Jψ→V1+X,X→γ+V 2中玻色共振态X的自旋和宇称的确定
2023-2024高中物理竞赛：量子力学
Planck 辐射定律：
式中： d是黑体内频率在到 d之间的辐 射能量密度，C 是真空 中光速，k 是波尔兹 曼常数,T 是黑体的绝对温度。该式称为 Planck 辐射定律
Planck 常数：h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
de Broglie 波：描写自由粒子的平面波Ψ
上，提出了他的原子的量子论。
波尔假定：电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着
其中一组特殊的轨道运动。波尔假设沿这一组特殊轨道运动的电子处于稳定状态（简称定态）。 当电子保持在这种状态时，他们不吸收也不发出辐射。只有当电子由一个定态跃迁到另一个 定态时，才能产生辐射的吸收或发射现象。电子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定 态时所吸收或发射的辐射频率ν，满足下列关系： 为了确定电子运动的可能轨道，波尔提出量子化条件：在量子理论中，角动量必须是 h 的整 数倍。
平方可积：由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间
找到粒子的几率应为一，即：C∫∞|Ψ (r,t)|2 dτ= 1，从而得常数 C 之值为：C = 1/∫∞| Ψ(r,t)|2dτ
粒子产生和湮灭： 归一化：由于粒子在全空间出现的几率等于 1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决
Compton 散射：X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
电子的 Compton 波长：
Planck 假定：1900 年，普朗克提出黑体以 为能量单位不连续地发射和吸收频率为
的辐射,而不是像经典物理所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 能量单位称为能量子，h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
粒子物理教案
第二章粒子的分类及性质：轻子和强子2.1 四种相互作用一、四种相互作用概况①引力相互作用：天体，一切有质量的物体②电磁相互作用：带电物体③强相互作用：原子核的发现及核力的研究导致强相互作用的发现特点：力程短〜10-15米，作用时间短〜10-23秒反应过程中相互作用时间∝1/力的强度与电磁作用比较秒，比电磁相互作用强107倍170104.8)(−×=→γγπτ137Anderson 和Neddermeyer 所拍摄的两张置于强磁场中的云雾室照片，其中左图向上较粗径迹及右图向下径迹经分析为荷质比e/m 远大于质子荷质比的粒子所引起。
从其引致的电离程度看不可能为电子。
（C.D. Anderson and S.H. Neddermeyer, Phys.Rev .50(1936)263;S.H. Neddermeyer and C.D. Anderson ,Phys.Rev .51(1937)884.)S.H. Neddermeyer and C.D. Anderson ,Rev.Mod.Phys .11(1939)191eee m m m m 200400100~50<<m μ~ 105.7 MeVPhys.Rev,71(1947)209μνν≠e 实验证实在所有的反应中轻子数是守恒的，而且不同种类的轻子数分别守恒，且在所有的相互作用中都守恒,e L ,μL τL后来又发现了另外一类“V ”型事例，经过分析，其末态是π+和π−，其质量约为电子质量的1000倍，当时称为θ0介子，其寿命约为10−10秒−+→ππθ0以后，又发现了带电的θ介子ππθ++→1949年，发现了质量与θ接近另外的一个新粒子−+++→πππτ现在，我们知道θ和τ是同一种粒子，称为K 介子。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#6 @
1 N L 2
耦合之后总磁矩
1 1 N L J ( g p g N )N S J J 2 2 R J ( J 1)
因 J LS 有
N 3 ( g p g N ) N (1) J / 2
旋 S , 然后总自旋再与轨道角动量 l 耦合形成总角动量 J , 用核磁子表示你的结果. 已知质子和 中子的磁矩分别是 2.79 和-1.91 核磁子. 解: (i) S,D 态的宇称为正, 而 P 态的宇称为负, 由于宇称守恒, 开始时为 S 态的量子态在任何 时刻都不可能有 P 态混入 (ii)
1 1 1.5 ( g p g N ) N J 0.31 N J 2 2
取 J 方向的投影并使 J s 为最大值 J 1 , 从而有 0.31 N 6.11 一个 介子(赝标粒子, 自旋为零, 奇宇称)最初别束缚在氘核周围, 并处在最低库仑态
的角分布是多少? (i). 反应前后宇称守恒, 有
p( ) p(d )(1) L1 p(n) p(n)(1) L
