几何画板实验报告(函数y=Asin(ωx+φ)图象)
函数y=Asin（ωx＋φ）的图象教学实录与反思
函数y=Asin（ωx＋φ）的图象教学实录与反思史小玉【摘要】1基本情况1.1授课对象学生来自四星级重点高中普通班,基础较好,思维较活跃,有一定的观察、分析能力及合作学习的基础.1.2教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书.数学（必修4）》（苏教版）.函数y=Asin（ωx＋φ）的图象是第1章＂三角函数＂中第3节的内容,它是在学习了“五点法”作图和三角函数的性质的基础上展开的，同时又是进一步学习三角函数应用的基础，也是研究两个一般函数图象之间的伸缩变换和平移变换的基础，这也正是本章的难点之一．【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2012(000)007【总页数】3页(P12-14)【关键词】三角函数;函数图象;教学实录;反思;合作学习;教材分析;实验教科书;重点高中【作者】史小玉【作者单位】江苏省宜兴第一中学,214206【正文语种】中文【中图分类】G633.641 基本情况1.1 授课对象学生来自四星级重点高中普通班，基础较好，思维较活跃，有一定的观察、分析能力及合作学习的基础.1.2 教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）》（苏教版）.函数y ＝Asin（ωx＋φ）的图象是第1章“三角函数”中第3节的内容，它是在学习了“五点法”作图和三角函数的性质的基础上展开的，同时又是进一步学习三角函数应用的基础，也是研究两个一般函数图象之间的伸缩变换和平移变换的基础，这也正是本章的难点之一.教学目标（1）会说出函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅、周期、频率、相位、初相.（2）能由正弦曲线通过平移变换以及伸缩变换得到y＝sin（x＋φ），y＝sinωx 的图象，并能说出参数ω，φ对函数图象的变化的影响.（3）能用类比的方法得出y＝f（x）的图象与y＝f（x＋φ）图象和y＝f（ωx）的图象的关系.（4）通过探索发现函数y＝sin（x＋φ），y＝sinωx的图象与y＝sin x的图象之间联系的过程，学生至少能说出解决问题的两种思想方法（如特殊到一般、具体到抽象、数形结合等）.（5）反思探索发现函数y＝sin（x＋φ），y＝sinωx的图象与y＝sin x的图象之间联系的过程，学生能说出解决一些具体问题的思维过程（如观察、比较、归纳、综合、分析等）.教学重点 y＝sin x的图象与y＝sin（x＋φ），y＝sinωx的图象之间的联系，及其引导学生探索发现其联系的过程.教学难点怎样引导学生自主探索y＝sin x的图象与y＝sin（x＋φ），y＝sinωx 的图象之间的联系，怎样引导学生从本质上理解这两个图象变换的规律.2 教学过程2.1 导入新课（1）复习提问：1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的周期是多少？2）作出函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的方法是什么？（2）在现实生活中特别是物理和工程技术中经常会遇到形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数，为了更好的运用三角函数解决实际问题，我们不仅要会用“五点法”作出函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）的简图，而且还要研究它的图象与y＝sin x图象之间的关系.这就是本节课要解决的问题.出示课题：函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象.2.2 推进新课基本概念函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中，称A为振幅，T＝为周期，f＝＝为频率，ωx＋φ为相位，当x＝0时的相位φ为初相.合作探究1 分别在同一坐标系中用“五点法”作出下列函数在一个周期内的简图，并探究它们之间有怎样的关系.1）y＝sin x与y ＝sin（x＋1）；2）y＝sin x与y＝sin（x－1）.师：“五点法”是指哪五个点？在作y＝sin（x＋1）和y＝sin（x－1）的图象时这五个点应该怎样取？全班完成并请两位学生板演.生1：y＝sin（x＋1）的图象是由y＝sin x的图象向左平移一个单位而得到的.生2：y＝sin（x－1）的图象是由y＝sin x的图象向右平移一个单位而得到的. 师：从同学们作出的图象可以直观地看出这两个结论是正确的，能从本质上说明为什么吗？学生思考讨论，教师巡视发现学生思维受阻.师：图象是点的集合，所以考察两个图象间的关系就是要考察两个图象上对应点之间的关系.有学生恍然大悟，举手回答.生3：从图中五个对应点的坐标之间的关系就可以得出结论.如y＝sin x图象上五个点A（0，0），B，1），C（π，0），D（，－1），E（2π，0），y＝sin（x＋1）图象上对应的五个点分别为A′（－1，0），B′（－1，1），C′（π－1，0），D′（－1，－1），E′（2π－1，0）.A′与A 纵坐标相同，横坐标小一个单位，B′与B纵坐标相同，横坐标小一个单位，C′与C，D′与D，E′与E，都具有相同的关系，所以y＝sin（x＋1）的图象是由y＝sin x的图象向左平移一个单位而得到的.生4：同学3讲得不全面，因为图象上有无数个点.应这样来说明：设P（t，y0）是y＝sin x图象上任意一点，即x＝t时，y＝y0＝sin t.在y＝sin（x＋1）中，当x＋1＝t，即x＝t－1时，y＝y0＝sin t.