
例如，它可以应用于统计力学，在几何物理问题中研究一般的强调状态，对各种非线性动力学系统的稳定性分析，解决复杂混沌系统的积分问题，
求解交叉口出入口流量之间的控制关系，求解粒子系统中诸多粒子在相同时间内演化的方程，还可以应用于轨道机动和通信理论研究，应用于描述介质的波动性，解决材料的强度计算问题，用于动态规划和网络理论研究等领域中。
变限积分函数可以用多种方法进行求解，有微元法、二分法、组合法、练习积分法、拓扑积分等。
无论哪种方法，都是以穷尽数组范围方式求解变限积分问题，才能得到准确有效的结果。
变限积分函数可以用于解决涉及多个变量的复杂数学问题。
另外，它是统计学研究的基础，可以有效的反映一个系统的趋势，从而使得我们能够更好的了解系统的变化过程，为系统
的运行提供参考。
最后，变限积分函数也可以用于量化系统中各参数之间关系，从而使系统发挥最大性能和
可靠性。
也就是说，它可以为系统的模拟和预测提供更有效的方法，实现优化的效果。
总的来说，变限积分函数在各个科学技术领域具有重要的应用，是现代科学研究的重要工具，可以有效解决复杂的数学问题。
积分变上限函数求导定理__概述说明以及解释
积分变上限函数求导定理概述说明以及解释1. 引言1.1 概述积分变上限函数求导是微积分中的重要概念，指的是对一个积分式中的上限函数进行求导。
在实际问题中，我们经常会遇到需要对此类函数进行求导的情况，因此掌握积分变上限函数求导的定理和方法具有重要意义。
1.2 研究目的本文旨在介绍积分变上限函数求导定理及其推导过程，并通过示例演练来展示其应用。
同时，我们还将展望该定理在其他相关领域中的应用前景，并提供习题以及扩展阅读推荐，帮助读者进一步深入了解和掌握这一概念。
1.3 文章结构本文共分为五个主要部分。
首先，在引言部分概述了文章的主题和目标；接下来，在“2. 积分变上限函数求导简介”部分对该定理进行简介并解析其求导过程；紧接着，在“3. 积分变上限函数求导定理的推导”部分详细说明了该定理的推导原理、步骤以及举例说明；然后，在“4. 应用与拓展”部分展望了相关领域中该定理的应用展望，并提供了练习题和扩展阅读推荐；最后，在“5. 结论与总结”部分对全文进行总结，归纳了要点并展望了进一步的研究方向。
通过这样的结构安排，读者可以逐步深入理解和掌握积分变上限函数求导定理及其相关知识。
2. 积分变上限函数求导简介：2.1 定理说明：积分变上限函数求导定理是微积分中的一个重要定理，用于计算带有积分上限的复合函数的导数。
假设函数g(t)在区间[a, b]上连续，并且f(u)为一个可导函数，则定义如下复合函数G(x)：G(x) = ∫[a,x] f(g(t)) dt根据积分变上限函数求导定理，我们可以得到G'(x)的表达式。
2.2 求导过程解析：为了求解G'(x)，我们需要使用基本的微积分技巧和链式法则。
具体步骤如下：1. 首先，我们将G(x)表示为两个独立变量的复合函数：G(x) = F(u(x), v(x))，其中u(x) = x，v(x) = ∫[a,x] f(g(t)) dt 。
2. 然后，对于F(u, v)应用链式法则：dF/du * du/dx + dF/dv * dv/dx。
积分上限函数的进一步探讨
积分上限函数的进一步探讨积分上限函数是数学中的一种重要函数，它的定义和性质在微积分中被广泛应用。
在本文中，我们将深入探讨积分上限函数的性质和应用，为读者提供更深刻的理解和应用。
一、积分上限函数的定义积分上限函数是一种将变量的上限作为自变量的函数。
设f(x)在[a,b]上连续，则它的积分上限函数F(x)定义为：F(x)=∫a^xf(t)dt其中，a≤x≤b。
积分上限函数是一种非常特殊的函数，它的定义中包含了积分运算，因此它的性质和应用都与积分密切相关。
二、积分上限函数的性质1. 可导性若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数F(x)在[a,b]上可导，且F'(x)=f(x)。
这个性质说明了积分上限函数和原函数之间的关系，即积分上限函数的导数就是原函数。
2. 单调性若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数F(x)在[a,b]上单调递增。
