宁夏石嘴山市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案

2018届第一次模拟考试 理科数学能力测试注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1． 已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于( ) A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1- C ．{}2,0 D ．{}4210，，， 2．复数5i1＋2i 的虚部是 ( )A. iB. －iC. 1D. －1 3．在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = ( ) A ．325 B ．335 C ．33 D ．5334．以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=-y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为( )A ． 0642022=+-+x y xB ．0362022=+-+x y xC ．0161022=+-+x y xD ．091022=+-+x y x5.MOD(a ，b)表示求a 除以b 的余数，若输入a ＝34，b ＝85，则输出的结果为( )A. 0B. 17C. 21D. 346．三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱⊥1AA 底面ABC ，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为( )A ．3B ．32C ．22D ．47．设,x y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是 ( )A ．[4,1]-B ．3[3,]7-C ．(,3][1,)-∞-+∞D ．[3,1]-8.(ω＞0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数y ＝f(x)的图象向左平移6π个单位得到函数y ＝g(x)的图象，则y ＝g(x)是减函数的区间为( ) )0,3.(π-A )4,4.(ππ-B )3,0.(πC )3,4.(ππD9．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．的为( )A. 若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b αB. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥C. 若a β⊥，αβ⊥，则//a αD. 若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥ 10.若a ∈[1，6]，则函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)内单调递增的概率是( )A. 45B. 35C. 25D. 1511．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1,若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为( )A ．32 B C ．3 D ．-12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[)0，＋∞上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[]0，2n(n ∈N *)上的所有零点的和为()A.n (n ＋1)2B. 22n －1＋2n －1C. (1＋2n )22D.2n－1第II 卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分 ）13．已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，则正数a =________14．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件{A =三个人去的景点各不相同}，事件{B =甲独自去一个景点}，则()P A B =__________ 15等于16．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.三、解答题:(本大题共6小题70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知 ：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式.（2 ）数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，求M 的最小值.18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50， [)50,60…[]90,100后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并求样本数据的众数，中位数，平均数x 和方差2s .（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）从被抽取的数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X （以该校学生的成绩的频率估计概率），求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，2=AF ，3=CE ， O 为BC 的中点,//AO 面EFD ． (1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角 的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是 圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q . (1)求动点Q 的轨迹Г的方程；(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.ACBDEFO21．（本小题满分12分） 设(4)ln ()31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围．请考生在22，23，二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1=4+1622x y ，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()33πρθ+=．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设M （x ，y ）为椭圆C 上任意一点，求|32x +y ﹣1|的最大值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||,f x x a a R =-∈（1）当2a =时，解不等式：()6|25|f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：ts 8+1≥6．2018高三年级一模数学（理科）试卷2018.31 . A. 2．C 3． A 4.. C 5. B 6 . B 7.D 8. D 9. .C 10．B 11．A. 12. B13．【答案】1 14 . 【答案】 21 15．【答案】2116．【答案】3 17．（本小题共12分）已知 ：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2 ）数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，求M 的最小值.解析 （1）由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1， （2）由a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.…………（12分）18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50， [)50,60…[]90,100后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并求样本数据的众数，中位数，平均数x 和方差2s .（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）从被抽取的数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X （以该校学生的成绩的频率估计概率），求X 的分布列和数学期望.解析：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.15*20.01f =-++ 0.005)*100.3+=.直方图如图所示. 中位数是0.1701073.330.3c x =+⨯=， 样本数据中位数是73.33分.众数是75；x =71；2s =194（2）[)70,80， [)80,90， [)90,100的人数是18， 15， 3，所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：222181532362970C C C P C ++==. （3）因为()4,0.3X B ~， ()440.30.7kkkp X k C -==⋅， ()0,1,2,3,4k =，所以其分布列为：数学期望为40.3 1.2EX np ==⨯=.19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，2=AF ，3=CE ， O 为BC 的中点,//AO 面EFD ． (1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值． （1）取ED 的中点P ，连接,PO PF 则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++== 又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF 所以,,,A O P F 四点共面……………2分 因为//AO 面EFD ，且面AOPF 面EFD PF =所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形，2PO AF == 所以1BD =……………4分（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ； 又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ；……………6分（3）以O 为原点，,,OC OA OP 所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系(1,0,0),(1,0,0).(0,0,2),(1,0,3),A B C P E F -……7分设Q 为AC的中点，则1(2Q 易证：BQ ⊥平面ACEF 平面ACEF的法向量为3(2BQ =……………8分设平面DEF 的法向量为(,,1)n x y =，(1,0,1),PE PF ==由00n PF n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得01y x =⎧⎨=-⎩ 所以(1,0,1)n =-……………10分所以cos ,4BQ n BQ n BQ n ⋅<>==-11分由所求二面角为锐二面角角，所以平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．为46…………12分 20.（本小题满分12分） 如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Г的方程；(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上，∴|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4，又|EF |＝23＜4，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г：x 24＋y 2＝1.(2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx (k ＞0)，∵|CA |＝|CB |，∴C 在AB 的垂直平分线上，∴直线OC 的方程为y ＝－1k x .⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＝4，|AB |＝2|OA |＝2x 2＋y 2＝4k 2＋14k 2＋1，同理可得|OC |＝2k 2＋1k 2＋4，S △ABC ＝12|AB |×|OC |＝4(k 2＋1)2(4k 2＋1)(k 2＋4)＝4(k 2＋1)(4k 2＋1)(k 2＋4)， (4k 2＋1)(k 2＋4)≤4k 2＋1＋k 2＋42＝5(k 2＋1)2，当且仅当k ＝1时取等号， ∴S △ABC ≥85.综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值85.21．（本小题满分12分）设(4)ln ()31x a x f x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直． （1）求a 的值；（2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围．解：（1）f′（x ）=………..1分由题设f′（1）=1，∴，∴a=0．………..3分 （2），∀x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x ﹣1），即4lnx≤m （3x ﹣﹣2）………..4分设g （x ）=4lnx ﹣m （3x ﹣﹣2），即∀x ∈[1，|+∞），g （x ）≤0，∴g′（x ）=﹣m （3+）=，g′（1）=4﹣4m ……..6分① 若m≤0，g′（x ）＞0，g （x ）≥g （1）=0，这与题设g （x ）≤0矛盾..7分 ② 若m ∈（0，1），当x ∈（1，），g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，g（x ）≥g （1）=0，与题设矛盾．………..9分③ 若m≥1，当x ∈（1，+∞），），g′（x ）≤0，g （x ）单调递减，g （x ）≤g （1）=0，即不等式成立综上所述，m≥1．………..12分22．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，则其参数方程为，（α为参数）；………..1分直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，………..3分,将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；………..5分（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），……..6分|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，………..8分分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．…………..10分23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲23.解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．…..1分①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；…………..2分②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；…………..3分④x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………………..4分综上所述，不等式的解集为（﹣]；………..5分（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，……..7分∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．..10分。