即y＝sin（x＋1）图象上横坐标为t－1的点的纵坐标与y＝sin x图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，所以y＝sin（x＋1）的图象是由y＝sin x的图象向左平移一个单位而得到的.师：讲得很好，请同学们用相同的方法说明一下为什么y＝sin（x－1）的图象是由y＝sin x的图象向右平移一个单位而得到的.生5：y＝sin（x－1）的图象上横坐标为t＋1的点的纵坐标与y＝sin x图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，所以y＝sin（x－1）的图象是由y＝sin x的图象向右平移一个单位而得到的.师：说得好，下面我们用多媒体来进一步验证这个结论（首先让学生观察如何由y ＝sin x的图象变换到y＝sin（x＋1）图象，其次观察变化过程中分别在这两个函数图象的相应点P与Q之间的联系：它们之间的距离始终为定值1，且纵坐标相同）.师：一般地，如何由y＝sin x的图象得到y＝sin（x＋φ）的图象？（结论1）生：将y＝sin x的图象上所有的点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位就得到y＝sin（x＋φ）的图象.问题延伸：（1）y＝sin x与y＝sin（x＋φ）的周期、振幅和初相是否相同？它们的图象形状和位置是否相同？生：只改变图象的位置，不改变图象的形状，所以周期、振幅相同，初相不同. （2）根据y＝sin x与y＝sin（x＋φ）的图象之间的关系，对任意一个函数f （x），你能得出如何由y＝f（x）的图象得到y＝f（x＋a）的图象吗？生：将y＝f（x）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位就得到了y＝f（x＋a）的图象.合作探究2 在同一个坐标系中分别作出下列函数在一个周期内的简图，探究它们之间的关系，并说明理由.1）y＝sin x 与y ＝sin 2x；2）y＝sin x与y＝sinx.类比合作探究1的讨论方法学生顺利地解决了这个问题.生：y＝sin 2x图象上横坐标为t的点的纵坐标与y＝sin x图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，所以y＝sin 2x图象是由y＝sin x图象横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的.生：y＝sinx图象上横坐标为2t的点的纵坐标与y＝sin x图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，所以y＝sinx图象是由y＝sin x图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的.师：说得很好，下面我们同样用多媒体来进一步验证这个结论.师：一般地，如何由y＝sin x的图象得到y＝sinωx的图象（ω＞0，ω≠1）（结论2）生：将y＝sin x图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）就得到了y＝sinωx的图象.问题延伸：（1）y＝sin x与y＝sinωx（ω＞0，ω≠1）的周期、振幅和初相是否相同？它们的图象形状和位置是否相同？生：形状和位置都发生了变化，函数的周期不同、振幅和初相相同.（2）根据y＝sin x与y＝sinωx（ω＞0，ω≠1）的图象之间的关系，对任意一个函数f（x），你能得出如何由y＝f（x）的图象得到y＝f（ωx）（ω＞0，ω≠1）的图象吗？生：将y＝f（x）的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）就得到了y＝f（ωx）的图象.2.3 目标检测（1）将y＝sin x的图象向______平移______个单位，得到y＝sin（x＋）的图象. （2）将y＝sin x的图象作怎么样的变换，能得到y＝sin 3x的图象？（3）将y＝sin x的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到的函数为______.（4）将y＝sin（x＋）的图象向右平移个单位，得到的函数是______.（5）y＝sin x的图象经过怎样的变换，得到y＝sin（2x＋）的图象？2.4 课堂小结师：请同学们谈谈本堂课的收获（略）.2.5 布置作业（略）3 回顾与反思3.1 教学设计的立意（1）利用问题教学和合作学习的教学策略提高课堂教学的有效性教学是否有效益，并不是指教师有没有完成教学内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好，即学生有没有得到应有的发展.如果学生不想学习或学了没有收获，即使教师教得再辛苦也是无效的教学.这堂课的教学设计始终围绕着如何突出学生的主体作用，如何让学生获得最多的收获来进行的.因此选择了问题教学法以及自主学习和合作学习相结合的教学方法，以问题为主线让学生自主参与探索发现的过程，亲身感受解决问题时常用的数学思想方法（如特殊到一般、具体到抽象、数形结合等）和常见的思维过程（如观察、比较、归纳、综合、分析等）.（2）从本质上理解图象变换的规律本节课的难点在于怎样让学生从本质上理解平移变换和伸缩变换的规律.先通过作图让学生有个直观的感觉，再通过观察比较，采用特殊到一般、具体到抽象并进一步用多媒体验证的方法让学生理解图象是点的集合，考察两个图象之间的关系只要考察这两个图象上对应点的坐标之间的关系即可，这样就从本质上解决了这个问题，同时给出了研究一般函数y＝f（x）与y＝f（x＋a），y＝f（x）与y＝f（ωx）（ω＞0）图象之间关系的方法.3.2 教学反思（1）让每个学生积极参与发现规律的过程，充分体现学生的主体地位课堂教学中教师经常会出现“越位”的现象，将课堂变成了一言堂.本节课中教师讲的很少，自始至终都以学生为主体，是学生在作图，在思考，在讨论，在提出问题，在总结规律.课堂检测表明教学目标达成度高.无数事实证明最后深入记忆深处的知识都是通过自主学习而非被动学习得来的. （2）正确使用多媒体教学手段这节课很容易上成“影片”欣赏，用电脑在同一坐标系中直接作出y＝sin（x＋1）和y＝sin x的图象以及y＝sin（x－1）和y＝sin x的图象，再通过观察得出结论，然后进行大量的习题训练.看似效果不错，但学生对结论只是机械记忆，不清楚问题的本质，导致涉及到图象变换的问题时到底是向左移还是向右移，是拉伸还是压缩总是错误百出.多媒体只是一种辅助教学手段，课堂教学一定要重视学生的思维训练，一定要舍得花时间充分暴露学生的思维过程，让学生充分参与探究发现的过程.（3）不拘一格的课堂小结本节课没有采用传统的由教师进行的课堂小结，而是留了五分钟的时间让学生谈谈本节课的收获，同学们发言踊跃，各抒己见，下课铃声响了仍觉意犹未尽.。
《函数y=Asin（ωxφ）的图像》说课稿解读
《函数y=Asin（ωxφ）的图像》说课稿解读《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》说课稿位育中学数学组刘烨我说课的内容是《函数y=Asin(ωx+φ)（A>0、ω>0）的图像》第二课时。
我将从教学理念；教材分析；教学目标；教学过程；教法、学法；教学评价六个方面来陈述我对本节课的设计方案。
一、教学理念新的课程标准要求我们不但要重视数学的应用价值，也要注重其思维价值和人文价值。
因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展。
我希望能通过这节课充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式和学习方式的转变。
二、教材分析1、教材的地位和作用一般正弦函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质是学习了基本三角函数y=sinx、y=cosx、y=tgx和y=ctgx的图像和性质后的一个教学内容。
之所以安排这个内容我认为有四个作用。
（1）y=Asin(ωx+φ)的图像和性质的这部分知识在物理的振动、电学、光学中都有非常重要的应用，是研究这些物理内容必不可少的工具，具有重要的应用价值。
（2）从y=sinx的图像到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程，较完整地使用了图形的压缩、平移变换，是对一般图形变换内容的补充和复习。
（3）研究y=Asin(ωx+φ)的图像和性质，是研究y=sinx图像和性质的延伸和拓展，它的研究方法可以迁移到研究其他一般三角函数的图像和性质中去，具有典型性。
（4）研究一般正弦函数y=Asin(ωx+φ)时采用控制参数个数，先单一后综合的研究方法，是科学研究中经常使用的方法，学习这部分内容有助于提高学生处理复杂问题的能力。
由于教学内容较多，本节内容拟分3课时：第一课时：理解y=Asin(ωx+φ)中A，ω，φ三个量的数学意义和实际意义，并分别研究y=Asinx、y=sinωx和y=sin(x+φ)的图像和性质。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用
第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝⎛⎭⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6答案 C 3．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A 4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z)．∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C.5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3. 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． 规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)在求解中，一定要注意其定义域．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题． 【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．[解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－13．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是 A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫56－13＝2＝2πω，则ω＝π，将点⎝⎛⎭⎫13，2代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．12解析：将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π2ω所得图象与原图象重合，有ωx ＋φ＋π2ω＝ωx ＋φ＋2k π，得ω＝4k (k ∈Z)．5．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2 D ．