反比例函数图像与性质2

O B
x
归纳总结
• 1.过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴 作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若 与原点相连,所构成的直角三角形的面积等 于|k|/2. • 2.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中 心对称图形. • 对称轴有两条:y=x和y=-x,对称中心是原点.
y
（2）求三角形POQ的面积
D
C o Q
P
x
3.(2003年成都) 如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数 8 y 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点B x 的纵坐标都是 2. y
求（1）一次函数的解析式
A
（2）根据图像写出使一 次 函数的值小于反比例函数的 值的x的取值范围。
12 （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y x
，可知点Ｂ、
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，
12 所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y 的图象上，点Ｄ不在这个 x
函数的图象上。
例1、已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函 4 数 y 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。 x
的图象 ，且x1<x2<x3 ，过A、B、C三点分别作坐标轴的
k 例2、 A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数 y x
垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别是S1 、S2、 S3，则S1 = S2 = S3
k y x
H N A B C
k y1 x1 k y2 x2 k y3 x3
原点所构成的三角形的面积 k ，并保持不变。
1 8.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点 A, B, C , x 经过三点分别向 x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB, OC, 记OAA 的 1 , OBB 1 , OCC1
2
A. 面积分别为S1 , S2 , S3 , 则有 __
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
A
B
C
o
A1 B1 C1
x
12 例4、如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标
是 6。
（1）求这个一次函数的解析式
（D ）
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 1 4 (2)点B(3，4)、C( 2 , 4 ）和D（2，5）是否在 5 2 这个函数的图象上？ k (k 0) 解：（１）设这个反比例函数为 y x
∵图象过点A（2，6）
x1 y1 k
x2 y2 k
x3 y 3 k
D E F
k • 归纳：反比例函数 y 图像上任取一点，过 x
这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围 成的矩形的面积均是︱k︱，并保持不变。
练习：1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,
过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积
3 为3,则这个反比例函数的关系式是 y . x y
p
N
o xBiblioteka M2 例3.如图,点P是反比例函数 图象 y x 上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 .
S△POD
1 = OD· PD 2
2 y x
2 n m
y
nm 2
1 = m n 2 1 = k =1 2
P
o D x
k • 归纳：反比例函数 y x 图像上任取一点，过这一 个点向x轴或y轴分别作垂线，这一点和垂足及坐标
12 ∴这个反比例函数的表达式为 y x
∵ｋ＞０
k 6 2
解得： ｋ＝１２
∴这个函数的图象在第一、第三象限， 在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何 变化? 1 4 (2)点B(3，4)、C( 2 , 4 ）和D（2，5）是否在 5 2 这个函数的图象上？
y
y
0
x
0
x
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
函数 解析式
图象形 状
位 置
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
双曲线 一三象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小 二四象限 在每个象限内 y 随x 的增大而增大
K>0
当K＜0时, y3 < 0 < y1 < y2.
议一议
观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:
(1)它们会与坐标轴相交吗？ 它们都不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图象是中心对称图形吗？ 是中心对称图形,对称中心是坐标原点. （3）反比例函数的图象是轴对称图形吗？ 是轴对称图形, 对称轴有两条:y=x和y=-x
解：∵k=4>0
∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小
∵x1<x2<0 , x3=3>0, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限 点C(3,y3)在第一象限。 ∴y3>0, y2 <y1<0 即y2 < y1 < 0< y3
(2)如果点A（-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例 k 函数 y 的图象上，那么y1、 y2 、y3的大小关 x 系又如何呢？解：当K>0时, y2 < y1 < 0< y3.
二、四 象限. 第_________
k＋1 4.若关于x,y的函数 y 图象位于第一、三象限， x
k>－1 则k的取值范围是_______________
5、反比例函数
k 2 与正比例函数 y y kx 在 x
D ）
y y
同一坐标系中的图象不可能的是（
y
y
x
x
x
x
（A ）
（B ）
（C ）
增 减 y随x的增大而增大 性 位 置
二四 象限
K<0
增 减 y随x的增大而减小 性
做一做
1.反比例函数
y
4 2 y 2.反比例函数 x 经过点(m,2),则m的值______. 3.反比例函数 y k 的图象经过点(2,-3), 则它的图像在 x
2 x
二、四 象限内. 的图象在第_________