这个性质可以通过积分的几何意义来理解，即积分上限函数的值表示了函数f(x)在[a,x]上的面积，随着x的增加，这个面积也会增加，因此积分上限函数是单调递增的。
3. 积分上限函数的值域若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数F(x)的值域为[F(a),F(b)]。
这个性质可以通过积分的性质来证明，即积分上限函数的值表示了函数f(x)在[a,x]上的面积，因此它的值域就是[a,b]上的面积。
三、积分上限函数的应用积分上限函数在微积分中应用广泛，下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 定积分的计算定积分可以通过积分上限函数来计算，即∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
这个公式可以简化定积分的计算过程，只需要求出积分上限函数在两个端点处的值，就可以得到定积分的值。
2. 曲线长度的计算曲线长度可以通过积分上限函数来计算，即曲线长度L=∫a^b√(1+(f'(x))^2)dx。
这个公式可以通过积分上限函数的可导性来证明，即在曲线上取一点(x,f(x))，则曲线在该点处的切线斜率为f'(x)，因此曲线在该点处的长度为√(1+(f'(x))^2)dx，将其积分即可得到曲线的长度。
变上限积分函数
变上限积分函数上限积分函数是微积分中的一个重要的概念，它在数学中的应用十分广泛，尤其在物理、工程、统计等领域具有非常重要的作用。
在本文中，我们将详细讨论上限积分函数的性质、定义以及其在实际应用中的应用。
上限积分函数是一种函数，也称为累积分布函数。
在微积分中，上限积分函数表示在一个区间中函数值的总和。
简单来说，就是对函数在某一段区间上的表现进行总结并反映在一个单一的函数值上。
一个典型的上限积分函数的定义形式是F(x)=∫[a,x]f(x)dx，其中f(x)是被积函数，[a,x]是积分区间，F(x)是上限积分函数。
上限积分函数具有如下的性质：1、上限积分函数是连续的。
上限积分函数与被积函数之间有密切的联系，如果被积函数是连续的，则上限积分函数也是连续的。
2、上限积分函数是单调不减的。
这是指上限积分函数的值随着$x$的增大而增大，反之亦然。
3、上限积分函数的值域在[0,1]之间。
这是因为上限积分函数代表的是累积概率分布函数，而概率的值域也在[0,1]之间。
在实际应用中，上限积分函数的应用非常广泛。
比如在统计学中，上限积分函数用于计算随机变量的分布函数。
在工程学中，上限积分函数被广泛应用于研究力学和电学问题。
在物理学中，它是量子力学的基础概念之一，可以用来描述粒子的态函数。
上限积分函数也具有一些重要的定理，比如说，中值定理：对于一个具有有限上下界的连续分布函数$F(x)$，存在一个值$c$使得$F(c)=0.5$。
这个定理在统计学和概率论中被广泛应用。
总之，上限积分函数是一个非常重要的数学概念，它在物理、工程、统计、概率论中都扮演着一定的角色。
对于想要学习这些领域的人来说，理解上限积分函数的定义和性质是非常必要的。
浅谈变限积分函数及其应用
浅谈变限积分函数及其应用
变限积分函数是一种常用的数学函数，它可以用来解决许多复杂的问题。
本文将从概念、函数形式及常见应用三个方面，对变限积分函数及其应用进行深入探讨，以期为读者提供参考。
一、概念
变限积分函数是由某个函数 f(x)一定区间上进行积分，其中上
下限都是变化的构成函数，变限积分函数的求解一般涉及到三个变量：函数 f(x)、变量 x上下限的变量。
变限积分函数主要有三种形式：一是定区间积分，二是无限区间积分，三是改变积分上下限的变限积分。
二、函数形式
变限积分函数的函数形式有多种，其中最常用的形式为：
F(x)=∫a(x)f(x)dx +b(x)
其中，a(x)和b(x)分别表示积分的上下限，也就是说，积分的
上下限是根据x的变化而变化的。
三、常见应用
1、统计学应用：变限积分函数主要应用于统计学，在统计中经
常用来求解期望、方差、多元分布等问题。
2、热力学应用：变限积分函数在热力学中非常重要，用来求解
质量守恒方程、能量守恒方程等问题。
3、积分求和：变限积分函数在积分求和方面也有广泛的应用，
可以用来求解无穷级数的求和问题。
4、推导其他函数：变限积分函数可以用来推导特殊函数，比如
指数函数、三角函数等。