3解析：在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2.则ωx 的取值 ⎣⎡⎦⎤－ωπ3，ωπ4，∴－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2，∴ω的最小值等于32. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.解析：从图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4－3π4＝0. 7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ) ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 解析：设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)，x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin(12x －π4)的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)．对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 因为f (x )为偶函数，所以对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 即－sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2，故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z)时，g (x )单调递减因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 得f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，故f ⎝⎛⎭⎫π6等于2或－2. 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m 的图象关于y 轴对移，所以π3＋m ＝k π，k ∈Z.即m ＝k π－π3，k ∈Z ，当k ＝1时，m 取最小值为2π3. 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：数形结合法：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].由图象知：1<k <3.5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解(1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π∴ω＝2ππ＝2，故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)函数的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(3)由5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤0得2k π－π≤2x －π6≤2k π∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴使y ≤0的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解：(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos(2x ＋π6)．故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12.由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32.∵0＜x ＜π，∴－π12＜2x －π12＜2π－π12 ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π，∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6.一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .答案：B2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称知，f (43π)＝0，即3cos(8π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，∴φ＝kπ＋π2－8π3(k ∈Z)．|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x .将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π8)＋π4＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.5．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.12解析：由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)．f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23.又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝A cos(φ－14π)＝22(A cos φ＋A sin φ)＝0，∴f (0)＝A cos φ＝23.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是____(4)(2)或(2)(6)____(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin(x ＋π3)――→(2) y ＝sin(x 2＋π3)，或y ＝sin x ――→(2) y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12(x ＋2π3)＝sin(x 2＋π3)． 10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后纵坐标不变，把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32.令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1 (2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32.经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32.当x ＝4kπ＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x －π6≤2kπ＋32π，即x ∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题3．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π3(x ∈R) 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．125．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32C ．2D ．3. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．. 5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π23．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋25．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.127．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．。
几何画板在三角函数图象教学中的应用与反思
几何画板在三角函数图象教学中的应用与反思函数y =A sin(ω x+φ)的图象一节内容已经上了一课时,第二课时主要的问题是用五点法画函数y= 3sin(2x+ π/3) )的图象,并由此总结出由函数y=sin x的图象到函数y= A sin(ω x+φ)的图象的变化规律,这样就必然涉及到大量的图象,在以往的教学中对这个问题的处理总是不能达到很好的效果,于是采用计算机辅助教学就成为必然的选择.本人在网上找到了几个有关的课件,发现都是严格按照课本上给出的方式进行演示,而这样并不一定符合学生的思维习惯,本人就课件制作的问题与同备课组的的老师进行了探讨.我们认为,计算机辅助教学必须充分体现“以学生发展为本”.以学生为主体,让学生积极参与,自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和内涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求.仍然采用录像对课堂教学进行分析,对将函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到函数y =A sin(ω x+φ)的图象,课堂上学生经过,提出了只需三个步骤,共六种变换方式,以函数y =sin x的图象变换到函数y =A sin(ω x+φ)的图象的步骤为例,分别是:以上变换分别如图2-1—图2-6表示.12对学生在学习过程中出现的错误情况,本人先是让学生充分地说出自己的理由,并让学生找证据为自己的结论进行辩护,然后用几何画板演示,如果按照学生的思路去进行变换,将会得到怎样的结果.通过电脑的演示,让学生在错误的结果与正确的结果之间进行比较,转变了学生的思维.如图2-7所示.建议在备课组讨论的几个问题:1.数学问题:点(x , y)在函数y =sin x的图象上,则点( x/2 - π/6, 3 y)在函数y =f (x)的图象上,写出函数y =f (x)的解析式.2.评价学生的思维:学生在猜想、讨论时思维的广阔性是否得到了培养,电脑演示对学生的思维活动起了怎样的促进作用?3.教学法问题: 函数y =A sin(ωx+φ)的图象的教学中,与过去一支粉笔一块黑板相比,现在的计算机辅助教学除了增大教学容量外,还体现了“以学生发展为本”.学生出错的思维机制怎样转变.4.背景问题:教师在课堂上并没有完全按照课本上的顺序进行教学,而是按照学生讨论的情况进行教学,这体现了教师怎能样的教学思想?5.课件的评价:借助计算机技术,在课堂教学中,很容易地得到丰富的函数图象.这样,学生就很容易通过自己的参与、探索与归纳,深刻理解A、ω、φ这三个系数对函数y=A sin(ω x+φ)的图象的影响,大大地增加了教学容量,活跃了课堂气氛,提高了教学效率,为进一步研究其他函数图象的性质,打下了坚实的基础,学生的主体地位得到了较好的体现. “以学生发展为本”是我们进行课件设计时的重要指导思想..。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象教学实录与反思