L1 , L2 分 别 是 d 及n+n 的 轨 道角 动量 . 但反 应 前 是 在库 仑 势的 最低 能 态
中, L1 0 , 且已知: p( ) 1, p(d ) 1 有
2/3 c , 2/ d 3 , 1/ 3
p 1,1 p 1, 1 0 n 1, 0
查 C G 系数表, 可得
a 1 / 3b ,
共振态的 I 3/ 2 , 经过此面的截面比为 1 2 4 2 a : b : c 1: a : ac 1: : 9 9
能的, 因为 L 1 , 所以几率为 0 (iii) 从而有 初始态为 J , J z 1,1 , 将其变成非耦合表象 L 1, S 1, L, L3 , S , S z
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#16
p( ) 1 ， p(d ) 1 ，有： (1) L2 1, L2 2m 1, m 0,1, 2
反应前后角动量守恒。反应前 J 1 ，所以反应后有 L2 S J 。
。
n 与 n 的全同性要求总波函数反对称现在空间波函数反对称，所以自旋函数必须对称，即：
S 1 ，所以 L 2,1, 0 。但 L 2m 1，所以 L 1, S 1 。
总轨道角动量为 2 ；总自旋角动量为 2 。 （ii）设反应前氘核子方向 J 2 ，若中子对全部反向， S2 ，那么 L2 2 ，这是不 可能的，因为 L 1 ，所以几率为 0。 （iii）初始态为 J , J 2 1,1 ，将其变到非耦合表象： L 1, S 1, L, L2 , S , S2 ， 从而有 1,1
l
e Lp n Lp 2m p c
1 L p 是 p 对质心的角动量, 因为 L p Ln L , 且可以认为 L p Ln , 有 L p L (质心在连线中 2 1 心), 这样就有 l n L 2
耦合之后的总磁矩
p 1,1 1 2,1 2 3 2,3 2 , p 1, 1 1 2,1 2 a 3 2, 1 2 b 1 2, 1 2 , 0 n 1, 0 1 2, 1 2 c 3 2, 1 2 d 1 2, 1 2 .
由 C G 系数可得： a 1 3,
取 J 方向的投影并使 J z 为最大值 J 1 ，从而有
1 2
1 2
0.31 n
6.11 一个 介子（赝标粒子、自旋为零、奇宇称）最初被束缚在氘核周围，并处在最低库 仑能态上。它被氘核（一个质子和一个中子处在 3S1 态中）俘获，并使氘核转变为一对中子：
曾量子力学练习题答案
曾量子力学练习题答案曾量子力学练习题答案量子力学作为现代物理学的重要分支，涉及到微观世界中微粒的行为和性质。
它的理论体系由一系列基本原理和数学工具构成，为解释和预测微观粒子的行为提供了有效的方法。
在学习量子力学的过程中，练习题是巩固和应用知识的重要方式。
下面我将为大家提供一些曾量子力学练习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于自旋上态，经过一个自旋测量仪器后，测量结果为自旋向上。
求此时粒子的自旋态。
答案：根据量子力学的原理，自旋态可以用Dirac符号表示，自旋向上的态记作|↑⟩，自旋向下的态记作|↓⟩。
在这个问题中，自旋测量结果为自旋向上，即测量结果为|↑⟩。
因此，此时粒子的自旋态为|↑⟩。
2. 问题：一个电子处于自由状态，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-α|x|)，其中A和α为常数。
求该电子的概率密度分布。
答案：概率密度分布可以通过波函数的模的平方来计算。
在这个问题中，波函数的模的平方为|Ψ(x)|^2 = |Ae^(-α|x|)|^2 = A^2e^(-2α|x|)。
因此，该电子的概率密度分布为A^2e^(-2α|x|)。
3. 问题：一个处于束缚态的粒子，其波函数为Ψ(x) = Csin(kx)，其中C和k为常数。
求该粒子的能量。
答案：根据量子力学的原理，能量可以通过波函数的哈密顿量来计算。
在这个问题中，波函数的哈密顿量为HΨ(x) = EΨ(x)，其中E为能量。
将波函数代入哈密顿量的表达式中，得到-HCsin(kx) = ECsin(kx)。
两边同时除以sin(kx)，得到-HC = EC。
因此，该粒子的能量为E = -H/C。
4. 问题：一个自由粒子的波函数为Ψ(x) = Ae^(i kx) + Be^(-ikx)，其中A和B为常数。
求该粒子的动量。
答案：根据量子力学的原理，动量可以通过波函数的波矢来计算。
在这个问题中，波函数的波矢为k。
根据动量的定义，动量p = hk，其中h为普朗克常数。
王顺荣编高教版社结构化学习题答案第2章
第二章原子结构与原子光谱赖才英070601319 何雪萍070601319 陈小娟070601319陈杉杉070601316 肖丽霞070601318 王水金0706013471.n、l、m三个量子数的取值范围、相互关系与物理意义。