综上所述，变限积分函数除了在统计、热力学领域有着广泛应用外，还可以用来求解积分求和和其他函数的推导。
因此，变限积分函数在当今社会的多个领域中都发挥着重要的作用。
本文从概念、函数形式及常见应用三个方面，对变限积分函数及其应用进行了深入探讨。
希望能够帮助读者更好地理解变限积分函数，并在实际中更好地运用它。
关于变限积分函数求导问题的研究与应用
关于变限积分函数求导问题的研究与应用变限积分函数自古以来就是数学中重要的一环，研究变限积分函数求导问题，是深入探索数学本质的重要途径。
本文旨在从数学的角度讨论变限积分函数求导问题，系统地描述变限积分函数求导的研究内容和实践应用，力求对变限积分函数求导问题有更深的认识。
首先，本文从变限积分函数的定义出发，针对变限积分函数求导问题，系统地介绍了变限积分函数求导的研究内容。
变限积分函数是把被积函数在积分空间内变化的积分。
变限积分函数求导的研究，要求发现变限积分函数的关键特性及其有关数学公式，并用数学证明等方法，对变限积分函数求导问题进行研究，以求得变限积分函数的求导形式，从而有效地求解变限积分函数求导问题。
其次，本文针对实际应用，详细探讨了变限积分函数求导的应用。
变限积分函数求导的实践应用，主要表现在科学研究、工程设计中，可以帮助数学家们更有效地求解实际应用中的变限积分函数求导问题，有效解决复杂的工程研究中，把握和综合科学研究全局的难题。
最后，本文详细探讨了未来变限积分函数求导的发展方向。
首先，应加大对变限积分函数求导的实践应用的力度，以有效的方式应用变限积分函数求导解决具体问题；其次，应加强变限积分函数求导解决问题的理论研究，由此深刻理解变限积分函数求导问题；第三，应广泛开展变限积分函数求导研究的实践性工作，积极把变限积分函数求导的研究和实践结合起来，进一步发掘变限积分函数求导的潜力和价值。
本文对变限积分函数求导问题的研究和应用进行了探讨，从而加深了对变限积分函数求导的认识，并为变限积分函数求导的发展提供了理论指导。
未来，变限积分函数求导在实际应用中将发挥更大的作用，而加强对变限积分函数求导的理论研究和实践应用，则将为变限积分函数求导的发展和完善奠定坚实的基础。
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变上限积分函数理解水平调查研究作者：何青玉陈建华
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第03期
摘要：变上限积分函数的诞生及原函数存在定理的发现是微积分学科建立的标志.本文基于SOLO分类评价理论，以某独立学院非数学专业大一学生为调查对象，通过测试调查学生对变上限积分函数理解的水平，提出若干教学建议.
关键词：变上限积分函数；原函数存在定理；SOLO分类评价理论
中图分类号：O172；G642 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）03-0007-04
1.2 SOLO分类评价理论简介
SOLO分类评价理论是由教育心理学教授比格斯（J.B.Biggs）在皮亚杰认知理论基础上发展而来的一种学生学业评价方法，是一种以等级描述为特征的质性评价方法.该理论通常将学生的学习结果分为前结构水平、单元结构水平、多元结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平等五个水平，并给出各个水平段学生表现的思维特征.前结构水平（Prestructural）是指学习者只是简单地考虑了问题，或者对问题基本没有理解.单元结构水平（Unistructural）是指学习者对题意有了一点理解，且仅能从某一方面来回答该题.多元结构水平（Multistructural）是指学习者对问题有了更多的理解，能够从几个相关的方面来回答该题，但这几个方面相互独立，或者解题的基本方法已经掌握但在解题过程中出现了失误.关联结构水平（Relational）是指学习者能够整体把握出题者的意图，基本给出正确的解题过程.拓展抽象结构水平（Extended Abstract）是指学生不僅对问题有了整体的把握，还可以将问题进行抽象概括，使之适用于新的问题情景.近年来，SOLO分类评价理论受到了教育研究者的广泛关注，被运用于基础教育的许多课程的教学研究、试题评价研究.
2 变上限积分函数理解水平分析
2.1 测试卷的编制
根据SOLO分类评价理论，结合日常教学和调查对象的实际情况，鉴于只有极少数学生能达到拓展抽象水平.因此，根据SOLO分类理论将调查对象对变上限积分函数理解水平划分为四个水平：P水平（前结构水平），U水平（单元结构水平），M水平（多元结构水平），R 水平（关联结构水平）.据此设计测试问卷.
测试目的：主要考查学生在学习了定积分内容后，对变上限积分函数的理解处于什么水平.问卷包含一道选择题和五道解答题，其中选择题包含6个关于变限积分函数命题的判定，用来初步了解不同水平等级的人数分布情况；解答题分别设计了简单应用（题2）、综合应用（题4和5）和理解（题3和6）等五道题.
2.2 测试对象的选择
问卷调研对象为本科层次的某独立学院大一新生，测试时间安排在学生已经学习原函数存在定理及定积分的相关计算之后.测试共发放问卷170份，回收170，其中有效问卷167份.
2.3 测试结果分析
关于测试题6，有46.1%的学生看到此题为复杂型变限积分函数的求导，且变限积分为抽象关系，而无法下手，或完全没有对策，这部分学生计入前结构水平，在数据统计表中用P表示.对变限积分函数有求导意识，但仅单纯利用原函数存在定理，直接代入求导，却没有意识
到具抽象关系的变限积分函数中自变量尚不明确，这部分学生占42.5%，计入单元结构水平，在数据统计表中用U表示.有8.4%的学生能看出具抽象关系的变限积分函数中自变量比较复杂，并注意到被积函数中有因子t，意识到可利用因子t凑微分关系，得f（x2-t2）d（x2-
t2），这部分学生计入多元结构水平，在数据统计表中用M表示.
统计数据显示仅有3%的学生能够在凑完微分关系后，发觉可利用定积分的第一类换元进行换元积分，或没有进行凑微分，但能利用第二类换元及换限的方式，正确对此变限积分函数求导的，这几位学生计入关联结构水平，在数据统计表中用R表示.
测试题3和6同样属于理解级的问题，但测试结果显示学生的理解差异较大.究其原因，
主要是对变限积分求导问题的处理，学生从定积分性质、导数的四则运算法则的角度出发，考虑问题相对直接、自然，困难较小，故而有六成以上的学生能够顺利解决测试题3的求导问题，能够达到多元结构水平及关联结构水平，说明该阶段学生能准确抓住变限积分的相关特征，并将这些特征联系起来，从而形成解决问题的整体思维结构；而学生从凑微分、换元积分的角度出发，解决问题的应变能力就相对薄弱，有近九成的学生尚停留在前结构水平和单元结构水平，在处理变限积分的求导问题时不能联系变限积分问题所涉及的定积分表征，产生思维混乱等表现，或仅表现为单一的变限积分求导能力，盲目地对求导问题下手，思维不清晰.
3 教与学的建议
第三，重视不同知识之间的联系，重视审题、提升计算能力.为了深化对变上限积分函数的理解，“函数”的意义、作用、与相关知识的联系等功能需要全面深入理解，在求变限复合函数的导数时，须结合复合函数求导法则进行求导；在求有涉及变限积分的极限问题时，可结合洛必达法则、重要极限公式及等价无穷小代换等常规手法进行求解；应用变限积分函数的求导来解决如函数的单调区间及极值、隐函数的求导及偏导数求解等相关问题.
参考文献：
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