中学数学研究
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函数 Ｙ＝Ａ ｉ（） ）的 图象 教 学 实 录 与反 思 ｎ ｏ ｓ ｘ＋
江苏省徐州市第 一中学 （２ ０ ０ 马 芹 ２ １０ ）
１ 基本情况
１ １ 授 课对 象 ．
合 的影 响 ， 理解 怎样 由 Ｙ＝ｓ ｘ图象到 Ｙ＝Ａ ｉ（ ｉ ｎ ｓ ｎ ＋ ）的图象变 化过程 ． 教 学难 点 ： 对 Ｙ ＝Ａｉ（ｃ ）的图象 的影 （ ０ ｓ （ ｎ ， ＋ 响规律 的概 括．
生 ： 给 出很 多猜 想 ） （
纳、 比、 类 联想 等数 学思 想方 法．
教学 目标 ：
（ ） 握 、 Ａ的变化 对 函数 图象 的形状 及位 １掌 、 置 的影 响 ， 确 找 出 由 Ｙ ＝ ｓ ｘ的 图 像 得 到 Ｙ ＝ 正 ｉቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｎ
一
师： 实际上 ， 弹簧 振子 所作 运动是 简谐 运动 中的 种， 而所 有 简谐运 动 中 ， 移 与 时 间 ｔ 位 的关 系式
单位时间内往复振动的次数／＝
１
＝ 称为振动
二 ７ｒ
的频率 ； ｔ 称为相位 ， Ｏ Ｃ＋ ｔ＝０时的相位 称为初
４
中学 数 学 研 究
２１ 第 ｌ ０ １年 ２期
相．
除此 之 外 ， 理和 工 程技 术 中的许 多实 际 问题 物
２ｉ ， ｓ ｘＹ＝÷ｓ ｎ ｉ 并由 ｎ 学生总结出Ａ ∞ 对函数图 、、
教学 重点 ： 考察 参数 、 Ａ对 函数 图 象 变化 综 、
都可以写成 ｓ＝Ａ ｉ（ ＋ ｓ ）的形式 ， ｎ 其中， Ａ是物
体离开平衡位置的最大距离 ， 称为振动的振幅； 往复
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。
例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。
这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。
揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。
一、新知探究 提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。
如图1是大观览车的示意图。
设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。
在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。
在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。
OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。
例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。
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性练习 改。
习题
换，来继续
教学流程。
5、总结 对解题技巧进行总结：一种方法，一个区 大概 2 分钟 文字 展 示 解 通 过 页 切
别，两个注意。
题技巧 换，来继续
教学流程。
6 巩固 给出 5 道练习题让学生思考，并让同学举 大概 9 分钟 文字 展 示 练 通 过 页 切
性练习 手解答，引导他们更好地掌握内容。
查漏补缺，真正把知识学懂，学通，学透， 本课件按照人教版要求，符合普遍学生的学习
接受能力，通过提出问题观察图片，吸引学生的注意力，以带动学生思考问题。在传递新内
容上，通过图文解说，形象表达学习内容，层次分明，能让学生容易理解、学习和掌握知识。
学习完新知识后，进行一段小结，巩固学生记忆。最后布置几道与这节课内容相关的习题，
数 含 义 及 相 应 公 0），
式。
图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q（π/3，5）.
四、课件的创作思路
(1)求函数的解析式； (2)求函数 f(x)的递增区间
按照课本要求，考虑到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象相对难掌握，特选取几何画板作为
课件的制作软件。课件设计由浅入境，通过对旧知识点的回顾复习，再慢慢计入新知识点的
引导学生， 以学生思考 为主；
文字， 图片
展示思 考题及 图像
通过页切 换，来继续 教学流程。
景引入 通过观察物理中简谐运动的单摆对平衡位 大概 10 分
新课 置位移与时间的关系和交流电的电流与时 钟
间的关系，一步步引导学生，引出新课内
容
2、讲授 分别由三个简单具体的正弦函数，探索参 以 观察总 结 文字， 展 示 概 按 “ 显 示 /
1）理解并记忆振 4．函数 y＝sin（x/2+π/6)的振幅是________；周期是________；
幅、周期、频率、 频率是________；相位是________；初相是________。
相位、初相的概
念。
2）掌握概念的参 5.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点 P（π/12，
三、知识点的划分与教学目标的确定
序号
知识点内容简述
教学目标
描述教学目标
1
A 对 y=Asin(ωx+φ)的图 理解，掌握 1.理解参数 A 如何影响函数图
象的影响
象；
形成性练习 题数
1题
2.掌握参数 A 对函数图像变换的
内在规律。
2 ω对 y=Asin(ωx+φ)的图 理解，掌握
1.理解参数ω如何影响函数
新课 数φ，ω，A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 为 主，比 较 图片 念、图像 隐藏”按钮，
的变换情况；由特殊到一般，让学生上台 图 形 间 变
及结论， 展现图形；
操作，分别观察运动的参数φ，ω，A 对函 换 ，得出 规
让 图 形 按“运动”
数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换趋势；理 律；
五、教学模式的选择（简要说明理由） 问答教学模式 先引入问题，让学生思考回答，一步步引导启发学生从中理解任意角的三角函数的定义及其相关
性质，再举例分析，让学生更好地掌握。
六、教学过程 环节
教学内容
教学方法及 教学媒 教学媒 媒体使用方
时间分配 体类型 体作用
式
1、复习 旧课、 创设情
以提问的方式提出问题“在初中我们 学习过五点作图法，大家还记得五点作图 法的要点吗?”让学生复习学过的内容，再
是为了巩固本节课内容。使学生通过本节课，能基本掌握参数φ，ω，A 对函数 y=Asin(ω
x+φ)的图象的变换规律。
五、思考题 分析课件所使用的媒体在课堂教学实践中的作用。
本课件主要应用了几何画板软件，应用几何画板的“形象、直观”的动态效果，能很好 的演示课本上的内容和几何图片，容易让学生理解掌握新概念。本节课的一些思考及练习， 能很好的培养学生的发散思维，达到举一反三的目的。几何画板的重要作用就是能准确地表 达几何图像。本课件适用大部分地区高中学校的课堂教学。
动起来， 按钮，让图
解并记忆概念的参数含义及相应公式。 大概 15 分
更 形 象 形动起来；
钟
地理解。 通 过 页 切
换，来继续
教学流程。
3、小结 参数φ，ω，A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图 大概 2 分钟 图片 展 示 流 通 过 页 切
象的变换规律流程图。
程图
换，来继续
教学流程。
4、形成 给出 4 道练习题让学生思考，并让同桌互 大概 6 分钟 文字 展 示 练 通 过 页 切
的内在规律。
理解并掌握参数φ 1.把函数 f(x)的图象沿着直线 x+y=0 的方向向右下方平移 2 个单位,
对 函 数 图 像 变 换 得到函数 y=sin3x 的图象，则( )
的内在规律。
(A) f(x)=sin(3x+6)+2 (B) f(x)=sin(3x-6)-2
(C) f(x)=sin(3x+2)+2 (D) f(x)=sin(3x-2)-2
学习，以问题为基本主导线，注重学生自主动手，自主学习能力，通过讨论，探讨问题渐渐
深入课程学习，渐渐把握参数φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。所以课件在
设计中看重问题，情景的设计，以及如何让学生更容易，更直观地了解，掌握参数φ，ω，
A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律。讲授新知识点后及时进行例题讲解，让学生
将考察参数φ，ω，A 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响的问题进行分解，从而 学会将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法。识别简单的几何体。 2、教学难点
ω对函数 y=Asin(ωx+φ)的图像的影响规律的概括。 3、解决办法
利用多媒体工具，让学生形象理解三个参量对图像的影响； 启发并引导学生，举例分析，强化练习。
八、设计形成性练习题目
知识点
教学目标
题目内容
理解并掌握参数 A 2.函数 y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为________。
知识点 1 对 函 数 图 像 变 换
的内在规律。
知识点 2 知识点 3
知识点 4
理解并掌握参数 3.函数 y=cos(x+)的最小正周期是________。
ω对函数图像变换
习题
换，来继续
教学流程。
7、布置 作业内容
大概 1 分钟 文字 展 示 作 通 过 页 切
作业
业内容 换，来继续
教学流程。
七、教学过程师生活动设计 5
在复习旧课，引入情境的环节中提问同学；在讲授新课，做练习时，先让同学思考讨论并自由发
表他们对问题的理解以及思路；在总结，巩固练习中，让全体同学一起思考回答问题。
设计:
执教： xxx
教学时数： 1 课时 时间： x 年 x 月 x 日
一、教材内容
选自 高中数学必修 4 学科，第 一 章 第 五 节，具体内容如下：
函数y Asin(x )的图象.
二、学生特征分析
1. 说明学生的地域、年级
普通高中学校，高一
2.分析学生的基础水平，确定认知结构变量
学生数学基础一般及以上，初中学习过三角函数的相关知识
实验报告
实验项目：设计制作课堂教学型的课件
班级：
姓名：
学号：
实验时间：2013 年 月 日
一、实验目的：通过计算机辅助教学的理论与实践相结合，查阅资料，设计制作中学数学某
一节课（自选内容）的课堂教学型课件，在实验过程中掌握课堂教学型课件设计方法与制作
技巧。
二、实验设备：多媒体计算机、几何画板等
三、教学设计方案
1题
象的影响
图象；
2.掌握参数ω对函数图像变换的
内在规律。
3 φ对 y=Asin(ωx+φ)的图 理解，掌握
1.理解参数φ如何影响函数
1题
象的影响
图象；
2.掌握参数φ对函数图像变换的
内在规律。
4 振幅、周期、频率、相位、 记忆
理解并记忆概念的参数含义及
1题
初相的概念
相应公式
四、分析教