取值范围及相互关系：n=1、2、3……共n个l=0、1、2……n-1共n个m=0、±1、±2……±l共2l+1个物理意义：主量子数n决定体系能量的高低、对单电子原子：En=-μe2/8ε2h2*Z2/n2=-13.6Z2/n2(eV)角量子数l决定电子的轨道角动量绝对值|M|=l*(l+1) *h/2π磁量子数m决定电子的轨道角动量在磁量子数方向上的分量Mz：Mz=m*h/2π2．为什么P+1与P-1不是分别对应Px与Py?答：决定复波函数的三个量子数都是确定的，可以用两种方式表示。
实波函数Ψnl| m|的磁量子数仅对应| m|，波函数中既有+| m|的成分又有-| m|的成分。
说明仅在m=0时，复波函数和实波函数是一致的，在m≠0时，是一组复波函数对应于一组实波函数，而不是一一对应的关系。
3.如何由氢原子空间波函数确定轨道的名称,求出En、|M|与Mz等力学量的确定值或平均值。
氢原子空间波函数为：ψ1、0、0=1/π*(Z/a)3/2*e-zr/a=1/π*(1/a)3/2*e-r/a∵n=1、l=0、m=0∴轨道名称应是：1S 此时En=-13.6*Z2/n2（eV）=-13.6ev∵|M|=l*(l+1) *h/2π=0Mz= m*h/2π=04.研究多电子原子结构碰到什么困难？作了那些近似？用了什么模型？答：困难：多电子原子中存在着复杂的电子间瞬时相互作用,其薛定谔方程无法进行变数分离，不能精确求解；多电子原子中存在能级倒臵，一般用屏蔽效应和钻穿效应解释，但是由于这两个效应都是定性的效应，相互又是关联的，所以，定量地解释能级倒臵的原因较为困难；用SCF法似乎解决了问题，但实际上方程仍无法求解，因为解方程需知ψj,而ψi也是未知的.近似:完全忽略电子间的排斥势能即零级近似;体系近似波函数;体系近似总能量;中心势场是近似的球对称势场;在SCF法中,每个电子的运动与其他电子的瞬时坐标无关,即在多电子原子中,每个电子均在各自的原子轨道上,彼此”独立”地运动.模型:中心势场模型是将原子中其他电子对第i个电子的排斥作用看成是球对称的，只与径向有关的力场。
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
.
基态能量应取 的最小值,由
得
,
此时，
，即 在
处取得最小值
.
（优化解法）氢原子中有一个电子，电荷为 ，核电荷为 ，总能量算符为
(1)
设原子的最概然半径为 ,则式（1）的基态平均值中可取
(2)
根据不确定度关系，可取
(3)
因此，基态能量约为
(4)
的取值应使 为极小，由极值条件
7
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
;
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即 的本征函数是
量子力学第二版答案_周世勋
第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThce kThc λλ ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学(二)习题参考答案
ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4） 、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1
《粒子物理学教学讲义》5.4-正反粒子变换-g变换
20
八、多个强子组成的系统的G变换性质
一一个有多个强子子组成的系统，只要其 a) 所有的内部相加性守恒量除同位旋第三分量和电荷外都为零； b) 有确定的总同位旋； c) 并且其相应的总同位旋第三分量为零的态有确定的C宇称； 则这个系统就具有确定的G宇称，其值为
G ' = C '(−)I
特别是对于由一一对正反粒子子组成的具有确定轨道角角动量L和总
考察A粒子的态 A ，
其反粒子的态记作 A
C变换的结果一般表为： C A = Cʹ′(A) A
Cʹ′( A)称作粒子态 A 的C变换因子。
更一般地，对于多粒子系统A，B，C，….，C变换可以表为
C ABC! = Cʹ′(A)Cʹ′(B)Cʹ′(C)! ABC !
35 C变换有以下性质：
6
a) 粒子子和反粒子子的C变换因子子之间是复共轭关系, 属于同一一不可约表示示的粒子子的C变换因子子取同一一值。
QC A = QC!(A) A = −Q!(A)C!(A) A CQ A = CQ'(A) A = Q!(A)C!(A) A
反粒子的Q是负的
(QC + CQ) A = 0
QC + CQ = 0
考虑到任意态总可以用Q的本征态 展开，因此有
因此，一一般来说，相加性守恒量和C变换没有共同的本征态，
只有相加性守恒量取值都为零时才可能同时又又是C变换的本征态。
第4节 正反粒子共轭变换（C变换）、G变换
一、正粒子和反粒子
1. Dirac方方程、负能态和Dirac空穴穴理论 • 1928年，Dirac提出一一个相对论性的电子子运动方方程——Dirac 方方程； • Dirac方方程能够给出正确的关于氢原子子精细结构的描述；可以 给出正确的电子子磁矩等，它的结果和实验符合得很好，因此其 正确性得到了检验。 • 但是，根据Dirac方方程，电子子既有正能态，也有负能态，负能 态的理论解释很困难。 Dirac将负能态解释成为“空穴穴”: